Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математческие теории обмена

Голосов: 0

В статье представлены экономико-математические теории обмена У. С Джевонса, Л. Вальраса, Дж. Ю. Стиглица, Б. Холмстрöма и др. Теории обмена классифицированы на классические (Ж.Б. Сэй), неоклассические (А. Маршалл), контрактные (Б. Холмстрöм), естественно-научные (В. Парето), статистические. Показано, что акцент на обмен в ущерб производству или, наоборот, недооценка обмена в экономическом регулировании ведет к замедлению экономического роста.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  2 
прекращались. Вплоть до XX века  обмен сводился к рыночному обмену. Поэтому 
мы  начинаем  рассмотрение  математических  теорий  обмена  с  математических 
теорий рыночного обмена. 
В  канонической и  классической теории обмена формула рыночного обмена 
проста: 
D = S, где (1) 
D – объем  поставляемого  покупателем  к обмену  товара; S – объем 
поставляемого продавцом к обмену товара. 
В  рыночном  обмене  есть  не  наблюдаемые  факторы:  благосостояние  и 
продавца, и покупателя. Если благосостояние продавца и покупателя  в результате 
обмена возрастают, то обмен состоится, в противном случае продавец и покупатель 
проигнорируют  друг  друга.  Эта  модель  принадлежит  одновременно  к 
канонической и классической теориям обмена: прирост благосостояния от обмена 
игнорируется. 
Наиболее  известным  уравнением  обмена  в  классической  экономической 
теории является так называемое тождество Сэя. 
В  экономике  с  развитым  разделением  труда  нормальным  для  каждого 
человека  средством  приобретения  товаров  и  услуг  служит  способность 
производить для обмена эквивалентные  товары и услуги. Производство не только 
увеличивает  предложение  товаров,  но  и,  благодаря  необходимому  покрытию 
издержек производства, также порождает спрос на эти товары. Отсюда и вывод, – 
тождество  Сэя:  «продукты  уплачиваются  за  продукты».  В  экономике,  где 
используются  только  счетные  деньги,  где  средством  обращения  служит  товар, 
ничем не отличающийся от остальных товаров, –суммарная ценность предложения 
всех товаров всегда в  точности равна совокупному спросу на них. Тождество Сэя 
можно записать в виде: 
∑������=1���≡∑������=1��� (2) 
Суммарный спрос на n-1  товаров равен  суммарному предложению товаров 
[2; с. 12]   

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  3 
Уравнение  обмена  У.С.  Джевонса  основывается  на  законе убывающей 
полезности  благ  для  потребителя.  По  мнению  У.С.  Джевонса  соотношение,  в 
котором  обмениваются  два  товара, должно  быть  обратно  пропорционально 
последним ступеням полезности обмениваемых товаров. В терминах современной 
теории  о  потребления  уравнение  обмена  У.С.  Джевонса  трансформируется  в 
знакомое  условие  потребительского  равновесия:  равенство  предельных 
полезностей покупаемых товаров на единицу цены. 
Обратимся к математическому выражению обмена по Джевонсу. Пусть, а и в 
представляют собой количества двух благ, которыми обмениваются два индивида. 
Пусть х и у будут реально обмениваемыми количествами товаров а и в. Пусть φ и 
ψ –последние ступени полезности обмениваемых товаров. Тогда 
��1(а−х) 
��1 =у
 х = ��2(х) 
��2(в−у) (3) 
Отношение  предельной  полезности  благ,  оставшихся  после  обмена,  к 
предельной полезности приобретаемых при обмене благ обратно пропорционально 
пропорции,  в  которой  товары  обмениваются.  Или,  что  тоже  самое,  чем  выше 
значимость, приписываемая  благу  его  владельцем,  тем  меньшее  его  количество 
предлагается  для  обмена.  Если  предельная  полезность  обмениваемого  блага 
обратно пропорциональна его количеству, имеющемуся в распоряжении продавца, 
то  предельная  полезность  обмениваемого  блага  обратно  пропорциональна 
количеству  уступленного  для  обмена  блага.  В  современной  терминологии 
уравнение обмена Джевонса можно записать так 
����
����=�
� (4) 
или 
  MUx
Px=MUy
Py=y
x (5) 
 
Обмен будет равновесным, если пропорции обмена будут  такими, что отношения 
предельных  полезностей  всех  реально  обмениваемых  товаров  на  единицу  цены 
будут составлять одной и туже  величину [2].  

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  4 
Обратимся  к  математической  модели  обмена  Л.  Вальраса,  исходными 
предпосылками которой являются каноническая и классические теории обмена. 
Пусть имеются один покупатель и один продавец. Они обмениваются излишками. 
Продавец предъявляет к обмену товар S, покупатель – товар D.  Обмен излишками 
запишем так 
S=D (6) 
Сформулируем ряд определений. 
1. Пропорция обмена товара S на товар D называется ценой товара S. 
2. Пропорция обмена товара D на товар S называется ценой товара D. 
3. Ведущей  стороной  обмена  является  покупатель.  Продавец  продает 
свой товар не потому, что излишек есть, а потому, что продавец будет приобретать 
товар D у покупателя. 
4. Имеет  место двойная продажа и двойная покупка. 
5. В  процесс обмена привлекается  счетный товар. Это можно записать в 
виде уравнения 
P+ S⋅pi – Dpk = 0, где (2) 
P – объем счетного товара, PϵOP; pi – товара S; pk –цена товара D.  Счетный 
товар  снимает  территориальные  и  временные  разрывы, при  которых  обмен  без 
товара-посредника (счетного товара) невозможен [3, 35,40-42,103]. 
Модель обмена Вальраса можно записать и следующим образом. 
Пусть 
Х��∗ – это  такое  количество товара j,предлагаемое  для  обмена,  которое дает 
максимальное  благосостояние  для i-го  участника.���� – фактическое  количество 
товара j, предлагаемое для обмена i-ым  участником. 
��� – благосостояние i-го участника, ���→ max. i=2,3…..n. 
При  условии  сканирования  разных  вариантов  обмена  фактическое 
количество предлагаемых к обмену товаров будет приближаться к оптимальным, а 
благосостояние участников обмену будет максимизироваться. 
��������→��������∗ (8)  

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  5 
В общем случае 
∑��������→∑��������∗. (9) 
Тогда будет справедливым равенство 
��11-��11∗=∑��(�−1)(�−1)��(�−1)(�−1)∗-��(�−1)(�−1)��(�−1)(�−1) (10) 
Последнее  уравнение – это  выражение  так  называемого  закона  Вальраса. 
Если  существует  дефицит  товара  на  отдельном  рынке,  то  он  компенсируется 
товарным излишком на других рынках. 
Из  математической  модели  обмена  Вальраса  мы  сформулируем несколько 
дополнительных определений. 
1. Существует бюджетные ограничения для продавца и покупателя 
SϵOS (11) 
DϵOD, где 
OS – множество допустимых количеств товара S; OD множество допустимых 
количеств товара D. 
2. При отсутствии бюджетных ограничений, иначе говоря, когда имеет место 
моральный,  нравственный  и  технологический  беспорядок,  максимум 
благосостояния маловероятен. 
3.Если  обмены  будут  продолжаться бесконечно долго и  бесконечно много 
раз,  то  продавец  и  покупатель  будут  менять  пропорции  и  количества  товаров, 
максимизируя благосостояние от обмена и придут к оптимальному обмену. 
���∗=���∗ (12) 
При  условии i→∞; US→max; UD→max; ���∗=���∗ – пропорция  от  обмена, 
дающая максимальный прирост благосостояния для продавца и покупателя; US, UD 
– уровни  благосостояния от  обмена  для  продавца  и  покупателя  при  различных 
сочетаниях цен и количеств товаров. 
Модель Вальраса позволяет подойти и к понятию конкуренции, уточнив его. 
Доля  основных  игроков  на  рынке – слишком  расплывчатый  и  неопределенный 
критерий конкуренции на рынке.  

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  6 
Предположим,  что  при  действующих  ограничениях  существуют 
оптимальные  цены,  оптимальные  количества,  при  которых  благосостояния  от 
обмена для продавца и покупателя будут максимальны. 
Обозначим через Ui – прирост благосостояния агента i в результате обмена. 
В начальной и конечной точках сканирования обменных пропорций  
Ui=0, 13) 
или U1 (mi,ai)  =  0,  где mi, ai – номера  трансакций  обмена  соответственно в 
начальной и конечной точках, при которых прирост благосостояния агента 1 равен 
нулю. 
Если  сделать  невозможными  некоторые  сочетания  цен  и  количеств 
обмениваемых  товаров,  то  тем  самым  исключаются  и  вероятно  благоприятные 
сочетания  цен  и  количеств  обмениваемых  товаров  для  участников  обмена.  Чем 
больше  исключаемых  из  сканирования обменных  пропорций, тем  ниже  уровень 
конкуренции, и, наоборот, если все возможные сочетания цен и количеств товаров 
в обмене допустимы, то обменные операции будут совершенно конкурентными.  
Монополия ограничивает конкуренцию, потому что ограничивает обменные 
операции  только  теми,  в  которых предельные  издержки  производства  товара 
меньше  цены.  Монополия – хороший  пример  ограничений  в  конкуренции.  При 
заданной цене  конкуренция ограничена. 
В бизнесе нередки ситуации, которые связаны с продажей товаров не только 
с  убытком, но  и  с  приплатой. Например,  хранение  сбережений редко, но  бывает, 
происходит с  отрицательной ставкой.  Иногда бизнес  продается с  символической 
платой  в 1  денежную  единицу.  В  классической и неоклассической теории обмена 
продажа с отрицательной ценой  не  рассматривается. Модель Вальраса, наоборот, 
позволяет понять внутренние пружины столь парадоксального обмена – оставление 
у  себя  имущества  несет  большие  убытки,  чем  продажа  по  символической цене. 
Продажа  товаров  по  символическим  ценам – это  свидетельство  конкурентного 
обмена. 
Коррупция – выполнение  служебных  обязанностей  за  двойную  плату  от 
основного  работодателя  и  от  клиента,  не  предусмотренную  договором  купли- 

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  7 
продажи  и  трудовым  договором,  выступает  как  кража  и  у  работодателя,  и  у 
партнера  по  сделке.  В  более  широком контексте  коррупция – это  ограничение в 
конкуренции, которое наносит ущерб благосостоянию всех сторон коррупционной 
сделки, поскольку коррупция – это  не  только ложная  сделка,  но и  ограничение в 
ряде сканирования вариантов обмена для выбора оптимального обмена. 
Товарная  интервенция – альтернатива  заданной  цене  при  регулировании 
обмена,  она  не  ограничивает  сканирование  вариантов  обмена.  Инвестиции  в 
производство  товаров  также  не  ограничивают  конкуренцию  субсидирование 
потребления не ограничивают конкуренцию. 
Модель  обмена  Вальраса  не  применима  к  сектору  обмена  общественными 
благами. Обратимся к обмену  общественными благами неделимыми  благами, т.е.  
вторая производная от производственной функции общественных товаров не равна 
нулю.  
Дж. Ю. Стиглиц для теоретического представления обмена в общественном 
секторе  предлагает  три  подхода:  использовать  замещение  частных  товаров 
общественными, налоговой цены, спроса и предложения на общественные товары, 
а также теории утилитаризма роллсианства.  
Общество  всегда  находится  в  состоянии  выбора  между  частными  и 
общественными  товарами.  Точка  равновесия  определяется  суммой  предельных 
замещений  частных  товаров  на  сумму  предельных  замещений  индивидов  на 
общественные,  суммой  предельных  норма  трансформации  частных  товаров  на 
общественные, а  также  равенством предельных норм замещения частных товаров 
на общественные нормам трансформации частных товаров на общественные [11, с. 
138].  
Оптимальность выбора частных и  общественных товаров можно записать в 
виде формулы: 
MRPTp p pp = MRSp p pp (14) 
Предельная  норма  продуктовой  трансформации  частных  товаров в 
общественные равна предельной норме технической замены производства частных 
товаров на общественные в производстве [11, с. 123].   

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  8 
Дж.Ю.  Стиглиц  вводит  в  анализ  понятие  налоговой  цены, спроса  и 
предложения  общественных  товаров. При  определении  налоговой  цены  спрос и 
предложение  общественных  товаров сближаются и  находят  точку  пересечения – 
оптимальную  величину  спроса  и  предложения  общественных  товаров.  Однако 
достижение равновесия зависит не от индивидов, а от политического процесса [11, 
с. 150].  
Роллсианство  как  и  утилитаризм,  предполагают,  что  индивидуальные 
предпочтения в общественном хозяйстве складываются по вертикали в отличие от 
рыночной  экономики,  где  индивидуальные  предпочтения  складываются  по 
горизонтали.  В  утилитаризме  сложение  индивидуальных  предпочтений 
происходит аддитивно,  в  роллсианстве – дифференцировано. И  в  том  и  другом 
случаях можно записать 
W=∑������=1 (15) 
Общественное благосостояние есть сумма благосостояний членов общества. 
Формула ролсианско-утилитаристкой  концепции  обмена  в  общественном 
хозяйстве имеет вид 
Max  W= ∑������=1 + ∑������=1 (16) 
Максимум  благосостояния  общества  складывается  из  благосостояния 
бедных(i) и богатых (k). 
Утилитаризм  показывает,  что  максимум  общественного  благосостояния 
достигается  при  равенстве  распределений  общественного  благосостояния среди 
богатых  и  бедных.  Роллсианство  показывает,  что  максимум  общественного 
благосостояния достигается при таком распределении, при котором увеличивается 
благосостояние бедных.  В  пределе  и  в  роллисанстве,  и  в  утилитаризме  должно 
соблюдаться равенство 
∑������=1 = ∑������=1 (17) 
Максимум благосостояния всех членов общества по отдельности и совместно 
достигается при уравнительном распределении [11, с. 110].  
Согласно  теории  утилитаризма,  в  обмене  в  общественном  секторе 
увеличение  полезности  одного индивидуума  должно  иметь  равную  весомость с  

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  9 
увеличением  полезности  другого индивидуума.  Согласно теории роллсианства в 
обмене  в  общественном  секторе  увеличение  полезности  одного  индивидуума 
может  иметь  и  не  равную  весомость  с  увеличением  полезности  другого 
индивидуума. Рассмотрим общество, в котором две группы – группа 1 и группа 2. 
Общее благосостояние складывается из благосостояний индивидуумов из групп 1 
и 2. Группа 1 имеет определенный уровень полезности ��1∗, а группа 2 – уровень ��2∗. 
Где   ��2∗ по  крайней  мере  не  меньше ��1∗.  Если  мы  увеличим  полезность второй 
группы, сохраняя полезность первой группы неизменной, мы останемся на той же 
кривой общественного безразличия: т.е.   общество не улучшит  своего положения. 
Оно  не  хочет  поступиться  какой-либо  полезностью  группы  1  ради  какого-то 
увеличения  полезности  группы  2.  Если  обе  группы  первоначально  имеют 
одинаковые  уровни  полезности,  благосостояние  общества  возрастает  только  в 
случае,  когда  повышается  благосостояние  как  группы  1,  так  и  группы  2,  и  это 
повышение равно наименьшему повышению благосостояния любой группы.  
Согласно  Стиглицу,  обмен  в  общественном  секторе  сводится  к  выбору 
пропорций  обмена  между  уменьшением  благосостояния  одной  группы/одного 
индивида и  увеличением  благосостояния другой группы/другого индивида [11, c. 
112]. 
На  наш  взгляд, обмен в общественном секторе по модели утилитаризма  или 
роллсианства  отличаются  от  рыночного обмена  только  способом формирования 
спроса  и  предложения,  но  не  по  существу.  В  рыночном  обмене  спрос  и 
предложение  не  распадается  на  составные  части.  В  утилитаризме/роллсианстве 
спрос  и  предложение  распадаются  на  индивидуальные  благосостояния, встреча 
спроса  и  предложения  происходит  как  перераспределение  общественного 
благосостояния  между  группами  населения.  В  одном  случае  равновесие 
достигается  в  точке  равного  распределения  общественного  благосостояния,  в 
другом – в точке равенства спроса и предложения на общественные товары. 
В  порядке  критики  концепции  обмена  Стиглица  следует  отметить,  что 
общественные  товары  неделимы,  и  поэтому  не  могут  разверстываться  по  

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  10 
вертикали.  Права  собственности могут делиться, но общественные полезности не 
делятся. 
К сектору обмена общественными благами применима теория «Принципал-
Агент». 
Теория «Принципал-Агент»  ставит  обменивающиеся стороны изначально в 
неравное положение. Одна сторона обмена дает  поручение (принципал),  другая – 
выполняет это поручение и получает вознаграждение (агент).  Обмен предполагает 
доверительные  отношения,  системы  общей  информации,  создание 
целенаправленных  мотивов,  установление  систем  контроля  за  выполнением 
обязательств  обменивающихся  сторон.  Теория  «Принципал-Агент»  впервые 
предложена М. Дженсеном и В.  Меклингом в 1932  году [9;  17].  Она представляет 
собой  развитие  известного  тезиса  К.  Маркса  о  разделении  собственности  и 
управления. 
Во  второй  половине XX века  теория  «принципал-агент»  получила 
дальнейшее  развитие  и  активно  разрабатывается  в  настоящее  время.  Особенно 
содержательна  теория  «принципал-агент»  в  части  применения  к  общественному 
сектору и структуре собственности в фирме [15;18].  
Б. Холмтстрöм [16]  предложил следующую  математическую модель обмена 
в коллективном производстве. 
Пусть  имеются n агентов.  Каждый  агент  имеет  номер i.  Каждый  агент 
выполняет  ненаблюдаемые  действия аi.  Коллективное  действие  обозначим через 
Аi,  (ai∈Аi = [0,∞]. Каждый агент  несет не  денежные  издержки vi.  Конвенциальные 
условия обозначим через IR. Аi →IR, vi→IR. 
Примем vi (0)  = 0, 
а=(а1……аn) ∈A≡∑A����=1. (18) 
Пусть si(x) – доля i-го  агента  в  доходе коллективного производства. Доход 
распределяется среди агентов. Функция ∑������=1 – сепарабельна  и  в  денежном и  в 
натуральном выражения, линейна  в денежном выражении. 
Пусть  агент  стремится  к  положительной  разнице  между  его  денежными 
поступлениями и затратами (u), т.е.  

Экономическое  просвещение 4 (4) 2018 e conomic-e ducatio n. ru  11 
ui (mi,ai)=mi –vi (ai), где (19) 
mi – некоторый коэффициент линейной функции. vi (ai) – неденежные затраты 
агента i.  Чистые  денежные  поступления  агента  в  начальной  и  конечной  точках 
производства  равны  нулю.  Правило,  по  которому  подчиняется  распределение 
долей среди агентов таково:  
если si(x) ≥ 0,  i……n, 
то ∑������=1(x)=Х  для всех х, где (20) 
Х – доход коллектива,  распределяемый среди агентов, si – объем денежного 
вознаграждения агента i, х-размер денежного вознаграждения агента i. 
Доход  коллектива,  распределяемый  среди агентов,  равен  сумме  денежный 
поступлений всех агентов. 
В этих условиях оптимум по Парето записывается как:  
а*=arg [x(a) – ∑������=1(�i)]  (21) 
Оптимальная точка обмена в системе отношений «Принципал-Агент» равна 
экстремуму  функции  разницы между  денежным  вознаграждением всех  агентов  и 
их затратами.  
Если  функция  долевого  распределения  коллективного  дохода 
дифференцируема,  то  мы  можем  найти  точку  равновесия  по  Нэшу.  Это а*,  при 
которой выполняется равенство 
���  ′  ��  ′  -���  ′  =0 i=1  (22) 
где: 
���  ′  ��  ′  -���  ′   – первая производная функции чистого дохода агента по а. 
Б.  Хольмстрöм  акцентирует  внимание,  что  первая  производная исходного 
уравнения равна 1. 
∑���  ′  ���=1=1, а  производная от долевого распределения коллективного дохода 
равна  0.  Условие  равновесия требует  нулевого  прироста вознаграждения. Таким 
образом,  при  равенстве  чистых  вознаграждений  агентов  общей  сумме 
распределяемых доходов будет не  выполняться условие оптимальности по  Нэшу. 
Отсюда  вывод:  в  коллективной  экономике  требуются  усилия  по  оптимизации  


    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика