Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Простые математические модели и их роль в постижении мира

Голосов: 1

На конкретных примерах простых математических моделей раскрываются их возможности в постижении окружающих нас явлений (малая соленость Каспийского моря, сердечные приступы).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                           SIMPLE MATHEMATICAL             ПРОСТЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
                       MODELS
                       AND THEIR ROLE                  МОДЕЛИ И ИХ РОЛЬ
                       IN COMPREHENSION                В ПОСТИЖЕНИИ МИРА
                       OF THE WORLD
                       Yu. I. NEIMARK                  ы. а. зЦвеДкд
                                                       зЛКВ„У У‰ТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ
                       Concrete examples of
                       simple mathematical mod-               ЗЗЦСЦзаЦ
                       els (low salinity of the Cas-              Я не сразу решил рассказать вам то, что сейчас
                       pian Sea, heart attacks)               пишу. Затруднение было в том, что среди вас кроме
                                                              математиков и физиков есть еще и химики и биоло-
                       are given to show their                ги. Но я все же решил рассказывать о математике
                       potential in studying the              потому, что сам отчасти математик, и потому, что
                       phenomena around us.                   математика нужна и полезна всем. Рассказ будет о
                                                              том, как математика помогает понять и осмыслить
                                                              окружающий мир, и будет это не в общих словах, а
                       з‡ НУМН ВЪМ˚ı Ф ЛПВ-                   на примере разоблачения одной из загадок Каспий-
                        ‡ı Ф УТЪ˚ı П‡ЪВП‡ЪЛ-                  ского моря и на примере выяснения природы неко-
                                                              торых кризисных состояний нашего сердца.
                       ˜ВТНЛı ПУ‰ВОВИ ‡ТН ˚-                      Окружающий нас мир многообразен, сложен,
                       ‚‡˛ЪТfl Лı ‚УБПУКМУТЪЛ                  загадочен, красочен и прекрасен. Но лежащие в нем
                       ‚ ФУТЪЛКВМЛЛ УН ЫК‡˛-                  основы, генерирующий его механизм просты и дей-
                                                              ствуют по простым правилам. Об этом догадались
                       ˘Лı М‡Т fl‚ОВМЛИ (П‡О‡fl                 уже древние греки, положив в основу всего огонь,
                       ТУОВМУТЪ¸ д‡ТФЛИТНУ„У                  землю, воду и воздух, и хотя они были далеки от ис-
                       ПУ fl, ТВ ‰В˜М˚В Ф Л-                   тины, но предвидели существование еще и малых
                                                              частиц – атомов, движения и сочетания которых
                       ТЪЫФ˚).                                порождают все сущее. Это была гениальная догад-
                                                              ка, обоснованная только в XVIII–XIX веках. Наше
                                                              современное естествознание подтвердило эту кон-
                                                              кретную догадку об атомах и более широкую общую
                                                              о простоте основ.
                                                                  То, что простые правила могут порождать разно-
                                                              образные и сложные ситуации, видно на примерах
                                                              шашек, шахмат и других игр. В этом смысле игра
                                                              имитирует наш мир. Возможно, именно поэтому
                                                              мы их так любим и детям они так нужны.
                                                                  Правила природы все же сложнее правил игр, но
                                                              они тоже просты. Формально их можно изложить за
                                                              час-два, но научиться хорошо “играть” не так про-
                                                              сто: подчас это требует всей жизни. Правила “игры
                                                              природы” – это фундаментальные законы механи-
                                                              ки и физики: законы Ньютона, законы электроди-
                                                              намики Фарадея–Максвелла, уравнения квантовой
                                                              механики Шрёдингера и общей теории относитель-
                                                              ности Эйнштейна, а также законы химии и биоло-
© зВИП‡ Н ы.а., 1997




                                                              гии, которые следуют из общих законов механики и
                                                              физики, но не всегда понятно как.
                                                                  То, к чему применяются эти простые правила и
                                                              законы или посредством чего осуществляются, –
                                                              это окружающие нас объекты природы, которые мы
                                                              в своем сознании имитируем идеализированными
                                                              моделями. Эволюция человеческой мысли привела
                                                              к тому, что для этой имитации создан специальный


                                                       зЦвеДкд ы.а. икйлнхЦ еДнЦеДнауЦлдаЦ ейСЦга                   139


      математический язык и окружающие нас объекты –        И Каспий и залив уже давно наполнились, и объе-
      части природы – описываются математическими           мы воды лишь незначительно меняются в зависи-
      моделями. Математические модели могут быть очень      мости от погоды и времени года. Пренебрегая эти-
      простыми, простыми, сложными и очень сложны-          ми очень малыми изменениями, будем считать
      ми. Очень простые – это, например, геометричес-       ˙   ˙
                                                            V = V 1 = 0 , что влечет равенства
      кая или материальная точка, точечный заряд. Про-                 Q − I − q = 0,             q + I1 = 0,             (2)
      стые – это те, о которых я буду вам рассказывать,
      сложные и очень сложные – это в принципе такие        означающие уравновешенность притоков и оттоков
      же, как простые, но много или очень много слож-       воды в Каспии и заливе. При этом объемы воды в
      нее. Иерархия математических моделей подобна          Каспии и заливе достигают некоторых равновесных
      зданию, сложенному из очень простых частей: кир-                      *
                                                            величин V * и V 1 .
      пичей, железных изделий, цемента, дерева, стекла и        Воды рек приносят в Каспий соли. Пусть ν – со-
      многого другого. Очень простые модели – это про-      леность вод рек, тогда соль прибывает в Каспий с
      стейшие части, из которых сложено здание, про-        интенсивностью Qν, а в залив – с интенсивностью
      стые – это его некоторые части, состоящие из очень    qё, где ё – соленость воды Каспия. Согласно этому,
      простых, сложная модель – все здание и очень                                 ˙   ˙
                                                            скорости изменения M и M 1 количеств солей M и
      сложная – это целый город из зданий.                  M1 в Каспии и заливе, очевидно, составляют
          Можно думать, что возрастающим по сложности                  ˙
                                                                       M = Qν – qё,                ˙
                                                                                                   M 1 = qё.              (3)
      реальным системам и объектам отвечают все более
      и более сложные их модели. Но это не так. Сложно-     Из второго соотношения (3) следует, что количество
      му и очень сложному реальному объекту могут соот-     солей в заливе со временем неограниченно растет.
      ветствовать простые модели. Дело в том, что модель    Как мы знаем, в заливе концентрация солей давно
      не обязана описывать все происходящее в объекте       достигла насыщения и тысячелетиями осаждается
      во всех его деталях. Она может описывать лишь кое-    на дне залива, образуя громадные залежи. Количе-
      что, и в первую очередь самое главное и нам инте-     ство же солей в Каспии возрастает до тех пор, пока
      ресное или важное. Так, моделью города может          приток солей превышает их отток qё. Увеличение
      быть его карта, моделью земного шара – глобус. Вот    солености Каспия замедляется с ростом его солено-
      о таких простых моделях сложных и очень сложных       сти ё и прекращается, достигнув равновесного зна-
      объектов пойдет речь ниже.                            чения, когда
                                                                                  Qν − qё = 0,                            (4)
      бДЙДСдД дДлиавлдйЙй ейкь                              то есть когда соленость ё Каспия достигает равно-
                                                            весного значения ё*, равного
          Черное и Каспийское моря произошли от одно-
                                                                                            Qν
      го древнего моря, которое было потом разделено                                   ё* = -------.
      Кавказскими горами на две части. Каспийское море                                        q
      замкнутое, Черное вытекает через Босфор и Дарда-      Найти эту величину кажется очень трудно: нужно
      неллы в Средиземное море. Несмотря на это, Чер-       знать объем приносимой реками воды и ее соле-
      ное море намного солонее Каспийского. Это кажет-      ность, нужно знать, сколько воды перетекает из Кас-
      ся необъяснимым, но вспомним, что у Каспийского       пия в залив. Конечно, все это можно узнать, но
      моря есть залив Кара-Богаз-Гол. На первый взгляд      совсем непросто. Но, оказывается, это не нужно.
      кажется, что это ничего не меняет: ведь оно по-       Действительно, из первого соотношения (2) следует,
      прежнему остается замкнутым. Однако это не так,       что Q = I + q, и поэтому
      поскольку перемешивания вод Каспийского моря и
                                                                           Qν ( I + q )ν
                                                                      ё* = ------- = ------------------- =  1 + -- ν.
      залива не происходит: вода из Каспия все время те-                                                          I
                                                                                                       -          -
      чет в залив. Может ли это привести к опреснению                        q                q                 q
      Каспия? Попробуем получить ответ на этот вопрос,
      построив соответствующую математическую мо-           Далее из второго соотношения (1) видно, что q = I1 ,
      дель. Учтем, что реки несут в Каспий чуть-чуть со-    и поэтому
      лоноватую воду, вода из Каспия перетекает в залив
                                                                         ё* =  1 + -- ν =  1 + ---  ν,
      и там, как и в Каспии, испаряется. Обозначим: Q –                              I             I
                                                                                     -              -
      общий приток вод в Каспий, I – превышение испа-                              q           I 1
      рения над дождями в Каспии и I1 – в заливе, q – ин-   I / I1 – это отношение интенсивностей испарения
      тенсивность перетекания воды из Каспия в Кара-        воды в Каспии и заливе. Грубо приближенно это со-
                                            ˙   ˙
      Богаз-Гол. Тогда, очевидно, скорости V и V 1 изме-    отношение равно отношению площадей Каспия и
      нения объемов V и V1 в Каспии и заливе соответст-     залива, то есть
      венно
                                                                       ё* =  1 + ---  ν ≈  1 + ---- ν.
                                                                                   I               S
                                                                                    -                -                    (5)
               ˙
               V = Q – I – q,    ˙
                                 V 1 = q + I1.        (1)                        I 1           S 1


140                                                            лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹3, 1997


   Размеры Каспия примерно в 40 раз превышают           запас энергии W сердце, так же как и все остальные
размеры залива Кара-Богаз-Гол, так что ё* ≈ 40ν.        органы и ткани тела, прокачивая через себя артери-
Это даже меньше, чем соленость Каспия сегодня. То       альную кровь, богатую кислородом и другими не-
есть сегодня залив Кара-Богаз-Гол опресняет Кас-        обходимыми веществами. Пусть f – интенсивность
пийское море и делает это уже довольно давно. Это       затрат энергии сердцем для его работы, а g – интен-
и объясняет, почему Каспийское море менее соле-         сивность пополнения запаса его энергии W. Пусть,
ное, чем Черное, и дальше будет еще менее соле-         кроме того, a – интенсивность потребления энер-
ным. Но это в геологических масштабах времени.          гии для поддержания своей собственной жизни, пи-
   Из рассказа, возможно, вы и не увидели, где же       тания его клеток и тканей, когда оно не работает.
математическая модель и что, собственно, она опи-       Очевидно, что скорость изменения энергии W рав-
сывает. Описывает она баланс вод и солей в море и       на − f + g − a, то есть
его заливе, а сама модель – это дифференциальные                                  ˙
уравнения (1) и (3). Первое уравнение (1) рассказы-                               W = – f + g – a.                            (6)
вает, как меняются объемы воды в море и заливе, а       Интенсивности f и g зависят от u и W. В частности,
второе (3) – как меняется в них количество солей.       если W = 0, то f = g = 0. Аналогично f = g = 0 при
                                                        u = 0. Вместе с тем при каких-то u и W, отличных от
щзЦкЙЦнауЦлдДь ейСЦгъ лЦкСсД                            нуля, f и g положительны, так как в противном слу-
                                                        чае наше сердце не могло бы работать.
    Перейдем ко второму примеру. В нем рассматри-
вается очень сложный объект, и процессы, происхо-          Согласно (6), при фиксированной команде уп-
дящие в нем, очень сложны. Модель для него пост-        равления и в зависимости от знака правой части −f +
роим очень простую, и, несмотря на ее простоту, с       + g − a происходит либо убывание, либо возраста-
ее помощью узнаем кое-что интересное. Так, ока-         ние запаса энергии W. Отобразим этот факт графи-
зывается, бывает. Конечно, при этом мы узнаем о         чески на плоскости переменных W и u (рис. 1). Яс-
сердце далеко не все, а только кое-что, но важное,      но, что W и u по смыслу не отрицательны и не
интересное и полезное. Исчерпывающая математи-          превосходят некоторых своих максимальных значе-
ческая модель для сердца очень сложна, пожалуй          ний Wmax и umax , и поэтому точка M с координатами
так же, как и оно само.                                 W и u находится в изображенном на рис. 1 прямо-
                                                        угольнике ОАВС. Вершина этого прямоугольника
    Предыдущая модель была математической моде-
                                                        помечена точками О, А, В и С. Где-то внутри этого
лью, отражающей водный и солевой балансы. Сей-
                                                        прямоугольника выражение −f + g − a заведомо по-
час мы составим модель энергетического баланса.
                                                        ложительно. На сторонах ОА и ОС f = g = 0, и по-
    Чтобы жить и работать, сердце затрачивает энер-                                    ˙
                                                        этому на них и вблизи них W = – f + g – a < 0 , так
гию, и эту энергию оно поставляет себе, работая.        как a > 0. Естественно считать, что и на стороне
Больше можно ничего не знать. Можно знать только               ˙
                                                        СВ W также отрицательно, так как при этом от
это и, построив математическую модель, узнать и         сердца требуется выполнение максимально воз-
понять кое-что неожиданное и нам неизвестное.           можной работы.
    О нашем сердце и кровеносной системе написа-           Сказанное отмечено на рис. 1 минусами, кото-
но много книг, и чтобы их все прочитать и изучить,      рые означают, что при отвечающих их месту значе-
едва ли хватит жизни. Но нам нужно лишь знать,          ниях W и u запас энергии W убывает. Знаки плюс на
что функционально сердце – это насос, который           рис. 1 указывают на то, что где-то внутри прямо-
качает кровь по кровеносным сосудам и капилля-          угольника −f + g − a > 0 и W растет. Ясно, что в части
рам, питая все органы и ткани тела, в том числе и са-   прямоугольника ОАВС, где W убывает (стоят знаки
мого себя.
    Сердце не может остановиться. Оно должно все
время работать и работать столько, сколько это                    C                                                      B
нужно его владельцу. Иначе говоря, владелец, точ-          umax
                                                                                  –            –               –
нее, его нервная система командует, как оно должно                    –               –
работать: сильнее или слабее. Эту команду предста-                            –            +                       +
вим величиной управления u : чем больше u, тем ин-                                                     +
тенсивнее нервная система приказывает работать                    –
                                                                                      γ    +               Γ
сердцу. А сердце как безответный раб: что прикажут,                           –
                                                                                                                   +
то и делает, не жалея себя и не смея жаловаться. Мо-              –                                +
жет только “сломаться”, и тогда уже плохо и ему и                                 –        –
хозяину.                                                                  –                                    –         A
                                                             O
    Оно может работать – сокращать свои мышцы –                                                                        Wmax
за счет имеющегося в нем запаса энергии. Эта же
энергия – химическая – нужна ему и для поддержа-
ния своей жизни, жизни своих клеток. Пополняет                                            Рис. 1



зЦвеДкд ы.а. икйлнхЦ еДнЦеДнауЦлдаЦ ейСЦга а ап кйгъ З ийлнаЬЦзаа еакД                                                              141


      минус) и где возрастает (стоят знаки плюс), разде-    интенсивная работа сердца может происходить не
      ляются некоторой кривой γ. Точный вид ее нам не-      только в силу интенсивной работы человека, но и
      известен, но этого и не требуется.                    оттого, что нервная система перевозбуждена и дает
          Изобразим теперь, как перемещается точка          большую команду u. Спад сердечной деятельности в
      M(W, u) при фиксированных u. Это приведет к кар-      нашей модели обязан не неполадкам в нем, а спа-
      тинке, показанной на рис. 2.                          дом сигнала u нервной системы.
          В области Γ, ограниченной кривой γ, значение          Для того чтобы избежать необратимости гибели
      W возрастает, а вне ее убывает. При работе сердца     сердца, необходимо не допускать того, чтобы W ста-
      точка M(W, u) перемещается внутри прямоугольни-       ло меньше Wкрит . Причем в первом и втором случаях
      ка, причем, находясь внутри Γ, смещается вправо, а    угрожающего уменьшения W действия должны
      вне – влево, не выходя, конечно, за его пределы.      быть противоположны. При чрезмерной нагрузке
      Вверх и вниз она смещается в соответствии с коман-    ее следует уменьшить и успокоить нервную систему,
      дами u нервной системы. При длительном постоян-       то есть добиться уменьшения u. Во втором случае
      стве u точка M(W, u), находящаяся в области Γ, при-   чрезмерного спада деятельности сердца необходи-
      ходит на часть γ+ границы γ.                          мо ее усилить и стимулировать нервную систему на
                                                            увеличение команды. В одних случаях человек свои-
          При изменении u точка M(W, u) описывает неко-     ми сознательными действиями может достигнуть
      торую траекторию: при этом изменение u может          требуемого сам, в других ему нужна помощь посто-
      быть любым, а изменение W предписывается урав-        ронних и, возможно, соответственно успокаиваю-
      нением (6) и происходит в соответствии со стрелка-    щие и возбуждающие лекарственные средства и
      ми рис. 2. Точка M(W, u) может двигаться внутри и     действия. Излишне говорить, что это хорошо изве-
      вне области Γ, выходя из нее при возрастании или      стно врачам.
      убывании u, то есть при чрезмерно большой или
                                                                Теперь постараемся с помощью той же модели
      чрезмерно маленькой команде u, когда сердце фор-
                                                            понять, что происходит при детренировке, старе-
      сированно работает или, наоборот, слишком ослаб-
                                                            нии, интоксикациях и других причинах, понижаю-
      ляет свою работу. И вот теперь можно заметить, что
                                                            щих коэффициент полезного действия сердца, то
      ни то ни другое не может быть длительным. Дли-
                                                            есть когда при тех же W, u и полезной работе затраты
      тельное u, близкое к umax , или очень маленькое u
                                                            f становятся больше и питание сердца g – меньше. В
      приводят к тому, что точка M(W, u), смещаясь влево,
                                                            результате происходит уменьшение области Γ, в ча-
      оказывается в области, где W меньше Wкрит , пока-
                                                            стности увеличение Wкрит и увеличение минималь-
      занного на рис. 2. Попав туда, она уже никак не мо-
                                                            ной работы сердца, когда оно сохраняет жизнеспо-
      жет вернуться в область Γ и фатально попадает на
                                                            собность. Как это ни парадоксально, но с возрастом
      сторону прямоугольника ОС, где энергия W, исто-
                                                            и болезнью, когда сердцу бы впору отдохнуть, оно
      щаясь, обращается в нуль и остается равной нулю.
                                                            не может этого сделать и должно работать интен-
      Проще говоря, сердце гибнет, так как его тканям и
                                                            сивнее даже без внешних нагрузок. Конечно, одно-
      клеткам нечем поддерживать свою жизнь (W = 0).
                                                            временно падают и максимально допустимые на-
          Увиденное нами можно трактовать как то, что       грузки, но это вполне понятно.
      мы обнаружили две противоположные возможнос-
                                                                Область Γ можно назвать областью жизненных
      ти возникновения кризисных состояний сердца:
                                                            возможностей сердца. Детренировка, интоксика-
      одно при слишком длительной интенсивной рабо-
                                                            ция, болезни и старость ее уменьшают. Уменьшение
      те, другое при длительной его слишком слабой ра-
                                                            это всестороннее, и поэтому падают как возможнос-
      боте, вызываемой малостью команды u нервной си-
                                                            ти интенсивной работы, так и полноценного отдыха.
      стемы, ее временным упадком. Подчеркнем, что
                                                                Уменьшение жизненных возможностей – облас-
                                                            ти Γ – облегчает и способствует наступлению сер-
                                                            дечных кризов. Для того чтобы их избежать, человек
         umax                                               сознательно должен беречь свое сердце, постигая
                                                            границы его возможностей. Должен осмотритель-
                                              γ+            но, когда это можно, тренировать его, стремясь рас-
                                                            ширить область жизненных возможностей Γ. Это
                                          Γ
                                                            хорошо известно врачам, и они, в частности после
                             γ                              тяжелого заболевания, именуемого инфарктом мио-
                                                            карда, назначают выздоравливающему в период ре-
                                                            абилитации постепенно возрастающую трениро-
                                                            вочную ходьбу по пять и десять километров в день.
                     Wкрит                         Wmax         Хотелось бы еще добавить, что наша модель
                                                            применима не только к сердцу, она значительно
                                                            шире. Она применима к любому живому существу,
                                 Рис. 2                     которое, для того чтобы жить, должно работать,


142                                                            лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹3, 1997


добывая себе пропитание. И в жизни его, как и на-       К этому хочется еще добавить, что, составляя
ше сердце, все время подстерегает кризис “перера-    математическую модель, желательно знать, что вы
ботки” и кризис “лени”. Человек отличается от ди-    хотите от нее узнать и каковы основные факторы
ких животных лишь тем, что сумел смягчить            реальной системы, которые могут дать ответ. Так
безжалостность этих природных кризисов.              именно было при построении модели Каспия с за-
                                                     ливом Кара-Богаз-Гол. А с энергетической моделью
бДдгыуЦзаЦ                                           сердца было не так, а совсем иначе. Стимулом был
                                                     вопрос: какие выводы можно сделать из того, что
   Я думаю, что на вас произвело впечатление, что    сердце подчиняется командам нервной системы и
такими простыми средствами можно понять и по-        кормит себя само? Так что правила правилами, а
знать причины и сущность неочевидных и непонят-      жизнь многообразнее и необъятнее и, может быть,
ных явлений. Если это так и вы действительно удив-   поэтому прекрасна. Конечно, не всегда при матема-
лены, то, несомненно, вас интересует, за счет чего   тическом моделировании нужно что-то изобретать:
достигается эта простота. А она обязана в первую     очень часто можно воспользоваться уже существу-
очередь широте и необъятности возможностей со-       ющими типовыми простыми моделями и их сочета-
временного математического мышления. Во вто-         ниями. Хотя и это может оказаться не таким уж оче-
рую очередь тому, кто его применяет. Научиться мо-   видным.
делированию, ограничившись только формальным
усвоением каких-то правил, по-видимому, невоз-
можно. Не зря говорят об искусстве моделирова-       ганЦкДнмкД
ния, так же как об искусстве медицинской диагнос-
                                                        1. Неймарк Ю.И. Математические модели естество-
тики, игре на скрипке, рисовании. Но все же этому       знания и техники. Нижний Новгород: ННГУ, 1994.
можно научиться, и основную роль в этом обучении        Вып. 1. 83 с.; 1996. Вып. 2. 154 с.
играют показы – именно то, что я сделал, – и не-
большое количество советов, которые следует ос-         2. Кроновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная дина-
                                                        мика в действии. Саратов: Гос. учеб.-науч. центр
мыслить и умеренно им следовать. Они достаточно         “Колледж”, 1995. 129 с.
общие и не могут служить непосредственным указа-
нием к действию, они лишь дают разумные под-
сказки, как и что следует делать. Я приведу самые                            * * *
главные.                                                Юрий Исаакович Неймарк, доктор технических
   1. Чем проще модель, тем меньше возможность       наук, профессор Нижегородского государственно-
ошибочных выводов.                                   го университета, академик Российской академии
   2. Модель должна быть простой, но не проще,       естественных наук, член Национального комитета
чем это возможно.                                    по теоретической и прикладной механике. Область
   3. Пренебрегать можно чем угодно, нужно толь-     научных интересов: механика, теория колебаний и
ко знать, как это повлияет на решение.               теория динамических систем, теория управления и
                                                     кибернетика. Лауреат премии АН СССР им. А.А. Ан-
   4. Модель должна быть грубой: малые поправки      дронова и Международной премии Н. Винера. Ав-
не должны кардинально менять ее поведение.           тор восьми монографий, ряда учебных пособий и
   5. Модель и расчет не должны быть точнее ис-      циклов лекций, более 400 научных статей и 20 изо-
ходных данных.                                       бретений.




зЦвеДкд ы.а. икйлнхЦ еДнЦеДнауЦлдаЦ ейСЦга а ап кйгъ З ийлнаЬЦзаа еакД                                        143



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика