Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Гидродинамическая неустойчивость. Изотермические течения

Голосов: 1

Рассматриваются основные положения современной теории гидродинамической неустойчивости. Принят исторический подход - с момента зарождения теории до современных численных и экспериментальных ее подтверждений. Обсуждаются основные механизмы неустойчивости изотермических течений.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                           HYDRODYNAMIC                 ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ
                       INSTABILITY.
                       ISOTHERMIC FLOWS             НЕУСТОЙЧИВОСТЬ.
                       G. Z. GERSHUNI               ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
                       The main conditions of the   Й. б. ЙЦктмза
                       modern theory of hydro-      иВ ПТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ
                       dynamic instability are
                       considered. The historical
                       approach       has    been          гДеазДкзйЦ а нмкЕмгЦзнзйЦ нЦуЦзаь

                       adopted starting from the              Начнем с вопроса, который на элементарном
                                                           уровне, по-видимому, всем понятен. Известно, что
                       origination of the theory,
                                                           медленное течение жидкости (в этом можно убе-
                       up to its modern numeri-            диться наблюдая течение воды из водопроводного
                       cal and experimental con-           крана) является плавным, упорядоченным, регуляр-
                                                           ным. Такое течение принято называть ламинарным.
                       firmations. Main mecha-
                                                           Но если увеличивать скорость течения, происходит
                       nisms of isothermic flow            внезапный переход к другой форме течения – турбу-
                       instability are discussed.          лентной, когда жидкость течет крайне нерегулярно,
                                                           неупорядоченно, запутанно, хаотически. Элементы
                                                           жидкости при этом совершают беспорядочные бро-
                       к‡ТТП‡Ъ Л‚‡˛ЪТfl УТМУ‚-              ски, и только в среднем можно говорить о течении
                       М˚В ФУОУКВМЛfl ТУ‚ В-                в ту или иную сторону. Этот факт (наличие двух
                                                           форм движения) известен с давних пор, но только в
                       ПВММУИ ЪВУ ЛЛ „Л‰ У‰Л-              80-х годах прошлого столетия Осборн Рейнольдс
                       М‡ПЛ˜ВТНУИ МВЫТЪУИ˜Л-               предпринял систематическое изучение перехода от
                       ‚УТЪЛ. и ЛМflЪ ЛТЪУ Л˜В-             ламинарной формы течения к турбулентной. Он на-
                                                           блюдал ламинарно-турбулентный переход при тече-
                       ТНЛИ ФУ‰ıУ‰ – Т ПУПВМЪ‡             нии жидкости в круглых каналах разных диаметров,
                       Б‡ УК‰ВМЛfl ЪВУ ЛЛ ‰У                причем варьировался напор жидкости (и, стало
                       ТУ‚ ВПВММ˚ı ˜ЛТОВММ˚ı               быть, средняя скорость течения) и рассматривались
                                                           разные жидкости с разной вязкостью. Он установил
                       Л ˝НТФВ ЛПВМЪ‡О¸М˚ı ВВ              замечательную закономерность, касающуюся кри-
                       ФУ‰Ъ‚В К‰ВМЛИ. й·ТЫК-               тической скорости перехода. Оказалось, что она
                       ‰‡˛ЪТfl УТМУ‚М˚В ПВı‡-               (критическая скорость) пропорциональна вязкости
                                                           жидкости и обратно пропорциональна диаметру
                       МЛБП˚ МВЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ                трубки. Это можно записать в виде
                       ЛБУЪВ ПЛ˜ВТНЛı ЪВ˜ВМЛИ.
                                                                                      ν
                                                                              u k = C -- .
                                                                                       -                  (1)
                                                                                      d
                                                           Здесь uk – критическая средняя скорость, ν – коэф-
                                                           фициент вязкости, d – диаметр трубки, а C – кон-
                                                           станта, которая может зависеть от формы попереч-
                                                           ного сечения. Формулу (1) можно переписать так:
                                                                              uk d
                                                                              ------- = C.
                                                                                    -                     (2)
                                                                                 ν
© ЙВ ¯ЫМЛ Й.б., 1997




                                                           Стоящее в левой части отношение является безраз-
                                                           мерным числом, названным числом Рейнольдса в
                                                           честь исследователя. Таким образом, течение жид-
                                                           кости по каналу можно характеризовать числом
                                                           Рейнольдса
                                                                                   ud
                                                                              Re = ----- .
                                                                                       -                  (3)
                                                                                     ν


                                                    ЙЦктмза Й.б. ЙаСкйСазДеауЦлдДь зЦмлнйвуаЗйлнъ               99


         Если число Рейнольдса мало, течение ламинар-       ного течения это сделать очень трудно, поскольку в
      ное, если велико – турбулентное, и существует кри-    этом режиме практически отсутствует перемешива-
      тическое значение числа Рейнольдса                    ние отдельных слоев жидкости. Другое дело – тур-
                                                            булентный режим, отличающийся весьма интен-
                             uk d                           сивным перемешиванием. В этом случае газ будет
                        Re = ------- = C,
                                   -
                                ν                           равномерно распределен по объему жидкости без
      при котором происходит ламинарно-турбулентный         особого труда.
      переход, смена ламинарной и турбулентной фаз             Итак, невозможно однозначно оценить турбу-
      движения. Как позже выяснилось, переход от лами-      лентность и сказать, хорошо это или плохо. Ответ
      нарной формы к турбулентной происходит не толь-       определяется обстоятельствами. Однако, разбирая
      ко при течении в трубе (канале). Можно сказать,       эти простые примеры, мы вышли на существенный
      что он характерен почти для всех течений вязкой       вопрос, важность которого очевидна. Очевидно,
      жидкости. В частности, обтекание жидкостью кры-       что необходимо научиться управлять ламинарно-
      ла, профиля корабля или подводной лодки, тела         турбулентным переходом: затягивать его или, на-
      рыбы или птицы также характеризуется ламинар-         оборот, провоцировать его развитие “раньше”, то
      но-турбулентным переходом, причем формула (2)         есть при меньших числах Рейнольдса. Понятно,
      сохраняет вид, только теперь вместо d нужно в нее     что, прежде чем браться за решение этого важного с
      подставить характерный размер обтекаемого тела L,     практической точки зрения вопроса, необходимо
      а константа C будет зависеть от формы тела.           предварительно ответить на главный вопрос, кото-
                                                            рый будет обсуждаться в следующем разделе.
         Важным свойством турбулентного течения (по
      сравнению с ламинарным) является высокое со-
      противление. При прокачивании жидкости по ка-         йнуЦЙй икйалпйСан
      налу в режиме турбулентного движения приходится       гДеазДкзй-нмкЕмгЦзнзхв иЦкЦпйС
      преодолевать гораздо большее сопротивление, чем          Именно этот вопрос для нас сейчас является
      при ламинарном движении. Это более или менее          главным. Ответ на него был сформулирован Рей-
      ясно. Ведь сопротивление происходит из-за того,       нольдсом и практически одновременно лордом Рэ-
      что текущая по каналу жидкость отдает момент ко-      леем, замечательным исследователем, обогатившим
      личества движения стенкам. В ламинарном режиме        гидродинамику множеством важнейших результатов.
      это происходит из-за вязкости, точнее, из-за трения   Ответ может быть дан в таком виде: переход к тур-
      жидкости о стенку. В турбулентном же режиме в         булентности наступает вследствие неустойчивос-
      этой передаче участвуют весьма энергичные турбу-      ти течения жидкости. Здесь требуется пояснение.
      лентные завихрения, пульсации, это как бы увели-      Первоначальное понятие устойчивости–неустой-
      чивает эффективную вязкость. Именно с этим свя-       чивости дается в школьном курсе на примере мате-
      зано увеличение сопротивления при течении             риальной частицы. Представим себе материальную
      вязкой жидкости в турбулентном режиме.                частицу, находящуюся в одном из двух потенциаль-
                                                            ных полей: на дне потенциальной ямы и на верши-
      нмкЕмгЦзнзйлнъ – щнй пйкйтй                           не потенциального холма (рис. 1). И в том и в дру-
      ага игйпй?                                            гом случае мы имеем равновесие, но эти равновесия
                                                            отличаются одно от другого драматически. В случае а
         Как и всякий вопрос, заданный в лоб, он не име-
                                                            возникшее по какой-либо (может быть, случайной)
      ет однозначного ответа. Хотелось бы сказать, что
                                                            причине возмущение вызывает в системе реакцию,
      турбулентность – это, конечно, плохо. Ведь, как
                                                            направленную на то, чтобы это возмущение пога-
      уже говорилось, турбулентный режим означает вы-
                                                            сить. В случае б возникающее возмущение вызывает
      сокое сопротивление. Как бы удалось сэкономить
      на мощности насосов, прокачивающих жидкость по
      каналу, если бы режим течения был ламинарным, то                   а                       б
      есть если бы удалось погасить турбулентность или
      затянуть ламинарно-турбулентный переход! Ана-
      логичным образом была бы достигнута огромная
      экономия по мощности двигателей кораблей и
      подводных лодок, если бы режим обтекания был
      ламинарным.
         Однако взглянем на дело с другой стороны.
      Пусть мы имеем технологический аппарат, и задача
      заключается в том, чтобы растворить в жидкости
      некий объем газа и размешать его равномерно по
      объему жидкости. Обычно это делается в режиме
      течения жидкостей – при этом достигается непре-          Рис. 1. Простейшие примеры равновесных кон-
      рывность производства. Ясно, что в случае ламинар-       фигураций: а – устойчивая, б – неустойчивая



100                                                            лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997


в системе обратную реакцию: возмущение будет со      ной длины. Вход в трубу постараемся сделать, на-
временем нарастать и система никогда не вернется     сколько это возможно, гладким и постепенным,
в исходное состояние.                                пытаясь устранить возмущения на входе. От шеро-
   Теперь вернемся к текущей жидкости. Если          ховатости стенок также попытаемся отделаться бла-
сформулированная концепция правильна, то, зна-       годаря тонкой шлифовке поверхности. Тот факт,
чит, при малых скоростях (малые числа Рейнольдса)    что труба имеет конечную длину, также играет важ-
возникающие возмущения не имеют видов на дли-        ную роль: представим себе, что в потоке жидкости
тельное существование, они гаснут со временем и      возникло малое возмущение, которое, во-первых,
система приходит в свое первоначальное состояние.    сносится потоком вниз по течению и, во-вторых, в
При больших числах Рейнольдса, наоборот, поток       условиях неустойчивости нарастает. Для его роста
не может бороться с возмущениями, возникающи-        требуется некоторое характерное время. Требуется
ми в нем. Появившись, они будут нарастать со вре-    время и для сноса возмущения потоком, оно просто
менем. Зарождаясь в различных точках потока, на-     равно (по порядку величины) длине трубы, поде-
растая со временем и накладываясь на основное        ленной на скорость потока. Если характерное время
течение, эти возмущения и создают ту запутанность    нарастания возмущения больше времени сноса, то
и беспорядочность потока, которую мы отождеств-      оно не успеет вырасти на рабочем участке трубы и
ляем с турбулентностью.                              будет вынесено за его пределы. Если поставить
                                                     опыт с учетом сделанных оговорок, то получится,
   Такова основная идея. Она выглядит достаточно
                                                     что такие важные источники возмущений, как вход
убедительно, но это еще не основание, чтобы при-
                                                     и шероховатость стенок, почти полностью устраня-
знать ее правильной. Для этого нужно солидное
                                                     ются, а те возмущения, которые все-таки возник-
экспериментальное подтверждение.
                                                     нут, будут вытеснены потоком за пределы рабочего
                                                     участка. Результаты такого опыта оказываются уди-
икйлнЦвтав лгмуДв                                    вительными: удается существенно отодвинуть по-
йихнзйв икйЗЦкда аСЦа                                рог возбуждения турбулентности, критическое чис-
   Итак, переход к турбулентности связан с неус-     ло Рейнольдса, таким образом, удается увеличить
тойчивостью, а неустойчивость, в свою очередь, – с   на 2–3 порядка, происходит “затягивание порога
возникновением и развитием возмущений. Откуда        турбулентности”.
же в реальной физической системе, какой является         Можно поставить также опыт с регулируемой
движущая жидкость, могут зародиться возмуще-         шероховатостью стенок. Уменьшить шероховатость
ния? Источников возмущений очень много. Преж-        можно лишь до определенного предела, скажем до
де всего реальная установка (канал с движущейся      молекулярных размеров. Но можно ее искусственно
жидкостью) находится на лабораторном столе, кото-    увеличить, наклеивая на стенки, допустим, мелкие
рому передаются колебания от стен и пола здания –    кристаллики контролируемых размеров. Таким об-
результат сотрясения из-за проехавшей по соседст-    разом, удается создать целую гамму трубок с оцени-
ву машины или, может быть, даже слабого сейсми-      ваемой наперед шероховатостью. Опыт говорит, что
ческого возмущения. Далее, вход жидкости в канал     в этих случаях порог ламинарно-турбулентного пе-
практически никогда не бывает идеально гладким,      рехода также изменяется в довольно широких пре-
на входе в жидкость вносятся входные возмущения,     делах, причем критическое число Рейнольдса воз-
они движутся вдоль жидкости вместе с ней и могут     растает с уменьшением шероховатости.
при благоприятных (неблагоприятных?) условиях            Эти простые опыты говорят о том, что идея свя-
нарастать. Стенки канала почти никогда не бывают     зать переход к турбулентности с гидродинамичес-
лишены неровностей, шероховатостей. Обтекаю-         кой неустойчивостью здравая. Но для полного спо-
щий эти шероховатости поток непрерывно возму-        койствия необходимо, скажем, на примере какой-
щается. Этот список можно было бы продолжать         либо задачи детально сравнить получаемое теорети-
долго. Но есть источник возмущений, принципи-        чески критическое число Рейнольдса с опытным
ально неустранимый. Это так называемые флуктуа-      его значением. Совпадение этих чисел будет суще-
ции. Когда мы говорим, например, что в данной        ственным доводом в пользу концепции гидродина-
точке потока плотность постоянна, это лишь озна-     мической неустойчивости.
чает, что она постоянна в среднем. Около этого
среднего значения происходят малые, но макроско-
пические отклонения в ту или другую сторону. Они     нЦйкаь. зЦЗьбдав ийСпйС
приводят к макроскопическим (малым) отклонени-          Теория, о которой говорилось в конце предыду-
ям (флуктуациям) давления, температуры и скоро-      щего раздела, в настоящее время существует. Она ма-
сти. Флуктуации, таким образом, являются посто-      ло приспособлена для популярного изложения, так
янно действующим источником возмущений, в            как математически весьма сложна. Скажем лишь об
принципе неустранимым.                               одном специфическом моменте. Эта теория умеет
   Поставим теперь (мысленно) эксперимент по         следить за развитием только малых возмущений.
ламинарно-турбулентному переходу в трубе конеч-      Это означает, что если в условиях неустойчивости


ЙЦктмза Й.б. ЙаСкйСазДеауЦлдДь зЦмлнйвуаЗйлнъ. абйнЦкеауЦлдаЦ нЦуЦзаь                                      101


      возмущение растет, то скоро оно перестанет быть
      малым и выйдет за пределы компетенции теории.
      Тем не менее начальная тенденция (рост) будет от-
      слежена этой теорией.
         Мы не ставим здесь перед собой цель изложить
      эту теорию по причине, как уже сказано, ее матема-
      тической сложности. Но можно попробовать про-
      следить за идейными моментами ее эволюции. В
      этом заключается наша цель.
         Пожалуй, следует начать с невязкого подхода,
      предложенного Рэлеем. Суть его заключается в том,
      чтобы описывать поведение во времени возникаю-
      щих в потоке возмущений, не учитывая действия на
      возмущения вязкости. Вязкость, с одной стороны,
      представляет собой эффект малый, с другой – все
      самые интересные явления в теории гидродинами-
      ческой устойчивости – рост возмущений, возник-
      новение неустойчивости – происходят при боль-
      ших числах Рейнольдса, то есть, как видно из
      формулы (2), это эквивалентно малой вязкости. Во
      всяком случае такой подход представляется в каче-
      стве первого шага разумным. К тому же существен-
      но упрощается математический анализ. Благодаря
      простоте анализа Рэлею удалось установить общие
      теоремы, которые позволяют судить об устойчивос-
      ти течения по виду его профиля скорости. Важней-        Рис. 3. Примеры профилей скорости с точкой
                                                              перегиба
      шее значение среди результатов Рэлея имеет теоре-
      ма о точке перегиба на профиле скорости. Согласно
      этой теореме, необходимым условием появления         рии гидродинамической устойчивости парадокса.
      неустойчивости течения в канале является наличие     Люди рассуждали просто. Течение Пуазейля не
      точки перегиба, то есть такой точки, в которой об-   имеет точки перегиба и (в невязком приближении)
      ращается в нуль вторая производная по поперечной     устойчиво. Если построить более полную теорию,
      координате. Поэтому, например, плоское течение       учитывающую влияние вязкости на возмущение,
      Пуазейля, возникающее в плоском канале под дей-      этот вывод должен только усилиться: учитывается
      ствием перепада давления, характеризуется парабо-    новый фактор – вязкость, но этот фактор, подавля-
      лическим профилем (рис. 2) и поэтому (в невязком     ющий возмущения, диссипативный. С учетом вяз-
      приближении) является устойчивым: вторая произ-      кости возмущения будут тем более затухать, если
      водная этого профиля ни в одной точке сечения не     они затухали без учета вязкости. Получается так,
      обращается в нуль. Течения, которые получаются       что, если без вязкости следует вывод об устойчиво-
      деформацией профиля Пуазейля, имеют точки пе-        сти, дальнейший анализ не нужен, вывод и так ясен.
      региба и потому неустойчивы (рис. 3).
         Этот простой и замечательный результат Рэлея      нЦйкаь ЙЦвбЦзЕЦкЙД. зЦвнкДгъзДь дкаЗДь
      послужил источником очень долго жившего в тео-
                                                              Между тем продолжались усилия, направленные
                                                           на решение задачи о поведении возмущений в об-
                                                           щей постановке, с учетом воздействия вязкости.
                                                           Отправным пунктом для подхода В. Гейзенберга
                                                           (1924 год) служил результат Рэлея, который отно-
                                                           сится к предельному случаю Re       ∞. Необходимо
                                                           было корректно определить поправки, относящиеся
                                                           к случаю больших, но не бесконечно больших зна-
                                                           чений числа Рейнольдса. Гейзенберг применил ме-
                                                           тод, который всякий раз применяется в теоретичес-
                                                           кой физике, когда в задаче имеется малый параметр.
                                                           В нашей задаче такой параметр есть – это обратное
                                                           число Рейнольдса
                                                                                      1
                                                                                ε = ------ .
                                                                                         -
          Рис. 2. Профиль скорости в течении Пуазейля                               Re


102                                                           лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997


Решение задачи в этом случае разыскивается в виде          В полосе Re < Reкр все возмущения (с любым k)
степенного ряда по малому параметру. Гейзенбергу       затухают. Если Re > Reкр , существует целый интер-
пришлось преодолеть огромные математические            вал волновых чисел (от левого края петли до право-
трудности на пути к результату. Достаточно сказать,    го), соответствующих растущим возмущениям. Та-
что, когда этот результат был обнародован, не на-      ким образом, Reкр является критическим значением
шлось человека, который взял бы на себя его про-       числа Рейнольдса, в области выше Reкр течение не-
верку. Однако пора перейти к самому результату         устойчиво. Значение kкр тоже в некотором смысле
Гейзенберга. Он рассмотрел возмущения, периоди-
                                                       замечательно. Оно дает волновое число (то есть
чески зависящие от продольной координаты. Таким
                                                       длину волны) возмущения, которое раньше других
образом, в теории появился дополнительный пара-
                                                       начнет нарастать по мере увеличения числа Рей-
метр – длина волны возмущения λ, или, что то же
                                                       нольдса. Справа от кривой (в области больших k, то
самое, волновое число k = 2π / λ. В теории, конечно,
                                                       есть коротковолновых возмущений) расположена
фигурирует безразмерное волновое число. Чтобы пе-
                                                       сплошная область устойчивости – вплоть до беско-
рейти к размерному, нужно учесть, что λ – тоже без-
                                                       нечных Re. Принято говорить, что коротковолно-
размерная длина волны, то есть отношение длины
                                                       вые возмущения гасятся вязкостью.
волны к характерной длине – полуширине канала h,
таким образом, размерное k = 2πh / λ, где λ – раз-         Результаты Гейзенберга воистину замечательны:
мерная длина волны.                                    он, во-первых, показал, что течение Пуазейля ста-
                                                       новится неустойчивым при больших числах Рей-
   Основной результат Гейзенберга – существова-        нольдса; во-вторых, определил критическое число
ние нейтральной кривой для течения Пуазейля в          Рейнольдса, начиная с которого эта неустойчивость
плоском канале. Эта нейтральная кривая приведена       появляется; в-третьих, определил длину волны наи-
на рис. 4. Смысл ее таков. Каждая точка этой кри-      более опасного возмущения. Во всей современной
вой дает критическое значение числа Рейнольдса         теории гидродинамической устойчивости наиболее
для возмущения с данным волновым числом. Внутри        ценится именно такого рода информация.
петли находится область неустойчивости, за преде-
лами петли – область устойчивости. Каждая точка на     СДгъзЦвтЦЦ кДбЗанаЦ лйЕхнав
кривой, таким образом, является нейтральной (от-
сюда название – нейтральная кривая). Кривая имеет         Результаты Гейзенберга были приняты интере-
минимум, координаты точки минимума kкр и Reкр :        сующейся публикой скептически. Во-первых, как
                                                       уже говорилось, не нашлось человека, способного
                     kкр ≈ 1,02,                       пробиться через математические трудности в целях
                                                       проверки результата. Во-вторых, люди привыкли
                    Reкр ≈ 3850.                       рассуждать в духе парадокса устойчивости: откуда
                                                       может взяться неустойчивость с учетом вязкости,
                                                       если без учета вязкости ее нет (теорема Рэлея). Гей-
 Re                                                    зенберг утратил интерес к задаче и больше никогда
                                                       к ней не возвращался. Его интересы сместились
                                                       совсем в другую область, и он вскоре прославился
                                                       тем, что сформулировал основы новой науки –
                                                       квантовой механики.
                                                          Такое противостояние продолжалось довольно
                                                       долго, почти 20 лет. За это время появились отдель-
                                                       ные работы по теории гидродинамической устойчи-
                                                       вости, которые в общем не влияли на ситуацию
                                                       вплоть до 1943–1944 годов, когда появилась в печа-
                                                       ти работа американского математика и механика
                                                       китайского происхождения Линь Цзя-Цзяо. Линь
                                                       устроил генеральную проверку теории Гейзенберга,
                                                       многое в ней уточнил, многое доказал из того, что
                                                       принималось по интуиции на веру, не зря с тех пор
                                                       теория носит имя двух выдающихся исследователей:
Reкр                                                   Гейзенберга и Линя. Основной результат Линя – тео-
                                                       рия Гейзенберга получила дальнейшее подтвержде-
                                                       ние, в частности подтвердилась нейтральная кривая
                                   kкр            k    (она лишь количественно сместилась). Через 10 лет, в
                                                       50-х годах, с появлением быстродействующих ЭВМ
   Рис. 4. Нейтральная кривая на плоскости волно-
                                                       задача была сосчитана численно, и снова результа-
   вое число k – число Рейнольдса Re. Область неус-    ты Гейзенберга подтвердились (Л.Г. Томас). Вскоре
   тойчивости выделена синим цветом                    российский математик А.Л. Крылов продолжил


ЙЦктмза Й.б. ЙаСкйСазДеауЦлдДь зЦмлнйвуаЗйлнъ. абйнЦкеауЦлдаЦ нЦуЦзаь                                         103


      аналитическую линию, начатую Гейзенбергом. Он        весного положения. Если m – масса этого элемента,
      строго математически доказал существование неус-     то уравнение движения для него запишется в виде
      тойчивости при больших числах Рейнольдса. Одна-
                                                                               mx˙ = – γx – αx
                                                                                ˙            ˙.                    (4)
      ко были люди, для которых все это не было убеди-
      тельным. В самом деле, парадокс устойчивости не      Здесь x˙ – вторая производная по времени от сме-
                                                                   ˙
      раскрывался. Не было ясности в вопросе о том, ка-    щения, то есть ускорение частицы. В правой части
      ким образом вязкость может провоцировать неус-       (4), как и полагается в уравнении Ньютона, указаны
      тойчивость и как в спектре возмущений могут по-      силы, действующие на элемент жидкости. Их две:
      явиться растущие возмущения, имеющие вязкую          первая – это возвращающая сила, пропорциональ-
      природу. Отрицательно влияло также отсутствие        ная смещению с обратным знаком, γ – коэффици-
      прямых экспериментальных исследований, кото-         ент упругой связи элемента с точкой его равновесия;
      рые могли бы подтвердить теорию Гейзенберга–Ли-      вторая – это сила трения, пропорциональная скоро-
      ня либо опровергнуть ее (это не исключалось).        сти с обратным знаком, α – коэффициент трения.
                                                           Уравнение (4) справедливо в любой момент време-
      щдлиЦкаеЦзнДгъзйЦ ийСнЗЦкЬСЦзаЦ                      ни, оно описывает затухающие колебания элемента
      нЦйкаа                                               около положения равновесия, их частота есть γ ⁄ m .
         От эксперимента требуется подтвердить либо оп-         Легко представить, что в вязкой среде существу-
      ровергнуть нейтральную кривую. Если ставить экс-     ет запаздывание в передаче действия от одной точки
      перимент в естественных условиях, то есть ожидать    к другой (ретардация). При этом в упругой силе ар-
      появления возмущений с различными k и измерять       гументом у смещения x будет не мгновенное время
      для них критические числа Рейнольдса, то ждать       t, а некоторый другой аргумент, отстоящий от t на τ,
      придется долго и такой эксперимент не будет убеди-   то есть x(t − τ). Это значит, что возвращающая сила
      тельным. Г.Б. Шубауэр и Г.К. Скрэмстед (1947 год)    определяется не мгновенным смещением, которое
      предложили отказаться от ожидания естественного      есть сейчас, а тем, которое было τ секунд назад.
      возбуждения возмущений с различными k и перей-       Уравнение (4) принимает вид
      ти к их искусственному введению в поток. В работе                mx˙( t ) = – γx ( t – τ ) – αx ( t ).
                                                                        ˙                           ˙              (5)
      названных авторов использовалась узкая лента, ко-
      торая вводилась в поток перпендикулярно течению      Единственное отличие этого уравнения от (4) есть
      и приводилась в поперечные колебания с помощью       сдвинутый назад на величину τ аргумент у возвра-
      электромагнитного генератора. От ленты вниз по       щающей силы. Теперь мы можем разложить в ряд
      потоку распространялись волны, затухая или уси-      Тейлора x(t − τ) по степеням малого смещения τ и
      ливаясь. Частота колебаний могла меняться так, что   ограничиться в разложении двумя членами:
      довольно просто устанавливался нейтральный слу-                                                ∂x
                                                                           x ( t – τ ) = x ( t ) – τ -----.        (6)
      чай, когда волны не затухали и не усиливались. Та-                                              ∂t
      ким образом определялись длина волны и волновое
      число. Число же Рейнольдса было задано заранее.      Возвратимся к уравнению (5), подставив в него раз-
      Таким способом удавалось поставить точку на ней-     ложение (6). Будем иметь
      тральной кривой. Таких точек набралось довольно           mx˙ = – γ [ x – τx ] – αx = – γx – x [ α – γτ ].
                                                                 ˙               ˙      ˙          ˙               (7)
      много вблизи минимума, и критическое число Рей-
      нольдса было определено с удовлетворительной         Мы вернулись, в сущности, к уравнению (4), одна-
      точностью. Оно совпало с теоретическим значени-      ко с эффективным трением, роль которого играет
      ем. Предложенную методику, основанную на искус-      величина
      ственном внесении в поток возмущений с заданным                       α* = α − γτ,                (8)
      волновым числом, позже неоднократно использова-
      ли в работах разные исследователи.                   то есть получаем уравнение
                                                                              mx˙ = – γx – α * x
                                                                               ˙               ˙.                  (9)
      йнзйланЦгъзй иДкДСйдлД млнйвуаЗйлна                  Новый коэффициент трения α* меньше истинного
          Этот вопрос до сих пор оставался открытым.       α (так как γ и τ – величины положительные). Таким
      Между тем хотелось бы на интуитивном уровне (“на     образом, мы приходим к выводу, что запаздывание
      пальцах”) понять, каким образом такой диссипа-       (ретардация) уменьшает коэффициент трения. Бо-
      тивный механизм, как вязкость, может провоциро-      лее того, можно даже представить, что коэффици-
      вать неустойчивость. Мы попробуем ответить на        ент трения станет отрицательным. Но отрицатель-
      этот вопрос используя феноменологические рас-        ный коэффициент трения означает, что уравнение
      суждения.                                            (9) описывает колебания с возрастающей амплиту-
          Рассмотрим физически малый элемент жидкос-       дой, то есть неустойчивость.
      ти (то есть малый, но макроскопический, содержа-         Таким образом, дестабилизирующая роль вязко-
      щий огромное множество молекул) и представим         сти является следствием закона запаздывания в пе-
      себе, что он испытывал смещение x из своего равно-   редаче действия в вязкой среде, а это запаздывание,


104                                                           лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997


как следует из приведенных феноменологических
рассуждений, может изменить знак эффективного
трения, то есть вызвать неустойчивость. Для гидро-
динамиков такое рассуждение было непривычным.
Радиофизики же быстро поняли суть дела. Им хоро-
шо знакомо, что в длинных линиях с потерями и за-
паздыванием могут возникать паразитные токи и
волны, то есть происходит возбуждение неустойчи-
вости. Для них гидродинамическое объяснение бы-
ло хорошим примером взаимного обогащения раз-
личных, как будто бы далеких друг от друга наук.

СкмЙаЦ наих нЦуЦзаь
   Драматическая история, о которой говорилось в
предыдущих разделах, относится к плоскому тече-
нию Пуазейля, то есть течению в плоском канале            Рис. 5. Пример равновесия, устойчивого относи-
под действием перепада давления. Теория, как мы           тельно малых возмущений и неустойчивого отно-
                                                          сительно конечных возмущений
видим, оказалась вполне удовлетворительной. Че-
рез все математические трудности удалось пройти,
получить численное и экспериментальное под-            нию приводит к удручающему результату: все воз-
тверждение выводам теории. К сожалению, теория         мущения (малые) в этом слое при всех числах
пока не в таком состоянии, чтобы судить об устойчи-    Рейнольдса затухают, наступает абсолютная устой-
вости течения только по его виду, то есть по профилю   чивость (при том, что в эксперименте отчетливо
скорости. Каждое новое течение сейчас составляет       фиксируется переход к турбулентности и измеряет-
для теории новую проблему. И это несмотря на нали-     ся критическое число Рейнольдса). Таким же обра-
чие эффективных численных методов, реализуемых         зом обстоит дело и в случае цилиндрического тече-
на современных компьютерах.                            ния Пуазейля, то есть течения в круглой трубе (не в
   Еще один удачный пример применения теории к         плоском канале) под действием перепада давления.
анализу устойчивости течения – так называемое те-      Результат анализа такой же, как в случае течения
чение Тейлора. Это течение возникает в цилиндри-       Куэтта, – абсолютная устойчивость. Этот случай
ческом зазоре между коаксиальными цилиндрами,          особенно досадный, так как с этой задачи начина-
если внешний цилиндр покоится, а внутренний вра-       лось изучение ламинарно-турбулентного перехода
щается равномерно вокруг общей оси симметрии.          и всякий знает, что такое течение турбулизуется и
Течение вызывается вращением внутреннего цилин-        существует критическое число Рейнольдса, при ко-
дра, к которому (из-за вязкости) прилипает жид-        тором это происходит.
кость. Она увлекается внутренним цилиндром и ув-          В чем же дело? Ответ на этот вопрос вряд ли смо-
лекает остальные слои жидкости. Течение является       жет кого-нибудь удовлетворить. Он состоит в следую-
(при малых скоростях) чисто азимутальным – жид-        щем. Как уже говорилось, вся теория умеет обращать-
кость движется строго по окружностям. Обнаружи-        ся только с малыми возмущениями. Они затухают.
вается неустойчивость этого течения при достаточ-      Но, может быть, конечные возмущения будут нара-
ной скорости вращения внутреннего цилиндра (то         стать! Есть примеры ситуаций, когда малые возму-
есть при достаточно большом значении числа Рей-        щения затухают, а конечные нарастают (рис. 5). На
нольдса). Критическое значение числа Рейнольдса        рис. 5 видно, что малые возмущения будут затухать,
согласно теории зависит от геометрического параме-     а если величина возмущения превосходит некото-
тра – отношения радиусов внешнего и внутреннего        рое пороговое значение, – нарастать. Но теории,
цилиндров. Само критическое значение числа Рей-        учитывающей конечный уровень возмущений, се-
нольдса и его зависимость от отношения радиусов        годня не существует.
находятся в отличном согласии с экспериментом.
   Надо сказать и о случаях, которые сегодня сле-      бДдгыуЦзаЦ
дует квалифицировать как неудачи теории. Первый
такой случай – так называемое течение Куэтта, то           Мы познакомились с физическим явлением,
есть течение, возникающее в плоском слое между         широко распространенным в природных условиях
твердыми границами, которые движутся “в себе” в        и в технике. Постарались проследить идейные эта-
разные стороны с одинаковыми скоростями. Каж-          пы теории гидродинамической неустойчивости на-
дая граница увлекает за собой непосредственно          чиная со времени зарождения самой идеи и до ее
прилегающий к ней слой жидкости, а вообще в слое       современного этапа, включающего численное и
возникает течение с простейшим – линейным про-         экспериментальное подтверждение. Мы старались
филем скорости. Применение теории к этому тече-        здесь не обойти стороной трудности теории, так как


ЙЦктмза Й.б. ЙаСкйСазДеауЦлдДь зЦмлнйвуаЗйлнъ. абйнЦкеауЦлдаЦ нЦуЦзаь                                        105


      преодоление трудностей – столбовая дорога науч-             2. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.:
      ного познания. К сожалению, мы не охватили один             Мир, 1981. 638 с.
      яркий пример, где соображения устойчивости игра-            3. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.:
      ют первостепенную роль – речь идет о горячей за-            ИЛ, 1962. 203 с.
      магниченной плазме. Как известно, через горячую
                                                                  4. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устой-
      замагниченную плазму лежит наш путь к управляе-             чивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
      мому термоядерному синтезу. И главным препятст-
      вием на пути к управляемому термоядерному син-              5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Ус-
      тезу является неустойчивость плазменных систем.             тойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989.
                                                                  320 с.
      Таких неустойчивостей известно около сотни. Ка-
      ковы эти неустойчивости и, главное, какие пути по
      части их преодоления сейчас разрабатываются – все                                 * * *
      эти вопросы, очевидно, очень интересны, но это
      предмет особого разговора.                                   Григорий Зеликович Гершуни, доктор физико-
                                                               математических наук, профессор кафедры теоре-
                                                               тической физики Пермского государственного
      ганЦкДнмкД
                                                               университета. Область научных интересов: теория
         1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Нау-   гидродинамической и конвективной неустойчивос-
         ка, 1986. 736 с.                                      ти. Автор двух монографий и свыше 200 статей.




106                                                               лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика