Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физические основы микроэлектроники. Учебное пособие

Голосов: 2

Издание представляет собой краткое введение в теорию широкого круга явлений, с которыми приходится непосредственно иметь дело конструктору и технологу радиоэлектронной аппаратуры. Его цель - помочь понять физическую сущность тепловых и электрических свойств твердых тел, контактных и поверхностных явлений в полупроводниках. Предназначено для студентов дневного и заочного отделений специальности 2008, а также студентов других специальностей, желающих систематизировать свои знания в области физики твердого тела.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
           В. Ф. ПОПОВ

   ФИЗИЧЕСКИЕ
     ОСНОВЫ
МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ




   • ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •


                       МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
                     ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




                                         В. Ф. ПОПОВ

                        ФИЗИЧЕСКИЕ
                          ОСНОВЫ
                     МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ
                                УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ




                                            ТАМБОВ
                                     • ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •
                                              2001
УДК 621.38(075.8)
ББК з 844.1 я 73-5
    П58


                       Утверждено Редакционно-издательским советом университета


                                              Рецензенты:
                             Доктор физико-математических наук, профессор
                                             В. А. Федоров
                                  Кандидат технических наук, доцент
                                            А. В. Артемова


    В. Ф. Попов


П58 Физические основы микроэлектроники: Учебно-метод. пособ. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001. 116 с.




         Учебно-методическое пособие по курсу "Физические основы микроэлектроники» написано в полном соответствии с
    Программой Министерства образования РФ и представляет собой краткое введение в теорию широкого круга явлений, с которыми
    приходится непосредственно иметь дело конструктору и технологу радиоэлектронной аппаратуры. Его цель – помочь понять
    физическую сущность тепловых и электрических свойств твердых тел, контактных и поверхностных явлений в полупроводниках.
         Предназначено для студентов дневного и заочного отделений специальности 2008, а также студентов других специальностей,
    желающих систематизировать свои знания в области физики твердого тела.
                                                   УДК 621.38(075.8)
                                                   ББК з 844.1 я 73-5




                                     © Тамбовский государственный
                                       технический университет (ТГТУ),
                                       2001
                                     © Попов В. Ф., 2001


                      УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

             ПОПОВ Владимир Федорович

  ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
  МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ
            УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ



              Редактор М. А. Е в с е й ч е в а
Инженер по компьютерному макетированию Т. А. С ы н к о в а

        ЛР № 020851 от 13.01.99 Плр № 020079 от 28.04.97
                 Подписано в печать 21.12.2001
     Формат 60 × 84 / 16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Гарнитура Times New Roman. Объем: 6,74 усл. печ. л.; 6,5 уч.-изд. л.
                     Тираж 100 экз. C. 871М

              Издательско-полиграфический центр
    Тамбовского государственного технического университета,
              392000, Тамбов, Советская 106, к. 14


                                    1 КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
    К началу XX в. физики пришли к мнению, что объекты микромира проявляют как волновые, так и корпускулярные
свойства. Так частицы света, получившие название фотонов, в фотоэлектрических эффектах и многих других ведут себя как
корпускулы (частицы), имеющие энергию
                                                                                     E = hν = ħω                (1.1)
и импульс
                                                                                             h
                                                                                        P=     ,                (1.2)
                                                                                             λ
                               h
где h – постоянная Планка; ħ =   ; ω = 2πν – циклическая частота.
                              2π
    В то же время в явлениях дифракции и интерференции проявляются волновые свойства света.
    По гипотезе Де Бройля микрочастица, имеющая энергию E и импульс P, распространяется в пространстве с частотой
                                                                                             E
                                                                                        ν=     ,                (1.3)
                                                                                             h
для циклической частоты та же формула
                                                                                               E
                                                                                        ω=                      (1.4)
                                                                                               h
и имеет длину волны
                                                                                        h   h
                                                                                   λ=     =   ,                 (1.5)
                                                                                        p mV

где V – скорость движения частицы.
     Эти формулы экспериментально подтвердились в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927 г.), наблюдавших
рассеяние электронов монокристаллом никеля.
     Таким образом, переход от макро- к микроскопическим объектам качественно изменяет их свойства.

                                      2 ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ
     Для синусоидальных волн скорость движения волновой поверхности совпадает со скоростью распространения волны.
Это и обусловило, что скорость v была названа фазовой скоростью.
     Для любой волны помимо ее длины волны λ рассматривается частота ν, связанная с длиной волны соотношением
    v фаз
λ=        , где vфаз – фазовая скорость распространения волны. Очевидно, что фазовая и групповая скорости волны для
     ν
частицы, свободно движущейся со скоростью v, должны быть как-то связаны со скоростью v. Для вычисления фазовой и
групповой скоростей электронной волны недостаточно формулы λ = h/p, связывающей волновые свойства частицы с ее
корпускулярными свойствами. Как известно,
                                                      W = hν = hω ,
       h
где h =   ; ω – круговая частота.
      2π
    Так как
                                                                                               ω
                                                                                     v фаз =     ,              (2.1)
                                                                                               k
учитывая формулу для энергии (1.1) и импульса (1.2), умножим формулу (2.1) на h , тогда (2.1) примет вид

                                                                                hω W     mc 2 c2 c2
                                                                      v фаз =      =   =     =   =   mλ ,       (2.2)
                                                                                hk   p   mv    v   h
                            h
где p = mv = h/λ, откуда v =   .
                           mλ
     Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которой мало отличаются
от некоторой основной частоты. Такую несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом (рис. 1).


Рис. 1 Волновой пакет, полученный наложением двух
гармонических волн с близкими частотами и волновыми векторами:

  1, 2 – гармонические волны; 3 – результирующая волна; А – точка, в которой волна имеет максимальную амплитуду (центр волнового
                                                               пакета)
    Скорость распространения в пространстве этого пакета называется групповой скоростью. Групповую скорость волн де
Бройля можно найти из следующих соображений
                                                                                              dω d (hω) dW
                                                                                         u=     =        =    .              (2.3)
                                                                                              dk d (hk )   dp
     Для свободной частицы:

                                                           dW         cp              c2 p c2 mv
                                 W = c p2 + m 0 c 2
                                              2
                                                       и       =                  =       =      =v.
                                                            dp     p2 + m 0 c 2
                                                                          2           W     mc 2

     Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы
                                                                                                   dω
                                                                                              u=      =v,                    (2.4)
                                                                                                   dk
или по формулам (2.3) и (1.4) для u можно написать следующее выражение
                                                                                                    1 dE
                                                                                               u=        .                   (2.5)
                                                                                                    h dk
     В общем случае групповая скорость векторная величина и ее направление совпадает с направлением волнового вектора.


                                      3 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
                                                ГЕЙЗЕНБЕРГА
     Состояние частицы с позиций классической механики однозначно описывается заданием ее координат и трех
составляющих импульса –           x, y, z и px, py, pz, которое можно измерить с любой точностью в любой момент времени. В
квантовой механике, в отличие от классической, невозможно одновременно характеризовать частицу его координатами и
импульсом (в классическом понятии этих величин).
     Известно, что ограниченная пространственная протяженность ∆x некоторого цуга волн связана с тем, что он в принципе
немонохроматичен. То есть неизбежно возможно наличие у такого цуга определенного интервала ∆ω частот или интервала
∆k волновых чисел монохроматических волн, составляющих этот цуг. Между ∆x и ∆k установлена однозначная связь
                                                                                   ∆x∆k ≥ 1.            (3.1)
    Это соотношение справедливо для любых волновых процессов. Для волн де Бройля, частицы распространяющейся,
например, вдоль оси Х, и имеющей импульс px = hk , имеем ∆k = ∆px / h . Тогда (3.1) примет вид

                                                                                              ∆x ∆px ≥ h .                   (3.2)

     Рассматривая движение частиц вдоль осей Y и Z и имеющим импульс py и pz соотношение (3.2) записывают в виде:

                                                                                              ∆y ∆py ≥ h ;                   (3.3)

                                                                                              ∆z ∆pz ≥ h ,                   (3.4)

где ∆x, ∆y, ∆z – интервалы координат, в которых локализована частица, описываемая волной де Бройля; ∆px , ∆py , ∆pz –
интервалы, в которых заключены проекции импульса по осям X, Y, Z.
    Формулы (3.2), (3.3), (3.4) называют соотношением неопределенностей Гейзенберга. В общем случае соотношение
неопределенностей записывается в виде системы:

                                                                                           ∆x ∆px ≥ h ;
                                                                                           
                                                                                           ∆y ∆py ≥ h ;                     (3.5)
                                                                                           
                                                                                           ∆z ∆pz ≥ h .
    Система (3.5) имеет значение: координаты x, y, z частицы и проекции импульса на соответствующие оси координат не
имеют одновременно значений равных x и px , y и py , z и pz . Их значения определены лишь с определенной степенью
точности или чем точнее определяется, например координата частицы, тем неопределеннее становится ее импульс.
     Соотношение неопределенностей справедливо не только для координат частицы и проекций ее импульса на
соответствующие оси координат, но и, для частицы, находящейся в течение времени ∆t в нестационарном состоянии и
обладающей энергией E, то энергия определяется с ограниченной степенью точности. Если обозначить ∆E –
неопределенность энергии, то


                                                                                                         ∆E∆t ≥ h .                              (3.6)

      Это запись общего соотношения для волн де Бройля (получается из тех соображений, что ∆ω∆t ≥ 1).
                                           4 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
     Качественное своеобразие объектов микромира потребовало пересмотра способов описания их движения и привело к
отысканию в квантовой механике соотношения, имеющего смысл второго закона Ньютона в классической механике. Эту
задачу впервые поставил и решил Шредингер, чьим именем и названо соответствующее волновое уравнение, так как из него
получают свое объяснение все волновые свойства микрочастиц.
     Посылки:
     1) Функция, описывающая поведение объектов микромира, должна быть вероятностной, так как описывает движение
волн               де Бройля, имеющих вероятностный смысл, а также конечной, непрерывной и однозначной.
     2) Уравнение движения должно описывать движение волны                де Бройля.
     Для микрочастицы, движущейся в силовом поле со скоростью                V << c и обладающей потенциальной энергией
U(x, y, z, t) (вообще говоря, не является потенциальной энергией, так как потенциальная энергия не зависит от времени, а
зависит только от координат), уравнение Шредингера имеет следующий вид

                                                                             h2  ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 
                                                                                                    − U ( x , y , z , t )ψ = −ih ∂ψ .
                                                                                       +     +                                                   (4.1)
                                                                             2 m  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
                                                                                                                                 ∂t

      Это временное уравнение Шредингера.
      Сама волновая функция смысла не имеет, а имеет смысл квадрат ее модуля:
           2
     ψ – плотность вероятности нахождения частицы в объеме dV в момент времени t (так как волновая функция –
вероятностная, то следовательно она комплексная, поэтому квадрат модуля);
                            ∞
                                 2
      3) Интеграл           ∫ψ       dV должен быть конечным, где ψ – волновая функция, которую находят из уравнения Шредингера,
                           −∞
dV – бесконечно малый объем, в котором заключена частица. В самых простейших случаях условие (3) сводится к условию
нормировки вероятностей или определению вероятности нахождения частицы в бесконечно малом объеме пространства, т.е.
∞
      2
∫ψ        dV = 1 – условие нормировки вероятностей; соответственно функция ψ, удовлетворяющая этому условию, называется
−∞
нормированной.
               ∞
                    2
      P=       ∫ψ       dV – полная вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом объеме dV.
               −∞
    Уравнение (4.1) описывает все состояния микрочастицы за неопределенно большой промежуток времени, что делает ее
малопригодной для решения ряда практических задач. Поэтому имеет смысл ввести следующие упрощения:
    1 Принять функцию U в уравнении (4.1) независящей от времени t, а зависящей лишь от координат.
    2 Микрочастица распространяется вдоль оси X. Тогда уравнение (4.1) примет вид

                                                                                        ∂ψ( x , t ) h 2 ∂ 2 ψ ( x , t )
                                                                                 − ih              =                    − U ( x )ψ ( x , t ) .   (4.2)
                                                                                          ∂t         2 m ∂x 2
      Решением данной функции является ψ ( x , t ) , которую можно представить в виде произведения

                                                                                                   ψ ( x , t ) = ψ ( x ) ϕ(t ) .                 (4.3)

      Подставляя (4.3) в (4.2), получим

                                                                                               ∂ϕ h 2      ∂2ψ
                                                                                − ih ψ ( x )     =    ϕ(t ) 2 − U ( x )ψ( x )ϕ( x ) .            (4.4)
                                                                                               ∂t 2 m      ∂x
      Разделим обе части уравнения (4.4) на произведение ψ ( x )ϕ(t )

                                                                                         1 ∂ϕ(t ) h 2 1 ∂ 2 ψ( x , t )
                                                                                 − ih            =                     − U (x ) .                (4.5)
                                                                                        ϕ(t ) ∂t   2 m ψ (t ) ∂x 2
   Левая и правая части уравнения могут быть равны только при том условии, что они равны некоторой постоянной.
Можно показать, что эта постоянная равна – Е, где Е – полная энергия микрочастицы.
   Приравняем к Е левую часть уравнения (4.5)

                                                                      1 ∂ϕ(t )
                                                              − ih             = −E ,
                                                                     ϕ(t ) ∂t
или


                                                                          ∂ϕ(t )      ϕ(t )
                                                                                 = −i       E.                         (4.6)
                                                                             t         h
    Уравнение (4.6) представляет собой временную часть уравнения Шредингера. Решение этого выражения
                                                                                                 E
                                                                                     ln ϕ = −i     t + ln ϕ0 .         (4.7)
                                                                                                 h
                                                E
    Избавимся в (4.7) от логарифмов и заменим     = ω , получим выражение для ϕ (t), т.е.
                                                h
                                                                                     ϕ(t ) = ϕ0 exp(−iωt ) .           (4.8)
    Приравняв –Е правую часть уравнения (4.6), получим:

                                                 h2 1 d 2 ψ
                                                            − U ( x ) = −E ;
                                                 2 m ψ dx 2

                                                 h2 1 d 2 ψ
                                                            + (E − U ) = 0 ;
                                                 2 m ψ dx 2

                                                     h2 1 d 2 ψ
                                                                = (U − E ) .
                                                     2 m ψ dx 2

                                              h2
    Разделим обе этого части уравнения на        .
                                            2 mψ

                                               h2 2mψ d 2ψ            2mψ
                                                    2     2
                                                            = (U − E ) 2 ;
                                               2 m h ψ dx              h

                                                     d 2ψ           2mψ
                                                          = (U − E ) 2 ;
                                                     dx 2            h

                                                                                  d 2ψ 2m
                                                                                      +    ψ (U − E ) = 0 .            (4.9)
                                                                                  dx 2 h 2

     Уравнение (4.9) называют стационарным уравнением Шредингера. Это уравнение является важнейшим соотношением
в нерелятивистской квантовой механике. Функции ψ(x), удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера при
данном U, называют собственными функциями. Значения E, при которых существует решения уравнения (4.9) называют
собственными значениями.
                                 5 ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
                                          УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

                                       5.1 Движение свободной микрочастицы
     Для свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси Х, ее полная энергия совпадает с кинетической, а v = const, т.е.
U(x) = 0. Направим ось Х вдоль вектора скорости. Тогда стационарное уравнение Шредингера (4.9) приобретает вид

                                                                                     d 2ψ 2m
                                                                                          + 2 Eψ = 0 .                 (5.1)
                                                                                     dx 2  h

                                                             d 2x         
    Выражение (5.1) – это уравнение гармонических колебаний  2 + ω2 x = 0  . Перепишем (5.1) в соответствии с
                                                             dt           
                                                                          
выражением в скобках
                                                                                        d 2ψ
                                                                                             + k 2ψ = 0 .              (5.2)
                                                                                        dt 2

    Решением уравнения (5.2) является функция

                                                                               ψ ( x ) = A exp(ikx ) + B exp(ikx ) ,   (5.3)

где А и В – постоянные коэффициенты;

                                                                                          1
                                                                                      k =   2 mE .                   (5.4)
                                                                                          h


    Так как полное решение уравнения Шредингера равно произведению ψ ( x , t ) = ψ( x )ϕ(t ) , где выражение для ϕ(t )
найдено в предыдущем параграфе, то напишем в соответствии с вышеуказанными формулами выражение для ψ ( x , t ) .
    Если движение частицы не совпадает с осью Х, то

                                                                           E       2 mE            E       2 mE 
                                                      ψ ( x , t ) = A exp − i  t −     x  + B exp − i  t +     x  .    (5.5)
                                                                           h
                                                                                    h    
                                                                                                     h
                                                                                                                h    
                                                                                                                       

     Решение (5.5) представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн (так как распространяются с
одной частотой), распространяющихся в противоположных направлениях относительно оси X (так как знаки волновых чисел
различны).
     В случае движения частицы в направлении, несовпадающем с направлением оси X, формула (5.5) принимает вид (5.6)
                                                                                                           rr
                                                                            ψ ( x , y , z , t ) = C exp[i (k r − ωt )] ,       (5.6)

    r                   r
где r – радиус-вектор; k – волновой вектор по направлению совпадающий с направлением волны де Бройля и численно
равный (5.4). Поскольку U = 0, найдем энергию свободной микрочастицы

                                                                                      2
                                                                                 mV           m 2V 2    p2   h2
                                                                            E=            =          =     =      .            (5.7)
                                                                                  2            2m      2 m 2 m λ2

       Подставляя (5.7) в (5.4), получим

                                                                                    1        1           h2 2
                                                                              k=      2 mE =               = π.                (5.8)
                                                                                    h        h           λ2 λ

                                                                                                                           2
       Ранее было показано, что вероятность обнаружить микрочастицу в выраженном объеме V равна ψ = C 2 . Из условия
нормировки

                                                             2
                                                        ∫ψ       dV = 1 ,
                                                        V
т.е.
                                                                    1
                                                            C2 =      .
                                                                    ν

       Из соотношений (5.4) и (5.8) следует, что энергия микрочастицы равна

                                                                                           p2   h2     h2 k 2
                                                                                  E=          =    2
                                                                                                     =        .                (5.9)
                                                                                          2m 2mλ        2m

     Формула (5.9) носит название дисперсионной формулы: энергия свободной микрочастицы может быть любой, ее
энергетический спектр непрерывен.
     График этой функции представлен на рис. 2 и представляет собой квадратичную параболу.




                               Рис. 2      Зависимость энергии свободной микрочастицы от
                                                     волнового вектора


                            5.2 Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер.
                                              Туннельный эффект
     Предположим, что микрочастица движется по оси Х в силовом поле, потенциал которого меняется скачком (рис. 3, а). В
области I, расположенной от – ∞ до 0, U = 0; в области II, простирающейся от 0 до           + ∞, потенциальная энергия
равна U. Таким образом, при переходе из области I в область II микрочастице необходимо преодолеть потенциальный барьер
высотой U.
     Движение микрочастицы описывается стационарным уравнением Шредингера (4.9). Поскольку для области I: U = 0, то
для нее уравнение (4.9) примет вид:

                                                                                   d 2 ψ1 2 m
                                                                                         + 2 E ψ1 = 0                  (5.10)
                                                                                    dx 2  h
или
                                                       d 2 ψ1
                                                              + k1ψ1 = 0 ,
                                                        dx 2
где ψ1 – волновая функция микрочастицы в области I;

                                                               1
                                                        k1 =     2 mE .
                                                               h




                                                                а)




                                                                б)
                                     Рис. 3    Прохождение микрочастицы через
                                                потенциальный барьер:
                          а – бесконечно протяженный барьер; туннельное просачивание микрочастицы;
                                                 б – барьер конечной толщины

      Для области II:

                                                                              d 2ψ2 2 m
                                                                                    + 2 ( E − U )ψ 2 = 0               (5.11)
                                                                               dx 2  h
или
                                                     d 2 ψ2
                                                            + k12 ψ 2 = 0 ,
                                                      dx 2
где ψ2 – волновая функция микрочастицы в области II;
                                                           1
                                                    k2 =     2 m (E − U ) .
                                                           h
      Решения, общие для уравнений (5.10) и (5.11), имеют следующий вид:
                                                                     ψ1 = A1 exp(ik1x ) + B1 exp( −ik1x ) при x < 0;   (5.12)



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика