Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Анализ размерностей

Голосов: 0

Не опираясь на сколько-нибудь серьезную математику, которая здесь не нужна, рассказано, что такое анализ размерностей и как его применять при решении задач. На конкретных примерах показано, что дает анализ размерностей при поиске физических закономерностей, его возможности и ограничения, а также его полезность при обработке и представлении теоретических и экспериментальных результатов.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                                            МАТЕМАТИКА

                                                         АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

                                                                              Г. А. ТИРСКИЙ
                     Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл.



                                                                                                    Анализ размерностей возник как результат естест-
                                                                                                венного распространения на физические явления по-
                            DIMENSION ANALYSIS                                                  нятий геометрического подобия, отношения и пропор-
                                                                                                ции, знакомых еще грекам. Так, Дж. Фурье (1768–1830)
                            G. A. TIRSKIY
                                                                                                упоминал, что греки знали размерности площади и
                                                                                                объема. Сам Фурье впервые установил, что существуют
                            Without founding on any serious mathematics,                        определенные основные единицы измерения, относи-
                            which is not necessary here, it have been                           тельно которых каждая физическая величина имеет оп-
                            explained what the dimension analysis is, and                       ределенные размерности, которые надо записывать как
                            how to use it. Giving the samples, profit this                      показатели степеней основных единиц измерения.
                            dimension analysis gives in the process of the                          Еще Г. Галилей (1564–1642) с помощью анализа
                                                                                                размерностей впервые пришел к выводу, что величина
                            physical regularities determination have been                       безопасной нагрузки на единицу объема обратно про-
                            shown, as well as its capability and restric-                       порциональна длине, и предвосхитил многие другие
                            tions. Also dimension analysis application for                      классические результаты в механике. Затем анализ раз-
                            the theoretical presentation and experimental                       мерностей применяли Э.Д. Мариотт (1620–1684) и И.
                                                                                                Ньютон (1643–1727). Дж.У. Рэлей (1842–1919) всегда
                            data processing have been observed.
                                                                                                ссылался на подобие и динамическое сходство. Позже
                                                                                                анализ размерностей с успехом использовали в разных
                            Не опираясь на сколько-нибудь серьезную                             областях науки.
                            математику , которая здесь не нужна, рас-                               Идеи, лежащие в основе анализа размерностей, по
                            сказано, что такое анализ размерностей и                            сути очевидны и просты и покоятся на физических за-
                            как его применять при решении задач. На                             конах (связи между физическими величинами), они не
                            конкретных примерах показано, что дает                              зависят от произвола в выборе основных единиц изме-
                                                                                                рения. Из этой идеи на основе простых рассуждений и
                            анализ размерностей при поиске физичес-                             применения простого математического аппарата мож-
                            ких закономерностей, его возможности и                              но вывести важное следствие: функции, выражающие
                            ограничения, а также его полезность при                             физические закономерности, должны обладать неко-
                            обработке и представлении теоретичес-                               торым фундаментальным свойством, которое в мате-
                                                                                                матике называется обобщенной однородностью или сим-
                            ких и экспериментальных результатов.
                                                                                                метрией. Это свойство позволяет записать искомые
                                                                                                закономерности в безразмерном виде, инвариантном
                                                                                                относительно выбора систем единиц измерения, с мень-
                                                                                                шим числом аргументов (уже безразмерных) и тем са-
                                                                                                мым упростить их (закономерностей) нахождение.
     © Тирский Г.А., 2001




                                                                                                      РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
                                                                                                Определение и задание различных физических вели-
                                                                                                чин (плотности, скорости, энергии, напряжений и т.д.)
                                                                                                и дальнейшее математическое оперирование с ними
                                                     www.issep.rssi.ru                          как с числами, векторами или тензорами связаны с ис-
                                                                                                пользованием определенных единиц измерения, выбор



82                                                С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1


                                          МАТЕМАТИКА
которых произволен и зависит от исследователя анало-               ных единиц измерения приняты сантиметр, грамм и
гично тому, как выбирается система координат, удоб-                секунда. Здесь мы считаем, что определения этих пер-
ная для исследования данной конкретной задачи.                     вичных единиц измерения известны из общего курса
    Единица измерения является мерой, с помощью                    физики (см. также [1]).
которой измеряется та или иная физическая величина.                     Производными в системе CGS являются см/с (ско-
Это измерение представляет собой прямое или косвен-                рость), г/см3 (плотность) и т.д.
ное сравнение физических характеристик с соответст-                     Другой системой единиц измерения является сис-
вующими (физически подобными) эталонами, приня-                    тема MKS, в которой в качестве основных приняты
тыми за единицу и называемыми единицей измерения.                  метр, килограмм-сила (кгс) и секунда. Здесь единица
Так, период полураспада сравнивается с единицей из-                силы (кгс) представляет собой силу, сообщающую мас-
мерения – годом, скорость самолета сравнивается с                  се, равной массе эталона килограмма, ускорение, рав-
единицей измерения скорости, равной скорости рав-                  ное 9,80 665 м/с2. С 1960 года употребляется также
номерного движения, в котором путь в один километр                 Международная система единиц СИ (System Interna-
проходится за время, равное одному часу.                           tional d’Unites), в которой основными единицами из-
    Величины, численные значения которых в рассмат-                мерения являются метр, килограмм-масса и секунда.
риваемых вопросах зависят от выбора единиц измере-                      Можно усмотреть, что системы единиц CGS и СИ
ния, называются размерными величинами. Например,                   принадлежат к одному и тому же классу систем, систе-
энергию можно измерять в килограммометрах, кало-                   ма MKS – к другому. Классом систем единиц измерения
риях, тоннах угля или килограммах урана, рублях и еще              называется совокупность систем единиц измерения,
во многих других единицах измерения.                               различающихся между собой только величиной, но не
    Единицы измерения физических величин подразде-                 физической природой) основных единиц измерения.
ляются на основные и производные. Величины, для кото-                   Таким образом, мы видим, что единицы измерения
рых единицы измерения вводятся из опыта с помощью                  не являются застывшей системой – всякий новый ус-
природных или искусственных эталонов, по условию                   пех в развитии техники измерений, равно как и откры-
называются первичными или основными. При этом сами                 тие новых явлений, может вести к переопределению
единицы измерения также называются первичными.                     основных единиц измерения [1]. Неоднократно пред-
Так, например, для изучения механических движений                  лагались другие системы, использование которых ока-
известными способами вводятся первичные, или ос-                   зывалось удобным для определенного круга задач. Так,
новные, единицы измерения, такие, как длина, время и               в астрономии удобно вводить единицу длины, называ-
масса, причем здесь имеется определенный произвол.                 емую астрономической единицей (а.е.), которая явля-
Так, для описания тех же механических явлений можно                ется внесистемной единицей длины и равна среднему
принять эталоны для силы, длины и времени.                         расстоянию от Земли до Солнца:
    Единицы измерения для других величин, которые                                 1 a.e. = 1,49 597 870 ⋅ 108 км (± 2 км).
получаются из определения этих величин через первич-                   Таким образом, не существует лучшей или основ-
ные, называются производными или вторичными. Опре-                 ной системы единиц измерения.
деление физической величины всегда указывает способ
                                                                       Выражение производной единицы измерения через
ее измерения, по крайней мере мысленный. Так, плот-
                                                                   основные единицы измерения называется ее размерно-
ность, согласно определению, представляет собой от-
                                                                   стью. Размерность выражает качественную сущность
ношение массы к величине заключающего ее объема.
                                                                   физической величины, измеренной с помощью данной
    В различных областях науки и техники выгодно и                 системы единиц измерения, и получается автоматиче-
удобно выбирать в качестве первичных единиц изме-                  ски из определения этой величины. Для обозначения
рения свои местные системы первичных единиц из-                    размерности физических величин вводят символы. В
мерения.                                                           системе CGS и СИ символы единиц измерения для ос-
    Системой единиц измерения называется совокуп-                  новных физических величин будут: L для единицы дли-
ность основных единиц измерения, достаточная для                   ны, T для единицы времени и M для единицы массы.
измерения параметров (характеристик) рассматривае-                 Размерность некоторой физической величины f при-
мого класса явлений. Возникли различные системы                    нято по предложению Максвелла обозначать через [ f ].
единиц измерения и как следствие – рутинная задача о               Важно подчеркнуть, что размерность определяется
переходе (пересчете) от одной системы к другой. Так,               классом систем единиц измерения и в разных классах
для измерения характеристик механических явлений                   систем измерения размерность одной и той же физиче-
до сих пор употребительна в теоретических исследова-               ской величины будет различна. Так, например, размер-
ниях система CGS. В этой системе в качестве первич-                ность силы F в классе LMT будет [F ] = MLT − 2, а в классе



                                     Т И Р С К И Й Г . А . А Н А Л И З РА З М Е Р Н О С Т Е Й                                   83


                                                             МАТЕМАТИКА
     MKS (LKT) она будет [F ] = K. Таким образом, в формуле                          Найдем теперь структуру функции f при предположе-
     (в функции) размерности для какой-либо величины ϕ,                              нии, что эта функция выражает собой некоторую физи-
                                                                                     ческую закономерность – закон, не зависящий от вы-
              [ϕ] = LαT βM γ         (в системе CGS),                      (1)
                                                                                     бора систем единиц измерения.
     аргументы L, T, M выступают как отвлеченные положи-                                 Разбиение аргументов на две группы в (2) сделано
     тельные числа, которые можно перемножать или делить.                            следующим образом: первые k величин a1 , а2 , …, ak (k
           Величины, численное значение которых одинако-                                n) имеют независимые размерности (число основ-
     во во всех системах единиц измерения внутри данного                             ных единиц измерения должно быть больше или равно
     класса, называются безразмерными, то есть для таких                             k, и среди механических величин обычно имеется не
     величин в (1) α = β = γ = 0. Очевидно, что размерность                          более трех с независимыми размерностями), а размер-
     безразмерной величины равна единице. Все остальные                              ности остальных параметров ak + 1 , ak + 2 , …, an зависимы
     величины называются размерными.                                                 от них, то есть выражаются в виде произведений степе-
           В приведенных выше примерах формула (функ-                                ней от размерностей параметров a1 , a2 , …, ak :
     ция) размерности физической величины представляла                                                                              αk + 1              γk + 1
     собой степенной одночлен (1). Естественно возникает                                                     [ ak + 1 ] = [ a1 ]             … [ ak ]
     вопрос: имеются ли физические величины, для кото-
     рых это не так, то есть их размерность, например в                                                                             αk + i              γk + i
     классе LTM, выражается в виде M sin L или lg T / e M ? В                                                 [ ak + i ] = [ a1 ]            … [ ak ]                           (3)
     действительности таких величин нет и размерность
     любой физической величины всегда представляет со-                                                                               αn                 γn
                                                                                                             [ an ]      = [ a1 ]            … [ ak ]
     бой степенной одночлен. Этот факт следует из просто-
     го и естественного, но на самом деле глубокого прин-                            Если размерности всех определяющих параметров не-
     ципа: все системы единиц измерения внутри данного                               зависимы, то k = n; если все определяющие параметры
     класса равноправны, то есть среди них нет избранных,                            безразмерны, то k = 0. Таким образом, 0 k n.
     чем-то выделенных систем. За неимением здесь места                                  Нетрудно показать от противного, опираясь на
     мы отсылаем читателя за доказательством этого факта                             предполагаемую зависимость (2), что размерность оп-
     к книге [2]. Поэтому если отказаться от принципа рав-                           ределяемой величины a должна обязательно выражать-
     ноправия всех систем единиц измерения внутри дан-                               ся через размерности определяющих параметров пер-
     ного класса, то формула (функция) размерности в виде                            вой группы a1 , a2 , …, ak :
     степенного одночлена (1) не будет иметь места.
                                                                                                                      [a] = [a1]α…[ak]γ.                                        (4)
           Говорят, что набор величин a1 , а2 , …, ak имеет неза-
     висимые размерности, если размерность ни одной из                                  Заменим теперь в (2) параметры с зависимыми раз-
     этих величин нельзя представить в виде произведения                             мерностями a, ak + 1 , …, an через безразмерные величи-
     степеней размерностей остальных величин. Например,                              ны Π, Πk + 1 , …, Πn , определив их выражениями
     размерности плотности [ρ] = ML− 3, ускорения [w] = LT − 2                                                  a                             ak + 1
     и силы [F ] = MLT − 2 независимы; размерности длины                                             Π = --------------- , Π k + 1 = --------------------------- , …
                                                                                                            α
                                                                                                                       -
                                                                                                                       γ                αk + 1           γ
                                                                                                                                                               -
                                                                                                         a 1 …a k                    a 1 …a k k + 1
     [l ] = L, скорости [υ] = LT −1 и ускорения [w] = LT − 2 за-                                                                                                                (5)
     висимы, так как между размерностями этих последних                                                               ak + i                             an
                                                                                                …, Π k + i = --------------------------, …, Π n = ------------------ .
                                                                                                                                                                   -
     величин имеет место соотношение [l ] ⋅ [w] = [υ2].                                                         αk + i
                                                                                                             a 1 …a k
                                                                                                                                 γk + i              αn
                                                                                                                                                  a 1 …a k n
                                                                                                                                                                  γ



         P-ТЕОРЕМА                                                                   Тогда вместо (2) с учетом (4) и (5) получим
     В конкретных теоретических и экспериментальных ис-                                                                    f ( a 1, …, a n )
                                                                                                                      Π = ---------------------------- =
                                                                                                                                    α          γ
                                                                                                                                                     -
     следованиях, как правило, проблема сводится к отыс-                                                                         a 1 …a k
     канию (одной или нескольких) предполагаемых зави-                                                                            α          γ                     α      γ
                                                                                                1
     симостей (функций) вида                                                           = ---------------- f ( a 1, a 2, …, a k, a 1 k + 1 …a k k + 1 Π k + 1, …, a 1 n …a k n Π n )
                                                                                            α
                                                                                                        -
                                                                                                        γ
                                                                                         a 1 …a k
                 a = f (a1 , a2 , …, ak , ak + 1 , …, an).                 (2)
                                                                                     или в других обозначениях
     Здесь a – определяемая физическая величина, которая
     в данном исследовании ищется, a1 , а2 , …, an – величи-                                          Π = F(a1 , a2 , …, ak , Πk + 1 , …, Πn).                                  (6)
     ны, от которых искомая величина a зависит, среди них                                 Теперь покажем, что функция F от параметров a1,
     одни могут быть постоянными в данном явлении, дру-                              a2 , …, ak на самом деле не зависит. Очевидно, значения
     гие – переменными; все они называются определяющи-                              величин Π, Πk + 1 , …, Πn вообще не зависят от выбора си-
     ми параметрами или аргументами искомой функции f.                               стем тех единиц измерения, через которые выражаются



84                                     С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1


                                                                          МАТЕМАТИКА
k размерно независимых величин a1 , a2 , …, ak . Далее                                           тить важные определяющие параметры и не включать в
можно показать почти очевидный факт [3], что всегда                                              этот список малосущественные параметры – вот что
можно перейти к такой системе единиц измерения в                                                 здесь главное. Само использование рецептуры анализа
данном классе, что любой из параметров с независи-                                               размерностей (Π-теоремы) просто.
мыми размерностями a1 , a2 , …, ak , например a1 , изме-
нится в произвольное число раз, а остальные размер-                                                    КОЛЕБАНИЯ
ные параметры a2 , a3 , …, ak останутся неизменными.                                                   МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
При таком переходе, как было сказано выше, останутся
неизменными также и безразмерные аргументы Πk + 1 , …                                            Математический маятник (рис. 1) представляет собой
…, Πn в функции (6) и ее значение Π. Но отсюда следует,                                          тяжелую материальную точку массы m, подвешенную
что функция F в действительности от аргумента a1 не                                              на невесомой и нерастяжимой нити длиной l, которая
зависит. Аналогично показывается, что она не зависит                                             закреплена другим своим концом неподвижно в точке O.
и от аргументов a2 , a3 , …, ak , поэтому вместо (6) будем                                       Попытаемся определить закон движения и, в частнос-
иметь                                                                                            ти, период малых колебаний маятника, отклоненного в
                                                                                                 начальный момент на угол ϕ0 и отпущенного из этого
                            Π = Φ(Πk + 1 , …, Πn),                                         (7)   положения с нулевой угловой скоростью. Очевидно,
а сама искомая зависимость (2) принимает вид                                                     закон движения и натяжение нити N будут функциями
              α    γ
( Π = f ⁄ ( a 1 …a k ) )                                                                         пяти аргументов:
                                                                                                        ϕ = ϕ(t, l, g, m, ϕ0),          N = mgf(t, l, g, m, ϕ0),   (9)
a = f ( a 1, …, a n ) = a 1 …a k Φ  ---------------------------- , …, -------------------  =
                          α    γ              ak + 1                           an
                                                                -                        -
                                    αk + 1                γk + 1         αn            γ 
                                     a 1 …a k                          a 1 …a k n                где ϕ и f – безразмерные функции. Ускорение силы тя-
                               α       γ                                                         жести g необходимо ввести в определяющие парамет-
                         = a 1 …a k Φ ( Π k + 1, …, Π n ).                                 (8)
                                                                                                 ры, так как оно определяет сущность явления. Из ана-
Иными словами, число аргументов в искомой зависимо-                                              лиза размерностей этих аргументов ([t] = T, [l] = L, [g] =
сти (2), записанной в безразмерном виде (7), сокращается                                         = LT −2, [m] = M, [ϕ0] = 1) следует, что среди них имеют-
на число, равное числу определяющих параметров с неза-                                           ся три величины с независимыми размерностями, то
висимыми размерностями. Этот общий вывод и состав-                                               есть k = 3. Тогда, согласно Π-теореме, можно составить
ляет главное содержание анализа размерностей, изве-                                              n − k = 5 − 3 = 2 независимые безразмерные комбина-
стное в научной литературе как Π-теорема. В нем,
собственно, и заключается источник полезных прило-                                               ции, которые возьмем в виде t g ⁄ l, ϕ 0 . Все другие без-
жений метода теории размерностей к исследованию                                                  размерные комбинации будут функциями этих двух
физических задач.                                                                                комбинаций. Итак, согласно Π-теореме, можно напи-
     Сделаем два дополнительных замечания к Π-тео-                                               сать существенно сокращенные зависимости
реме.
                                                                                                             ϕ = Φ  t --, ϕ 0 ,        N = mgF  t --, ϕ 0 ,
                                                                                                                       g                             g
     1. Анализ размерностей не дает в общем случае                                                                      -                             -
                                                                                                                    l                           l        
способа определения функции Φ в (7) или (8) от n − k
аргументов, которая в случае k = n превращается в кон-                                           где Φ и F – безразмерные функции от безразмерных ар-
станту. Для окончательного установления искомой за-                                              гументов. Выражение для ϕ показывает, что закон дви-
висимости (8) на этом этапе необходимо обращаться                                                жения маятника не зависит от массы груза, а натяже-
либо к эксперименту, либо к теории, решая соответст-                                             ние нити прямо пропорционально массе груза!
вующую математическую задачу.
     2. Основным и первоначальным этапом в поста-
новке задач является выбор модели и схематизация
                                                                                                                                    O
свойств искомого решения. Если задача сформулиро-
вана как математическая (имеются система уравнений,
                                                                                                                                        ϕ   l
начальные и краевые условия, дополнительные усло-
вия на искомое решение), то всегда легко выписать
полную таблицу аргументов в искомых функциях вида                                                                                               N
(2). Опыт показывает, что схематизация и отыскание
рациональной постановки задачи и указание сущест-
венных определяющих параметров представляют со-                                                                                                     mg
бой наибольшие из всех трудностей при применении
анализа размерностей для решения задач. Не пропус-                                                                  Рис. 1. Математический маятник




                                                                   Т И Р С К И Й Г . А . А Н А Л И З РА З М Е Р Н О С Т Е Й                                              85


                                                          МАТЕМАТИКА
         Для окончательного определения функций Φ и F,                                                                         Ударная волна
     зависящих уже только от двух безразмерных парамет-
     ров, анализ размерностей никаких рецептов не дает. Из                                                      Точка
                                                                                                               взрыва
     опыта известно, что при малых колебаниях маятник                                                                                                Покой
     совершает почти периодические колебания. В этом
                                                                                                             Движение
     случае период колебаний T будем находить из условия
                                                                                                                              S

                       ϕ 0 = Φ  T --, ϕ 0 ,
                                   g
                                    -                                  (10)
                                   l                                                  Рис. 2. Распространение сферической ударной
                                                                                        волны от точечного взрыва
     то есть за время T маятник возвращается в начальное
     положение ϕ0 . Разрешая уравнение (10) относительно                              Попытаемся найти закон распространения удар-
     первого аргумента, получим                                                   ной волны R = R(t) (R – расстояние фронта ударной
                                                                                  волны от центра взрыва, t – время). Очевидно, что ос-
                                    l
                            T=     -- ψ ( ϕ 0 ),
                                    -                                             новными определяющими параметрами в этой задаче
                                   g
                                                                                  будут: E = a1 , начальная плотность невозмущенного
     где ψ(ϕ0) – неизвестная функция. Далее из соображе-                          воздуха ρ = a3 и t = a2 . Мы сознательно упрощаем по-
     ний симметрии (явление не зависит от правого или ле-                         становку задачи, сокращая число определяющих пара-
     вого начального отклонения маятника на угол ϕ0) сле-                         метров задачи, надеясь на то, что физические свойства
     дует, что ψ(ϕ0) = ψ(−ϕ0), то есть функция ψ четная. При                      воздуха не будут играть решающей роли. Тогда число
     малых ϕ0 функцию ψ можно разложить в ряд                                     определяющих параметров будет n = 3. Размерности
                                                                                  этих параметров в классе LMT
         ψ(ϕ0) = C 1 + C 2 ϕ 0 + C 3 ϕ 0 + … = C 1 + C 3 ϕ 0 + …
                                     2                       2

                                                                                          [E] = L2MT −2,             [t] = T,                      [ρ] = ML−3,   (12)
     Здесь принято C2 = 0 в силу четности функции ψ. Для
     малых колебаний члены со степенями ϕ 0 и выше мож-
                                            2                                     и они, как легко заметить, все независимы, так что k = 3
     но опустить, и тогда для периода малых колебаний по-                         и n − k = 3 − 3 = 0. Поэтому функция Φ в (7) в данном
     лучим формулу (ψ(ϕ0) = C1)                                                   случае не будет зависеть ни от одного размерного аргу-
                                                                                  мента – она будет постоянной: Φ = C = const. Размер-
                                     l                                            ность определяемой величины R = a выражается через
                            T = C 1 -- .
                                     -                                 (11)
                                    g                                             степени размерностей определяющих параметров, как
                                                                                  нетрудно убедиться, в следующем виде:
     Таким образом, для малых колебаний маятника с по-
     мощью анализа размерностей и приведенных выше                                                         [R] = [E]1/5[t]2/5[ρ]−1/5,
     дополнительных рассуждений формула для периода                               и, стало быть, искомая зависимость запишется так:
     колебаний определяется с точностью до постоянного
                                                                                                                               1⁄5
     множителя. Далее из простого опыта с использованием
                                                                                                          R ( t ) = C  -- 
                                                                                                                        E                2⁄5
                                                                                                                         -           t         .                 (13)
     часов или математического решения этой задачи мож-                                                                ρ
     но получить значение константы C1 = 2π. Конечно, из
     опыта получаем не 2π, но близкое к нему значение.                            Соответственно скорость распространения сферичес-
     Формула (11) справедлива для маятников любой длины                           кой взрывной ударной волны будет
     l и в любом поле силы тяжести (на любой планете).
                                                                                              d R 2 E 1 ⁄ 5 –3 ⁄ 5 2 5 ⁄ 2  E 1 ⁄ 2 1
                                                                                          υ = ------ = -- C  --  t
                                                                                                        -      -     = -- C
                                                                                                                        -     --
                                                                                                                               -     --------- .
                                                                                                                                             -                   (14)
                                                                                               dt      5  ρ          5     ρ
                                                                                                                                         R
                                                                                                                                             3
        ЗАДАЧА О ТОЧЕЧНОМ ВЗРЫВЕ
     При атомном взрыве происходит быстрое (можно ска-                            Постоянную C можно найти или решая численно соот-
     зать, мгновенное) выделение значительной энергии E в                         ветствующую газодинамическую (математическую) за-
     малой области (можно сказать, в точке). Опыт и теория                        дачу о сильном взрыве [2], или провести эксперимент с
     показывают, что в области взрыва возникает сильная                           замером функции R = R(t) в разные моменты времени
     сферическая ударная волна (рис. 2), отделяющая окру-                         при известной энергии заряда E и плотности ρ. Для это-
     жающую невозмущенную атмосферу от движущегося                                го достаточно одного-единственного эксперимента,
     за ударной волной раскаленного газа. Давление за                             например произвести искровой электрический разряд
     фронтом ударной волны на начальной стадии взрыва                             в воздухе с известной вложенной в разряд энергией E.
     во много тысяч раз больше, чем начальное давление                            Этот модельный и сравнительно дешевый эксперимент
     воздуха, влиянием которого на процесс распростране-                          позволяет затем уже с известной константой C опреде-
     ния ударной волны можно пренебречь.                                          лить закон распространения ударной волны от взрыва



86                                  С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1


                                                      МАТЕМАТИКА
атомной бомбы с любой энергией E на любой высоте,                                                 11
то есть с любой плотностью ρ.
    Формула (13) показывает, что если измерить радиус
ударной волны в разные моменты времени, то в лога-                                                10
рифмических координатах lgt, (5/2)lgR эксперимен-




                                                                                                lg R
тальные точки должны лечь на прямую




                                                                                              5
                                                                                              2
                                                                                                   9
               5         5         1 E
               -- lg R = -- lg C + -- lg -- + lg t,
                -         -         - -
               2         2         2 ρ                                                                                          1
                                                                                                                                2
имеющую наклон в 45° к оси lgt (рис. 3). Это подтвер-                                              8
дил Дж.И. Тейлор (известный механик из Великобри-
тании), обработавший кинофильм о распространении                                                    –4     –3           –2          –1
огненного шара, снятый Дж. Маком во время первого                                                                lg t
американского ядерного взрыва атомной бомбы в
                                                                                    Рис. 3. Сравнение теоретического (1) и экспери-
Нью-Мехико (1945 год), кадры которого стали доступ-                                 ментального (2) закона распространения сфериче-
ны Тейлору в 1947 году. Решение соответствующей за-                                 ской ударной волны от точечного взрыва в зависи-
дачи газовой динамики показало, что значение посто-                                 мости от времени
янной C в (13) близко к единице. Зная это, по снятым с
кинофильма точкам зависимости R = R(t) (точки 2 на                            определяющих параметров с независимыми размернос-
рис. 3) можно по отрезку, отсекаемому на оси ординат,                         тями. Тем самым упрощается нахождение искомой за-
определить энергию взрыва. Публикация Дж.И. Тейло-                            висимости, выражающей физическую закономерность.
ром этой величины [4], оказавшейся равной примерно
7,14 ⋅ 1020 эрг, вызвала в свое время, по его словам, не-                           ЛИТЕРАТУРА
малое смущение в американских правительственных                               1. Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерения:
кругах, так как эта цифра считалась строго секретной,                         Пер. с нем. М.: Мир, 1980.
хотя фильм Дж. Мака секретным не был.                                         2. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. М.:
                                                                              Наука, 1972.
                                                                              3. Биркгоф Г. Гидродинамика: Пер. с нем. М.: Изд-во иностр.
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                лит., 1963. 244 с.
Методы исследования различных задач механики, фи-                             4. Taylor G. // Proc. Royal Soc. 1950. Vol. 201, № 1065. P. 159–186.
зики, астрофизики [5], геофизики, природных и эколо-                          5. Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике. М.: Мир, 1975.
гических явлений, основанные на применении анализа
размерностей и подобия, просты и доступны школьни-                                          Рецензент статьи Ю.Г. Мартыненко
кам старших классов и поэтому могут быть включены
                                                                                                             ***
в школьную программу по физике. При применении
анализа размерностей и подобия трудность лежит сов-                           Григорий Александрович Тирский, доктор физико-ма-
сем не в использовании простой рецептуры получения                            тематических наук, профессор кафедры вычислитель-
                                                                              ной математики Московского физико-технического
закономерностей физических явлений в наиболее про-
                                                                              института, научный руководитель аспирантуры МФТИ,
стой и наглядной форме, а в схематизации явления с                            зав. лабораторией физико-химической газодинамики
выделением основных (главных) определяющих пара-                              Института механики МГУ, заслуженный деятель науки
метров задачи, вытекающих или из математической                               РФ, действительный член Российской академии есте-
постановки задачи, если таковая имеется в виде соот-                          ственных наук, член Нью-Йоркской академии наук и
ветствующих дифференциальных уравнений с началь-                              ряда отечественных и зарубежных научных обществ.
ными и краевыми условиями, или из проникновения                               Лауреат премии М.В. Ломоносова МГУ, лауреат пер-
(интуиции) в механизм изучаемого явления, если оно                            вой премии Минвуза СССР, премии МАИК “Наука” за
не сформулировано по каким-то причинам в виде мате-                           лучшую публикацию года в ее изданиях. Награжден
матической задачи. Здесь важно не пропустить основ-                           золотой медалью им. С.А.Чаплыгина РАН за выдаю-
ные определяющие параметры и не усложнить задачу                              щиеся теоретические работы по механике, памятной
                                                                              медалью им. П.Л. Капицы “Автор научного открытия”.
добавлением заведомо несущественных параметров.
                                                                              Член редколлегии журнала “Прикладная математика и
Тогда результат дается выражением (7) в виде зависи-                          механика”. Область основных научных интересов –
мости определяемой (искомой) безразмерной величины                            физико-химическая газодинамика, теория гиперзву-
Π от определяющих безразмерных аргументов Πk + 1 , …                          ковых течений, кинетическая теория газов, вычисли-
…, Πn , число которых меньше числа определяющих                               тельная гидродинамика. Автор более 270 научных ста-
размерных параметров n на величину k, равную числу                            тей, двух монографий, двух изобретений.



                                                Т И Р С К И Й Г . А . А Н А Л И З РА З М Е Р Н О С Т Е Й                                             87



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика