Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Усталостная долговечность и повреждаемость авиационных конструкций

Голосов: 0

В учебном пособии приведены результаты исследований в области расчетов долговечности авиационных конструкций при циклическом нагружении на основе методов схематизации переменной нагруженности, моделирования накопления повреждений в материале, стабилизации рассеяния свойств материалов путем оптимизации статистических моделей, обоснования вероятностных распределений показателей надежности, обработки цензурированных выборок, возникающих при целевых осмотрах самолетов. Приведены методы моделирования вертикальных перегрузок, возникающих в опасных зонах планера самолета, расчета повреждаемости и эквивалентной наработки в этих зонах, статистического анализа разброса усталостных свойств авиационных материалов по данным испытаний конструктивно-подобных образцов, поддержания жизненного цикла изделий авиационной техники. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров, магистров и специалистов «Авиастроение», «Машиностроение», «Прикладная механика», «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», «Испытание летательных аппаратов».

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     22 
Таблица 3.2.1.  Результаты  первичной  статистической  обработки  усталостных  испытаний 
гладких =1,00 и  надрезанных  образцов  титанового  сплава  ВТ3-1  и  алюминиевого 
сплава  В-95  (n –объем  испытаний, Xbart –наблюденное  значение  критерия  Бартлета, Xcrit – 
критическое  значение  критерия  Бартлета  для  уровня  значимости  5%, B,  - оценки 
параметров уравнения (1),  - теоретический коэффициент концентрации напряжений 
 
ВТ3-1 =1,00 B=0,0061  Xbart=5,7168 Xcrit=7,81473 
, МПа n     
550 9 4,94722 0,2573378 0,0938316 0,00691 
500 18 5,82606 0,725101 0,0751806 0,01283 
450 18 6,44956 0,7535213 0,0645626 0,011045 
400 7 6,80786 0,4971188 0,058697 0,0063927 
ВТ3-1 =1,40 B=0,00387  Xbart=5,7799 Xcrit=9,487 
, МПа n     
550 5 4,321 0,2047926 0,07924 0,0070208 
450 10 4,9875 0,2744203 0,06188 0,00568628 
400 10 5,7729 0,6899471 0,04928 0,0109713 
350 14 6,72457 0,5452152 0,0372 0,005834 
310 13 7,09254 0,8663253 0,0346 0,0081198 
ВТ3-1 =1,90 B=0,0001714  Xbart=0,595 Xcrit=5,991 
, МПа n     
295 5 4,6362 0,0774577 0,0090318 0,00047215 
270 11 5,16218 0,1633963 0,00652103 0,00061701 
215 11 6,73773 0,3829018 0,00291507 0,000498337 
ВТ3-1 =2,36 B=0,0003908  Xbart=5,4769 Xcrit=7,81473 
, МПа n     
400 5 4,199 0,0904516 0,0128553 0,000805228 
300 10 5,3127 0,5706649 0,00661844 0,001728022 
250 11 5,55418 0,4559256 0,0057117 0,00155849 
200 11 6,87473 0,665394 0,00302821 0,000904369 
В95 =1,00 B=0,0003893  Xbart=1,471 Xcrit=9,4877 
, МПа n     
330 20 4,5284016 0,1088599 0,01652 0,00106915 
285 20 5,1295155 0,1566086 0,0117931 0,000995192 
254 26 5,6039029 0,2449625 0,00931514 0,00108241 
228 25 6,254768 0,3894526 0,00698222 0,001235696 
210 12 7,0079183 0,5106482 0,00556295 0,000995699 
      483,2 a Nlg Nslg 1lgNy ys  735,2 a Nlg Nslg 1lgNy ys  07,4 a Nlg Nslg 1lgNy ys  036,4 a Nlg Nslg 1lgNy ys  718,3 a Nlg Nslg 1lgNy ys  

 23 
В  этом  случае  эмпирические  дисперсии  функций  долговечности, 
вычисленные для каждого уровня амплитуд напряжений, объединяются в общую оценку 
                                                           (3.2.7) 
 
Преобразование (3.2.4), приводящее к стабилизации весовой функции, особенно полезно в 
дальнейшем статистическом анализе для оценки параметров  уравнения кривой усталости. 
Рассмотрим кривую усталости следующего вида: 
,                                          (3.2.8) 
где C и D,  подлежащие  оценке  параметры  уравнения  кривой  усталости,  в  то  время  как 
показатель  степени  уравнения  кривой  усталости  определяется  по  предварительной 
независимой оценке (3.2.4). 
Приведем уравнение (3.2.8) к обычному виду линии регрессии: 
  ,                                                    (3.2.9) 
где 
.                                 (3.2.10) 
Оценки  параметров  регрессионного  уравнения  (3.2.9)  определяются  минимизацией 
суммы квадратов: 
 
                     (3.2.11) 
 
                                (3.2.12) 
                                       (3.2.13) 
,                                                 (3.2.14) 
                                                (3.2.15) 
                                                     (3.2.16) 
 
 
Линейность  модели  (3.2.9)  проверяется  после  расчета  всех  оценок  на  основании -
критерия [29] вычислением дисперсионного отношения: Nlg mn
nS
sm
jj
m
jjNj







1
1
2)(lg21
)1(
 1lgNDCfa 1 xxbay 1lg,)(Nyfxa ba
, ,
1
2
1
2

m
jjjj
m
jjjjxxbaynyynQ
 

,10
1
2
1








m
jjj
m
jjjjj
xxn
xyyn
Dbb
Q

 ,0
1
1







m
jj
m
jjj
n
yn
aa
Q ,DaxC

 ,
1
1





m
jj
m
jjj
n
xn
x ,1
j
n
iij
jn
y
y
j
 .lg1ijijNy F  

 24 
 
 ,                                                         (3.2.17) 
где 
                                       (3.2.18) 
 
дисперсия вокруг эмпирической линии регрессии, 
 
                                             (3.2.19) 
 
внутрисистемная  дисперсия, - оценки  условных  дисперсий  величины  на  данном 
уровне .  Гипотеза  о  линейности  модели  принимается,  если  расчетное  значение  (3.2.17) 
не  превышает  критического,  вычисленного  для  уровня  значимости  и  чисел  степеней 
свободы : 
 ,                                               (3.2.20) 
где  - суммарный  объем  испытаний  по  всем  уровням  амплитуд  напряжений  циклов.  В 
этом случае дисперсии объединяются в общую оценку: 
 
   .                                          (3.2.21) 
При  построении  доверительных  интервалов  для  параметров  и  в  целом  доверительной 
области  кривой  усталости  оценка  дисперсии  играет  важную  роль.  В  соответствии  с 
теорией  линейной  регрессии  [29]  при  предположительно  нормальном  законе 
распределения  зависимой  случайной  величины  на  каждом  уровне 
независимой  случайной  величины ,  что  в  нашем  случае  подтверждается 
экспериментальными  данными,  а  также  физической  природой  логарифмически 
нормального  закона  распределения,  верхние  (l)    и  нижние  (u)  доверительные  интервалы 
имеют следующий вид [29]: 
                                       (3.2.22) 
 
                                      (3.2.23) 
 
где  дисперсии  оценок  параметров  и  линии  регрессии  (3.2.9)  определяются  в 
соответствии  с  методом  максимального  правдоподобия  обращением  информационной 
матрицы вторых производных: 
 
,                                                (3.2.24) 21
22
s
sF 
2
1
2
22



m
xxbayn
s
m
jjjj
 mn
nS
s
m
jjNj



1
2)(lg21
)1(
 2)(lgjNS
 y x  2,21mfmnf ),(21ffFF n 21
22212120ˆff
fsfs

 20 1lgNy x ,25,0,1,aDntaaul
 ,25,0
,1,bDntbbul

 a b
 1
2
22
2
2
2
20










b
Q
ab
Q
ba
Q
a
Q

  

 25 
 .                                 (3.2.25) 
При этом, в соответствии с методом максимального правдоподобия оценки параметров  
и  оказываются  статистически  независимыми  () для  случая записи 
уравнения линии регрессии в виде (3.2.9), так как 
. 
Поэтому дисперсии оценок параметров  и  имеют следующий вид: 
 ,                                          (3.2.26) 
 ,                         (3.2.27) 
где  - общий объем испытаний, 
 - квантиль  уровня  или  распределения  Стьюдента  с  
степенями свободы, 
,  - уровень доверительной вероятности. Обычно =0,9 или 0,95 [29]. 
Тогда доверительный интервал для  имеет следующий вид: 
                                      (3.2.28) 
или 
              (3.2.29) 
или 
          (3.2.30) 
При  анализе  больших  объемов  усталостных  испытаний  часто  возникает  задача 
статистического  обоснования  квантильных  кривых  усталости  или  кривых  усталости 
равной  вероятности  разрушения  [8,13,29,46],  представляющих  собой  с  математической 
точки  зрения  кривые,  отличающиеся  от  исходной  медианной  (=0,5)  кривой  усталости 
(3.2.8) на величину приращения квантиля случайной величины y для заданного уровня x: 
                                              (3.2.31) 
где  -медианная оценка y (3.2.16). 
Необходимо  отметить,  что  в  условиях  предлагаемой  модели  стабилизации 
дисперсии  второе  слагаемое  в  уравнении  (3.2.31)  будет  постоянным,  то  есть  не 
зависящим  от  уровня x,  в  отличие  от  стандартного  регрессионного  анализа. Таким 
образом,  для  оценки  параметров  квантильных  кривых  усталости  в  уравнениях  (3.2.12)-( 
3.2.14)  необходимо  вместо  подставить  оценку ,  вычисленную  по  уравнению 
(3.2.31).  Однако  дисперсия  оценки  квантиля  существенно  больше  дисперсии  оценки 
среднего. Приближенно эта дисперсия может быть вычислена в соответствии с теоремой о 
дисперсии функции случайных величин: 



m
jjj
m
jjxxn
b
Qna
Q
1
2
2
2
12
2
, a b
 01,22,1 0
22



ab
Q
ba
Q
 a b nn
aDm
jj
20
1
201,1


 




m
jjj
m
jjjxxnxxn
bD
1
2
20
1
2
202,2

 

m
jjnn
1 2,1nt  1 2nf  1  y ,,25,0,1,yDntyyul
 ,25,02,1,xxbDaDntxxbayul

 

,12
5,0
1
2
2
0,1,















m
jjj
ul
xxn
xx
nntxxbay p ,0pjpzyyj jy 20 jy jpy  

 26 
 
 ,                        (3.2.32) 
 
Поэтому  в уравнениях  (3.2.12)-( 3.2.16)  вместо  величины  следует  подставлять 
некоторый  эквивалентный  объем  испытаний,  меньший  реального  объема  испытаний 
реализованного при оценке медианной кривой усталости: 
 ,                                             (3.2.33) 
После  подстановки  этих  двух  новых  оценок  и  нетрудно  по  тем  же 
формулам  получить  оценки  параметров  квантильных  кривых  усталости. В 
этом  случае  с  учетом  разработанной  модели  стабилизация  дисперсии  в  весовой  функции 
можно  определить  точное  распределение  квантиля  случайной  величины ,  то  есть 
построить доверительные интервалы для квантиля: 
  (3.2.34) 
где  - квантиль уровня  или  нецентрального распределения Стьюдента с 
 степенями свободы и параметром нецентральности , 
 
,                                         (3.2.35) 
 
 - квантиль нормированного нормального распределения уровня . 
Для  приближенной  оценки  квантиля  нецентрального  распределения  Стьюдента,  а 
также  для  доказательства  справедливости  уравнения  (3.2.34)  рассмотрим  случайную 
величину ,  как  имеющую  приближенное  нормальное 
распределение с математическим ожиданием: 
, 
 






121
22002
j
jp
jpjpn
nz
nDzyDyDj

 jn 








121
2
j
jp
jeqj
n
nz
nn jpy eqjn ppppDCba
,,, y 


,1,2)(
5,0
1
2
2
05,0
0',1,




















m
jjj
pul
xxn
xx
nyD
zntxxbapy

 ,'1,ft  1 2nf  


5,0
1
2
2
5,00
1
















m
jjj
pp
xxn
n
xx
nz
yD
z pz p 5,0,)(yDtypyul
  

















5,0
1
2
20'1m
jjjp
xxn
n
xx
n
tyMyM  

 27 
 
                          (3.2.36) 
и дисперсией: 
 
,                  (3.2.37) 
где  - квантиль распределения; 
- дисперсия условного среднего квадратического отклонения: 
,                                         (3.2.38) 
   .                                   (3.2.39) 
 
Вероятность  того, что  приводит к следующему приближенному уравнению: 
,                         (3.2.40) 
из  которого,  во-первых,  в  точности  следует  модель  нецентрального  распределения 
Стьюдента  (3.2.34),  во-вторых,  после  преобразований  можно  определить  приближенное 
значение ,  соответствующее  числу  степеней  свободы ,  параметру 
нецентральности  
 
и доверительной вероятности : 

















5,0
1
2
20'01m
jjjp
xxn
n
xx
n
tyMzyM 

5,0
1
2
20'01















m
jjjp
xxn
n
xx
n
tz 

0
1
2
22'
1D
xxn
n
xx
n
tyDDm
jjj















 0ppzyMy 0D 222
20200nfD
 















m
jjjxxn
n
xx
nyD
1
2
2201  0P 






















221
1
2'
'5,0
1
2
2
n
t
t
xxn
n
xx
nz
D
Mz
m
jjj
p


 't 2nf 

5,0
1
2
2
1
















m
jjj
p
xxn
n
xx
nz   

 28 
.                   (3.2.41) 
 В  формуле  (3.2.41)  учтены  поправки  на  смещение  оценок,  имеющие  место  при 
прямых  наблюдениях. Доверительные  границы  (3.2.28)-( 3.2.30)  для  медианной  кривой 
усталости получают из (3.2.34), как частный случай при . 
Остановимся  на  преобразовании  функции  амплитуды  напряжения  цикла . 
Наилучшим преобразованием, по–видимому, для этой функции является следующее: 
 ,                                                  (3.2.42) 
так как приближенная дисперсия такой функции равна: 
 ,                           (3.2.43) 
где  - коэффициент вариации предела выносливости. 
Коэффициент  вариации  предела  выносливости  может  быть  в  первом  приближении 
принят  независимым  от  величины  долговечности  и  даже,  при  отсутствии  опытных 
данных, заменен оценкой коэффициента вариации временного сопротивления. Для легких 
сплавов это подтверждается по результатам массовых усталостных испытаний [8]. Однако 
нет  никаких  существенных  причин  отвергать  и  другие  варианты  преобразования . 
Например . В этом случае уравнения кривых усталости будут иметь следующий 
вид: 
,                                               (3.2.44) 
или 
  .                                               (3.2.45) 
В  вышеприведенных  уравнениях, в  качестве  независимой  случайной  величины 
следует  подставлять  или . Таким  образом,  в  уравнениях  кривых 
усталости  (3.2.44),  (3.2.45)  подлежат  оценке, в  соответствии  с  разработанной  выше 
методикой, лишь  два  параметра C и D,  в  то  время  как  оценка  показателя  степени  производится  независимо  по  уравнению  (3.2.1).  Это  позволяет,  прежде  всего,  повысить 
точность  определения  расчетных  характеристик  долговечности  и  предела  выносливости 
по  кривой  усталости,  а  также  существенно  сократить  объем  потребных  для  достижения 
заданной точности длительных и дорогостоящих усталостных испытаний. 
В  соответствии  с  описанной  методикой  точечной  и  доверительной  оценки 
характеристик  сопротивления  усталостному  разрушению,  в  таблице 3.2.2  представлены 
результаты статистической обработки усталостных испытаний титановых и алюминиевых 
сплавов  (первичная  обработка  представлена  в  таблице 3.2.1).  В  таблице 3.2.2  приняты 
следующие обозначения: 
- заданные (базовые) долговечности; 
- пределы выносливости, определенные по кривым усталости (см. уравнение (3.2.44)); 
,- оценки параметров кривых усталости (см. уравнения (3.2.12), (3.2.14)); 
- оценка среднего квадратического отклонения (3.2.21); 
- нижняя  95%  доверительная  граница  для  медианы  логарифма  базовой 
долговечности (3.2.30); 
- квантиль уровня p=0,01 логарифма базовой долговечности (3.2.31); 
f
z
f
ff
z
fzfnft
























24
11
224
114
11
2,22
222
1,
'1,


 0,5,0p af aaflg 2222
2
2lg)1(aaaaSkSd
dfS
aaf


 a af aaf 1lglgNDCa 1lgNDCa axlg ax  бN 1 C
 D 0 )5,0(lglN )01,0(lgN  

 29 
-нижняя  95%  доверительная  граница  для  квантиля  уровня p=0,01  медианы 
логарифма базовой долговечности (3.2.34); 
-верхняя  95%  доверительная  граница  для  квантиля  уровня p=0,01  медианы 
логарифма базовой долговечности (3.2.34). 
Как видно из таблицы 3.2.2, достаточно стабильным оказывается значение параметра C (в 
пределах  2,2 -2,39),  что  связано  с  незначительной  вариацией  логарифма  амплитуды 
напряжения цикла, а также показателя степени  кривой  усталости (в  пределах 
1,48-3,07).  В  то  же  время, наблюдается  достаточно  широкий  диапазон  доверительных 
оценок для долговечности (иногда на два порядка по долговечности), что связано, прежде 
всего,  с  высоким  рассеяниям  усталостных  свойств  исследуемых  материалов,  тем 
большим,  чем  ниже  уровень  амплитуд  переменных  напряжений.  В  качестве  иллюстрации 
этого на рисунке 3.2.2 приведены кривые усталости образцов сплава ВТ3-1 и нижняя 95% 
доверительная  граница  квантиля  уровня p=0,01  для нее.  Там  же  отмечены 
экспериментальные  данные  долговечностей  до  разрушения.  Необходимо  отметить,  что 
при  обосновании  расчетных  характеристик  долговечности  и  пределов  выносливости,  в 
расчет  необходимо  закладывать  именно  эти  нижние  толерантные  границы  для 
обеспечения  гарантированного  ресурса  элементов  конструкций  авиационной  и  ракетной 
техники.  При  этом  методика  расчета  указанных  характеристик  для  образцов, 
конструктивных  элементов  или  натурных  деталей  не  изменится,  меняется,  как  правило,  в 
силу  особенностей отработки  элементов  конструкций  авиационной  техники,  лишь  объем 
испытанных  объектов.  Очевидно,  что  от  объема  испытаний  также  существенно  зависит 
точность  определения  и  ширина  доверительных  интервалов  расчетных  характеристик 
долговечности и пределов выносливости. 
  )01,0(lglN )01,0(lguN )1(  

 30 
Таблица 3.2.2. Статистическая обработка результатов усталостных испытаний при 
построении кривых усталости 
 
ВТ3-1 =1,00 =2,39066 =3,95223 =-1,48265 =0,0111 
 , МПа     
105 567,7623 4,81376 4,23162 4,05313 4,38495 
106 465,65492 5,8525 4,85749 4,66297 5,00922 
107 408,68226 6,62501 5,41753 5,112 5,68457 
5●107 382,23973 7,09015 5,77336 5,36455 6,16135 
ВТ3-1 =1,40 =2,32245 =5,44379 =-1,73546 =0,00803731 
 , МПа     
105 452,66546 4,88199 4,28828 4,14841 4,40007 
106 367,59183 5,85676 4,90426 4,7203 5,04818 
107 322,36459 6,71165 5,44281 5,18041 5,6612 
5●107 302,02565 7,26036 5,77751 5,45024 6,06336 
ВТ3-1 =1,90 =2,26397 =24,32677 =-3,06958 =0,0006432 
 , МПа     
105 274,1382 4,94234 4,69995 4,60486 4,76423 
106 230,88552 5,88558 5,42016 5,2556 5,53477 
107 211,79534 6,71644 6,02138 5,75055 6,23291 
5●107 204,279 7,2419 6,37224 6,02036 6,66701 
ВТ3-1 =2,36 =2,20978 =34,01751 =-3,036 =0,0015834 
 , МПа     
105 292,81866 4,89743 4,38657 4,25521 4,4848 
106 227,73451 5,78178 4,90062 4,69745 5,06045 
107 200,5602 6,50422 5,2791 4,98853 5,531 
5●107 190,12526 6,93435 5,47869 5,13174 5,79688 
В95 =1,00 =2,22901 =18,20882 =-2,7185 =0,00116074 
 , МПа     
105 287,1866 4,96725 4,65496 4,60944 4,69326 
106 233,67123 5,9426 5,36965 5,29539 5,4325 
107 209,32262 6,85979 5,97833 5,85492 6,08838 
5●107 199,47394 7,47202 6,34242 6,17934 6,4927 
 
  C
 D 1 0 бN 1 )5,0(lglN )01,0(lgN )01,0(lglN )01,0(lguN  C
 D 1 0 бN 1 )5,0(lglN )01,0(lgN )01,0(lglN )01,0(lguN  C
 D 1 0 бN 1 )5,0(lglN )01,0(lgN )01,0(lglN )01,0(lguN  C
 D 1 0 бN 1 )5,0(lglN )01,0(lgN )01,0(lglN )01,0(lguN  C
 D 1 0 бN 1 )5,0(lglN )01,0(lgN )01,0(lglN )01,0(lguN  

 31 
 
 
Рис. 3.2.2. Кривая усталости (1) образцов сплава ВТ3-1 с =2,36 и 95% нижняя 
доверительная граница (2) уровня p=0,01 
 
Таким  образом, методика  функционального  преобразования  долговечности  при 
статистическом  анализе  усталостных  испытаний позволяет стабилизировать 
характеристики  рассеяния  усталостных  свойств  в  связи  с  вариацией  долговечности,  что 
особенно актуально при экстраполяции в область больших долговечностей и обосновании 
доверительных  областей  для  долговечности  и пределов  выносливости. Методика 
инвриантна к  типу  испытываемых  объектов,  позволяет  повысить  точность  определения 
расчетных характеристик долговечности и предела выносливости, существенно сократить 
объем  потребных  для  достижения  заданной  точности  усталостных  испытаний,  а, 
следовательно, снизить их длительность и стоимость. 
 
3.3. Алгоритмы точного распределения коэффициента вариации в задачах 
статистического анализа испытаний 
 
 Коэффициент вариации, в задачах обработки наблюдений используется для оценки 
однородности  выборок,  сравнения  разброса  случайных  параметров,  имеющих  различные 
размерности,  исследования  регрессионных  зависимостей,  характеризующихся 
изменениями  выборочных  дисперсий  в  связи  с  вариациями  факторов  эксперимента  и  во 
многих других задачах. 
 При  испытаниях  по  определению  характеристик  механических  свойств 
материалов, коэффициент вариации вычисляется с целью оценки колебаний технологии в 
производственном  процессе  или  сравнения  технологических  процессов  производства 
материалов  и  полуфабрикатов  разных  предприятий.  Основными  характеристиками 
механических  свойств,  определяемыми  в  результате  прямых  статических  испытаний, 
являются  предел  текучести,  временное  сопротивление,  модуль  упругости,  относительное 
остаточное  удлинение,  относительное  сужение  площади  поперечного  сечения  и  другие 
[29,46]. 
 В  задачах  исследования  характеристик  сопротивления  усталостному  разрушению 
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
3,004,005,006,007,008,00
σa,МПа 
LgN 
2 1   


    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика