Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Вариационные принципы в физике

Голосов: 0

Рассказано об открытии вариационных принципов в оптике и механике, оказавших большое влияние на все последующее развитие физики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                  THE VARIATIONAL             ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
                              PRINCIPLES IN OPTICS
                              AND MECHANICS               В ФИЗИКЕ
                              E. D. TRIFONOV              Ц. С. нкаойзйЗ
                                                          кУТТЛИТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ФВ‰‡„У„Л˜ВТНЛИ ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ
                              Variational principles in   ЛП. Д.а. ЙВ ˆВМ‡, л‡МНЪ-иВЪВ ·Ы „
                              optics and mechanics that
                              have influenced develop-
                                                                 ЗЗЦСЦзаЦ
                              ment of physics are dis-
                                                                    Многие законы физики могут быть выведены из
                              cussed.
                                                                 утверждения, что для истинного развития исследуе-
                                                                 мого процесса определенная характеристическая
                              к‡ТТН‡Б‡МУ У· УЪН ˚ЪЛЛ             величина достигает минимального (в более общем
                                                                 случае экстремального) значения по сравнению с ее
                              ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛ-               значениями для некоторых других возможных тече-
                              ФУ‚ ‚ УФЪЛНВ Л ПВı‡МЛ-             ний этого процесса. Чтобы математически сформу-
                              НВ, УН‡Б‡‚¯Лı ·УО¸¯УВ              лировать это утверждение, необходимо ввести в
                                                                 рассмотрение уравнения, описывающие данный
                              ‚ОЛflМЛВ М‡ ‚ТВ ФУТОВ‰Ы-            процесс, и с помощью изменения (вариации) их
                              ˛˘ВВ ‡Б‚ЛЪЛВ ЩЛБЛНЛ.               формы добиться достижения экстремального зна-
                                                                 чения вычисляемой характеристической величины.
                                                                 Те уравнения, при которых это экстремальное зна-
                                                                 чение достигается, и выражают истинные законы
                                                                 изучаемого явления. В таком случае данное утверж-
                                                                 дение принимают за исходное и называют вариаци-
                                                                 онным началом или вариационным принципом.
                                                                    Обычное изложение механики (например, как в
                                                                 школьном курсе) основывается на трех законах
                                                                 Ньютона. Как известно, И. Ньютон внес особенно
                                                                 значительный вклад в развитие механики. В своем
                                                                 труде “Математические начала натуральной фило-
                                                                 софии” (1687) [1] он решил множество сложных за-
                                                                 дач о движении материальной точки в поле цент-
                                                                 ральных сил и этим конструктивно подтвердил
                                                                 правильность закона всемирного тяготения. Что ка-
                                                                 сается второго закона Ньютона, то, оценивая его
                                                                 значение, А. Эйнштейн называл его главным зако-
                                                                 ном не только механики, но и всей физики. Ньютон
                                                                 (наряду с Г.В. Лейбницем) был создателем диффе-
                                                                 ренциального и интегрального исчислений, однако
                                                                 при решении механических задач он почти не поль-
                                                                 зовался этим математическим методом. Он приме-
                                                                 нял геометрический метод. В упомянутой выше
                                                                 книге много чертежей, а стиль решения задач напо-
                                                                 минает доказательство геометрических теорем.
                                                                    Другое направление в механике возникло после
                                                                 работ Л. Эйлера, в которых был использован метод
      © н ЛЩУМУ‚ Ц.С., 1998




                                                                 дифференциального и интегрального исчислений в
                                                                 форме, предложенной Лейбницем. Особое разви-
                                                                 тие это направление получило в трудах Ж. Лагран-
                                                                 жа. Лагранж гордился тем, что в его книге “Анали-
                                                                 тическая механика” (1788) нет ни одного рисунка
                                                                 или чертежа. Именно с применением аналитичес-
                                                                 ких методов в механике связаны интенсивное раз-
                                                                 витие и применение вариационных принципов. Сам
                                                                 термин “вариационный принцип” был впервые


106                                                                 лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹6, 1998


предложен в работе Эйлера. Однако, поскольку            путями, – его статья носила вполне конструктив-
дифференциальное и интегральное исчисления ле-          ный характер (см.[3]). Он доказал, что принцип на-
жат на границе школьных знаний по математике,           именьшего времени является следствием закона
мы не будем злоупотреблять ими и постараемся по-        преломления.
яснить физическую идею вариационных принци-                Выше мы привели формулировку принципа Фер-
пов с помощью элементарных средств, доступных           ма, данную Христианом Гюйгенсом (1629–1695), со-
школьникам. Это как раз и будет составлять мето-        временником Ферма, в его знаменитом “Трактате о
дическую особенность нашего изложения. Навер-           свете” (1678) [4]. Мы воспроизведем здесь также поч-
ное, этот простой взгляд на достаточно сложную          ти дословно принадлежащее ему доказательство
проблему окажется полезным и для тех, кто будет         принципа Ферма, обладающее большей простотой
изучать эти вопросы на более серьезном уровне. Мы       по сравнению с доказательством самого Ферма.
также советуем заинтересованному читателю поз-
                                                           Так же как и Ферма, Гюйгенс считал, что в плот-
накомиться со статьей [2], посвященной изложе-
                                                        ной среде свет распространяется с меньшей скоро-
нию оптико-механической аналогии.
                                                        стью, чем в вакууме. Пусть KF – плоскость, разделя-
    В наши дни исполняется 300 лет с того момента,      ющая две среды (рис. 1), и точка A находится в
когда были опубликованы первые сообщения о ва-          менее плотной среде (например, в воздухе), а точка
риационном принципе в механике. В коротком              C – в более плотной среде (например, в воде). Пусть
письме на полстраницы, опубликованном в июнь-           луч проходит из точки A через точку B, лежащую на
ском номере немецкого научного журнала “Ученые          границе, в точку C в соответствии с законом пре-
труды” (“Acta Eruditorum”) за 1696 год (см. [3]), Ио-   ломления
ганн Бернулли поставил следующую задачу: “В вер-
тикальной плоскости даны две точки А и В. Опреде-                          sin α 1 n 2 c
                                                                           ------------- = ---- = ---1
                                                                                              -      -,               (1)
лить путь, спускаясь по которому под влиянием                              sin α 2 n 1 c 2
собственной тяжести, тело, начав двигаться из точки
А, дойдет до точки В за кратчайшее время”. В конце      где n1 , c1 , n2 , c2 – показатели преломления и скорости
письма говорилось, что эта кривая хорошо известна       распространения света в верхней и нижней средах
в геометрии и что если по истечении текущего года       соответственно. По предположению, n1 < n2 , c1 > c2 .
никто не опубликует решение, то это сделает сам ав-         Требуется доказать, что время прохождения све-
тор. В этот срок откликнулся только Лейбниц. Со-        та по такому лучу самое короткое по сравнению с
общая, что уже решил поставленную задачу, он            временем прохождения по любому другому прелом-
предложил продлить конкурс до Пасхи следующего          ленному лучу. Применим доказательство от против-
года. И вот в майском номере того же журнала за         ного. Допустим, что свет прошел по другому лучу
1697 год были опубликованы решения этой задачи,         AFC, так что точка F отстоит от точки A дальше, чем
полученные Лейбницем, Якобом Бернулли (братом           точка B. Проведем прямую FO ', параллельную AB, и
И. Бернулли), Г. Лопиталем и самим Иоганном Бер-        построим перпендикуляры AO и BH к этим прямым.
нулли. В майском же номере английского журнала          Опустим также перпендикуляр FG на прямую BC.
“Философские труды” (“Philosophical Transactions”)      Из того, что ∠HBF равен ∠PBA, а ∠BFG равен ∠QBC
было помещено решение Ньютона без подписи. Но
И. Бернулли определил автора. История сохранила                       O'                       P
его слова: “Я узнал льва по его когтям”.                                   O
    Как будет показано ниже, идея вариационных
принципов в механике была инициирована вариаци-
                                                                    A
онным принципом в оптике – принципом Ферма.

ЗДкаДсайззхв иказсаи ЙЦйеЦнкауЦлдйв
йинада – иказсаи оЦкеД                                                                             H
                                                                                                          F
                                                                     K                     B                      L
   Вариационный принцип геометрической опти-                                                       G
ки был предложен Пьером Ферма (1601–1665) не-
сколько ранее описанных выше событий, а именно
в 1662 году: Если две точки находятся в различных
прозрачных (однородных) средах, то луч света, чтобы
пройти от одной точки к другой, преломляется у пло-
ской поверхности, по которой соприкасаются обе сре-
ды, таким образом, что употребляет возможно мень-                                          Q                  C
шее время, совершенно так же, как это происходит
при отражении от плоской поверхности. Хотя сам             Рис. 1. Чертеж из работы Х. Гюйгенса “Трактат о
Ферма исходил из довольно общего постулата –               свете”, поясняющий доказательство принципа
природа действует наиболее легкими и доступными            Ферма на основании закона преломления



нкаойзйЗ Ц.С. ЗДкаДсайззхЦ иказсаих З оабадЦ                                                                                107


      (как углы с соответственно ортогональными сторо-     единены несколькими лучами (примером может
      нами), следует, что                                  служить ход лучей при возникновении нижнего ми-
                                                           ража) (см. [2]). Поэтому требуется уточнение форму-
                       HF sin α 1
                       ------- = -------------.
                             -                       (2)   лировки принципа Ферма: время распространения
                       BG sin α 2                          света вдоль луча между двумя точками неоднородной
      Поэтому, согласно (1), время распространения све-    оптической среды с непрерывно изменяющимся пока-
      та по отрезку HF равно времени распространения       зателем преломления минимально по сравнению с вре-
      по отрезку BG:                                       менем распространения света вдоль любой бесконечно
                                                           близкой траектории, соединяющей эти же точки. По
                           HF BG
                           ------- = ------- .
                                 -         -               поводу других уточнений формулировки принципа
                             c1        c2                  Ферма мы вынуждены отослать читателя к более де-
         Таким образом, время прохождения света по лу-     тальному изложению этого вопроса [6].
      чу OF было бы равно времени прохождения света по
      пути ABG. Далее очевидно, что так как гипотенуза     бДСДуД й ЕкДпалнйпкйзЦ
      FC больше катета GC, то время прохождения по пу-
                                                               Теперь расскажем более подробно о том самом
      ти OFC больше, чем по пути ABC. Наконец, по-
                                                           вариационном принципе, который был предложен
      скольку гипотенуза AF больше катета OF, то время
                                                           Иоганном Бернулли (1667–1748). Поставленная им
      прохождения света по пути AFC больше времени
                                                           задача получила название задачи о брахистохроне, то
      прохождения света по пути OFC и тем более по пути
                                                           есть о линии наибыстрейшего спуска. Предполагает-
      ABC. К аналогичному заключению можно прийти и
                                                           ся, что материальная точка находится в однородном
      в случае, когда точка F лежит левее точки B. Таким
                                                           поле тяжести и может скатываться вниз по некото-
      образом, время прохождения света по ABC самое ко-
                                                           рой траектории (как бусинка, нанизанная на про-
      роткое из возможных, что и требовалось доказать.
                                                           волоку определенной формы). Трением при этом
         Интересно, что доказательству Гюйгенса закона     пренебрегают, а начальная скорость материальной
      преломления на основании его гипотезы о волно-       точки равна нулю. Ответ, полученный И. Бернулли:
      вой природе света (которое приводится в школьном     этой кривой является циклоида – кривая, которую
      курсе физики) предшествовало рассуждение патера      описывает точка на ободе колеса при его качении.
      Меньяна “О солдатском фронте” (1648) (см. [5]).
      Его использовал Исаак Барроу (1631–1667) в своих        Рассмотрим одно важное для дальнейшего свой-
      “Лекциях по математике и оптике” (1668), в подго-    ство циклоиды. Пусть задана окружность диаметра d,
      товке к изданию которых участвовал Исаак Ньютон      которая катится по прямой y = d в положительном
      (1643–1727). (Ньютон был учеником и преемником       направлении оси ОX, как это показано на рис. 2.
      Барроу по Лукасовской кафедре в Кембриджском            Пусть точка М окружности в начальный момент
      университете.) Эти рассуждения очень просты и на-    времени имела координаты x = 0, y = d. К моменту
      глядны. Они сводятся к тому, что при переходе из     времени t окружность повернулась на угол ϕ, и точ-
      одной среды в другую световой фронт меняет свое      кой касания окружности оси OX является точка N.
      направление так же, как меняет направление ше-       Точка N имеет нулевую мгновенную скорость, и,
      ренга солдат, когда луг, по которому идут солдаты,   как говорят, через нее проходит мгновенная ось
      преграждается пашней и граница между пашней и        вращения. Поэтому точка М в данный момент дви-
      лугом проходит под углом к шеренге. Скорость дви-    жется по окружности радиуса MN, а касательная к
      жения солдат по пашне меньше, чем по лугу. Для со-   циклоиде в точке M перпендикулярна к мгновенно-
      хранения строя солдаты должны маршировать по         му радиусу вращения MN.
      параллельным линиям как при движении по лугу,
                                                              Учитывая это, можно без большого труда опреде-
      так и по пашне. Рисунок, иллюстрирующий такое
                                                           лить, что угол α, который касательная SMK образует
      движение солдатского фронта, аналогичен тому, ко-
      торый использовал Гюйгенс для объяснения изме-
                                                                    y
      нения волнового фронта при преломлении и кото-
      рый теперь воспроизводится во всех учебниках.         S           A        N
      Очевидно, что фронт солдат быстрее всего пересе-
      чет любое замеченное место на пашне, если направ-                      ϕ
      ление шеренги будет подчиняться закону прелом-                                                         d
                                                                         M   α
      ления (1). Таким образом, в этих рассуждениях
      фактически содержалось доказательство закона
      преломления на основании принципа Ферма.                       O        K                                    x
         Принцип Ферма справедлив для любой неодно-
      родной оптической среды с непрерывно изменяю-             Рис. 2. Красная кривая – циклоида, представляю-
                                                                щая собой траекторию движения точки M окруж-
      щимся показателем преломления. Здесь только               ности, которая катится по прямой y = d в положи-
      следует сделать существенную оговорку: в неодно-          тельном направлении оси OX. В начальный мо-
      родной оптической среде две точки могут быть со-          мент времени точка M совпадает с точкой A



108                                                             лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹6, 1998


с осью OY, равен ϕ /2. Ординату y точки M можно           между касательной к траектории и вертикалью
представить в виде                                        удовлетворял бы соотношению (5)
                    d d
                y = -- + -- cos ϕ .
                     - -                    (3)                                          h
                    2 2                                                   sin α = aυ =   -- ,
                                                                                          -                  (6)
                                                                                         b
Отсюда с помощью элементарных тригонометриче-
ских формул получаем уравнение, связывающее ор-           где b – пока произвольная константа. Сравнивая (6)
динату точки циклоиды с углом α:                          с (4), мы видим, что уравнение совпадает с уравне-
                                                          нием циклоиды, причем константа b имеет смысл
                              y
                  sin α = 1 – -- .
                               -                 (4)      диаметра окружности, а h = d − y.
                              d
                                                              Теперь остается только подобрать радиус ок-
    С помощью этого уравнения можно провести              ружности для того, чтобы циклоида прошла через
построение циклоиды. Заметим, что в точке A (x = 0,       вторую заданную точку B. Все циклоиды подобны
y = d), из которой исходит циклоида, α = 0 и, следо-      друг другу. Поэтому Бернулли предложил следую-
вательно, касательная параллельна оси OY. Смес-           щее построение. Построим какую-нибудь циклои-
тившись на малую величину ∆ вдоль оси ОY, полу-           ду, исходящую из первой точки A. Построим пря-
чим с помощью (4) новое направление касательной           мую, проходящую через обе заданные точки A и B.
и, перемещаясь вдоль этого направления опять на           Эта прямая пересечет построенную циклоиду в не-
малую величину ∆, найдем новую точку циклоиды,            которой точке О (рис. 3, а). Радиус окружности для
в которой таким же способом сможем определить             искомой циклоиды относится к радиусу построен-
следующее положение касательной и т.д.                    ной циклоиды как отрезок AB к отрезку AO. Инте-
    Итак, мы привели ответ, не показав, как он был        ресно, что в некоторых случаях для быстрейшего
получен. Не будем в точности повторять доказа-            достижения конечной точки оказывается выгод-
тельство Бернулли, но используем его основную             ным предварительно опуститься ниже ординаты
идею. Он исходил из принципа Ферма. Ведь мини-            этой точки (рис. 3, б).
мум времени прохождения света, как мы видели в
                                                             Циклоида как форма траектории обладает еще
предыдущем разделе, целиком определяется вы-
                                                          одним замечательным свойством, открытым Гюй-
полнением закона преломления, связывающего си-
                                                          генсом. Время движения тела по циклоиде под дей-
нусы углов падения и отражения со скоростями све-
                                                          ствием собственной тяжести до нижней ее точки не
та в соответствующих средах. Рассмотрим слоистую
                                                          зависит от начального положения тела и превышает
плоскую среду, где в каждом слое свет имеет свою
                                                          время падения с высоты h = d в π/2 раз.
скорость. Закон преломления в этом случае может
быть выражен соотношением                                    Заметим, что решение данной задачи И. Бернул-
                    sin α i = ac i ,               (5)    ли основано на кинематической оптико-механиче-
                                                          ской аналогии, отличной от динамической анало-
где αi – угол падения на границу, разделяющую i-й и       гии, которая рассматривалась нами в статье [2]. Она
(i + 1)-й слои, ci – скорость света в i-м слое, a – не-   носит чисто кинематический характер. Далее пе-
которая константа, одинаковая для всех слоев.             рейдем к выводу вариационных принципов меха-
    Очевидно, что принцип минимума времени дви-           ники, основанных на динамической оптико-меха-
жения будет справедлив и для материальной точки,          нической аналогии.
если для нее выполняется аналогичное соотношение
между величиной скорости в данной точке траекто-              а y
рии и синусом угла между направлением скорости и
направлением, перпендикулярным к плоскости                      A
слоя, в котором абсолютное значение скорости                                                           x
                                                                     O
одинаково. (Слова Бернулли: “Что мешает нам в
этом случае поставить одно на место другого?”)                           B
    Скорость тела при его движении в однородном
поле тяжести, когда оно движется без трения по не-
которой поверхности (например, по наклонной                  б y
плоскости), зависит только от высоты падения:
υ = 2gh , где g – ускорение свободного падения, h –             A
                                                                                                       x
высота падения. Таким образом, слои, в которых
                                                                                 O
скорости материальной точки одинаковы, располо-
                                                                                                  B
жены горизонтально, а направление, ортогональ-
ное к плоскости слоя, совпадает с направлением
вертикали. Следовательно, задача о брахистохроне
сводится к нахождению такой кривой, соединяю-                Рис. 3. Построение циклоиды, проходящей через
щей две заданные точки, для которой синус угла               две произвольные точки А и В



нкаойзйЗ Ц.С. ЗДкаДсайззхЦ иказсаих З оабадЦ                                                                       109


      иказсаи зДаеЦзътЦЙй СЦвлнЗаь                                  пертюи, поскольку в такой форме он впервые (1740)
      ейиЦкныа                                                      был предложен французским академиком Пьером
         Напомним, что динамическая оптико-механи-                  Мопертюи (1698–1759). Интересно, что это было
      ческая аналогия состоит в том, что траектория ма-             сделано при очень смутных представлениях об оп-
      териальной точки при движении ее в потенциаль-                тико-механической аналогии и явилось скорее
      ном поле U(x, y, z) и траектория луча в оптически             счастливой догадкой, основанной на теолого-фи-
      неоднородной среде с непрерывно изменяющимся                  лософских воззрениях автора. Аргументируя спра-
      показателем преломления n(x, y, z) в точности сов-            ведливость высказанного им принципа, Мопертюи
      падают, если выполняется соотношение пропорци-                почти точно повторяет слова Ферма: “Природа в
      ональности                                                    своих действиях всегда пользуется наиболее про-
                                                                    стыми средствами”. Возникли горячие дискуссии о
                                    2                               справедливости этого принципа (в которых принял
          n ( x, y, z ) ∼ υ ( x, y, z ) =
                                   --- ( E – U ( x, y, z ) ),
                                     -                        (7)
                                   m                                участие даже Вольтер), а затем не менее горячие
      где m – масса материальной точки, υ(x, y, z) – абсо-          споры о приоритете открытия. Из современников
      лютная величина ее скорости, Е – энергия. При                 лишь Леонард Эйлер (1707–1783) поддержал Мо-
      этом направление скорости в начальной точке сов-              пертюи, доказав справедливость его принципа на
      падает с направлением луча.                                   конкретных примерах.
           Воспользуемся опять принципом Ферма. Запи-
      шем время распространения света вдоль луча. С                 иказсаи зДаеЦзътЦЙй СЦвлнЗаь
      этой целью разобьем луч, соединяющий две фикси-               ЙДеагънйзД
      рованные точки, на N достаточно малых отрезков                   Следующий важный шаг в развитии вариацион-
      ∆qi , i = 1, …, N. Показатель преломления среды на            ных принципов был сделан Уильямом Гамильтоном
      каждом из отрезков обозначим через ni . Тогда ско-            (1805–1865) (с биографией и творческой жизнью
      рость света на отрезке ∆qi будет c/ni , где c – ско-          Гамильтона можно познакомиться по книге [7]).
      рость света в вакууме. Время распространения света               Гамильтон предложил новую форму вариацион-
      вдоль этого отрезка равно ∆qi ni /c. Тогда полное вре-        ного принципа механики. Мы проиллюстрируем
      мя распространения света вдоль луча можно пред-               вариационный принцип Гамильтона на примере
      ставить в виде суммы                                          материальной точки, движущейся в потенциальном
                                        N                           поле, не зависящем от времени. В этом случае вы-
                                       ∑ n∆q .
                                  1
                              t = --             i           (8)    полняется закон сохранения энергии, то есть сумма
                                  c
                                       i=1                          кинетической и потенциальной энергии не изменя-
      Согласно принципу Ферма, эта сумма, вычислен-                 ется со временем:
      ная для истинного хода луча, должна быть мини-                         m ( υ x + υ y + υz )
                                                                                       2            2         2
      мальной по сравнению с такими же суммами для                       E = -------------------------------------- + U ( x, y, z ) = const,                   (10)
      любой достаточно близкой вымышленной или, как                                            2
      говорят, виртуальной формы луча, проходящего че-              хотя координаты и составляющие скорости части-
      рез те же две точки.                                          цы являются функциями времени: x = x(t), y = y(t),
          Поскольку ход луча совпадает с траекторией                z = z(t), υx = υx(t), υy = υy(t), υz = υz(t). Пусть части-
      движения материальной точки при определенном                  ца движется так, что в начальный момент времени
      соответствии, выражаемом формулой (7), между                  t = 0 она находится в точке с координатами x0 , y0 , z0 ,
      потенциальным полем и показателем преломления,                а в момент времени t = T – в точке с координатами
      то очевидно, что аналогичный вариационный прин-               x1 , y1 , z1 .
      цип должен выполняться и в механике. Подставляя                    Разобьем траекторию движения на интервалы
      в (8) вместо показателя преломления ni абсолютное             ∆qi , которые частица проходит за малые промежут-
      значение скорости материальной точки, умножен-                ки времени ∆ti (последние можно считать равными
      ное на массу, получим, что величина                           по величине). Тогда скорость на i-м интервале будет
                                       N                            υi = ∆qi /∆ti .
                            W=     ∑ mυ ∆q   i       i       (9)         Запишем теперь действие для этого движения,
                                   i=1                              прибавив к нему константу −ET. Используя очевид-
      для истинной траектории, соединяющей две заданные
      точки, принимает минимальное значение по сравне-
                                                                    ное равенство          ∑
                                                                                         ∆t i = T , получим
                                                                                            i
      нию со значением этой величины, вычисленной для
                                                                                                N
                                                                                                          ∆q                 N
                                                                                                                                   m ∆q i          2

                                                                                           ∑                                ∑  ----  --------       + U ∆t i =
      близкой виртуальной траектории, проходящей через
                                                                     S = W – ET =                       m -------i ∆q i –
                                                                                                                -
      те же две точки.                                                                                     ∆t i                2  ∆t      i
                                                                                                                                                          
                                                                                           i=1                              i=1
         Величину W, стоящую в левой части (9), называ-
                                                                                                     m  ∆q-i – U ∆t .
                                                                                            N
      ют в механике действием, а сформулированный                                                                 2

      выше вариационный принцип, выражаемый этой                                       =   ∑          --- -------
                                                                                                        -
                                                                                                     2  ∆t i      i
                                                                                                                                                               (11)
      формулой, – принципом наименьшего действия Мо-                                       i=1




110                                                                     лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹6, 1998


   Введенную таким образом величину S также на-      рата.) В дальнейшем было показано, что вариаци-
зывают действием, а чтобы не было путаницы, ве-      онные принципы возможны и в других разделах фи-
личину W – укороченным действием. Мы видим,          зики, например в электродинамике и специальной
что для истинного движения действие S имеет ми-      теории относительности.
нимальное значение по сравнению с его значения-          Вариационные принципы, возникшие из кон-
ми на виртуальных траекториях, точки которых в       кретных физических задач, обогатили и саму ма-
начальный и конечный моменты времени совпада-        тематику. Одной из общих вариационных задач,
ют соответственно с начальным и конечным поло-       появившейся почти одновременно с задачей о
жениями материальной точки.                          брахистохроне, была задача о геодезической линии:
   Хотя это утверждение следует из принципа наи-     требуется найти линию наименьшей длины, соеди-
меньшего действия Мопертюи, оказалось, что оно       няющую две заданные точки на некоторой поверх-
имеет большую область применимости и выполня-        ности. Позже эта задача была обобщена на случай
ется также для случая, когда потенциальная энергия   многомерных пространств с неевклидовой геомет-
зависит от времени. Причем при выборе виртуаль-      рией и вернулась в физику в общей теории относи-
ных координат материальной точки можно не забо-      тельности, где роль геодезических в четырехмерном
титься о сохранении энергии. В тех случаях, когда    пространстве–времени играют уравнения движе-
потенциальная энергия не зависит явно от времени,    ния материальной точки. В частности, геодезичес-
для истинного движения полная энергия будет со-      кой с нулевой “длиной” является уравнение движе-
храняться автоматически. Обратим внимание также      ния частицы со скоростью света. Так появился
на то, что в вариационном принципе Гамильтона        очень важный аспект, связывающий физику и гео-
можно варьировать (то есть изменять для сравнения    метрию пространства, которая оказалась зависящей
величины действия S) не только форму траектории      от реального распределения масс.
(как в принципе Мопертюи), но и характер движе-          Вариационные принципы и физическая идея об
ния по ней с течением времени. При этом должно       оптико-механической аналогии имели определяю-
только выполняться условие: полное время движе-      щее значение для рождения волновой и квантовой
ния фиксировано.                                     механики. В этом можно легко убедиться, если за-
   Итак, принцип наименьшего действия Гамиль-        глянуть в оригинальные работы Луи де Бройля и
тона можно сформулировать следующим образом.         Э. Шрёдингера (см. переводы этих работ в книге
Действие S для истинного движения материальной       [3]). Вариационные принципы применяются и в
точки, траектория которого в начальный и конечный    квантовой теории поля, являющейся базой для ис-
моменты времени проходит через две определенные      следования элементарных частиц.
точки, принимает минимальное значение по сравне-         Вы видите, что рожденные усилиями гениев ва-
нию с любыми виртуальными движениями, траекто-       риационные принципы механики и оптики оказали
рии которых в указанные моменты времени проходят     огромное влияние на последующее развитие всей
через те же две точки.                               физики, – влияние, простирающееся до наших
   Из-за недостатка места мы не приводим здесь       дней и далеко не исчерпанное.
конкретных примеров, подтверждающих справед-
ливость принципов Мопертюи и Гамильтона. Уче-        ганЦкДнмкД
нику можно рекомендовать самостоятельно убе-
                                                        1. Ньютон И. Математические начала натуральной
диться в этом на примере свободного падения тела в      философии. М.: Наука, 1989. 688 с.
однородном поле тяжести. Это можно сделать ана-         2. Трифонов Е.Д. Оптико-механическая аналогия в из-
литически, если ученик знаком с интегрированием         ложении для школьников // Соросовский Образова-
элементарных функций, или с помощью компьюте-           тельный Журнал. 1997. № 10. С. 133–137.
ра, который становится все более доступным для          3. Вариационные принципы механики: Сб. ст. / Под
школьного обучения.                                     ред. Л.С. Полака. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959.
                                                        932 с.
бДдгыуЦзаЦ                                              4. Гюйгенс Х. Трактат о свете. М.; Л., 1935.
   Кратко остановимся на роли, которую сыграли          5. Кудрявцев П.С. История физики. М.: Учпедгиз, 1948.
                                                        Т. 1. 535 с.
вариационные принципы в развитии физики.
                                                        6. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Оптика. М.: Нау-
   После формулировки вариационных принци-              ка, 1980. 751 с.
пов в форме Мопертюи и Гамильтона были предло-          7. Полак Л.С. Уильям Гамильтон. М.: Наука, 1993. 270 с.
жены и другие вариационные принципы механики.
Их общее значение заключалось в том, что с их по-                           * * *
мощью удавалось единым методом получать урав-           Евгений Дмитриевич Трифонов, доктор физико-
нения движения сложных механических систем. (В       математических наук, профессор Российского
основной части статьи мы не затрагивали этого        государственного педагогического университета
важного этапа применения вариационных принци-        им. А.И. Герцена. Область научных интересов: тео-
пов, поскольку это требует достаточно сложного, и    рия твердого тела, квантовая нелинейная оптика.
не только для школьников, математического аппа-      Автор более 100 работ и двух монографий.



нкаойзйЗ Ц.С. ЗДкаДсайззхЦ иказсаих З оабадЦ                                                                      111



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика