Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Псевдосферические поверхности

Голосов: 1

Изложены основные понятия теории псевдосферических поверхностей и обсуждаются их приложения в современной математической физике.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                                   МАТЕМАТИКА

                                   ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

                                                                       А. Г. ПОПОВ
                                        Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова



                                                                                            Возникновение в геометрии псевдосферических
                                                                                        поверхностей – поверхностей постоянной отрицатель-
                     PSEUDOSPHERICAL SURFACES                                           ной кривизны K ≡ −1, относящееся к середине XIX века,
                                                                                        стало этапным явлением в развитии математической
                     A. G. POPOV
                                                                                        мысли. Псевдосферическим поверхностям была отве-
                                                                                        дена роль окончательного аргумента в доказательстве
                     The basic concepts of pseudospherical surfaces                     существования и наглядной образной интерпретации
                     theory and their applications in modern math-                      неевклидовой гиперболической геометрии, открытой
                     ematical physics are discussed.                                    великим русским математиком Н.И. Лобачевским в
                                                                                        1826 г. Последующее развитие математики тесно связа-
                     Изложены основные понятия теории псев-                             ло псевдосферические поверхности с такими фунда-
                                                                                        ментальными понятиями современного естественнона-
                     досферических поверхностей и обсуждают-
                                                                                        учного мировоззрения, как преобразование Бэклунда,
                     ся их приложения в современной математи-                           теория сетей, солитоны, аттракторы, нелинейные урав-
                     ческой физике.                                                     нения математической физики и др. В настоящей ста-
                                                                                        тье мы обратимся к анализу концептуальных математи-
                                                                                        ческих истоков – оснований, объективно породивших
                                                                                        эти удивительные геометрические объекты, и просле-
                                                                                        дим их прогрессивное влияние на последующее разви-
                                                                                        тие широкого спектра перспективных направлений со-
                                                                                        временной математики и физики.

                                                                                              ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
                                                                                              И ЕЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
                                                                                            Геометрия, открытая Лобачевским, явилась венцом
                                                                                        многовековых попыток доказательства корректности
                                                                                        принятой в привычной для нас евклидовой геометрии
                                                                                        аксиомы о параллельных, известной также как V пос-
                                                                                        тулат Евклида: через точку, не лежащую на данной пря-
                                                                                        мой, проходит только одна прямая, лежащая с данной
                                                                                        прямой в одной плоскости и не пересекающая ее. Истори-
                                                                                        чески в мировоззренческом восприятии математиков
                                                                                        приведенная аксиома воспринималась несколько
                                                                                        сложным, перегруженным утверждением, лежащим в
                                                                                        основе всей известной к тому времени геометрии. По-
                                                                                        этому довольно естественными на протяжении многих
© Попов А.Г., 2004




                                                                                        веков начиная фактически с начала нашей эры пред-
                                                                                        ставлялись попытки доказательства V постулата Евк-
                                                                                        лида как следствия других имеющихся аксиоматичес-
                                                                                        ких утверждений. Исследованием этой проблемы,
                                           journal.issep.rssi.ru                        например, занимались древнегреческие математики
                                                                                        Птолемей (II в.) и Прокл (V в.), Ибн аль-Хайсам из



                                                  П О П О В А . Г. П С Е В Д О С Ф Е Р И Ч Е С К И Е П О В Е Р Х Н О С Т И                       119


                                                       МАТЕМАТИКА
      Ирака (конец X – начало XI в.), таджикский мыслитель                     на интерпретации Пуанкаре (1868 г.) (рис. 1, Б ). Плос-
      Омар Хайям (вторая половина XI – начало XII в.), а                       костью Лобачевского Λ2 в такой интерпретации являет-
      также плеяда европейских математиков: К. Клавий                          ся внутренность некоторого круга на евклидовой плос-
      (1574 г.), П. Катальди (1603 г.), Дж. Борелли (1658 г.),                 кости, прямыми на Λ2 считаются дуги окружностей,
      Дж. Витале (1680 г.), Дж. Валлис (1693 г.), Дж. Саккери                  перпендикулярных окружности данного круга – абсо-
      (1733 г.), А. Лежандр (1800 г.), Ф. Швейкарт (1818 г.),                  люту, и его диаметры; движениями – преобразования,
      Ф. Тауринус (1825 г.).                                                   являющиеся композицией инверсий относительно ок-
           Однако окончательный математически абсолютно                        ружностей, дуги которых служат прямыми. Примеча-
      строгий результат по “проблеме V постулата” принадле-                    тельно, что в этой модели углы между прямыми на Λ2
      жит Н.И. Лобачевскому и заключается в том, что V пос-                    совпадают с соответствующими евклидовыми углами
      тулат Евклида не может быть доказан на основе других                     между дугами.
      принятых аксиоматических предположений евклидо-                              Открытие и последующее исследование геометри-
      вой геометрии. И более того, допущение иного постула-                    ческих объектов, наиболее полно и естественно пред-
      та, противоположного по смыслу аксиоме о параллель-                      ставляющих неевклидову гиперболическую геометрию
      ных, приводит к построению новой геометрии, столь же                     в трехмерном евклидовом пространстве, связаны с
      содержательной, как и евклидова. Научное сообщение                       именами Ф. Миндинга, Э. Бельтрами, У. Дини и др.,
      об открытии новой геометрии было сделано Н.И. Лоба-                      построивших и детально изучивших ряд поверхностей
      чевским в Казанском университете в 1826 г., а сама ра-                   постоянной отрицательной гауссовой кривизны K ≡ −1,
      бота “О началах геометрии” опубликована им в 1829–                       на которых реализуется внутренняя геометрия отдель-
      1830 гг. В основе новой геометрии, называемой теперь                     ных частей плоскости Лобачевского. Такие поверхности
      геометрией Лобачевского, вместо V постулата Евклида                      впоследствии стали называться псевдосферическими
      принята следующая аксиома: через точку, не лежащую                       поверхностями по названию характерной поверхности
      на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые,                   из их класса – псевдосферы, впервые открытой рос-
      лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересе-                   сийским математиком Миндингом в 1838 г. и исчер-
      кающие ее (содержание этого положения символически                       пывающе исследованной Бельтрами в 1868 г. в контек-
      показано на рис. 1, А ).                                                 сте ее связи с геометрией Лобачевского. Псевдосфера
          Новую геометрию, которую Лобачевский называл                         (рис. 2, а) играет ту же каноническую роль в геометрии
      воображаемой геометрией, уже сам автор рассматривал                      Лобачевского, что и обычная сфера в евклидовой гео-
      как возможную теорию пространственных отношений.                         метрии.
      Но окончательное утверждение геометрии Лобачев-                             Прежде чем перейти к описанию конкретных псев-
      ского как системы пространственных соотношений                           досферических поверхностей, предварительно обра-
      пришло позднее, когда были предложены ее наглядные                       тимся к минимальному обсуждению необходимых по-
      интерпретации и тем самым полностью решен вопрос о                       нятий из общей теории поверхностей.
      ее реальном смысле.
          Построение модельных интерпретаций геометрии                               ЭЛЕМЕНТЫ АППАРАТА
      Лобачевского на обычной плоскости связано с идеями                             ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
      А. Пуанкаре, Кели, Ф. Клейна. Остановимся подробно                           Обратимся к обсуждению двух классических под-
                                                                               ходов, используемых для описания поверхностей в
                                                                               трехмерном евклидовом пространстве E3(x, y, z) – мето-
                                                        c                      ду Монжа и методу Гаусса.
                            c         b
                                                             о л ют




                                                                                    Основным соотношением в методе Монжа являет-
                   P        b                  P                               ся уравнение, связывающее декартовы координаты то-
                                                            А бс




                                                a                              чек поверхности:
                            a
                                                                                                                z = f (x, y).                    (1)
                   А                            Б
                                                                               При этом гауссова кривизна K поверхности – одна из
          Рис. 1. Аксиома Лобачевского: через точку P вне                      ключевых ее внутригеометрических характеристик –
          данной прямой a можно провести по крайней мере                       определяется формулой
          две прямые b и c, не пересекающие данную пря-
          мую a. А – символическая иллюстрация аксиомы,                                                              rt – s
                                                                                                                                   2
          Б – интерпретация аксиомы в модели плоскости Ло-                                              K = -------------------------------- ,
                                                                                                                           2           2 2
                                                                                                                                           -     (2)
          бачевского в круге                                                                                (1 + p + q )



120                              С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4


                                                            МАТЕМАТИКА




                               а                                 б                                  в                                     г

                      Рис. 2. Классические псевдосферические поверхности: а – псевдосфера, б – волчки,
                      в – катушки; г – фрагмент винтовой поверхности Дини (вид с разрезом)


использующей частные производные функции (1)                                                            II = Ldu2 + 2Mdudυ + Ndυ2,                                        (4)

     ∂z             ∂z             ∂z
                                      2
                                                    ∂z
                                                       2
                                                                     ∂z
                                                                         2           отвечающие соответственно за ее внутреннюю и внеш-
 p = ----
        -,      q = ----
                       -,      r = ------2
                                         -,   s = ----------
                                                           -,    t = ------2
                                                                           -.        нюю геометрии. Отметим, что коэффициенты метри-
     ∂x             ∂y             ∂x             ∂x ∂y              ∂y
                                                                                     ки (3) определяются исключительно радиусом-векто-
    Разрешить дифференциальное уравнение (2) отно-                                   ром r ( u , υ ) и однозначным образом задают гауссову
сительно функции z = f (x, y) означало бы описать в про-                             кривизну K поверхности S.
странстве E3 все поверхности с априори заданной кри-
визной K по их форме и положению в пространстве. В                                      Поставим задачу об отыскании в пространстве E3
общем случае (при произвольной кривизне) выполнить                                   поверхности, определяемой некоторой метрикой (3)
интегрирование уравнения (2) не представляется воз-                                  кривизны K. Такая задача называется задачей об изомет-
можным. Однако наряду с этим полному исследованию                                    рическом погружении метрики ds2 в евклидово прост-
поддаются частные случаи, когда кривизна поверхнос-                                  ранство E3. Разрешение данной задачи связано с интег-
ти является постоянной. Уравнение (2) при K ≡ −1 будет                               рированием основных уравнений теории поверхностей:
базовым соотношением, используемым ниже для полу-                                          уравнения Петерсона–Кодацци
чения явного вида псевдосферических поверхностей.                                                             1        2                  1          2
                                                                                                  L υ + Γ 11 M + Γ 11 N = Mu + Γ 12 L + Γ 12 M,                           (5)
   Другим важным подходом к исследованию поверх-
ностей является метод Гаусса, в соответствии с кото-                                                          1            2              1          2
                                                                                                  Mυ + Γ 12 M + Γ 12 N = N u + Γ 22 L + Γ 22 M,                           (6)
рым общее аналитическое выражение поверхности S
определяется заданием декартовых координат точек                                           уравнение Гаусса
поверхности как функций двух параметров u и υ:
                                                                                                          2
           x = x(u, υ),        y = y(u, υ),       z = z(u, υ).                              LN – M                1 ∂ 1             ∂ 1          2    1      2    1
                                                                                        K = ------------------- = -- ----- Γ 12 – ----- Γ 11 + Γ 12 Γ 12 – Γ 11 Γ 22 ,
                                                                                                              -
                                                                                                              2
                                                                                                                   - -                -                                   (7)
                                                                                             EG – F               F ∂u            ∂υ
Сама поверхность S при этом однозначно (с точностью
до движения) определяется в пространстве E3 своим ра-                                      деривационные формулы
диусом-вектором r ( u , υ ): r = r { x ( u , υ ), y ( u , υ ), z ( u , υ ) }                                            1         2
                                                                                                              r uu = Γ 11 r u + Γ 11 r υ + Ln ,                           (8)
и вектором единичной нормали n ( u , υ ).
                                                                                                                       1          2
                                                                                                              r uυ = Γ 12 r u + Γ 12 r υ + Mn ,                           (9)
   Наряду с r ( u , υ ) и n ( u , υ ) в дифференциальной гео-
метрии также для однозначного определения поверх-                                                                      1         2
ности обычно используются первая и вторая квадра-                                                          r υυ = Γ 22 r u + Γ 22 r υ + Nn ,                             (10)
тичные формы поверхности S :
                                                                                                         1
                                                                                           n u = ------------------ [ ( FM – GL ) ⋅ r u + ( FL – EM) ⋅ r υ ],
                                                                                                                  -
                                                                                                                  2
                                                                                                                                                                         (11)
              I = ds2 = Edu2 + 2Fdudυ + Gdυ2,                                (3)                 EG – F



                                               П О П О В А . Г. П С Е В Д О С Ф Е Р И Ч Е С К И Е П О В Е Р Х Н О С Т И                                                         121


                                                                                 МАТЕМАТИКА
                       1                                                                             Особую роль среди приведенных на рис. 2 поверх-
         n υ = ------------------ [ ( NF – GM) ⋅ r u + ( FM – EN ) ⋅ r υ ].
                                -
                                2
                                                                                       (12)
               EG – F                                                                             ностей играет псевдосфера, ее уравнения могут быть
                                                                                                  представлены в виде
          Первая группа уравнений (уравнения Петерсона–
      Кодацци и Гаусса (5)–(7)) связывает коэффициенты                                                                      x = sin u ⋅ cos υ,      0 < u < π,
      первой и второй квадратичных форм (3), (4). Вторая                                                                    y = sin u ⋅ sin υ,      – ∞ < υ < +∞,
                                                                                                          r ( u , υ ):
      группа уравнений (8)–(12) (деривационные формулы)                                                                                u
                                                                                                                            z = ln ctg -- – cos u .
                                                                                                                                        -
      задает по уже известным коэффициентам E, F, G, L, M,                                                                             2
      N радиус-вектор r ( u , υ ) и вектор единичной нормали                                          Углубленный анализ псевдосферы был проведен
      n ( u , υ ) поверхности S, то есть окончательно определя-                                   Э. Бельтрами в 1868 г. Он установил, что геометрия
      ет поверхность в пространстве. Используемые в (5)–                                          псевдосферы совпадает с геометрией определенной об-
                                                        α                                         ласти на плоскости Лобачевского – орикруга. Если
      (12) символы Кристоффеля Γ βγ зависят от коэффици-                                          точкам и прямым в этой области плоскости Лобачев-
      ентов метрики (3) и их производных [2].                                                     ского сопоставить точки и кратчайшие линии (геоде-
          Уравнения (5)–(12) представляют собой современ-                                         зические) на псевдосфере, а движению на плоскости
      ный фундаментальный аппарат исследования поверх-                                            Лобачевского сопоставить перемещение фигуры по
      ностей в E3. Более того, эти уравнения представляют                                         псевдосфере с изгибанием (деформацией, сохраняю-
      полную систему соотношений, позволяющих читателю                                            щей длины), то всякой теореме (утверждению) в геоме-
      самостоятельно изучать в пространстве поверхности с                                         трии Лобачевского будет отвечать соответствующий
      наперед заданными метриками типа (3). В связи с этим                                        факт, имеющий место на псевдосфере.
      напомним, что в общем случае система (5)–(12) до сих                                            Таким образом, благодаря появлению первых псев-
      пор остается неразрешенной. Но это обстоятельство ни                                        досферических поверхностей, и в первую очередь псев-
      в коей мере не сужает класс содержательных случаев, к                                       досфере, геометрия Лобачевского получила нагляд-
      рассмотрению которых мы переходим.                                                          ный, реальный смысл: длины, углы, площади смогли
                                                                                                  теперь пониматься в смысле их естественного привыч-
          КЛАССИЧЕСКИЕ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ                                                          ного измерения (например, на псевдосфере).
          ПОВЕРХНОСТИ                                                                                 Результаты Миндинга и исследования Бельтрами
                                                                                                  положили начало развитию нового раздела дифферен-
          В 1838 г. Ф. Миндинг, опираясь на уравнение (2),                                        циальной геометрии – исследованию и построению
      исчерпывающим образом провел исследование по-                                               поверхностей отрицательной кривизны, и прежде все-
      верхностей вращения постоянной кривизны. Метод                                              го псевдосферических. Последующим классическим
      Миндинга сводился к отысканию той формы меридиа-                                            примером стала винтовая псевдосферическая поверх-
      на x = ϕ(z) (кривой, вращаемой вокруг оси), которая                                         ность, построенная Дини (рис. 2, г).
      обеспечивала бы постоянную кривизну поверхности.                                                Дальнейшие исследования по обозначенной тема-
      Уравнение (3) в указанном случае переходит в обыкно-                                        тике привели к открытию новых фундаментальных по-
      венное дифференциальное уравнение второго порядка                                           нятий не только в геометрии, но и в современном нели-
                                                                                                  нейном анализе, таких, как преобразование Бэклунда,
                                                ϕ"
                             K ⋅ ϕ = – ----------------------
                                                        2 2
                                                            -                          (13)       солитоны, сетевая интерпретация нелинейных диффе-
                                       ( 1 + ϕ' )                                                 ренциальных уравнений и др.
      и при постоянном заданном значении K поддается                                                    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА,
      стандартной процедуре интегрирования, приводящей                                                  ЧЕБЫШЕВСКИЕ СЕТИ
      к конкретному параметрическому виду меридиана как                                                 И УРАВНЕНИЕ СИНУС-ГОРДОНА
      обратной функции z = ϕ−1(x):
                                                                                                      Следующий этап получения фундаментальных ре-
                                     x
                                                2                                                 зультатов в исследовании проблем, связанных с псевдо-
                                          Kx – ( λ – 1 )                                          сферическими поверхностями и составляющих кано-
                           z=±      ∫     ------------------------------- d x.
                                                 λ – Kx
                                                                  2
                                                                        -
                                                                                                  ническую основу современного нелинейного анализа,
                                    x0
                                                                                                  приходится на конец 80-х годов XIX столетия. В то вре-
          Полученный результат позволил Миндингу при                                              мя было открыто преобразование Бэклунда и впервые
      K ≡ −1 выделить три основных типа псевдосферических                                         установлена взаимосвязь внутригеометрических харак-
      поверхностей вращения, которые представлены на                                              теристик псевдосферических поверхностей с важными
      рис. 2 (а, б, в).                                                                           нелинейными дифференциальными уравнениями.



122                                                 С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4


                                                          МАТЕМАТИКА
    Концептуальное значение в данном вопросе сыгра-                              Участвующая в правой части (16) функция z*(u, υ) име-
ла работа выдающегося русского ученого П.Л. Чебышё-                              ет смысл сетевого угла чебышёвской сети на новой по-
ва “О кройке одежды”, в которой он исследовал вопрос                             верхности S* и удовлетворяет уравнению синус-Гордо-
о специальных сетях линий (тканях) на поверхностях.                              на (15). Решение z*(u, υ) связано с решением z(u, υ),
Изученные в работе сети, называемые теперь чебышёв-                              имеющим аналогичный смысл по отношению к уже
скими, характеризуются следующим свойством: в каж-                               известной поверхности S, посредством системы
дом сетевом четырехугольнике противоположные сторо-
                                                                                                        ∂z* ∂z                        z* + z
ны являются равными. К примеру, нити куска обычной                                                      ------- = ----- + 2k sin ------------- ,
                                                                                                              -       -                 2
                                                                                                                                             -
нерастяжимой ткани, натянутой (наложенной) на по-                                                        ∂u       ∂u
                                                                                                                                                                 (17)
верхность, образуют на ней чебышёвскую сеть. Из оп-                                           ∂z * ∂z 2 z* – z
                                                                                              ------- = ----- + -- sin -------------,
                                                                                                    -        - -                         k = const,
ределения чебышёвской сети нетрудно получить выра-                                             ∂υ        ∂υ k               2
жение для квадрата линейного элемента покрываемой
                                                                                 называемой преобразованием Бэклунда для решений
ею поверхности:
                                                                                 уравнения синус-Гордона. Система уравнений в част-
            ds2 = du2 + 2coszdudυ + dυ2.                             (14)        ных производных (17) до сих пор не разрешена в общем
                                                                                 виде, для нее известна единственная рекуррентным об-
Из (14) с использованием формулы (7) для гауссовой
                                                                                 разом определяемая серия решений
кривизны вытекает, что при K ≡ −1 функция z(u, υ),
имеющая смысл сетевого угла, должна удовлетворять
                                                                                                                       k 1 + k z (n1 ) – z (n2 ) 
уравнению                                                                                  z n + 1 = z n – 1 + 4arctg  --------------2 ------------------- ;
                                                                                                                                      -tg                 -
                                                                                                                       k1 – k2                  4          
                         zuυ = sinz,                                 (15)                                                                                        (18)
                                                                                                                 k 1, k 2 = const,
впоследствии получившему название уравнения си-
нус-Гордона. (Несколько более общий вид уравнения                                                                      z 0 ≡ 0,
(15) при произвольном K был получен практически од-                              задающая класс так называемых многосолитонных ре-
новременно и независимо в 1878 г. П.Л. Чебышёвым и                               шений и соответствующее им бесконечное число псев-
И.Н. Хаццидакисом.)                                                              досферических поверхностей. (В физике под солитона-
    Уравнение синус-Гордона, играющее фундамен-                                  ми понимают уединенные волны, распространяющиеся
тальную роль в современном естествознании, является                              с постоянной скоростью и имеющие неизменный про-
центральным в алгоритме построения новых псевдо-                                 филь. Для таких волн свойствен особый характер взаи-
сферических поверхностей, предложенном Бэклун-                                   модействия, единственным результатом которого яв-
дом. Переходя к изложению связанных с этим идей,                                 ляется сдвиг фаз взаимодействующих волн (см. также:
подчеркнем, что преобразование Бэклунда, широко                                  Маневич Л.И. Линейная и нелинейная математическая
используемое в настоящее время в теории нелинейных                               физика: от гармонических волн к солитонам // Соросов-
уравнений, исторически впервые возникло в 1876 г.                                ский Образовательный Журнал. 1996. № 1. С. 86–93).)
именно в дифференциальной геометрии как преобра-                                     Формулы (17), (18) составляют к настоящему време-
зование псевдосферических поверхностей.                                          ни основу для построения фактически неизученной со-
    Геометрическое содержание преобразования Бэк-                                литонной серии псевдосферических поверхностей (или
лунда состоит в следующем.                                                       солитонных псевдосферических поверхностей) и могут
   Пусть в трехмерном евклидовом пространстве E3                                 быть выбраны интересующимися читателями в качестве
имеется некоторая псевдосферическая поверхность S с                              исходной базы для самостоятельных исследований по
                                                                                 геометрии поверхностей (при этом будет также полезно
радиусом-вектором r . Тогда по этой поверхности всегда
                                                                                 обратиться к научно-популярной брошюре [3]).
можно построить новую псевдосферическую поверхность
                                                                                     В заключение этого раздела обратим внимание на
S* с радиусом-вектором r * по формуле                                            частный пример двухсолитонной псевдосферической
                                                                                 поверхности (рис. 3), напоминая, что общая классифи-
        r * = r + ω sin σ ( τ 1 cos z* + τ 2 sin z* ) .              (16)        кация солитонных псевдосферических поверхностей
    В соотношении (16) τ 1, τ 2 – единичные касатель-                            находится в настоящий момент на стадии своего фор-
ные векторы к линиям кривизны на поверхности S (ли-                              мирования.
ния на поверхности называется линией кривизны, если
ее направление в каждой точке является главным на-                                     ТЕОРЕМА Д. ГИЛЬБЕРТА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ
правлением, то есть направлением, в котором нор-                                       СОВРЕМЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
мальная кривизна поверхности достигает экстремаль-                                   Как уже отмечалось, псевдосферические поверхно-
ного значения); ω, σ – некоторые числовые параметры.                             сти реализуют на своих регулярных частях геометрию,



                                           П О П О В А . Г. П С Е В Д О С Ф Е Р И Ч Е С К И Е П О В Е Р Х Н О С Т И                                                     123


                                                       МАТЕМАТИКА
                                                                               ского. Этот результат является логическим звеном сис-
                                                                               темных исследований по геометрии “в целом”, прово-
                                                                               димых начиная с конца 1950-х – начала 1960-х годов в
                                                                               научной геометрической школе Ефимова–Позняка в
                                                                               Московском университете по проблеме изометрических
                                                                               погружений (реализации) двумерных метрик отрица-
                                                                               тельной кривизны в E3. Среди выдающихся геометров
                                                                               этой научной школы следует отметить Э.Р. Розендорна,
                                                                               И.Х. Сабитова, Д.Д. Соколова, Е.В. Шикина, С.Б. Ка-
                                                                               домцева и их учеников.
                                                                                   Одним из центральных общих вопросов в исследо-
                                                                               ваниях научной школы стал вопрос о нахождении той
                                                                               грани, которая определяет границы реализации (“при-
                                                                               сутствия”) в E3 неевклидовой гиперболической геомет-
                                                                               рии. Или, более предметно, вопрос о том, какие части
         Рис. 3. Фрагмент двухсолитонной псевдосфериче-                        плоскости Лобачевского могут быть регулярно погру-
         ской поверхности (вид с разрезом)                                     жены в E3. Среди полученных в этой области результа-
                                                                               тов, адресуя читателя к списку литературы, укажем на
      совпадающую с геометрией лишь отдельных частей                           возможность изометрического погружения в E3 таких
      плоскости Лобачевского. Кроме того, как видно из ри-                     частей плоскости Λ2, как бесконечная полоса, специ-
      сунков, непременным атрибутом этих поверхностей                          альные типы многоугольников и др.
      являются особенности – нерегулярные ребра или ост-                           Существенно, что при проведении отмеченных ис-
      рия. Оказывается, наличие особенностей у поверхнос-                      следований был предложен новый вид основных урав-
      тей постоянной отрицательной кривизны имеет глубин-                      нений теории поверхностей – уравнений в римановых
      ные корни, относящиеся к основаниям математики. В                        инвариантах (уравнений Рождественского–Позняка):
      этом контексте выдающийся математик Д. Гильберт в                               rx + sry = A0 + A1r + A2s + A3r 2 + A4rs + A5r 2s,                                (19)
      1901 г. в работе “О поверхностях постоянной гауссовой
      кривизны” исследовал вопрос о возможности реализа-                                 sx + rsy = A0 + A2r + A1s + A3s2 + A4rs + A5rs2,
      ции в евклидовом пространстве E3 всей (полной) плос-                     где коэффициенты типа Ai являются некоторыми
      кости Лобачевского. Гильберт получил следующий                           функциями символов Кристоффеля, а римановы инва-
      фундаментальный результат: в пространстве E3 не су-                      рианты r(x, y) и s(x, y) следующим образом связаны с
      ществует полной и регулярной поверхности, внутренняя                     коэффициентами первой и второй квадратичных форм
      геометрия которой представляла бы геометрию полной                       поверхности:
      плоскости Лобачевского.
                                                                                                               m+k                      –m+k
          То есть плоскость Лобачевского не реализуется в                                                r = – ------------ ,
                                                                                                                          -         s = ---------------- ,
                                                                                                                                                       -
                                                                                                                    n                          n
      целом регулярным образом в трехмерном евклидовом
      пространстве. Этот факт в известном смысле говорит о                     где
      более богатой природе геометрии Лобачевского по от-                                            M                                 N                           2
      ношению к геометрии Евклида, в связи с чем возникла                               m = ---------------------- ,
                                                                                                                 -       n = ---------------------- ,
                                                                                                                                                  -          K = –k .
                                                                                                                 2                                2
      проблематика, изучающая возможность реализации                                            EG – F                           EG – F
      геометрии Лобачевского в многомерных евклидовых                          В целом отметим, что система (19) придает основным
      пространствах. Имеющиеся результаты по этой про-                         соотношениям теории поверхностей более совершен-
      блеме были получены сравнительно недавно. В 1955 г.                      ную интерпретацию, дающую возможность примене-
      Д. Блануша и 1960 г. Э.Р. Розендорн доказали возмож-                     ния к их исследованию методов современной теории
      ность регулярной реализации плоскости Лобачевского                       дифференциальных уравнений, таких, например, как
      соответственно в пространствах E6 и E5. Вопрос же о ре-                  метод малого параметра.
      гулярной реализации плоскости Λ2 в четырехмерном
      евклидовом пространстве E4 до сих пор остается откры-                          ПОВЕРХНОСТЬ БИАНКИ–АМСЛЕРА
      тым и представляет одну из актуальных нерешенных                               И ДРУГИЕ ПОВЕРХНОСТИ
      проблем современной геометрии.
                                                                                   Итальянский математик Л. Бианки в 1927 г. в изве-
         В 1975 г. Н.В. Ефимов усилил результат Гильберта,                     стном курсе по дифференциальной геометрии (L. Bi-
      доказав невозможность в E3 и полуплоскости Лобачев-                      anchi “Lezioni di Geometria Differenziale”) указал на



124                              С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4


                                                                 МАТЕМАТИКА
возможность существования в пространстве E3 поверх-                                     чественные представления Амслера о поверхности и
ности кривизны K ≡ −1, содержащей две пересекающие-                                     указывают на ее многослоевую подобную структуру,
ся прямолинейные образующие. Отличительным свой-                                        обусловленную осцилляциями функций Пенлеве на
ством такой поверхности является то, что ей отвечает                                    бесконечности.
решение уравнения синус-Гордона (15) специального
типа – автомодельное решение переменной t = uυ, ре-                                         В заключение этого раздела представим на рис. 5
дуцирующее уравнение (15) к виду обыкновенного                                          галерею компьютерно визуализированных псевдосфе-
дифферециального уравнения:                                                             рических поверхностей, аннонсированных в различных
                      tz" + z' = sinz.                                      (20)        последних научных публикациях. Эти поверхности
                                                                                        соответствуют различным типам решений уравнения
                                   iz
Вследствие замены w = e уравнение (20) переходит в                                      синус-Гордона, получаемым посредством метода об-
уравнение                                                                               ратной задачи рассеяния – одного из эффективных
                          2
                   w' 2w' – w + 1
                                             2                                          современных методов интегрирования нелинейных
              w" – ------ + ----------------------------- = 0,
                        -                               -                               уравнений. Приложениями возникающей при этом со-
                     w                  2t
                                                                                        литонной теории к построению псевдосферических
определяющее так называемую третью трансцендент-                                        поверхностей активно в настоящее время в мире зани-
ную функцию Пенлеве. Характерным свойством транс-
                                                                                        маются многие ученые, среди которых особо отметим
цендентных функций Пенлеве третьего типа (класса
                                                                                        М. Мелко и И. Стерлинга, из работы которых (Annals of
специальных функций) является неподвижность (то
есть независимость от выбора начальных данных) их                                       Global Analysis and Geometry. 1993. Vol. 11. P. 65–107), в
точек ветвления.                                                                        частности, приведены изображения поверхностей, де-
                                                                                        монстрирующие изящные проявления геометрии Ло-
    Последующие результаты по исследованию псев-
досферической поверхности, связанной с решением                                         бачевского в трехмерном евклидовом пространстве.
уравнения синус-Гордона z(t), принадлежат Амслеру                                       Аналитическая классификация подобных поверхнос-
(1955 г.), проанализировавшему (в том числе и числен-                                   тей только складывается.
но) ее качественный вид. На рис. 4 представлена по-
верхность Бианки–Амслера, отвечающая части реше-
ния z(t = uυ), определенной на отрезке между z = 0 и
z = π вблизи нуля. Поверхность имеет структуру, состо-
ящую из закручивающихся и сужающихся на бесконеч-
ности полос, регулярно сопряженных в начале коорди-
нат. Последние результаты по асимптотике третьих
трансцендентных функций Пенлеве подтверждают ка-


                              x3                                      E3



                                                       z=π



                                                 v=0                          x1
                                                           z=0

                   u=0




    x2


   Рис. 4. Поверхность Бианки–Амслера. Показана
   часть поверхности, отвечающая части решения z(t),
   заключенной между его первым нулем и первым
   значением π                                                                                Рис. 5. Последовательность поверхностей Хасимото




                                                  П О П О В А . Г. П С Е В Д О С Ф Е Р И Ч Е С К И Е П О В Е Р Х Н О С Т И                           125


                                                      МАТЕМАТИКА
         ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ                                             Таким образом, можно говорить, что псевдосфери-
         НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ                                                 ческая метрика (3) порождает некоторое дифференци-
         СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ                                           альное уравнение
         ФИЗИКИ                                                                                           F[z(u, υ)] = 0.                      (21)
          Удивительное единство многих различных по сво-                      Верно и обратное: в соответствии с описанной выше
      ей природе явлений и связанных с ними математичес-                      методикой всякое регулярное решение z(u, υ) уравне-
      ких моделей может быть объяснено в значительном                         ния (21) определяет собой псевдосферическую метрику.
      числе случаев качественной аналогией описывающих                            Приведем примеры псевдосферических метрик и
      их дифференциальных уравнений, проявляющейся, в                         соответственно ассоциированных с ними (порождае-
      частности, в их геометрических интерпретациях. Обна-                    мых ими) известных нелинейных уравнений:
      руженная впервые в конце прошлого столетия взаимо-                          1) метрика
      связь уравнения синус-Гордона и чебышёвских сетей –
                                                                                               ds2 = du2 + 2cos z(u, υ)dudυ + dυ2,
      специальных геометрических объектов на псевдосфе-
      рических поверхностях (и в общем на плоскости Лоба-                     уравнение синус-Гордона
      чевского) – получила в конце уже ХХ в. существенное                                                         zuυ = sinz;
      обобщение, связанное с установлением известной об-
      щей эквивалентности широких классов нелинейных                                2) метрика
      уравнений современной математической физики и от-                                                                                2   2
                                                                                                                              z
                                                                                      d s = d u + ( z + 2 ) d u d υ + z u +  --- + 1 d υ ,
                                                                                         2     2     2                  2                 2
      вечающих им специальных типов координатных сетей                                                                          -
                                                                                                                            2       
      на псевдосферических поверхностях (или соответст-
      венно на плоскости Λ2). В целом сущность всякого гео-                   модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза
      метрического подхода к исследованию определенной
                                                                                                               3 2
      задачи состоит в сопоставлении исследуемой задаче                                                  z υ – -- z z u – z uuu = 0;
                                                                                                                -
                                                                                                               2
      некоторого геометрического образа (объекта), анализ
      которого может быть проведен в рамках хорошо разви-                           3) метрика
      той геометрической методологии. И в нашем случае                                                              z
      полнота геометрии Лобачевского представляется весь-                                                  2  e        2     2
                                                                                                        d s = --- ( d u + d υ ),
                                                                                                                -
      ма достаточной для унификации широкого круга задач                                                       2
      математической физики, в которых нелинейные урав-                       уравнение Лиувилля
      нения играют ключевую роль.                                                                             2         2
                                                                                                            ∂z ∂z                z
          Приведенные выше рассуждения мы проиллюст-                                                        ------- + ------- = e .
                                                                                                                  -
                                                                                                                  2
                                                                                                                            -
                                                                                                                            2
                                                                                                            ∂u ∂υ
      рируем на примере дифференциальных уравнений,
      формирующих так называемый класс Лобачевского                               В общем принято говорить, что дифференциаль-
      (или Λ2-класс). Эти уравнения, среди которых извест-                    ное уравнение принадлежит Λ2-классу (или является
      ные уравнения синус-Гордона, Кортевега–де Фриза,                        Λ2-уравнением), если оно порождается указанным вы-
      Бюргерса, Лиувилля и др., называются Λ2-уравнения-                      ше способом псевдосферической метрикой. Понятие
      ми.                                                                     Λ2-класса является важной категорией современной
                                                                              геометрической теории дифференциальных уравне-
           Рассмотрим двумерную дифференциальную квад-                        ний; оно, в частности, подразумевает локальную экви-
      ратичную форму типа (3) с коэффициентами E[z(u, υ)],                    валентность всех регулярных решений уравнений дан-
      F[z(u, υ)], G[z(u, υ)], зависящими известным образом                    ного класса.
      от некоторой функции z = z(u, υ) и ее производных. Об-                      Более того, свойство принадлежности уравнений
      ратимся к формуле Гаусса (7) для вычисления кривиз-                     Λ2-классу означает единую метрическую природу этих
      ны K формы (3) с рассматриваемыми коэффициента-                         уравнений в рамках геометрии Лобачевского, которая
      ми. Правая часть соотношения (7) представляет собой                     во многом универсально объясняет наличие таких фун-
      известное выражение для кривизны K через E, F, G и их                   даментальных свойств у многих нелинейных уравнений,
      производные по u и υ до второго порядка включитель-                     как преобразование Бэклунда, наличие бесконечного
      но. Если считать кривизну K априори заданной функ-                      числа законов сохранения, интегрируемость методом
      цией (в интересующем нас случае K ≡ −1), то, очевидно,                  обратной задачи рассеяния, существование солитон-
      соотношение типа (7) можно рассматривать как диф-                       ных решений, связь с трансцендентными функциями
      ференциальное уравнение для функции z(u, υ).                            Пенлеве и др.



126                             С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4


                                               МАТЕМАТИКА
                         ***                                            3. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Уравнение синус-Гордона: Геометрия
                                                                        и физика. М.: Знание, 1991. 45 с.
    В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть не-                    4. Розендорн Э.Р. Поверхности отрицательной кривизны //
обычайную математическую важность псевдосферичес-                       Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.
ких поверхностей как объектов неевклидовой гипербо-                     Фундаментальные направления. Т. 48. М.: ВИНИТИ, 1989.
лической геометрии и широчайший спектр приложений                       С. 98–195.
ассоциированных с ними понятий в современном есте-                      5. Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачев-
                                                                        ского: Открытие и путь в современность // Природа. 1993.
ствознании. В этой связи автор хотел бы поделиться                      № 7. С. 19–27.
своим впечатлением, составленным на основе изуче-                       6. Позняк Э.Г. Изометрические погружения двумерных рима-
ния мировой научной библиографии по данному во-                         новых метрик в евклидовы пространства // Успехи мат. наук.
просу, доказывающим исторически необходимую роль                        1973. Т. 28, вып. 41(172). С. 47–76.
обсуждаемых в данной статье понятий: исследования                       7. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачевского и уравне-
                                                                        ния математической физики // Докл. АН. 1993. Т. 332, № 4.
по обсуждаемому спектру вопросов ведутся сейчас во                      С. 418–421.
многих странах – Россия, США, Китай, Бразилия,
ЮАР, Австралия и др., при этом любопытно, что некото-                                   Рецензент статьи Ю.П. Соловьев
рые независимые исследователи ведут самостоятельную
работу, в некоторой степени повторяющую уже извест-                                                          ***
ные подходы, изложенные в нашем кратком обзоре.
                                                                        Андрей Геннадьевич Попов, доктор физико-матема-
                                                                        тических наук, профессор кафедры математики физи-
    ЛИТЕРАТУРА                                                          ческого факультета Московского государственного
1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.; Л.: ГИТТЛ,                университета им. М.В. Ломоносова. Лауреат премии
1947–1948. Т. 1. 512 с.; Т. 2. 407 с.                                   им. И.И. Шувалова. Область научных интересов – гео-
2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия:                  метрия Лобачевского, нелинейные уравнения матема-
Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.                         тической физики. Автор более 60 научных публикаций.




                                  П О П О В А . Г. П С Е В Д О С Ф Е Р И Ч Е С К И Е П О В Е Р Х Н О С Т И                              127



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика