Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Оптико-механическая аналогия в изложении для школьников

Голосов: 0

Приводится элементарное доказательство оптико-механической аналогии Гамильтона, раскрывающей связь механики с геометрической оптикой. Разъясняется смысл вариационных принципов в механике и оптике.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                            THE OPTIC-MECHANICAL        ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ
                        ANALOGY
                        FOR SCHOLARS                АНАЛОГИЯ В ИЗЛОЖЕНИИ
                        E. D. TRIFONOV              ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
                        An elementary derivation    Ц. С. нкаойзйЗ
                        of Hamilton’s optic-        кУТТЛИТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ФВ‰‡„У„Л˜ВТНЛИ ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ
                                                    ЛП. Д.а. ЙВ ˆВМ‡
                        mechanical analogy
                        which states a connection
                        between mechanics and              ЗЗЦСЦзаЦ

                        the geometrical optics is             Оптико-механическая аналогия – это сходство
                                                           траектории движения частицы в потенциальном
                        presented. A meaning of            силовом поле с траекторией лучей в оптически не-
                        variational principles in          однородной среде. Траектория материальной точки
                        optics and mechanics is            и траектория светового луча совпадают при опреде-
                                                           ленном соответствии потенциальной энергии и пе-
                        clarified.                         ременного в пространстве показателя преломления
                                                           среды. Этот факт был теоретически открыт выдаю-
                                                           щимся ирландским математиком и физиком У. Р. Га-
                        и Л‚У‰ЛЪТfl ˝ОВПВМЪ‡ -
                                                           мильтоном (1805–1865) в 1834 году [1] и уже в на-
                        МУВ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚У УФ-             шем столетии оказал влияние на установление
                        ЪЛНУ-ПВı‡МЛ˜ВТНУИ ‡М‡-             связи между волновой оптикой и волновой (кванто-
                                                           вой) механикой.
                        ОУ„ЛЛ Й‡ПЛО¸ЪУМ‡, ‡Т-
                                                              Практическое значение оптико-механической
                        Н ˚‚‡˛˘ВИ Т‚flБ¸ ПВı‡-              аналогии связано с использованием ее в электрон-
                        МЛНЛ Т „ВУПВЪ Л˜ВТНУИ              ной оптике, которая занимается формированием и
                        УФЪЛНУИ. к‡Б˙flТМflВЪТfl              фокусировкой пучков электронов (или ионов) для
                                                           получения с их помощью изображений и созданием
                        ТП˚ТО    ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı              на этой основе электронных и ионных микроско-
                        Ф ЛМˆЛФУ‚ ‚ ПВı‡МЛНВ Л             пов и проекторов.
                        УФЪЛНВ.                               Обычное доказательство оптико-механической
                                                           аналогии достаточно сложно. Поэтому мы сочли
                                                           целесообразным изложить этот вопрос простым об-
                                                           разом, чтобы познакомить школьника с этой чрез-
                                                           вычайно красивой и важной теоремой физики. На-
                                                           ше изложение будет носить чисто методический
                                                           характер и сопровождаться краткими исторически-
                                                           ми комментариями.

                                                           бДдйз икЦгйегЦзаь З йинадЦ
                                                              Закон преломления является одним из основ-
                                                           ных законов геометрической оптики:
                                                              Луч падающий и луч преломленный лежат в одной
                                                           плоскости с нормалью к границе раздела двух сред.
                                                           При прохождении света из среды с показателем пре-
                                                           ломления n1 в среду с показателем преломления n2 от-
© н ЛЩУМУ‚ Ц.С., 1997




                                                           ношение синуса угла падения к синусу угла преломле-
                                                           ния равно обратному отношению показателей
                                                           преломления:
                                                                               sin α 1 n 2
                                                                               ------------- = ----
                                                                                                  -         (1)
                                                                               sin α 2 n 1
                                                           или
                                                                          n1 sin α1 = n2 sin α2 .          (1a)


                                                    нкаойзйЗ Ц.С. йинадй-еЦпДзауЦлдДь ДзДгйЙаь                    133


         Первая попытка установить количественно за-          альной ситуации. При переходе из одного слоя в
      кон преломления принадлежала, по-видимому, гре-         другой луч света будет испытывать преломление в
      ческому астроному К. Птолемею (II в. н.э.). Птоле-      соответствии с законом (1):
      мей объяснял изменение видимого относительного
                                                                              ni sin αi = ni + 1 sin αi + 1 .             (2)
      углового положения небесных светил преломлени-
      ем световых лучей в атмосфере, то есть атмосфер-            На каком-то k-м шаге луч может испытать и
      ной рефракцией. Составленные им таблицы оказа-          полное внутреннее отражение, если окажется, что
      лись достаточно точными, но так как его измерения       sin αk = π /2. Если же полного внутреннего отраже-
      относились к сравнительно небольшим углам на-           ния не происходит, то читатель может без труда до-
      блюдения, то он пришел к неправильному заключе-         казать, используя (2), что угол преломления в i-м
      нию о пропорциональности углов (а не синусов) па-       слое полностью определяется углом падения в нуле-
      дения и преломления. Эта ошибка была замечена           вом слое и наоборот:
      только через тысячу лет (!) арабским ученым Альга-
      зеном (965–1039), но правильного выражения зако-                                     n0
                                                                                 sin α i = ---- sin α 0 .
                                                                                              -                           (3)
      на он дать не смог.                                                                  ni
         Около 1270 года итальянский монах Вителиус           Поэтому истинное угловое положение светила α∞ ,
      написал десятитомную(!) оптическую энциклопе-           которое исследовал Птолемей, может быть опреде-
      дию. В ней, в частности, содержались таблицы уг-        лено по наблюдаемому положению α0 с помощью
      лов падения и преломления при переходе световых         уравнения
      лучей из воздуха в стекло, из воздуха в воду и из во-
      ды в стекло. Однако приведенные там данные были                                     n0
                                                                                sin α ∞ = ----- sin α 0 .                 (4)
      неточными. Они ввели в заблуждение И. Кеплера                                       n∞
      (1571–1630), пытавшегося найти форму поверхнос-
      ти, которая преломляет параллельный пучок так,             Напомним, что у поверхности Земли показатель
      чтобы он сходился в одной точке. Кеплер был бли-        преломления n0 = 1,0003, а n∞ полагается равным
      зок к правильному результату – гиперболической          точно 1. Конечно, простая формула (4) справедлива
      поверхности вращения, но отказался от него, так         только для светил, высоко стоящих над горизонтом,
      как он не согласовывался с данными Вителиуса.           когда луч света проходит плоский слой атмосферы и
                                                              можно пренебречь шарообразностью Земли (рис. 2).
          Честь открытия закона преломления принадле-            Изменение плотности воздуха (и вместе с ней
      жит голландскому физику В. Снеллиусу (1580–1626)        показателя преломления) с высотой оказывается
      и французскому математику, физику и философу            выраженным гораздо сильнее, если имеет место
      Р. Декарту (1596–1650). К сожалению, книга Снел-        сильный перепад температуры с высотой. Напри-
      лиуса, которая содержала этот закон, была вскоре        мер, в холодных странах плотность воздуха понижа-
      утрачена, так что “Диоптрика” Декарта является          ется с высотой более резко, чем в странах с умерен-
      первым сохранившимся изданием, содержащим за-           ным климатом. Наоборот, в жарких странах сильное
      кон преломления. После смерти Декарта была по-          нагревание воздуха у поверхности Земли приводит
      ставлена под сомнение независимость его открытия.       к тому, что воздух внизу оказывается более разре-
      Утверждали, что Декарт видел книгу Снеллиуса.           женным, чем при несколько больших высотах. По-
      Возможно, что это было и так, однако сравнительно       этому в первом случае имеется область, в которой
      недавние исследования показали, что Декарт знал         показатель преломления уменьшается с высотой, а
      закон преломления еще до своей поездки в Голлан-
      дию, где он познакомился со Снеллиусом.
          Закон преломления в форме (1) для двух сред,
      разделенных плоской поверхностью, легко обобща-                                                           α4   n4
      ется на случай неоднородной среды с изменяющим-
      ся в пространстве показателем преломления. Имен-
      но такую среду представляет собой атмосфера.                                              α3                   n3
      Неоднородность показателя преломления в атмо-
      сфере связана с неоднородностью плотности возду-                            α2                                 n2
      ха. Будем считать ради простоты, что слой воздуха
      плоский и что показатель преломления зависит                       α1                                          n1
      только от высоты. Тогда мы можем мысленно раз-
      бить этот слой воздуха на тонкие параллельные                                                                  n0
      слои, в каждом из которых показатель преломления              α0
      будем приближенно считать постоянным и изменя-
      ющимся скачком от слоя к слою (рис. 1). С умень-           Рис. 1. Траектория луча в плоском слое неодно-
      шением толщины этих вспомогательных слоев и                родной оптической среды. Показатель преломле-
      увеличением их числа мы будем приближаться к ре-           ния зависит только от высоты



134                                                             лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹10, 1997


                                                                                        а




                                  α∞




                     α0



                                                                                        б




   Рис. 2. Атмосферная рефракция. Луч света, иду-
   щий от небесного светила, преломляется в атмо-
   сфере. В результате наблюдаемое угловое поло-
   жение светила α0 отличается от истинного α∞


во втором увеличивается. При достаточно резком
изменении показателя преломления может возник-
нуть мираж, обусловленный полным внутренним
отражением лучей. Чтобы объяснить это явление,
предположим для определенности, что показатель
преломления убывает с высотой. Тогда луч, исходя-
щий от какого-то предмета на поверхности Земли,              Рис. 3. Ход лучей при наблюдении миража:
испытает полное внутреннее отражение на высоте               а – верхний мираж, б – нижний мираж
h, которую можно найти, согласно (3), из уравнения
                n(h) = n(0)sin α0 ,                 (5)   зываемых сельфоков. В частности, имеются сельфо-
где n(0) – показатель преломления воздуха на нуле-        ки, созданные на основе кварцевого стекла с пара-
вой высоте; α0 – угол, определяющий начальное на-         болической зависимостью показателя преломления
правление луча относительно вертикали; n(h) – по-         от радиуса (показатель преломления максимален на
казатель преломления на высоте h. Наблюдателю             оси световода). Интересно, что при диаметре такого
тогда будет казаться, что предмет находится навер-        световода 0,1 мм и длине 1 км по нему можно пере-
ху – это так называемый верхний мираж (рис. 3, а).        дать изображение с разрешающей способностью
Если же показатель преломления возрастает с высо-         500 линий/мм.
той, то может возникнуть нижний мираж: наряду с
истинным изображением предмета появится изобра-           бДдйз икЦгйегЦзаь З еЦпДзадЦ
жение внизу и в перевернутом виде, как это поясня-        Сгь СЗаЬЦзаь уДлнасх
ется на рис. 3, б. Даже в наших не слишком жарких         З ийнЦзсаДгъзйе ийгЦ
условиях мы часто наблюдаем нижний мираж: блес-              Мы рассмотрели пока лишь вопрос о траекто-
тящие пятна на нагретом шоссе – отражение неба.           рии луча в оптически неоднородной среде и сфор-
   Оптически неоднородные среды представляют и            мулировали алгоритм расчета этой траектории.
большой практический интерес. Их используют для           Теперь рассмотрим, как определяется траектория
конструирования так называемых абсолютных оп-             материальной точки массы m, движущейся в потен-
тических приборов, то есть оптических систем, да-         циальном поле U (x, y, z). Ее полная энергия скла-
ющих резкое (без аберрации) изображение трехмер-          дывается из кинетической и потенциальной и со-
ного предмета. Они имеют широкое применение               храняется (в силу закона сохранения энергии) в
для создания безоболочечных световодов – так на-          процессе движения


нкаойзйЗ Ц.С. йинадй-еЦпДзауЦлдДь ДзДгйЙаь З абгйЬЦзаа Сгь тдйгъзадйЗ                                          135


                         mV
                                  2                                       этому движение частицы будет происходить в одной
                     E = --------- + U ( x, y, z ),
                                 -                                  (6)   плоскости, проходящей через направление началь-
                             2
                                                                          ной скорости и направление силы. Это утверждение
      где V – абсолютная величина мгновенной скорости.                    представляет собой аналог первой части закона
          Напомним, что потенциальная энергия опреде-                     преломления.
      ляется как работа по перемещению тела из данного                       Выберем в плоскости движения декартову сис-
      положения в некоторую другую точку, в которой по-                   тему координат (x, y), причем ось Oy выберем вдоль
      тенциальная энергия принимается за нуль. В про-                     направления силы. Тогда из (10) следует
      стейшем, известном из школьного курса случае для
      потенциальной энергии в однородном поле тяжес-                                           V 2x = V 1x,
      ти имеем                                                                                             F                 (11)
                                                                                           V 2 y = V 1 y + --- ∆t,
                                                                                                             -
                            U (z) = mgz.                            (7)                                    m
      Здесь координата z определяет высоту подъема над                    где V1x , V1y , V2x , V2y – проекции скорости в первом и
      поверхностью Земли, принимаемую за уровень, для                     втором слоях на выбранные оси координат, F – со-
      которого потенциальная энергия полагается равной                    ставляющая силы вдоль оси Oy. Первое уравнение
      нулю. Более точное выражение для потенциальной                      (11) можно заменить на
      энергии тела над поверхностью Земли следует из за-
                                                                                          V2 sinα2 = V1 sinα1 ,              (12)
      кона всемирного тяготения
                                                                          где α1 и α2 – углы, которые образуют скорости в пер-
                                   mM
                          U = – γ ----------- ,
                                            -                       (8)   вом и втором слоях с направлением силы. А это как
                                  r+R                                     раз аналог второй части закона преломления, выра-
      где γ – постоянная всемирного тяготения, m – мас-                   жаемой формулой (1а).
      са тела, M – масса Земли, R – радиус Земли, r – рас-                     Напомним еще раз, что в каждом слое абсолют-
      стояние от поверхности Земли. В данном случае                       ная величина скорости однозначно определена.
      нуль потенциальной энергии выбирается в беско-                      Поэтому угол αi , под которым скорость направлена
      нечно удаленной точке.                                              к действующей силе в каждом слое, может быть
          Для нас будет важно в дальнейшем, что при                       найден с помощью закона преломления (12) по углу
      движении в потенциальном поле при заданном на-                      αi − 1 . Таким образом, для определения траектории
      чальном значении энергии абсолютная величина                        материальной точки получается тот же алгоритм,
      скорости однозначно определяется, согласно (6),                     что и для определения траектории луча (рис. 4).
      положением материальной точки в пространстве:                            Отметим, что роль показателя преломления в
                                                                          рассматриваемом случае играет величина скорости.
                                       2
               V ( x, y, z ) =        --- ( E – U ( x, y, z ) ).
                                        -                           (9)   Очевидно, что траектория луча и траектория части-
                                      m                                   цы будут в точности совпадать, если показатель
         Для простоты дальнейшего изложения рассмот-                      преломления пропорционален скорости и направ-
      рим случай, когда сила, действующая на материаль-                   ление луча в начальной точке совпадает с направле-
      ную точку, всюду имеет одинаковое направление,                      нием скорости. Согласно (9), первое условие может
      как в первом примере, но может изменяться по ве-                    быть выражено равенством
      личине, как во втором примере. В этом случае по-
      тенциальная энергия будет зависеть только от од-                                   n( y) = β E – U ( y),               (13)
      ной координаты, которая отсчитывается вдоль                         где β – произвольный положительный коэффици-
      направления, по которому направлена сила.                           ент пропорциональности.
         Аналогично тому, как мы делали при рассмотре-                       Если мы хотим найти одно из возможных потен-
      нии траектории луча, разобьем пространство на                       циальных полей, в котором частица движется по та-
      слои в направлении, перпендикулярном направле-                      кой же траектории, что и луч в заданной неоднород-
      нию силы. В каждом слое скорость материальной                       ной среде, то это проще сделать для случая E = 0.
      точки будем считать приближенно постоянной.                         Тогда
         Пусть материальная точка массы m, имеющая
                                                                                                        n( y)
      скорость V1 , пересекает границу первого и второго                                    U ( y ) = – ---------- .
                                                                                                                 -           (14)
                                                                                                           β
                                                                                                              2
      слоев. Во втором слое скорость частицы V2 . Соглас-
      но второму закону Ньютона,
                                                                          При этом потенциальная энергия U(y) должна быть
                          V2 – V1 F                                       отрицательной. Величина β произвольна. Из ска-
                          ----------------- = --- ,
                                          -     -                  (10)
                               ∆t 1           m                           занного выше следует, что она не должна влиять на
                                                                          траекторию. На что же она влияет? Так как пока-
      где ∆t1 – время прохождения первого слоя.                           затель преломления является безразмерной вели-
         Заметим, что, согласно (10), составляющая ско-                   чиной, то очевидно, что β зависит от выбираемой
      рости, перпендикулярная силе, не изменяется. По-                    единицы энергии. Если масштаб координаты


136                                                                          лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹10, 1997


   y                                                     еще до работ Гамильтона начиная с XVII века на-
                                                         стойчивые поиски оптико-механической анало-
                                          α4   V4        гии такими выдающимися учеными, как Р. Декарт,
                                                         П. Ферма, Х. Гюйгенс, И. Ньютон и др., способст-
                                                         вовали активному развитию как оптики, так и клас-
                            α3                 V3
                                                         сической механики [3, 4]. Так, известный вариаци-
                                                         онный принцип Ферма в оптике был использован
                   α2                          V2        Я. Бернулли для формулировки первого вариаци-
                                                         онного принципа в механике, что в конце концов
            α1                                 V1        привело к созданию такой важной области матема-
                                                         тики, как вариационное исчисление. Подробнее мы
                                               V0        расскажем об этом в другой статье.
       α0
                                                             Гамильтон не только установил конструктивную
                                                    x    связь между геометрической оптикой и классичес-
                                                         кой механикой, но и выяснил соответствие между
   Рис. 4. Построение траектории движения мате-          геометрической оптикой и волновой оптикой. К со-
   риальной точки методом геометрической оптики.         жалению, первоначально работы Гамильтона были
   Каждый слой характеризуется определенным
   значением скорости Vi . Угол падения для i-го слоя
                                                         опубликованы в малоизвестных “Трудах Ирланд-
   находится по углу падения для (i − 1)-го слоя с по-   ской академии наук”, и поэтому идеи Гамильтона
   мощью закона преломления (12)                         не сразу оказали влияние на развитие физики. Толь-
                                                         ко немногие из английских физиков, в частности
                                                         Дж.К. Максвелл и Рэлей, знали работы Гамильтона
фиксирован, то изменение единиц энергии можно
                                                         по оптике и применяли его методы. Фактически в
достичь изменяя единицы массы и времени. Таким
                                                         исследованиях Гамильтона содержалось предсказа-
образом, изменение β можно интерпретировать как
                                                         ние возможности волновой механики. В 20-х годах
переход к случаям движения частиц с другими
                                                         нашего века эти идеи Гамильтона были развиты Луи
массами или при фиксированной массе в другом
                                                         де Бройлем и Э. Шрёдингером при создании кон-
масштабе времени (быстрее или медленнее). При
                                                         цепции корпускулярно-волнового дуализма, что в
определенном выборе единиц величину β можно
                                                         итоге привело к созданию современной квантовой
положить равной 1.
                                                         механики.
   Таким образом, сформулированная выше опти-
ко-механическая аналогия доказана. Правда, она
                                                         ганЦкДнмкД
доказана для случая силы, имеющей постоянное
направление в пространстве. Но это не умаляет               1. Гамильтон У. Избранные труды. М.: Наука, 1994.
общности результата, поскольку в достаточно ма-             560 с. (Классики науки).
лой окрестности направление силы можно считать              2. Кудрявцев П.С. История физики. М.: Учпедгиз, 1948.
фиксированным, а оптическую среду – слоисто-                Т. 1. 535 с.
однородной.                                                 3. Меркин Д.Р. Краткая история классической механи-
                                                            ки. М.: Наука, 1994. 160 с.
бДдгыуЦзаЦ                                                  4. Вариационные принципы механики / Под ред.
                                                            Л.С. Полака. М.: ГИФМЛ, 1959. 932 с.
    Мы не будем углубляться в подробности геомет-
рической оптики и классической механики, чтобы
                                                                                  * * *
не затушевать главный результат, заключающийся в
том, что классическую механику можно рассматри-             Евгений Дмитриевич Трифонов, доктор физи-
вать как аналог геометрической оптики. Это откры-        ко-математических наук, профессор Российского
тие У.Р. Гамильтона объяснило, в частности, почему       государственного педагогического университета
волновая теория Гюйгенса и корпускулярная теория         им. А.И. Герцена. Область научных интересов: тео-
Ньютона одинаково хорошо описывали явления от-           рия твердого тела, квантовая нелинейная оптика.
ражения и преломления света. Отметим только, что         Автор более 100 работ и двух монографий.




нкаойзйЗ Ц.С. йинадй-еЦпДзауЦлдДь ДзДгйЙаь З абгйЬЦзаа Сгь тдйгъзадйЗ                                               137



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика