Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Теория электрической связи. Конспект лекций

Голосов: 0

Издание посвящено базовой дисциплине в системе подготовки бакалавров - Теории электрической связи. Для решения задач анализа систем связи приведены необходимые сведения, содержащие описание моделей сообщений, сигналов, помех, методы формирования и преобразования сигналов. Рассмотрены преобразования сигналов в типовых функциональных узлах систем связи, излагаются основные закономерности и методы анализа потенциальной помехоустойчивости и пропускной способности каналов связи. Изложены основы теории информации и безызбыточного кодирования сообщений, основные модели каналов электросвязи, принципы многоканальной связи и распределения информации. Рассмотрены вопросы оценки эффективности систем связи и основы помехоустойчивого кодирования и его применение в системах связи. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению 210700 "Инфокоммуникационные технологии и сети связи".

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                      60


  C                                                            p0         p0                p ( x1 )
                                                   q          m 1       m 1       
       VM                                          p                                
                                                                                              p( x2 )
                                                 m 0             q                                     ,
                                                  m 1                              
                                                                           q                 
                                                                                   q        p( xm )
                              q                                                     
   0        0,5    1                                    m                1
 Рис. 11.1. Зависимость                      H ( x)   p( xi ) log            ; Hmax(x) = log m;
пропускной способности                                  i 1          p ( xi )
   двоичного канала                                                                             1
                                            H ( x / y )    p ( xi ) p ( y j / xi ) log                ;
                                                                                          p ( y j / xi )
                             q , i  j ;
                                                                       m 1        1
            p ( y j / xi )   p 0            C  Vmax  log m  p 0 log
                                                                              q log  .
                              m  1 , i  j.                            p0         q
                                                                                      
                             
                  11.1 Теорема Шеннона для каналов с помехами

      Наличие шума в информационной системе приводит к нарушению со-
ответствия между входным и выходным сигналами (рис. 11.2):
                              Y(t) = X(t) + n(t),
так как сигнал, передаваемый по СПИ, в которой присутствует шум, искажа-
ется. В дискретной форме влияние шума проявляется в случайной подмене
одних символов другими. Однако, несмотря на такие случайные искажения,
соответствие обычно не разрушается полностью. Это обеспечивает возмож-
ность работы СПИ даже при наличии сильных шумов.

                                                       x              y                  Si
                    КС            КИ          КК             КС             ПС
                                       ИС                         n

                               Рис. 11.2. Модель канала связи
     На практике помехи присутствуют в линиях и каналах связи всегда. В
частности, в военных системах связи наличие помех является нормальным
режимом работы (в условии постановки преднамеренных помех). При рас-
смотрении вопросов передачи информации в условиях шума были получены
наиболее важные результаты теории информации, которые можно назвать
крупными научными открытиями.
     К ним относятся:
     – первая теорема Шеннона (прямая и обратная);
     – вторая теорема Шеннона.


                                           61

      Из первой теоремы следует, что как бы ни был сильным шум, можно
создать условия, при которых возможна передача информации при сколь
угодно малой вероятности ошибки.
      Из второй теоремы следует, что не потребуется до бесконечности по-
нижать скорость передачи при повышении требований к малости ошибки.
      Это может показаться неожиданным, так как интуитивно ясно, что для
уменьшения вероятности ошибки необходимо увеличивать избыточность.
Вводя избыточность путём многократного повторения сигнала, приходим к
выводу, что при увеличении требований к малости вероятности ошибки из-
быточность должна неограниченно возрастать, а скорость передачи инфор-
мации – стремиться к нулю.
      Пример.
                       H(X)                 I = H(X) – H(X | Y)


                               H(X | Y)
      Из примера видно, как интуиция приводить к неправильным выводам.
      К. Шеннон показал, что существуют такие способы введения избыточ-
ности, при которых обеспечиваются одновременно и сколь угодно малая ве-
роятность ошибки, и конечная скорость передачи информации.
                       11.2 Первая теорема Шеннона

                       11.2.1 Прямая теорема Шеннона

      В канале связи с помехами всегда можно получить сколь угодно малую
вероятность ошибочного приёма сообщений, если выполняется условие
                                         Vист < C.
      Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим проблемы, возникающие при пере-
даче дискретных сообщений по каналам с шумом (рис. 11.3).
                                    H(X)        каналы
                         КК
                  x1
                                                           выходные
                                                            сигналы


                  xN
                                                               Y

                              {X}                        {Y}
       Рис. 11.3.Передача дискретных сообщений по каналам с шумом
     На вход КК поступает одна из N0 последовательностей символов, кото-
рую надо передать по каналу связи без ошибок. Идея состоит в том, чтобы
внести достаточную избыточность, обеспечив и необходимую избыточность.


                                           62

      Внесение избыточности связано с увеличением длительности сигнала
на некоторое число символов. Число возможных последовательностей резко
увеличивается, но КК работает только с N0 из них разрешёнными.
      Так как последовательности искажаются, то одной и той же отправлен-
ной соответствуют несколько принятых последовательностей. Обратно каж-
дой из принятых соответствует некоторое подмножество, отправленных на
входе канала.
      В таких условиях требует принять однозначное решение о том, какой
сигнал был передан. Это достигается тем, что всё множество принимаемых
сигналов N разбивается на N0 подмножеств, сопоставляемых с N0 возможно-
стями. Если принят сигнал i-й группы, то считается, что передан был i-й сиг-
нал.
      Проблема состоит в том, чтобы выяснить, возможно ли такое размеще-
ние N0 переданных последовательностей среди возможных N входных и та-
кое разбиение на группы, чтобы вероятность ошибки не превышала сколь
угодно малой заданной величины.
      Другая проблема состоит в том, чтобы понять существует ли некоторая
минимально необходимая избыточность, или при уменьшении вероятности
ошибки соответственно должна увеличиваться избыточность.
      Для доказательства вспомним, что среди всех последовательностей
длины n есть
                                       вх     nH ( X )
      – высоковероятные (типичные) N тип  2           ;
       – высоковероятные принимаемые N тип  2 nH (Y ) ;  вых

       – число искажающих высоковероятных последовательностей шума
N тип  2 nH ( X / Y ) ,т. е. всего от 2 nH ( X / Y ) последовательностей может произойти
  ш

принятая последовательность длины n, а каждому отправленному сигналу
соответствует 2 nH ( X / Y ) принимаемых.
       Пусть производительность источника
                                                   Vист < C.
При этом число разрешённых последовательностей
                                             2 nVист  2 nH ( X ) .
Тогда необходимо выбрать M разреш  2 nVист последовательностей из
M общ  2 nH ( X ) возможных комбинаций, передать по каналу и потом выделить
2 nVист из общего числа 2 nH (Y ) .
     Если мы разместим Mp разрешённых сигналов случайным образом на
множестве Mобщ, то вероятность того, что последовательность относится к
числу разрешённых
                             M разреш   2 nVист
                   Pразреш            nH ( X )  2 n (Vист  H ( X )) .
                             M общ     2
     Принятому сигналу соответствует 2 nH ( X / Y ) переданных последователь-
ностей.


                                                        63

    Вероятность того, что ни один из 2 nH ( X / Y ) сигналов не является разре-
шённым, кроме одного переданного, равна
                 M разреш                                      nH ( X / Y )
                1          Q  [1  2 n (Vист  H ( X )) ] 2              1
                                                                                 
                          
                     M общ 
                
                                                                          nH ( X / Y )
                                         [1  2 n (Vист  H ( X )) ] 2                  .                               (11.1)
Это средняя вероятность безошибочного приёма.
      Так как Vист < C = H(X) – H(X / Y), то Vист – H(X) = –H(X / Y) – ,  > 0, и,
подставляя последнее выражение в формулу (11.1), получим
                                                                              nH ( X / Y )
                                     Q  [1  2 (  nH ( X / Y )  n) ]2                    .
       Найдём lim Q  1 :
                   n 

                                                                                        log[1  2  n ( H ( X / Y )   ) ]
       lim log Q  lim 2 nH ( X / Y ) log[1  2  n ( H ( X / Y )   ) ]  lim                                             .
       n             n                                                          n       2 n( H ( X / Y )
     По правилу Лопиталя, учитывая, что
                     1
       log a x         и ( a x )  a x ln a ,
                  x ln a
получим                                                                                                                         Mобщ
                 H (X /Y )         2  n                                                            х1
lim log Q  lim  
                                                         0,
                                    n ( H ( X / Y ) ) 
n         n
                   H (X /Y ) 1 2                       
откуда следует, что lim Q  1 , т. е. при случайном                                             у1                 2NH(x/y)
                             n                                                             принятый
                                                                                              сигнал
кодировании блоками достаточной длины вероят-
ность ошибки может быть сделана сколь угодно                                                     Рис. 11.4. Распределение
малой (рис. 11.4).                                                                                 сигналов в фазовом
                                                                                                  пространстве с зонами
          11.2.2 Обратная теорема Шеннона                                                           принятия решения

     Если производительность источника сообщений Vист больше пропуск-
ной способности канала С (Vист > C), то никакой код не может сделать веро-
ятность ошибки сколь угодно малой:
                                     lim log Q    lim Q  0
                                     n                             n 
т. е. вероятность безошибочного приёма стремится к нулю. При Vист > C ве-
личина  становится отрицательной.
                                11.3 Вторая теорема Шеннона

      Для обеспечения достаточной помехоустойчивости приходится вво-
дить в передаваемый сигнал избыточность, уменьшая при этом скорость пе-
редачи информации.
      Вторая теорема гласит, что увеличения избыточности до бесконечно-
сти не требуется при снижении Pош до нуля.


                                            64

     Теорема. При условии Vист  C среди кодов, обеспечивающих сколь
угодно малую Рош , существует код, при котором скорость передачи инфор-
мации сколь угодно близка к скорости создания информации:
                                  V  Vист.
           11.4 Теорема Шеннона для непрерывных каналов

                                             P 
                              C  F log 1  2  .
                                           
                                              ш 
     Если М – число каналов продолжительностью T, то скорость передачи
информации равна [бит/с]
                                           M
                                  V  log .                      (11.2)
                                           T
     Найдём число сообщений M. Вероятность того, что точка находится
внутри объёма Vштр (рис. 4.1)
                                                     2TF                           2TF
                         
                      Vштр   ш2                                ш 2
                  P                                         
                                                                                        ,
                     V    Pc   2
                                 ш
                                                 
                                                                Pc   2 
                                                                         ш 

т. е.
                                         2                     TF
                                    ш 
                               P           
                                    P  2  .
                                    c     ш 
      Для безошибочного приёма ни одна из (М – 1) точек передаваемого
сигнала, кроме одной, не должна находиться внутри этого объёма. Вероят-
ность того, что любая из этих точек находится вне объёма равна (1 – P). Ве-
роятность того, что все точки находятся вне объёма, кроме одной (рис. 11.5):
                                 Q = (1 – p)M – 1;
                                                               TF       M 1
                                   2                             
                             Q  1    ш                                    .
                                   Pc   ш
                                            2                       
                                                                  
                                               А
                                                                 2
                                M                          2TF ш
                                                       В


                                 2TF ( Pc   2 ) 
                                               ш



                                                       Q = 1–

          Рис. 11.5. Непрерывные сигналы в фазовом пространстве
     Если правую часть разложить в биномиальный ряд и учесть сумму
первых членов, то


                                         65

                                             2                     TF
                                         ш 
                        Q  1  ( M  1)        
                                         P  2  .
                                         c    ш 
     Пусть теперь требуется найти вероятность ошибки, которая была бы
меньше некоторого заданного :
                                   Q>1–
или
                                            2        TF
                                       ш 
                                      
                          1  ( M  1)          
                                               2 
                                                              1  ;
                                       Pc   ш 
                                             2               TF
                                     Pc   ш           
                                    
                           M  1                               .
                                          2              
                                     ш                 
Это условие выполняется тогда, когда
                                                         TF
                                      P  2        
                                M   c 2 ш
                                      
                                                     
                                                              ,
                                         ш          
откуда
                          log 2 M log                Pc
                     C                            .
                                         F log 2 1  2
                             T      T               
                                                    
                                                       ш
      На основе вышесказанного можно сделать следующие выводы.
      Первая и вторая теоремы Шеннона указывают на существование кодов,
обеспечивающих произвольную малость вероятности ошибки и не умень-
шающих скорость передачи информации. Однако вопрос о построении таких
кодов не рассматривается. До сих пор нет общего метода построения кодов,
реализующих теоретический предел для Pош и Vист.
      Все теоремы Шеннона дают асимптотические результаты, т. е. выпол-
нение условий возможно при увеличении длины блока. Практическая реали-
зация при этом затруднена:
      – сложностью кодирующих и декодирующих устройств;
      – задержкой приёма сообщения.


                                   66


                     Лекция 12
   ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
                 В СИСТЕМАХ СВЯЗИ

     12.1 Общая характеристика помехоустойчивого кодирования

                    Основные понятия и определения
      В современных системах связи, навигации и управления широкое при-
менение нашли помехоустойчивые коды.
      Основной задачей помехоустойчивого кодирования является обеспече-
ние высокой достоверности передаваемых данных за счет применения уст-
ройств кодирования/декодирования в составе системы передачи цифровой
информации, включающей источник данных, кодер канала, модулятор, фи-
зический канал, демодулятор и детектор, декодер канала, приемник данных.
      В общем случае процедура кодирования представляет собой преобра-
зование одного алфавита в другой. Самым простым и наглядным примером
может служить преобразование буквенного алфавита в алфавит двоичных
последовательностей. Например, для русского алфавита, содержащего (для
удобства) 32 буквы (мощность алфавита), каждая буква может быть пред-
ставлена пятиразрядной последовательностью из нулей и единиц, являющей-
ся кодовой комбинацией двоичного безызбыточного кода. Число символов в
последовательности определяется как логарифм мощности первичного алфа-
вита по основанию два. В общем случае основание логарифма равно основа-
нию вторичного алфавита и может быть больше двух. Так, при преобразова-
нии латинского алфавита, содержащего (для удобства) 27 букв, каждая буква
может быть представлена трехразрядной последовательностью троичных
символов, т. е. кодовой комбинацией троичного кода..
      Коды, полученные при данных преобразованиях, называются безыз-
быточными. При передаче сигналов с использованием кодовых комбинаций
(КК) данных кодов по каналу связи, в котором действуют помехи, возможны
переходы одной КК в другую. При этом определить на приемной стороне
факт искажения отдельных КК (режим обнаружения ошибок), а тем более
исправить искаженные КК (режим исправление ошибок) не представляется
возможным.
      Для реализации возможности примененияна приемной стороне режи-
мов обнаружения и исправления ошибок в кодовые комбинации на пере-
дающей стороне необходимо ввести избыточность. Такие коды называются
кодами с избыточностью или помехоустойчивыми (корректирующими)
кодами. Избыточность чаще всего вводится путем добавления к безызбы-
точной КК так называемых проверочных символов.
      Приняты следующие обозначения для помехоустойчивых кодов:
      n – значность кода, т. е. общее число символов в избыточной кодовой
комбинации;


                                            67

      k – число информационных символов, т. е. число символов в первона-
чальной безызбыточной кодовой комбинации;
      r – число проверочных символов, т. е. число символов, добавляемых к
первоначальной безызбыточной кодовой комбинации, причем n = k + r.
      Помехоустойчивый код значности nс числом kинформационных сим-
волов обозначается как (n,k)-код.
      Число разрешенных кодовых комбинаций (РКК) (n,k)-кода определяет-
ся как Nр = 2k.
      Общее число возможных КК значности nравно Nо = 2n.
      Важной характеристикой помехоустойчивого кода является так назы-
ваемое минимальное Хеммингово расстояние dmin, определяемое как ми-
нимальное расстояние в пространстве Хемминга среди всех возможных рас-
стояний между двумя любыми КК данного кода.
      Хеммингово расстояние между двумя комбинациями равно числу еди-
ниц в их сумме по модулю 2, или числу несовпадающих позиций.
      Например, для (5,2)-кода с четырьмя разрешенными КК вида:
F0 = 00000; F1 = 01011;F2 = 10101;F3 = 11110 – минимальное Хеммингово
расстояние dmin = 3, так как легко показать, что для шести возможных рас-
стояний d0,1 = d0,2 = d0,3 = d1,3 = d2,3 = 3, а d1,2 = 4.
      Одной из важных задач в теории помехоустойчивого кодирования яв-
ляется задача максимизации минимального Хеммингова расстояния dmin при
фиксированных значениях остальных параметров. Наглядный подход к уяс-
нению данной задачи может быть показан при рассмотрении геометрическо-
го смысла кодирования.
      Геометрический смысл кодирования сводится к увеличению наимень-
шего расстояния dmin между сигналами за счёт уменьшения максимального
расстояния dmax. Чем больше будет минимальное расстояние, тем большой
помехоустойчивостью будет обладать код.
      Рассмотрим пример. Пусть требуется передать 4 сообщения. В случае
простого двоичного кода при сигналах с одинаковой энергией КК безызбы-
точного кода 00, 01, 10, 11 примут вид, представленный на рис. 12.1, на кото-
ром в Евклидовом пространстве показаны векторы, соответствующие этим
сигналам.
                                                 C2

                                    F3(t)                 F1(t)
                      F1 = 1 1                        E
                      F2 = 1 –1
                      F3 = –1 1
                      F4 = –1 –1                             C1
                                            E
                       Dmin  2 E

                                    F4(t)                 F2(t)


     Рис. 12.1. Геометрическая интерпретация КК безызбыточного кода


                                          68

      Каждый сигнал имеет своими соседями по два сигнала на расстоянии
dmin= 2 E и один сигнал на расстоянии dmax= 2 E , где E – энергия сигнала.
      При данной значности и основании кода эта система сигналов единст-
венная, и их расположение может быть только таким. Однако, известно, что
помехоустойчивость такой системы не является максимальной. Её можно
увеличить перераспределением расстояний между сигналами. Это перерас-
пределение имеет целью увеличить расстояние dmin за счёт уменьшения dmax.
      Введём избыточность, увеличив значность кода на единицу, т. е. ис-
пользуем трёхзначный код. Полное число комбинаций этого кода равно 8 и
они имеют вид, представленный на рис. 12.2, на котором показаны векторы,
соответствующие этим сигналам. В этом случае из восьми комбинаций необ-
ходимо выбрать четыре, причём так, чтобы обеспечить максимальную поме-
хоустойчивость приёма. Введение избыточности даёт большие возможности
выбора, поскольку 4 КК могут быть выбраны 70 различными способами (мо-
гут быть получены 70 различных кодов). В данном случае оптимален выбор
одной из двух систем сигналов: F1, F4, F6, F7 или F2, F3, F4, F5 – причём обе
системы эквидистантны с dmin = (8Е/3)1/2.
                                                    3(t)

               F1 = 1 1 1                F7(t)                F3(t)
               F2 = 1 1 –1
               F3 = 1 –1 1      F5(t)               F1(t)
               F4 = 1 –1 –1
               F5 = –1 1 1                                      1(t)
               F6 = –1 1 –1
               F7 = –1 –1 1                 F8(t)
                                                               F4(t)
               F8 = –1 –1 –1
                                                             Dmin  8 E / 3
                        2(t)    F6(t)               F2(t)

   Рис. 12.2. Геометрическая интерпретация КК помехоустойчивого кода
       Сравнение двух систем сигналов показывает, что введение избыточно-
сти при одинаковых энергетических затратах на единицу передачи информа-
ции позволило увеличить минимальное расстояние между сигналами.
       Сущность избыточности как средства повышения помехоустойчивости
передачи информации состоит в том, что её введение позволяет перераспре-
делить расстояния между сигналами в направлении увеличения минимально-
го расстояния за счёт максимального. Это перераспределение оказывается
возможным вследствие того, что при расширении множества сигналов, появ-
ляется возможность выбора заданного число M сигналов из общего их числа
N > M. Основная задача при этом заключается в осуществлении такого выбо-
ра, в результате которого может быть получена наилучшая система, т. е. сис-
тема, обладающая таким взаимным расположением сигналов, которое обес-
печивает максимальную помехоустойчивость приёма сигналов.


                                        69

      Ещё одной важной и широко применяемой характеристикой помехо-
устойчивого кода является энергетический выигрыш от кодирования
(ЭВК), определяемый как отношение превышений энергии сигнала на бит к
спектральной мощности шума при отсутствии и при наличии кодирования
                                       2
                                      h02 без код.
                                  W 2             ,                (12.1)
                                      h02 кодир.
     2    E     PT
где h02  2  c 2 – отношение энергии сигнала на бит к односторонней
          N0    N0
спектральной мощности шума N0 [Вт/Гц].
      Графическая интерпретация оценки ЭВК представлена на рис. 12.3.
При этом использованы следующие обозначения:
      р0 – вероятность ошибки на символ (без кодирования);
      рэ – вероятность ошибки на символ (с кодированием), или эквивалент-
ная вероятность ошибки на символ;
      рт – требуемая вероятность ошибки на символ.
                                                                2
                                h0 кодир. h0 без кодир.        h0




                       ртреб.
                                        ЭВК
                        рош     рэ кодир.      р0 без кодир.
            Рис. 12.3. Графическая интерпретация оценки ЭВК
При применении кодирования и фиксированной скорости передачи инфор-
мации Vи = 1/Т2 [бит/с] длительность символа уменьшается, соответственно
скорость передачи символов Vс = 1/Тс [символ/с] и требуемая полоса частот
F [Гц] увеличиваются в n/k раз. Для оценки эффективности использования
полосы частот применяется показатель, называемый частотной эффективно-
         V
стью   и , который численно равен скорости передачи информации Vи в
         F
полосе 1 Гц.
      Таким образом, для двоичных помехоустойчивых кодов расширение
полосы частот определяется отношением n/k. При этом выражение (12.1) за-
писывается в виде
                                       2
                                     h02 без код.
                                W                                  (12.2)
                                      2         n
                                    h02 кодир.
                                                k
      Выражая ЭВК в децибелах, получим



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика