Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Сколько суток в году, или как устроен календарь

Голосов: 4

В статье содержится описание основных характеристик движения Земли вокруг Солнца и ее вращения около своей оси, а также связанные с этим проблемы календаря.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                                       МАТЕМАТИКА

                                             СКОЛЬКО СУТОК В ГОДУ,
                                           ИЛИ КАК УСТРОЕН КАЛЕНДАРЬ

                                                                       Ш. И. ЦЫГАНОВ
                                                    Башкирский государственный университет, Уфа



                                                                                                                 Все расскажем про восход и про закат…
                       HOW MANY DAYS IN A YEAR                                                                                              Рок-группа ДДТ

                       Sh. I. TSYGANOV                                                        Что написано на листке календаря? Число, месяц,
                                                                                          год. Все? Нет, еще время восхода и захода Солнца, дол-
                       The main parameters of Earth’s motion and                          гота дня. Откроем 22 июня 2000 года: восход в 3.44, за-
                       calendar problems are discussed.                                   ход в 21.18, долгота дня 17.34 часов. На странице 22 де-
                                                                                          кабря 2000 года стоят такие числа: 8.57; 15.59; 7.02.
                                                                                          Наблюдательный человек сразу же может сообразить,
                       В статье содержится описание основных                              что эти цифры не могут быть верными на всей террито-
                       характеристик движения Земли вокруг                                рии России хотя бы потому, что в Заполярье 21 декабря
                       Солнца и ее вращения около своей оси, а                            полярная ночь, ни захода, ни восхода Cолнца там не на-
                       также связанные с этим проблемы кален-                             блюдается несколько месяцев. Видимо, эти данные в ка-
                                                                                          лендаре приведены для Москвы, и для каждой точки на
                       даря.
                                                                                          земном шаре они свои. Давайте разберемся, от чего они
                                                                                          зависят еще, как устроен любой календарь и можно ли
                                                                                          вычислять момент восхода и захода Солнца в любой
                                                                                          точке любой планеты не только Cолнечной системы,
                                                                                          но и абстрактной планеты, вращающейся вокруг одной
                                                                                          абстрактной звезды.
                                                                                              Как хорошо известно, еще древние знали три ка-
                                                                                          лендаря: связанный с высотой Солнца в течение суток,
                                                                                          последовательными фазами Луны, сменой времен го-
                                                                                          да. Как известно нам, первый из них связан с вращени-
                                                                                          ем Земли около своей оси и положением Земли на ее
                                                                                          орбите, второй календарь – с вращением Луны вокруг
                                                                                          Земли и нас интересовать не будет, третий связан с вра-
                                                                                          щением Земли вокруг Солнца.

                                                                                                ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ ВОКРУГ СОЛНЦА
                                                                                          Начнем изучение с движения Земли по своей орбите
                                                                                          вокруг Солнца. Это движение вкупе с фактом наклона
© Цыганов Ш.И., 2000




                                                                                          оси вращения Земли к плоскости ее орбиты отвечает
                                                                                          прежде всего за смену времен года, а также за измене-
                                                                                          ние длины дня и ночи.
                                                                                              Будем рассматривать невозмущенное движение, то
                                                                                          есть не будем учитывать гравитационное влияние на
                                                 www.issep.rssi.ru                        Землю планет Солнечной системы, и прежде всего Лу-
                                                                                          ны. В этом случае орбиту Земли можно представлять



                                       Ц Ы ГА Н О В Ш . И . С К О Л Ь К О С У Т О К В ГО Д У , И Л И К А К УС Т Р О Е Н К А Л Е Н Д А Р Ь                    117


                                                                             МАТЕМАТИКА
      как эллипс, в одном из фокусов которого находится                                        dS = [ r ( ψ ), r ( ψ + dψ ) ] = [ r ( ψ ), r ( ψ ) + r' ( ψ ) dψ ] =
      Солнце.
                                                                                                       = [ r ( ψ ), r' ( ψ ) dψ ] = [ r ( ψ ), r' ( ψ ) ] dψ =
          Параметры этого эллипса таковы: большая полуось
      а = 149,6 млн км, малая полуось b = 144,6 млн км. Та-                                       = acos ψ – c           b sin ψ dψ = ( ab – bc cos ψ ) dψ =
      ким образом, этот эллипс мало отличается от окружно-                                           – asin ψ            b cos ψ
      сти, что подтверждает мера сжатости эллипса – его
                                                                                                                      = ab ( 1 – e cos ψ ) dψ.
      эксцентриситет е = 0,0167. Точка Π, в которой Земля
      ближе всего к Солнцу C, и находится на расстоянии                                           В силу второго закона Кеплера dS = k ⋅ dt, поэтому
      147,1 км от него, называется перигелием, наиболее уда-
      ленная точка А (152,1 км) – афелием (рис. 1).                                                                  dt = C ⋅ (1 − e cos ψ)dψ.

          Расстояние Земли от Солнца переменно и зависит                                    Интегрируя, получим
      от угла ϑ, который называется истинной аномалией и                                                         ψ

      равен углу от направления на перигелий до ее радиуса-
      вектора, отчитываемому в направлении движения Зем-
                                                                                                                 ∫
                                                                                                       t = C ⋅ ( 1 – e cos ψ ) dψ = C ⋅ ( ψ – e sin ψ ).
                                                                                                                 0
      ли, следующим образом:
                                                                                                 Чтобы найти коэффициент С, воспользуемся усло-
                                              a(1 – e )
                                                                 2                          вием, что при ψ = 2π время t = T0 , и получим T0 = C(2π −
                        R ( ϑ ) = r ( ϑ ) = ------------------------ .
                                                                   -                        − e sin2π) = 2πC.
                                            1 + e cos ϑ
                                                                                                                         T0
          Скорость движения Земли по орбите также непос-                                        Отсюда окончательно t = ----- ( ψ – e sin ψ ).
                                                                                                                            -
                                                                                                                         2π
      тоянна и определяется вторым законом Кеплера, кото-                                       Кроме того, с движением Земли по своей орбите
      рый гласит, что тело при движении по эллиптической                                    вокруг Солнца связано видимое движение Солнца отно-
      орбите движется с такой скоростью, что за равные про-                                 сительно звезд. Введем несколько понятий для небес-
      межутки времени его радиус-вектор заметает фигуры                                     ной сферы. Для этого поместим наблюдателя в какую-
                           dS                                                               нибудь точку Земли. Что видит наблюдатель? Небесную
      равной площади или ----- = K = const. Наибольшая ско-
                             -
                           dt                                                               сферу, которая вращается около оси мира. Ось мира пе-
      рость Земли равна 30,28 км/с в перигелии, а наимень-                                  ресекает небесную сферу в двух точках: северном и юж-
      шая – 29,29 км/с в афелии.                                                            ном полюсах мира. Большой круг небесной сферы,
          Найдем положение Земли на орбите в зависимости                                    плоскость которого перпендикулярна оси мира, назы-
      от времени. Будем считать, что в момент времени t0 = 0                                вается небесным экватором (рис. 2). Экватор делит не-
      угол ϑ0 = 0. Очевидно, что при таком выборе начальной                                 бесную сферу на северное и южное полушария. Для на-
      фазы, обозначив длину года, то есть время прохожде-                                   глядности можно считать, что ось мира совпадает с
      ния всего эллипса, через Т0 , получим ϑ(T0 /2) = π и
      ϑ(T0) = 2π.                                                                                       Северный           Зенит
                                                                                                        полюс
           Найдем формулу, связывающую центральный угол                                                 мира
                                                                                                                                                 Эклиптика
      ψ со временем t. Радиус-вектор ρ ( ψ ) = acos ψ i +                                        Ось
                                                                                                 мира
      + b sin ψ j и r ( ψ ) = ρ ( ψ ) – c i = ( acos ψ – c ) i + b sin ψ j .
                                                                                                                                                        Небесный
      Тогда                                                                                                                                             экватор

                                               b
                                                                                                                                        23°,5
                                                   ρ(ψ)
                                                          r(ϑ)
                                                   ψ      ϑ              a                                                                         Меридиан
                   A                               С                         П                                                                     наблюдателя

                                                                                                                                         Южный
                                                                                                                                         полюс
                                                                                                                                         мира


                                         Рис. 1                                                                                 Рис. 2




118                                           С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 5 , 2 0 0 0


                                                 МАТЕМАТИКА
осью вращения Земли, а северный полюс мира – с По-                      мени между двумя прохождениями Земли через пери-
лярной звездой.                                                         гелий, равным 365,25964 суток.
    Если наблюдатель находится в северном полуша-                           За начало тропического года, по предложению Бес-
рии Земли, он может видеть все северное полушарие, а                    селя, берется момент, когда средняя эклиптическая дол-
также часть южного полушария небесной сферы. Жи-                        гота Солнца, уменьшенная на постоянную аберрации
тели Австралии видят полностью южный свод небес и                       (феномена, когда движущийся наблюдатель видит све-
часть северного, а вот наблюдатели на экваторе могут                    тило в ином направлении, чем если бы он находился в
увидеть все звездное небо, за исключением Полярной                      покое), равна 280°. Момент начала бесселева года бли-
звезды и южного полюса мира. Большой полукруг не-                       зок к началу суток 1 января, но каждый раз немного от-
бесной сферы, проходящий через зенит, то есть точку                     личается, так как тропический год содержит 365,2422 су-
строго над головой нашего наблюдателя, и соединяю-                      ток, а календарный – 365 или 366 суток.
щий полюсы мира, называется меридианом наблюда-                             Даты в тропическом году обозначаются не числами
теля. Все звезды и Солнце восходят на востоке, после                    месяцев, а частью года, прошедшего от начала тропи-
чего их высота увеличивается до момента прохождения                     ческого года до рассматриваемого момента. Аналогич-
через меридиан наблюдателя, а затем уменьшается                         но можно даты календарного года выражать в его до-
вплоть до захода на западе.                                             лях. Так, начало тропического года в 1900 году (то есть
    Рассмотрим Землю с наблюдателем на ней, а также                     1900,0) приходилось на январь 0,8135 Всемирного вре-
Солнце как материальные точки. Зафиксируем небес-                       мени (примерно 19h 52m 1 января Всемирного времени,
ную сферу со звездами и Солнце в центре этой сферы.                     см. ниже), а начало тропического года 2000,0 придется
Пусть орбита Земли представляет собой эллипс внутри                     на 0,0334 Всемирного времени.
небесной сферы. Наблюдатель, находящийся на Земле,
видит, что Солнце движется среди звезд, последова-                            ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ ОКОЛО СВОЕЙ ОСИ
тельно проходя на фоне 12 зодиакальных созвездий го-                    Изучив вращение Земли вокруг Солнца, перейдем к го-
роскопа в восточном направлении со скоростью около                      раздо более сложному вопросу – вращению Земли око-
1° в сутки и возвращаясь в исходное положение через                     ло своей оси.
год. Траектория этого движения представляет собой
                                                                            Начнем наше рассмотрение с оси, около которой
большой круг, называемый эклиптикой. Эклиптика
                                                                        вращается Земля и которая называется осью вращения.
наклонена к плоскости небесного экватора под углом
                                                                        Вследствие возмущающего действия, оказываемого
  °
23,5 и пересекается с ним в двух точках: весеннего и
                                                                        телами Солнечной системы, ось вращения Земли со-
осеннего равноденствий. Точка весеннего равноденст-
                                                                        вершает очень сложное движение. Прежде всего она
вия та, в которой Солнце переходит из южного полу-
                                                                        медленно описывает конус, оставаясь наклоненной к
шария в северное. В точке осеннего равноденствия
                                                                                                                        °
                                                                        плоскости движения Земли под углом около 66,5. Это
Солнце переходит из северного полушария в южное.
                                                                        движение земной оси называется прецессионным или
Точки эклиптики, отстоящие от точек равноденствий
                                                                        прецессией, период его около 26 000 лет. Кроме того,
на 90°, называются точкой летнего (в северном полу-
                                                                        ось вращения Земли совершает мелкие колебания око-
шарии) и точкой зимнего солнцестояния (в южном по-
                                                                        ло своего среднего положения с периодом 18,6 года.
лушарии). Наклон эклиптики связан с наклоном оси
                                                                        Эти колебания называются нутацией и связаны с влия-
вращения Земли к плоскости орбиты и в точности ра-
                                                                        нием притяжения Луны на земной эллипсоид. Так, в
вен углу между этой осью и нормалью к плоскости ор-
                                                                                                                   ″
                                                                        2000 году угол наклона составит 66°33′37,5. Ось вра-
биты.
                                                                        щения не сохраняет постоянного положения не толь-
    Одно из важнейших понятий календаря – год, это                      ко в пространстве, но и в теле Земли: наблюдается так
то время, которое требуется Земле, чтобы совершить                      называемое эйлерово движение полюсов с амплиту-
полный оборот по своей орбите. Точнее, в основе со-                              ″
                                                                        дой до 0,5.
временного календаря лежит тропический год – про-                           Все эти колебания либо слабы, либо растянуты по
межуток времени между двумя последовательными                           времени, поэтому можно считать, что ось вращения
прохождениями центра Солнца через точку весеннего                       Земли сохраняет постоянное направление в простран-
равноденствия.                                                          стве и наклонена к плоскости орбиты под постоянным
    Точка весеннего равноденствия не приходится на                      углом. Хорошо известно, что из-за этого наклона проис-
одну точку орбиты Земли и меняется с каждым годом.                      ходят смена времен года и изменение продолжительно-
Это связано с тем, что длина тропического года, равная                  сти дня и ночи. Действительно, изменение расстояния
365,2422 суток (подробнее об этом позже), не совпадает                  Земли от Солнца в течение года весьма незначительно,
с аномалистическим годом, то есть промежутком вре-                      поэтому вся Земля в целом получает одинаковое коли-



                     Ц Ы ГА Н О В Ш . И . С К О Л Ь К О С У Т О К В ГО Д У , И Л И К А К УС Т Р О Е Н К А Л Е Н Д А Р Ь           119


                                                       МАТЕМАТИКА
      чество тепла (точнее, в перигелии на 7% больше, чем в                    солнечные сутки, которые являются средним значени-
      афелии). Вместе с тем 22 декабря в течение 1 часа                        ем истинных солнечных суток и формально определя-
      Москва получает в 4,5 раза меньше тепла от солнечных                     ются как сутки воображаемой точки, которая движется
      лучей, чем в течение 1 часа 22 июня.                                     не по эклиптике, а по небесному экватору и называется
          Разобравшись с осью вращения, перейдем к скоро-                      средним экваториальным Солнцем.
      сти вращения нашей планеты. Нас не будет интересо-                           Заметим, что звездные и солнечные сутки различ-
      вать феномен замедления этого вращения, связанный с                      ны. Действительно, за звездные сутки наблюдатель О
      влиянием Луны и приливным трением на Земле, по-                          вместе с Землей повернется на 360° и перейдет из точки
      скольку тот промежуток времени, который нас интере-                      О1 в точку О2 (рис. 3). Однако, чтобы промежуток вре-
      сует, – десяток веков развития человечества – несоизме-                  мени равнялся солнечным суткам, Земля З должна по-
      рим со временем, на протяжении которого этот эффект                      вернуться настолько, чтобы наблюдатель оказался в
      может ярко проявиться. Мы также не будем учитывать                       положении О3 , где Солнце С снова находится на мери-
      и спонтанные колебания длины суток, которые имеют                        диане наблюдателя. Поскольку радиус-вектор Земли
      место и происходят из-за геофизических явлений, пере-                    СЗ поворачивается за сутки примерно на 1°, а Земля
      мещения воздушных масс и т.д. К тому же эти колебания                    вращается с угловой скоростью около 1° за 4 минуты, то
      весьма незначительны, и о них мы поговорим позже.                        звездные сутки примерно на 4 минуты короче, чем сред-
          Будем считать, что скорость вращения Земли око-                      ние солнечные сутки.
                                         ″
      ло своей оси постоянна и равна 15,041 с−1. Вот здесь са-                     Поэтому тропический год содержит 365,2422 сред-
      мое время остановиться и поговорить, как измеряется                      них солнечных суток или 366,2422 звездных суток.
      время.                                                                       Осталось лишь понять, в какой момент начинается
                                                                               отсчет суток. За начало средних солнечных суток на
          ВРЕМЯ В АСТРОНОМИИ                                                   данном меридиане принимается момент пересечения
      Пойдем по стопам Птолемея и будем считать, что Зем-                      центром мнимого Солнца невидимой части небесного
      ля – это неподвижный центр Вселенной, вокруг кото-                       меридиана – средняя полночь. Через 12 часов Солнце
      рого вращаются небесный свод, Солнце и другие пла-                       максимально поднимется над горизонтом – наступит
      неты. Начнем с небесного свода.                                          время среднего полдня. Время, прошедшее от средней
          Что видит наблюдатель, стоящий, допустим, в                          полночи и выраженное в часах, минутах, секундах и т.д.,
      Уфе? Каждый день зимой и летом он видит одну карти-                      называется местным средним солнечным временем.
      ну: через строго определенные промежутки времени                             Местное среднее солнечное время гринвичского
      одни и те же звезды появляются из-за горизонта и про-                    меридиана называется Всемирным временем и обозна-
      ходят над его головой по одним строго определенным                       чается UT (Universal Time). Аналогично на основе звезд-
      маршрутам.                                                               ных суток вводится звездное время.
          Если отвлечься от Птолемея, понятно, что это про-                        Заметим также, что Всемирное время не является
      исходит из-за вращения Земли около своей оси. Выбе-                      равномерным из-за неравномерного вращения Земли
      рем звезду, которая в какой-то момент времени оказа-                     вокруг своей оси. Поэтому рассматривают также абст-
      лась в зените. Время, которое требуется звезде, чтобы                    рактное равномерное время, которое фигурирует как
      совершить один оборот и вернуться в зенит, называется                    независимая переменная t в формулах небесной меха-
      звездными сутками.                                                       ники. Продолжительность секунды этого равномерного
          Вернемся к Птолемею и посмотрим за Солнцем:
      интервал между двумя последовательными прохожде-                                       Направление
      ниями Солнца через меридиан наблюдателя называет-                                      на звезду                      О2
                                                                                                                                       З2
      ся истинными солнечными сутками. Вполне наглядно
      истинные солнечные сутки можно представить как про-                                                                        О3
      межуток времени между двумя положениями Солнца,
      когда любой предмет на Земле отбрасывает самую ко-                                                              С           О1
                                                                                                                                            З1
      роткую тень.
          Вследствие того что истинное Солнце движется не
      по экватору, а по эклиптике и с переменной скоростью,
      истинное солнечное время неравномерно, а продолжи-                                                                              Орбита
      тельность истинных солнечных суток не является по-                                                                              Земли
      стоянной величиной в течение года: зимой она больше,
      чем летом. Поэтому в рассмотрение вводят средние                                                             Рис. 3




120                              С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 5 , 2 0 0 0


                                                  МАТЕМАТИКА
времени, называемого эфемеридным временем и обо-                         торая состояла в том, что после 4 октября 1582 года на-
значаемого ET (Ephemeris Time), равна продолжитель-                      ступило 15 октября 1582 года. Этим устранилось
ности секунды Всемирного времени, которое было из-                       расхождение в 10 суток, которое накопилось с 325 года,
мерено 1900,0 (то есть 1 января 1900 года) в 12h UT. Она                 когда на Никейском соборе были установлены правила
оказалась равной 1/31 556 925,9747 тропического года.                    празднования религиозных праздников, которые связа-
Так как сейчас происходит общее замедление враще-                        ли с наступлением некоторых естественных событий,
ния Земли, то Всемирное время неуклонно отстает от                       например с днем весеннего равноденствия, которое
эфемеридного. Так, в 1977 году это отставание было                       приходилось по этому календарю на 21 марта. Кроме
48 секунд, а к 1981 году увеличилось до 52 секунд.                       того, все годы, номер которых заканчивается двумя ну-
    Поскольку в качестве эталона времени использу-                       лями (1700, 1800, 1900), были объявлены невисокосны-
ются атомные цезиевые часы, существует и междуна-                        ми. Годы, число сотен которых делится на 4 (1600, 2000,
родное атомное время, но секунда в нем совпадает с                       2400), остались високосными.
эфемеридной секундой.                                                        Таким образом, продолжительность календарного
    Конечно, в быту мы не используем ни Всемирного,                      года за 400 лет оказалась равной 365,2425 средних сол-
ни местного среднего солнечного времени. Целым поя-                      нечных суток, что только на 0,0003 суток длиннее тро-
сам земной поверхности шириной 15° = 1h присваива-                       пического года. Ошибка в 1 сутки будет накапливаться
ют среднее солнечное время меридианов, проходящих                        в течение 3000 лет.
посередине этих поясов. Это время называется пояс-
                                                                             Новая система счета получила название григори-
ным, оно установлено на часах большинства жителей
                                                                         анского календаря. В РСФСР новый стиль был введен
Земли. Чем ближе к границе часового пояса, тем более
                                                                         в 1918 году: после 31 января было объявлено 14 февраля.
разность поясного времени. Так, московское поясное
время на 1 час больше среднеевропейского, хотя, ска-                         Кроме того, существует сквозная нумерация, кото-
жем, разность долгот Москвы и Берлина 25° = 1,6 часа.                    рая ведется через столетия и называется юлианскими
Правда, на территории России с 16 июля 1930 года дей-                    днями JD. Так называются дни, которые считаются от
ствует декретное время, которое на 1 час больше пояс-                    1 января 4713 года до нашей эры. При этом начало каж-
ного. Кроме того, с 1981 года в летний период часы на                    дого юлианского дня считается в средний гринвичский
территории России переводятся еще на один час впе-                       полдень, то есть в 12h Всемирного времени. Например,
ред по сравнению с декретным. Вообще границы часо-                       в момент 1990,0 12h (1 января 1900 года, 12h по Гринви-
вых поясов в России проходят по административным                         чу), в который замерялась эфемеридная секунда, на-
границам и в некоторых случаях весьма далеки от ес-                      чался 2 415 020 юлианский день, то есть JD = 2 415 020,
тественных. Например, разность долгот Уфы и Казани                       а для 2000,0 величина JD = 2 451 544.
менее 0,5 часа, а административное время между ни-
ми 2 часа.                                                                     ВОСХОД И ЗАХОД СОЛНЦА

    КАЛЕНДАРЬ                                                            Момент пересечения Солнцем горизонта, когда оно
                                                                         переходит из невидимой части небесной сферы в види-
Как видно, тропический год состоит из нецелого числа
                                                                         мую, называется восходом Солнца, а когда оно перехо-
суток, поэтому главная задача при составлении кален-
                                                                         дит из видимой части в невидимую – заходом.
даря состоит в том, чтобы продолжительность кален-
дарного года в среднем за несколько лет была как мож-                        Когда мы наблюдаем за Солнцем, кроме всего того,
но ближе к продолжительности тропического года.                          что уже было рассмотрено, необходимо учитывать ат-
    В юлианском календаре (старый стиль), введенном                      мосферу Земли, поскольку она приводит к преломле-
Юлием Цезарем в 46 г. до н.э., это достигалось благода-                  нию световых лучей. Этот эффект называется рефрак-
ря следующему правилу: продолжительность года при-                       цией. Величина рефракции зависит прежде всего от
нималась равной 365 суткам, а каждый четвертый год,                      высоты Солнца над горизонтом. В зените рефракция
получивший название високосного, содержал 366 су-                        равна 0, на горизонте принимается равной 35′. Рефрак-
ток, так как в феврале было не 28, а 29 дней.                            ция увеличивается при понижении температуры и по-
                                                                         вышении давления.
    Таким образом, продолжительность года в юлиан-
ском календаре равна 365,25 солнечных суток, что на                          Последнее, что нужно учитывать при определении
0,0078 средних солнечных суток длиннее тропического                      восхода и захода тел Солнечной системы, – это парал-
года. Счет времени юлианскими годами за 128 лет дает                     лакс, то есть угол между направлениями, по которым
расхождение в сутки. Поэтому в 1582 году папа рим-                       тело видно из центра Земли (именно они даются в таб-
ский Григорий XIII произвел реформу календаря, ко-                       лицах) и из какой-нибудь точки на ее поверхности.



                      Ц Ы ГА Н О В Ш . И . С К О Л Ь К О С У Т О К В ГО Д У , И Л И К А К УС Т Р О Е Н К А Л Е Н Д А Р Ь           121


                                                                                               МАТЕМАТИКА
         Часовой угол t восхода и заката определяется по                                                        Обращаем внимание, что помимо чисто астроно-
      формуле                                                                                               мических параметров орбиты планеты можно учиты-
                                                                                                            вать и геометрические – ее форму. Так, Земля ввиду су-
                       cos ( 90° + ρ + R – p ) – sin ϕ sin δ
               cos t = -------------------------------------------------------------------------------- ,
                                                                                                      -     точного вращения несколько сплюснута у полюсов и
                                                   cos ϕ cos δ
                                                                                                            представляет собой скорее не шар, а эллипсоид враще-
      где ρ – рефракция в горизонте, принимаемая равной                                                     ния с экваториальным радиусом 6378 км и полярным
      35′, R – угловой радиус светила (для Солнца 16′), р – го-                                             радиусом 6357 км. Но эллипсоид не совсем точно отра-
      ризонтальный параллакс (для Солнца принимают p =                                                      жает форму поверхности Земли, так как из-за неравно-
      = 0), ϕ – географическая широта точки наблюдения,                                                     мерного распределения земных масс даже поверхность
      δ – склонение светила, то есть угловое расстояние от                                                  океана отличается от эллипсоидальной. Поэтому гово-
      небесного экватора, измеренное вдоль меридиана. По-                                                   рят, что земная поверхность является геоидом. В связи
      этому для Солнца получаем                                                                             с этим требуется уточнение понятия долготы географи-
                                                                                                            ческой точки, но это выходит за рамки нашего рассказа.
                                     – sin 51° – sin ϕ sin δ
                             cos t = ------------------------------------------------ .
                                                                                    -
                                                 cos ϕ cos δ
                                                                                                                ЛИТЕРАТУРА
          Это уравнение имеет решение, лежащее в проме-
                                                                                                            1. Астрономический календарь: Постоянная часть. М.: Наука,
      жутке от 0° до 180°, для часового угла захода tW , и реше-                                            1981. 703 с.
      ние, лежащее в промежутке от 180° до 360°, для часово-
                                                                                                            2. Рой А. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981. 544 с.
      го угла восхода tE . Если к полученным значениям
      прибавить 12h, то получим время захода и восхода в си-
                                                                                                                         Рецензент статьи Л.И. Маневич
      стеме местного истинного солнечного времени.
          Мы качественно описали практически все процес-                                                                                      ***
      сы и явления, которые определяют моменты восхода и
      захода Солнца. Кроме Земли эта теория применима с                                                     Шамиль Ирикович Цыганов, кандидат физико-мате-
      большими или меньшими изменениями ко всем плане-                                                      матических наук, доцент кафедры высшей алгебры и
      там Солнечной системы и может быть использована                                                       геометрии Башкирского государственного универси-
      для построения математической модели движения аб-                                                     тета. Организатор системы олимпиад и научных об-
                                                                                                            ществ школьников и студентов в городе Уфе и Респуб-
      страктной планеты вокруг одной звезды. Что касается
                                                                                                            лике Башкортостан. Ведущий научной рубрики в
      математического аппарата для описания каждого из                                                      газете “Вечерняя Уфа”. Область научных интересов в
      воздействий, то он чрезвычайно прост и практически                                                    последние годы – математическое образование, ра-
      не выходит за рамки школьной геометрии, а поэтому                                                     бота с одаренными детьми, популяризация науки. Ав-
      может служить хорошей задачей для исследователя-                                                      тор более 60 научных публикаций, из них 22 учебных
      школьника.                                                                                            пособий.




122                                                        С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 5 , 2 0 0 0



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика