Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Обратные тригонометрические функции: Элективный курс для учащихся 10-11-х профильных классов

Голосов: 7

Предложенное учебно-методическое пособие предназначено для учителей математики в помощь проведения элективных курсов профильной школы. Пособие включает пояснительную записку, учебно-тематический план, методические рекомендации, литературу.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                   Тамбовский областной институт повышения
                 квалификации работников образования




Дятлук Е.Н., Милосердова Л.А.



                        Элективный курс
             «Обратные тригонометрические функции»
                           для учащихся
                   10-11-х профильных классов




                      Учебно-методическое пособие


                             ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

    Актуальность курса.
    Предлагаемый курс предназначен для тех, кто готовит учащихся к школьным выпускным эк-
заменам и к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения.
Он призван как можно полнее расширить рамки математических знаний каждого ученика, учиты-
вая уровень его математической подготовки.
Несмотря на то, что «Тригонометрия»- одна из центральных тем программы, и на ней сосредото-
чено внимание учащихся, по- прежнему задания, содержащие тригонометрические функции, яв-
ляются одними из самых сложных для выпускников.
Обратным тригонометрическим функциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению,
должного внимания не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
котангенса только лишь для того, чтобы затем перейти к решению тригонометрических уравнений
и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия аркфункций и их свойства. Материал
не изложен в учебниках, но содержится в программе ЕГЭ и Всероссийского централизованного
тестирования.

Цели курса:
-повышение уровня математической культуры учащихся,
- формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности, и
развитие их математических способностей;
-формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где
математика является одним из профилирующих предметов.
Для реализации этой цели необходимо решение следующих задач:
- углубить теоретические знания учащихся по теории обратных тригонометрических функций;
-сформировать представление о методах и способах решения уравнений и неравенств, содержа-
щих обратные тригонометрические функции;
-развитие исследовательских умений и навыков учащихся.

Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследова-
тельской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и
осознание математических методов познания действительности, на развитие математического
мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестан-
дартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точ-
ный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для реше-
ния задач.

                           Требования к уровню усвоения курса.

По окончанию изучения курса учащиеся должны
уметь:
выполнять построения графиков обратных тригонометрических функций;
применять теорию к преобразованию выражений с аркфункциями;
решать уравнения и неравенства с аркфункциями;
владеть:
методами исследования свойств обратных тригонометрических функций;
различными методами решения уравнений и неравенств с аркфункциями.

В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения: традиционное (объясни-
тельно-иллюстративное) обучение, деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процес-
се решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности уча-
щихся) и инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной
работы с информационным материалом).


Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения:
- коллективные, индивидуальные и групповые;
- взаимного обучения, самообучение, саморазвитие.

Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразно-
сти – лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:
- математический диктант;
- срезы знаний и умений в процессе обучения;
- итоговый контроль.

Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы.

Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике,
творческую активность и результативность учащихся.

Курс рассчитан на 16 часов, однако его программа может корректироваться. Учитывая особенно-
сти школы, класса, уровень подготовки учащихся, учитель может изменять последовательность
изучения материала, уровень его сложности, самостоятельно распределять часы и выбирать кон-
кретные формы занятий.

                          Примерный учебно-тематический план (16 ч)


 №
 п/п                  Тема занятия                  Теоретические        Практические
                                                    занятия              занятия

1.     Функции у=arcsinx y=arccosx y=arctgx                 2                  2

       y=arcctgx.

2.     Операции над обратными тригонометриче-                                  4
       скими функциями.

3.     Обратные тригонометрические операции над                                2
       тригонометрическими функциями.

4.     Уравнения с аркфункциями.                                               2

5.     Неравенства с аркфункциями.                                             2

6.     Контрольная работа.                                                     2

       Итого:                                               2                  14

                        ВСЕГО:                                      16


      В результате изучения данного курса учащийся должен овладеть следующими общеучеб-
ными и коммуникационными компетенциями:
-приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические
сведения, необходимую математическую символику,


-уметь точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и применять их,
излагая собственные рассуждения при решении задач,
-свободно оперировать аппаратом алгебры и тригонометрии при решении задач,
-уметь самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от
постановки цели до получения и оценки результата),
-творчески решать учебные и практические задачи: уметь мотивированно отказываться от образца,
искать оригинальные решения,
-уметь вести диалог в групповом взаимодействии, следовать этическим нормам и правилам веде-
ния диалога,
-уметь самому убеждать и доказывать, приводить примеры, подбирать аргументы, формулировать
выводы.

                                       Содержание курса

                                          Занятие 1 (2 ч).
      Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Цель: полное освещение данного вопроса.
I.Функция y = arcsin х.
      Рассмотрим функцию y = sin x. Так как область определения этой функции - вся ось Ох, а
область изменения значений - отрезок [-1; 1], то об обратной функции (по отношению к функции y
= sin x) имеет смысл говорить только на отрезке [-1; 1] оси Оу. Пусть, например, известно, что у =
sin x = а, где -1 ≤ а ≤ 1. Сколько значений х можно найти из последнего уравнения? На рис. 1 вид-
но, что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, х3, ...), обладающих тем свой-
ством, что




                                           <Рисунок 1>
sin xi = a, где i = 1, 2, ... .
       Для того, чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = sin x, достаточно
рассмотреть какой-либо наибольший отрезок оси Ох, на котором функция y = sin x или монотонно
возрастает, или монотонно убывает. Функция y = sin x монотонно возрастает от      -1 до +1, на-
                        ⎡ π π⎤                              ⎡ π        π       ⎤
пример, на отрезке ⎢− , ⎥ и вообще на любом отрезке вида ⎢− + 2πκ , + 2πκ ⎥ , где k = 0, ± 1,
                        ⎣ 2 2⎦                              ⎣ 2        2       ⎦
                                                                   ⎡π       3π        ⎤
± 2, ... . Она монотонно убывает от +1 до -1 на любом отрезке вида ⎢ + 2πκ , + 2πκ ⎥ , где k =
                                                                   ⎣2        2        ⎦
0, ± 1, ± 2, ...
       На всей оси Ох функция y = sin x обратной (однозначной) функции не имеет. На каждом же
из отрезков монотонности функция y = sin x имеет обратную функцию. Остается теперь зафикси-
ровать какой-либо из этих отрезков. В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается


                                                                    ⎡ π π⎤
функция y = sin x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок ⎢− , ⎥ . Итак, рассмотрим
                                                                    ⎣ 2 2⎦
                              ⎡ π π⎤
функцию y = sin x на отрезке ⎢− , ⎥ . На этом отрезке функция y = sin x монотонно возрастает,
                              ⎣ 2 2⎦
принимая все значения от -1 до +1. Следовательно, для любого у0 из отрезка [-1, 1] оси Оу найдет-
                                                  ⎡ π π⎤
ся, и притом только одно, значение х0 из отрезка ⎢− , ⎥ оси Ох такое, что у0 = sin х0, т.е. для
                                                  ⎣ 2 2⎦
функции y = sin x на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую
условились называть арксинусом и обозначать так: х = arcsin y.
      Меняя, как обычно, обозначения, пишут y = arcsin x.
      График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно бис-
сектрисы I - III координатных углов.




                                             <Рисунок 2>

                                       Свойства функции y = arcsin x.

1)Область определения: отрезок [-1; 1].
                             ⎡ π π⎤
2)Область значений: отрезок ⎢− , ⎥ .
                             ⎣ 2 2⎦
3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x.
                                                            ⎡ π π⎤
4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая на [-1; 1] от ⎢− , ⎥ .
                                                            ⎣ 2 2⎦
5)Функция y = arcsin x отрицательна на [-1; 0) и положительна на (0; 1],
аrcsin 0 =0.
                                                                        ⎡ π π⎤
Перечисленные свойства вытекают из свойств функции y = sin x на отрезке ⎢− , ⎥ .
                                                                        ⎣ 2 2⎦
                                                          ⎡ π π⎤
ОПР. Арксинусом числа а называется такое число из отрезка ⎢− , ⎥ , синус которого равен а.
                                                          ⎣ 2 2⎦
                          1
Пример 1. Найти α = arcsin . Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой
                          2
                                   π     π                        1
аргумент α, лежащий в пределах от − до , синус которого равен .
                                   2     2                        2
                                                                                 1
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен , например:
                                                                                 2
π 5π 13π −7π
  , ,     ,     и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке
 6 6 6       6


⎡ π π⎤                              π                1 π
⎢− 2 , 2 ⎥ . Таким аргументом будет 6 . Итак, arcsin 2 = 6 .
⎣        ⎦
                            ⎛   3⎞
Пример 2. Найти α = arcsin⎜ − ⎟ .
                            ⎝ 2 ⎠
                                                                    ⎛     3⎞      π
Решение. Рассуждая так же, как и в примере 1, получим arcsin⎜ − ⎟ = − .
                                                                    ⎝ 2 ⎠          3
        Устные упражнения.
                                            1             1            3               3            2
        Найти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin ( − ), arcsin      , arcsin ( −    ), arcsin    , arc-
                                            2             2           2               2            2
         2
sin ( −    ), arcsin 0.
        2
                                ⎛     3⎞      π          π ⎡ π π⎤            ⎛ π⎞         3
        Образец ответа: arcsin⎜ − ⎟ = −         , т.к. − ∈ ⎢− ; ⎥ , sin⎜ − ⎟ = −            .
                                ⎝ 2 ⎠         3          3 ⎣ 2 2⎦            ⎝ 3⎠        2
                                        ⎛
       Имеют ли смысл выражения: arcsin⎜ −
                                                    2⎞
                                                                            (
                                                     ⎟ ; arcsin 1,5; arcsin 3 − 20 ?    )
                                        ⎝           3⎠
       Расположите в порядке возрастания:
           π                                                                            π
а)arcsin       , arcsin (-0,3), arcsin 0,9;   б) arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin       .
           6                                                                            8

II. Функция y = arccos x.
Функция y = cos x определена на всей оси Ох и изменяется в отрезке [-1, 1] оси Оу. Если поставить
вопрос об определении тех х, при которых y = cos x = a, где -1 ≤ а ≤ 1, то увидим, что эта задача
решается неоднозначно. На рис. 3




                                                 <Рисунок 3>

видно, что существует бесконечно много значений аргумента               х (х1, х2, х3, ...), обладающих тем
свойством, что cos xi = a, где i = 1, 2, ... . Для того, чтобы мы могли ввести функцию, обратную по
отношению к функции y = cos x, нам нужно взять наибольший отрезок оси Ох, на котором она или
монотонно возрастает, или монотонно убывает. Функция y = cos x монотонно возрастает от -1 до
                          [                   ]
+1 на любом отрезке вида ( 2κ − 1) ⋅ π ,2πκ , где k = 0, ± 1, ± 2, ... ; она монотонно убывает от +1 до
-1 на любом отрезке вида [ 2πκ ,( 2κ + 1)π ] , где k = 0, ± 1, ± 2, ...

    В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция y = cos x и обратная к ней
функция, обычно берут отрезок [0, π]. На этом отрезке функция y = cos x монотонно убывает, при-
нимая все значения от +1 до -1. Следовательно, для любого у0 из отрезка [-1, 1] оси Оу найдется, и


притом только одно, значение х0 из отрезка [0, π] такое, что у0 = cos х0, т.е. для функции y = cos x
на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть
арккосинусом и обозначать так: х = arccos y.
     Меняя, как обычно, обозначения, пишут: y = arccos x.

     График функции y = arccos x симметричен с графиком функции     y = cos x относительно
биссектрисы I - III координатных углов.
     Свойства функции y = arccos x вытекают из соответствующих свойств функции y = cos x на
отрезке [0, π] и видны из графика на рис. 4.




                                          <Рисунок 4>
Перечислим эти свойства:
1) Область определения: отрезок [-1; 1].
2) Область значений: отрезок [0, π].
3) Функция y = arccos x ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество
arccos (-x) = π - arccos x.
4) Функция y = arccos x монотонно убывающая на [-1; 1] от π до 0.
                                                             ⎛ π⎞
5) График пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке ⎜ 0, ⎟ .
                                                             ⎝ 2⎠
6) Функция y = arccos x положительна на [-1, 1), arccos 1 = 0.

ОПР. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0, π], косинус которого равен а.
                           ⎛   3⎞
Пример 1. Найти α = arccos ⎜ − ⎟ .
                           ⎝ 2 ⎠
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде-
                                           3
лах от 0 до π, косинус которого равен −      .
                                          2
                                                                                       3
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен −           , напри-
                                                                                      2
      5π 7π −5π −7π
мер:      , ,      ,    и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрез-
       6 6 6         6
                                   5π                ⎛   3 ⎞ 5π
ке [0, π]. Таким аргументом будет      . Итак, arccos⎜ − ⎟ =    .
                                    6                ⎝ 2 ⎠    6
                          ⎛ 2⎞
Пример 2. Найти α = arccos⎜   ⎟.
                          ⎝ 2 ⎠


                                                                    ⎛ 2⎞ π
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arccos⎜   ⎟= .
                                                                    ⎝ 2 ⎠ 4

       Устные упражнения.
                                      3          ⎛   3⎞         ⎛ 1⎞            2
Найти: arccos 1, arccos 0, arccos       , arccos ⎜ − ⎟ , arccos ⎜ − ⎟ , arccos    .
                                     2           ⎝ 2 ⎠          ⎝ 2⎠           2

Имеют ли смысл выражения: arccos              5 , arccos
                                                           2
                                                           3
                                                                               ( )
                                                             , arccos π, arccos − 3 ?

Расположите в порядке возрастания:
                                                                                       π
а)arccos 0,4; arccos (-0,2); arccos (-0,8);      б)arccos 0,9; arccos (-0,6); arccos       ;
                                                                                       5

III. Функция y = arctg x.
      Рассмотрим функцию y = tg x. Область определения этой функции - вся ось Ох, за
                                      π
исключением точек вида xn =        ⋅ ( 2 n + 1) , где n = 0, ± 1, ± 2, ... , и область изменения значе-
                                 2
ний - вся ось Оу. Об обратной функции (по отношению к функции y = tg x) можно уже говорить
для всей оси Оу. Задача нахождения х из уравнения tg x = a и здесь имеет бесчисленное множество
решений. На рис.5 видно,




                                                   <Рисунок 5>



       что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, ...), таких, что tg xi = a, где i =
1, 2, ... . Для того, чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = tg x, доста-
точно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором она монотонно возраста-
                                                                                    ⎛ π π⎞
ет. Функция y = tg x монотонно возрастает от - ∞ до + ∞, например, на интервале ⎜ − , ⎟ и во-
                                                                                    ⎝ 2 2⎠
                              ⎛ π      π       ⎞
обще на любом интервале вида ⎜ − + πκ , + πκ ⎟ , где k = 0, ± 1, ± 2, ... В качестве интервала оси
                              ⎝ 2       2      ⎠
Ох, на котором рассматривается функция y = tg x и обратная к ней функция, берут обычно интер-
    ⎛ π π⎞
вал ⎜ − , ⎟ .
    ⎝ 2 2⎠
На этом интервале функция y = tg x монотонно возрастает, принимая все значения от - ∞ до + ∞.


Следовательно, для любого у0, лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение х0
              ⎛ π π⎞
из интервала ⎜ − , ⎟ такое, что у0=tg х0, т.е. для функции y = tg x на указанном интервале суще-
              ⎝ 2 2⎠
ствует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арктангенсом и обозначать
так: х = arctg y.
     Меняя, как обычно, обозначения, пишут: y = arctg x.

     График функции y = arctg x симметричен с графиком функции    y = tg x относительно бис-
сектрисы I - III координатных углов.
     Свойства функции y = arctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = tg x на
           ⎛ π π⎞
интервале ⎜ − , ⎟ и видны из графика на рис. 6.
           ⎝ 2 2⎠




                                                <Рисунок 6>
Перечислим эти свойства:
1) Область определения: х - любое действительное число.
                                    ⎛ π π⎞
2) Область значений: интервал ⎜ − , ⎟ .
                                    ⎝ 2 2⎠
3) Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x.
4) Функция y = arctg x монотонно возрастающая на R.
5) arctg x < 0 на (- ∞; 0) и arcctg x > 0 на (0; + ∞), arctg 0 = 0.
                  π           π
6) Прямые y =         и y=−       - горизонтальные асимптоты графика.
                  2           2
                                                                 ⎛ π π⎞
ОПР. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала ⎜ − , ⎟ , тангенс которого ра-
                                                                 ⎝ 2 2⎠
вен а.
                          ⎛ 3⎞
Пример 1. Найти α = arctg ⎜ ⎟ .
                          ⎝ 3⎠
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде-
        π    π                             3
лах от − до , тангенс которого равен         .
        2     2                           3
                                                                                   3
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен         , напри-
                                                                                  3
     π 7π −5π
мер: , ,        и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале
      6 6 6


⎛ π π⎞                          π              ⎛ 3⎞ π
⎜ − , ⎟ . Таким аргументом будет . Итак, arctg ⎜ ⎟ = .
⎝ 2 2⎠                          6              ⎝ 3⎠ 6

Пример 2. Найти α = arctg (-1).
                                                                                π
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arctg (−1) = −         .
                                                                                 4
        Устные упражнения.
               ⎛ 3⎞
Найти: arctg ⎜ ⎟ , arctg (-1), arctg 0, arctg 3 .
               ⎝ 3⎠
Расположите в порядке возрастания:
а) arctg 100, arctg (-5), arctg 0,7; б) arctg (-95), arctg 3,4, arctg 17.


IV. Функция y = arcctg x.
      Функция y = сtg x определена на всей оси Ох, за исключением точек вида хn = πn, где n = 0, ±
1, ± 2, ... Областью изменения ее значений является вся ось Оу. Существует бесконечно много
значений аргумента х (х1, х2, ...), для которых сtg xi = a, где i = 1, 2, ... (рис. 7).




                                            <Рисунок 7>
      В качестве интервала оси Ох, на котором определяется обратная функция по отношению к
функции y = сtg x, берут обычно интервал (0, π). На этом интервале функция y = сtg x монотонно
убывает, принимая все значения от + ∞ до - ∞. Следовательно, для любого у0, лежащего на оси Оу,
найдется, и притом только одно, значение х0 из интервала (0, π) такое, что у0 = сtg х0, а это и зна-
чит, что на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую называют
арккотангенсом и обозначают так: х = arcсtg y.
      Меняя обозначение, пишут: y = arcсtg x.
      График функции y = arcсtg x симметричен с графиком функции y = сtg x относительно бис-
сектрисы I - III координатных углов.
Свойства функции y = arсctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = сtg x на ин-
тервале (0, π) и видны из графика на рис. 8.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика