Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Теоретические основы автоматизированного управления: Методические указания к практическим занятиям

Голосов: 2

Приводятся методические указания к 15 практическим занятиям по курсу "Теоре-тические основы автоматизированного управления". Каждое практическое занятие включает в себя краткие теоретические сведения, иллюстрируемые решением типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения. Предназначены для студентов специальности "Автоматизированные системы обработки информации и управления" дневного и заочного обучения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                 Федеральное агентство по образованию

       Пермский государственный технический университет

Кафедра Информационных технологий и автоматизированных систем




             МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
                к практическим занятиям
                        по курсу
              ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
         АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ




                         Пермь 2006


УДК 681.3




Методические указания к практическим занятиям по курсу Теоретические
основы автоматизированного управления/ Сост. Р.А. Файзрахманов, И.Н.
Липатов/ Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2006. 100 с.




       Приводятся методические указания к 15 практическим занятиям по курсу Теоре-
тические основы автоматизированного управления. Каждое практическое занятие
включает в себя краткие теоретические сведения, иллюстрируемые решением типовых
задач, а также задачи для самостоятельного решения.
       Предназначены для студентов специальности «Автоматизированные системы
обработки информации и управления» дневного и заочного обучения.




      Рецензент канд. техн. наук, доцент Е.В. Долгова




                                             © Пермский государственный
                                               технический университет, 2006

                                                                                2


                          ОГЛАВЛЕНИЕ

Практическое занятие №1. Определение математического ожидания,
дисперсии, корреляционной функции …………………………………..                 4
Практическое занятие №2. Определение вероятностных характери-
стик интеграла от случайного процесса ………………………………...             7
Практическое занятие №3. Определение вероятностных характери-
стик производной от случайного процесса …………………………….              9
Практическое занятие №4. Определение спектральной плотности по
корреляционной функции ………………………………………………..                       11
Практическое занятие №5. Определение дисперсии случайного про-
цесса на выходе динамической системы ………………………………..               13
Практическое занятие №6. Формирующие фильтры …………………..            18
Практическое занятие №7. Цепи Маркова ……………………………...              22
Практическое занятие №8. Определение матрицы М среднего време-
ни перехода к некоторому состоянию из других состояний …………       27
Практическое занятие №9. Каноническое разложение случайного
процесса …………………………………………………………………                                31
Практическое занятие №10. Задача детерминированного линейного
оптимального управления ………………………………………………..                      34
Практическое занятие №11. Стохастическое линейное оптимальное
регулирование с обратной связью по выходной переменной …………       40
Практическое занятие №12. Система массового обслуживания с ожи-
данием ……………………………………………………………………..                               47
Практическое занятие №13. Статистическое упреждение (прогнози-
рование) …………………………………………………………………...                             59
Практическое занятие №14. Методы теории информации …………….         67
Практическое занятие №15. Параметрическая идентификация линей-
ных систем ………………………………………………………………...                            75




                                                                       3


                     Практическое занятие №1.
          Определение математического ожидания, дисперсии,
                      корреляционной функции

                                 Теоретические сведения

       Пусть ϕ(t ) – неслучайная функция, X (t ) , Y (t ) – независимые слу-
чайные функции.
     Свойства математического ожидания:
     1) M [ϕ(t )] = ϕ(t ).
     2) M [ϕ(t ) ⋅ X (t )] = ϕ(t ) ⋅ mx (t ).
     3) M [ X (t ) + Y (t )] = m x (t ) + m y (t ).
     4) M [ X (t ) ⋅ Y (t )] = m x (t ) ⋅ m y (t ).
     Пусть ϕ(t ) – неслучайная функция, X (t ) , Y (t ) – независимые слу-
чайные функции, тогда дисперсия случайно величины X (t ) :
                                                                                 o
                           D[ X (t )] = M{[ X (t ) −m x (t )]2 } = M [ X (t )]2 .

     Свойства дисперсии:
     1) D[ϕ(t )] = 0.
                             2
     2) D[ϕ(t ) ⋅ X (t )] = ϕ (t ) ⋅ Dx (t ).
     3) D[ X (t ) + Y (t )] = D x (t ) + D y (t ).
     4) D[ X (t )] ≥ 0.
     Пусть ϕ(t ) – неслучайная функция, X (t ) – случайная функция.
     Корреляционной функцией называется математическое ожидание
произведения значений случайной функции X (t ) для двух моментов вре-
мени t1 ,t 2 :
                                                   ∞ ∞
      K x (t1 , t 2 ) = M [ X (t1 ) ⋅ X (t 2 )] = ∫ ∫ x1 ⋅ x2 ⋅ f ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2 .
                                                  −∞ −∞

     Свойства корреляционной функции:
     1. K x (t1 , t 2 ) = K x (t 2 , t1 ).
     Для стационарных процессов K x (τ) = K x (−τ), где τ = t1 − t 2 .
     2. K x (t , t ) = Dx (t ).
     3. Пусть Y (t ) = ϕ(t ) ⋅ X (t ), тогда K y (t1 , t 2 ) = ϕ(t1 ) ⋅ ϕ(t 2 ) ⋅ K x (t1 , t 2 ).
     4. Пусть Y (t ) = ϕ(t ) + X (t ), тогда K y (t1 , t 2 ) = K x (t1 , t 2 ).
     5. Пусть Z (t ) = X (t ) + Y (t ), тогда
              K z (t1 , t 2 ) = K x (t1 , t 2 ) + K y (t1 , t 2 ) + K xy (t1 , t 2 ) + K yx (t1 , t 2 ).


                                                                                                           4


        6. Пусть Z (t ) = a (t ) ⋅ X (t ) + b(t ) ⋅ Y (t ), где a (t ), b(t ) – неслучайные,
тогда
                 K z (t1 , t 2 ) = a (t1 ) ⋅ a(t 2 ) ⋅ K x (t1 , t 2 ) + b(t1 ) ⋅ b(t 2 ) ⋅ K y (t1 , t 2 )
                 + a(t1 ) ⋅ b(t 2 ) ⋅ K xy (t1 , t 2 ) + b(t1 ) ⋅ a(t 2 ) ⋅ K yx (t1 , t 2 ).

                                          Решение типовых задач

      Задача 1.1. Определить математическое ожидание произведения
двух функций sin t ⋅ e α⋅t , где α = const.
      Решение. Используем первое свойство математического ожидания,
так как обе функции неслучайные ⇒ M [sin t ⋅ e αt ] = sin t ⋅ e αt .
      Задача 1.2. Определить математическое ожидания следующего вы-
ражения cos(α ⋅ t ) ⋅ eβ⋅t + sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t ), где α, β = const.
      Решение. Сначала используем третье свойство математического
ожидания:
                       M [cos(α ⋅ t ) ⋅ e β⋅t + sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t )] =
                             = M [cos(α ⋅ t ) ⋅ e β⋅t ] + M [sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t )].
        Затем применим первое свойство математического ожидания
                             M [cos(α ⋅ t ) ⋅ eβ⋅t ] + M [sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t )] =
                             = cos(α ⋅ t ) ⋅ eβ⋅t + sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t ).
        Задача 1.3. Определить дисперсию следующего выражения:
                                   cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1. β = const.
      Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четы-
ре слагаемых данного выражения неслучайные функции:
                        D [cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1] = 0.
        Задача 1.4. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
                                                                         1
                                   Z (t ) = sin( w ⋅ t ) X (t ) +                 Y (t ).
                                                                     cos( w ⋅ t )
     Решение. Используем сначала пятое, затем третье свойства корреля-
ционной функции:
                                                                                       K y (t1 , t 2 )
             K z (t1 , t 2 ) = sin( w ⋅ t1 ) sin( w ⋅ t 2 ) K x (t1 , t 2 ) +                                  +
                                                                                cos( w ⋅ t1 ) cos( w ⋅ t 2 )
                 sin( w ⋅ t1 )                     sin( w ⋅ t 2 )
             +                  K xy (t1 , t 2 ) +                K yx (t1 , t 2 )
                 cos( w ⋅ t 2 )                    cos( w ⋅ t1 )



                                                                                                                   5


     Задача 1.5. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
                                        1
     z (t ) = sin( w ⋅ t ) X (t ) +              Y (t ), если X (t ), Y (t ) – независимые.
                                    cos( w ⋅ t )
     Решение. Используем третье свойство корреляционной функции:

                                                                                     K y (t1 , t 2 )
           K z (t1 , t 2 ) = sin( w ⋅ t1 ) sin( w ⋅ t 2 ) K x (t1 , t 2 ) +                                  .
                                                                              cos( w ⋅ t1 ) cos( w ⋅ t 2 )

                         Задачи для самостоятельного решения

     Задача 1.6. Определить математическое ожидание произведения
                                    α⋅t
двух функций cos(β ⋅ t ) ⋅ e , где α, β = const.
     Задача 1.7. Определить математическое ожидание выражения:
                                               1
                   e α⋅t ⋅ cos(β ⋅ t ) +               eβ⋅t , где α, β = const.
                                           sin(α ⋅ t )
     Задача 1.8. Определить математическое ожидание выражения:
                         e α⋅t ⋅ cos(β ⋅ t ) ⋅ X (t ), где α, β = const.
     Задача 1.9. Определить математическое ожидание выражения:
                                               1
                  cos(β ⋅ t ) X (t ) +                 Y (t ), где α, β = const.
                                           sin(α ⋅ t )
     Задача 1.10. Определить дисперсию следующего выражения:
                               e α⋅t cos(β ⋅ t ), где α, β = const.
     Задача 1.11. Определить дисперсию следующего выражения:
                            e α⋅t cos(β ⋅ t ) X (t ), где α, β = const.
     Задача 1.12. Определить дисперсию следующего выражения:
                  (e α⋅t + cos(β ⋅ t ) + t 2 + 1) X (t ), где α, β = const.
     Задача 1.13. Определить дисперсию следующего выражения:
                       e α⋅t X (t ) + cos(β ⋅ t )Y (t ), где α, β = const.
     Задача 1.14. Определить дисперсию следующего выражения:
                   e α⋅t X (t ) + cos(β ⋅ t )Y (t ) + t 3 , где α, β = const.
     Задача 1.15. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
                                              1
                      z (t ) = sin(α ⋅ t )             X (t ) .
                                           cos(β ⋅ t )


                                                                                                                 6


      Задача 1.16. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
                               z (t ) = sin( w ⋅ t ) cos( w ⋅ t ) X (t ).
      Задача 1.17. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .

                       z (t ) = sin(α ⋅ t ) cos(β ⋅ t ) X (t ) + e α⋅t + e β⋅t .
      Задача 1.18. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .

                  z (t ) = sin(α ⋅ t ) cos(β ⋅ t ) X (t ) + e α⋅t + eβ⋅t + t + 1.
      Задача 1.19. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
                           z (t ) = sin( w ⋅ t ) X (t ) + cos( w ⋅ t )Y (t ).
         Задача 1.20. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
z (t ) = a ⋅ X (t ) + b ⋅ Y (t ), X , Y – стационарные процессы, τ = t1 − t 2 .
         Задача 1.21. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
z (t ) = a ⋅ X (t ) − b ⋅ Y (t ), X , Y – стационарные процессы, τ = t1 − t 2 .

                             Практическое занятие №2.
                      Определение вероятностных характеристик
                          интеграла от случайного процесса

                                    Теоретические сведения
                       t
      Пусть Y (t ) = ∫ X (t )dt , где X (t ), Y (t ) – случайные процессы.
                       0
Тогда математическое ожидание:
                                                         t
                                        m y (t ) = ∫ m x (t )dt                     (2.1)
                                                     0
Корреляционная функция этого процесса:
                                                 t1 t2
                                                            ′ ′ ′ ′
                                K y (t1 , t 2 ) = ∫ ∫ K x (t1 , t 2 )dt1dt 2        (2.2)
                                                 00
Дисперсия случайного процесса Y (t ) :
                           D y (t ) = K y (t , t ) .                                (2.3)

                                     Решение типовых задач

      Задача 2.1. Случайный процесс задан следующим выражением
                  t
Y (t ) = (sin wt + 1) ∫ X (τ)dτ. Определить математическое ожидание, корреля-
                  0
ционную функцию и дисперсию.
     Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-
ся выражением (2.1) и вторым свойством математического ожидания:


                                                                                       7


                                                   t                                           t
                   m y (t ) = M [(sin wt + 1) ∫ X (τ)dτ] =(sin wt + 1) M [ ∫ X (τ)dτ] =
                                                   0                                           0
                                              t
                           = (sin wt + 1) ∫ m x (τ)dτ.
                                              0

Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением
(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:

                                                                                       t1 t2
 K y (t1 , t 2 ) = ϕ(t1 )ϕ(t 2 ) K z (t1 , t 2 ) = (sin wt1 + 1)(sin wt 2 + 1) ∫ ∫ K x (τ1 , τ 2 )dτ1dτ 2 .
                                                                                       00


Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся
выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
                                                                        t t
                       D y (t ) = ϕ 2 (t ) Dx (t ) = (sin wt + 1) 2 ∫ ∫ K x (τ1 , τ 2 )dτ1dτ 2 .
                                                                        00


       Задача 2.2. Случайный процесс задан следующим выражением
                                                       t
                                Y (t ) = (e αt + 1) ∫ X (τ)dτ + cos wt + 1.
                                                       0

Опередить математическое ожидание, корреляционную функцию и дис-
персию, если заданы

                        mx (t ) = t 3 + t 2 + t + 1, K x (t1 , t 2 ) = e − αt1 ⋅ e − αt2 .

     Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-
ся выражением (2.1), первым и вторым свойствами математического ожи-
дания:
                            t                                                   t
 m y (t ) = M [(e αt + 1) ∫ X (τ)dτ + cos wt + 1] = (e αt + 1) M [ ∫ X (τ)dτ] + cos wt + 1 =
                            0                                                   0
               t                                             t
 = (e αt + 1) ∫ m x (τ)dτ + cos wt + 1 = (e αt + 1) ∫ (τ3 + τ 2 + τ + 1)dτ + cos wt + 1 =
               0                                             0

      t4 t3 t2
 =(     + + + t )(e αt + 1) + cos wt + 1.
      4 3 2
Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением
(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
                                                                               t1 t2
      K y (t1 , t 2 ) = ϕ(t1 )ϕ(t 2 ) K z (t1 , t 2 ) = (e αt1 + 1)(e αt2 + 1) ∫ ∫ e −ατ1 e −ατ2 dτ1dτ 2 =
                                                                               00
                        1 αt1
                   =     2
                           (e + 1)(e αt2 + 1)(1 − e −αt1 )(1 − e −αt2 ).
                       α


                                                                                                              8


Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся
выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
                                            1 − αt
                               D y (t ) =     2
                                                (e + 1) 2 ⋅ (1 − e − αt ) 2 .
                                            α

                       Задачи для самостоятельного решения

      Задача 2.3. Случайный процесс задан следующим выражением
                 t
Y (t ) = (sin wt + 1) ∫ X (τ)dτ + 3t 2 + 2t + 1. Определить математическое ожида-
                 0
ние, корреляционную функцию и дисперсию.
      Задача 2.4. Случайный процесс задан следующим выражением
       t
Y (t ) = ∫ X (τ)dτ. Определить математическое ожидание, корреляционную
       0
функцию и дисперсию, если заданы
                           m x (t ) = t + 1, K x (t1 , t 2 ) = sin wt1 ⋅ sin wt 2 .
      Задача 2.5. Случайный процесс X (t ) имеет характеристики

                      mx (t ) = t 2 + 2t + 1; K x (t1 , t 2 ) = Dx e α (t1 + t2 ) .
Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию
случайного процесса Y (t )
                                  sin wt t               2   αt
                          Y (t ) = 2     ∫ X ( τ) dτ + 3t + e .
                                  t +1 0

                            Практическое занятие №3.
                     Определение вероятностных характеристик
                        производной от случайного процесса

                                    Теоретические сведения
            dX (t )
Пусть Y (t ) =      , где X (t ),Y (t ) – случайные процессы.
             dt
Тогда математическое ожидание данного случайного процесса Y (t ) :
                                                  dmx (t )
                                       m y (t ) =          .                          (3.1)
                                                    dt
Корреляционная функция данного случайного процесса Y (t ) :
                                                          ∂ 2 K x (t1 , t 2 )
                                        K y (t1 , t 2 ) =                     .       (3.2)
                                                              ∂t1∂t 2
Если τ = t1 − t 2 , то корреляционная функция:



                                                                                         9


                                                    d 2 K x (τ)
                                        K y (τ) = −             .                                         (3.3)
                                                       dτ 2

                                  Решение типовых задач

        Задача 3.1. Случайный процесс задан следующим выражением
                         dX (t )
Y (t ) = sin t ⋅ e −αt ⋅         + cos t + 1. Определить математическое ожидание
                          dt
этого процесса и корреляционную функцию.
        Решение. Используя свойства математического ожидания и выраже-
ние (3.1), определим математическое ожидание заданного процесса:
                                                                    dmx (t )
                   m y (t ) = M [Y (t )] = sin t ⋅ e −αt ⋅                   + cos t + 1.
                                                                      dt
Используя свойства корреляционной функции и выражение (3.2), опреде-
лим корреляционную функцию:
                                                            − αt1        − αt 2   ∂ 2 K x (t1 , t 2 )
                   K y (t1 , t 2 ) = sin t1 ⋅ sin t 2 ⋅ e           ⋅e                                .
                                                                                      ∂t1∂t 2
         Задача 3.2. Случайный процесс задан следующим выражением
          dX (t )                                                        −α τ
Y (t ) =          . Корреляционная функция определена как K x (τ) = Dx e      .
           dt
Определить корреляционную функцию заданного случайного процесса
Y (t ) .
         Решение. Для τ < 0 корреляционная функция имеет вид:
                                              d 2 K x (τ)
                              K y (τ) = −           2
                                                          = −α 2 Dx e ατ .
                                                 dτ
Для τ ≥ 0 корреляционная функция имеет вид:
                                            d 2 K x (τ)
                            K y (τ) = −                       = −α 2 D x e −ατ .
                                                dτ 2
Для любого τ корреляционная функция имеет вид:
                                          d 2 K x ( τ)             −α τ
                             K y ( τ) = −       2
                                                       = −α 2 Dx e      .
                                             dτ
                     Задачи для самостоятельного решения
         Задача 3.3. Случайный процесс задан следующим выражением
          dX (t )
Y (t ) =          . Определить математическое ожидание этого процесса и кор-
           dt
реляционную функцию, если заданы


                                                                                                            10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика