Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Логика: задачи и их решение: Учебно-методическое пособие

Голосов: 11

Предлагаемое пособие предназначено для студентов гуманитарных факультетов, изучающих традиционную формальную логику. Решая задачи, надо иметь под рукой какой-либо из учебников по традиционной формальной логике или хороший конспект лекций. Читателю рекомендуется взять контрольную работу, помещенную в конце, и попытаться ее выполнить, проясняя теоретические вопросы по учебнику, и следуя указаниям при поиске конкретных решений.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
      Приглашения на бал рассылают в розовых конвертиках, если рекомендуют
 гостю участие в танцах или маскараде, в зелёных, если рекомендуют маска-
  рад, бостон и ужин, и ставят неверную дату, если не хотят видеть гостя.

Сразу приведём ответ: ((((А ∨ В) → С) & ((В & (С & D)) → E)) & (¬F → G))


      КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ»

      Сначала рассмотрим задачи на элементарные умозаключения, как-то,
обращение, превращение и противопоставление, а затем перейдём к задачам на
силлогизм и энтимему.

      1. Обращение суждений.

      Обращение суждений у многих студентов почему-то вызывает трудно-
сти. Особенно мучаются те, кто плохо понял, что такое логическая форма суж-
дения и как её получить.
      Обращение – это элементарное умозаключение, где в качестве посылки
фигурирует простое категорическое суждение, а в качестве заключения другое
простое категорическое суждение, в котором субъект первого стоит на месте
предиката, а предикат – на месте субъекта. Общая схема перехода от посылки к
заключению по обращению выглядит так:

                         ... S ... Р       (посылка)
                         ⎯−−−−−−
                         ... Р ... S       (заключение)

Черта, отделяющая посылку от заключения, означает, что совершаемый переход
является логическим, и его принцип гласит:

                    если истинно написанное над чертой,
              то должно быть истинно и написанное под чертой

Это принцип относится вообще к любому умозаключению, осуществляемому
по правилам логики.
      При проведении обращений пользуемся правилом обращения, согласно
которому
                            а обращается в i,
                            i обращается в i,
                            е обращается в е,
                            о вовсе не обращается.




                                                                           21


Рассмотрим ряд примеров, в которых мы будем по большей части сохранять
естественную форму суждений:

      Все слоны боятся мышей                                      (а)
      −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторые из тех, кто боится мышей – слоны                  (i)

      Ночные страхи и меланхолия не присущи слонам                (е)
      −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Ничто из того, что присуще слонам, не есть ночные страхи    (е)
      и меланхолия

Для пояснения последнего примера приведём логическую форму посылки:

            Всё, что является ночными страхами и меланхолией,
                      не суть то, что присуще слонам.

Следующий пример:

      Некоторые владыки Азии падали с белого слона                (i)
      −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторые из тех, кто падал с белого слона – владыки Азии   (i)

Могут вызвать затруднение примеры в которых субъект или предикат являются
единичным понятием. В этом случае квантор в посылке отсутствует. Мы пом-
ним, что единичные суждения рассматриваются как общие. Так же действуем и
при обращении, но придавая заключению естественное благозвучие. Например,

      Пётр Петрович упал с белого слона                           (а)
      −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Один из упавших с белого слона – Пётр Петрович              (i)

Или

      Самый ловкий человек это не Пётр Петрович                   (е)
      −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Пётр Петрович не является самым ловким человеком            (е)

Ничего страшного не произойдёт, если Р будет единичным термином, а посыл-
ка – общеутвердительной:

      Пётр Петрович – самый неуклюжий человек                     (а)
      −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторые из тех, кто являются самыми неуклюжими            (i)




                                                                        22


      людьми, это Пётр Петрович

Квантор «некоторые» или «один из» перед заведомо единичным понятием «са-
мый неуклюжий человек» смотрится, конечно, не лучшим образом, но в рамках
традиционной логики приходится с ним считаться.
      Рассмотрим также пример, в котором разные понятия могут претендовать
на роль субъекта:

                   Мне белый слон сегодня не встретился.

Если считать субъектом «мне» или «я», то обращение выглядит так:

       Ни один из тех, кому сегодня встретился белый слон, не есть я.

Если же в качестве субъекта взят «белый слон», то получаем

      Ни один из тех, кто сегодня встретился мне, не суть белый слон.

Наконец, суждения с ловушкой на «некоторый» обращаются, как и прочие:

      Уши некоторых слонов не годятся в качестве паруса                 (е)
      −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Всё, что годится в качестве паруса, не есть уши                   (е)
      некоторых слонов


      4. Превращение суждений.

       Превращение также является элементарным умозаключением. Его техни-
ческая сторона состоит в замене связки на противоположную и замене предика-
та на противоположный. Общая схема превращения выглядит так:

                         ... S ... Р              (посылка)
                         ⎯−−−−−−−−−−−
                         ... S не- ... не-Р       (заключение)

Правило превращения:
                         а превращается в е
                         i превращается в о
                         е превращается в а
                         о превращается в i.




                                                                              23


       В следующих ниже примерах посылку мы оставляем в естественной
форме, а заключение даём в логической. Кроме того, подразумевается, что «не
тот, кто А» эквивалентно «тот, кто не-А».

        Все слоны перед сном задумчиво смотрят на Луну                (а)
        ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
        Все слоны не суть те, кто перед сном не смотрит               (е)
        задумчиво на Луну

        Некоторые слоны опоздали к началу кумбабы                     (i)
        ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
        Некоторые слоны не суть те, кто не опоздал к                  (о)
        началу кумбабы
        Погонщик слона не простоит на голове более суток              (е)
        ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
        Все погонщики слона суть те, кто не простоит на               (а)
        голове более суток

        Некоторые жители Басры не видели белого слона                 (о)
        ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
        Некоторые жители Басры суть те, кто не видел                  (i)
        белого слона

      Превращение отрицательных суждений проходит как будто незаметно,
поскольку связка в русском языке как правило опускается. Между тем, логиче-
ская форма посылок в двух последних примерах такова:

    Ни один погонщик слона не суть тот, кто простоит на голове более суток.

и

         Некоторые жители Басры не суть те, кто видел белого слона.

Здесь именно связки являются отрицательными. Превращение состоит в том,
что отрицание «перелетает» со связки на предикат и, поскольку в русском языке
от отрицательной связки остаётся только «не», кажется, что ничего не произош-
ло. Следует всегда помнить, что отрицание в связке и отрицание в предикате –
это два разных отрицания.


        3. Противопоставление субъекту и противопоставление предикату.




                                                                            24


      Противопоставлением называется элементарное умозаключение, постро-
енное как последовательное применение обращения и превращения. Схемы
противопоставлений таковы:

      противопоставление                   противопоставление
      субъекту                             предикату

      ... S ... Р                          ... S ... Р
      ⎯−−−−−−                              ⎯−−−−−−
      ... Р ... S         (обращение)      ... S не- ... не-Р (превращение)
      ⎯−−−−−−−−−−                          ⎯−−−−−−−−−−−
      ... Р не- ... не-S (превращение)     ... не- Р не- ... S (обращение)

Легко заметить, что поскольку частноотрицательные суждения необратимы, для
них не существует противопоставления субъекту, а для частноутвердительных
не существует противопоставления предикату.
      Рассмотрим несколько примеров, в которых мы по возможности сохраня-
ем естественную форму суждений. Сначала противопоставим субъекту, а затем
– предикату:

      Все слоны не любят, когда на них кричат                        (е)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Все, кто любят, когда на них кричат, не суть слоны             (е)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Все, кто любят, когда на них кричат, суть те, кто не слон      (а)

Теперь это же суждение противопоставим предикату:

      Все слоны не любят, когда на них кричат                        (е)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Все слоны суть те, кто не любит, когда на них кричат           (а)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторые из тех, кто не любит, когда на них кричат,          (i)
      суть слоны

Противопоставим субъекту:

      Некоторые погонщики слонов достигли нирваны                    (i)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторые из тех, кто достиг нирваны, суть                     (i)
      погонщики слонов
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторые из тех, кто достиг нирваны не суть, те,              (о)
      кто не является погонщиками слонов




                                                                              25


Противопоставление предикату, как уже говорилось, здесь невозможно, по-
скольку после превращения мы получим необратимое частноотрицательное
суждение.
      Противопоставим субъекту общеутвердительное суждение:

      Игра на зулейке слону под силу                                (а)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторое из того, что под силу слону, есть игра на зулейке   (i)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Некоторое из того, что под силу слону, не есть то, что не     (о)
      является игрой на зулейке

Противопоставление предикату:

      Игра на зулейке слону под силу                                (а)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Игра на зулейке не суть то, что не под силу слону             (е)
      ⎯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
      Всё непосильное для слона не есть игра на зулейке.            (е)


      4. Выведение следствий из посылок по правилам простого
         категорического силлогизма.

      Простой категорический силлогизм – это разновидность сложного умо-
заключения. Он состоит из двух посылок и заключения. Посылки и заключение
являются простыми категорическими суждениями. При определённых условиях
заключение является логическим следствием посылок, и в этом случае мы гово-
рим, что заключение выводится из посылок по правилам силлогизма, т. е. имеет
место правильное умозаключение. Общая схема силлогизма такова:

                                [Бульшая посылка]
                                [Меньшая посылка]
                                ⎯−−−−−−−−−−−−−−−
                                [Заключение]

Черта, отделяющая посылки от заключения, как и в случае элементарных умо-
заключений, означает, что осуществление правильного вывода обеспечит пере-
ход от истинности посылок к истинности заключения. Разумеется, если вывод
совершается неправильно, то гарантировать истинность заключения даже при
истинных посылках нельзя.
      Необходимые и достаточные условия правильности вывода описываются
рядом правил силлогизма. Так, для того, чтобы заключение следовало из посы-




                                                                          26


лок по правилам простого категорического силлогизма, обязательно наличие в
нём ТРЁХ и только трёх терминов, обозначаемых традиционно как

                        S – субъект заключения
                        Р – предикат заключения
                        М – «средний» термин.

В силлогизме

                        бульшая посылка содержит Р и М,
                        меньшая посылка содержит S и М,
                        заключение содержит S и Р.

Различное расположение среднего термина М в посылках соответствует четы-
рём фигурам силлогизма:

    1-я фигура          2-я фигура         3-я фигура         4-я фигура

       М–Р                Р–М                М–Р                Р–М
       S–М                S–М                M–S                M–S
       S–Р                S–Р                S–Р                S–Р

Схематически,




где «уголки» соответствуют расположению среднего термина.
        Простые категорические суждения, каковыми являются каждая из посы-
лок и заключение, бывают четырёх известных нам видов: а – общеутвердитель-
ными, i – частноутвердительными, е – общеотрицательными, о – частноотрица-
тельными. Правильность вывода в каждой из фигур зависит как раз от того,
какое сочетание видов посылок и заключения имеет место. Каждое такое соче-
тание называется модусом категорического силлогизма. Правильных модусов,
т. е. таких, при которых из истинности посылок следует истинность заключения
всего 24 штуки. Мы перечислим их для каждой из фигур, используя названия,
полученные модусами в средние века. В каждом названии три гласных. Первая
соответствует типу бульшей посылки, вторая – меньшей, третья – типу заклю-
чения.




                                                                           27


      Итак, правильные модусы:

    1-я фигура         2-я фигура         3-я фигура           4 – фигура

barbara            cesare               darapti            bramantip
darii              camestres            datisi             dimaris
celarent           baroco               disamis            camenes
ferio              festino              felapton           fesapo
                                        ferison            fresison
                                        bocardo
                               ослабленные модусы
barbari            cesaro                                  cameno
celaront           camestro

Общие правила простого категорического силлогизма:
  – в силлогизме должно быть только три термина;
  – из двух отрицательных посылок вывод не следует;
  – из двух частных посылок вывод не следует;
  – вывод есть отрицательное суждение тогда и только тогда, когда одна из
    посылок отрицательна;
  – если одна из посылок частное суждение, то и вывод частное суждение.

Правила фигур:
   – в 1-й фигуре бульшая посылка должна быть общим суждением, а меньшая
     – утвердительным;
   – во 2-ой фигуре бульшая посылка должна быть общим суждением и одна из
     посылок – отрицательным;
   – в 3-й фигуре меньшая посылка должна быть утвердительной;
   – в 4-й фигуре если одна из посылок отрицательная, то бульшая должна
     быть общим суждением; если бульшая посылка утвердительна, то мень-
     шая должна быть общим суждением.

    Теперь перейдём к задачам на выведение следствий из посылок. Здесь тре-
буется либо вывести следствие, указав фигуру и модус простого категорическо-
го силлогизма, либо указать, какое из правил силлогизма нарушено, т. е. почему
вывести следствие нельзя. Процедура решения таких задач выглядит так:

(а) придаём посылкам логическую форму, определяем их тип и их термины;
(б) считаем термины;
(в) если терминов три, то определяем фигуру силлогизма;
(г) заглядываем в список правильных модусов этой фигуры и ищем в нём мо-
    дус, в котором первые две гласные соответствуют типам посылок;




                                                                            28


(д) если такой модус есть, то формулируем заключение вида S – Р, тип которого
    должен соответствовать третьей гласной модуса; в противоположном случае
    ищем правило, которое нарушено.

   Сразу разъясним один затрудняющий понимание момент. В силлогизме мы
называем субъектом – S и предикатом – Р субъект и предикат ЗАКЛЮЧЕНИЯ.
В посылках, что легко увидеть в схемах фигур, S и Р могут находиться где
угодно, на месте субъекта или на месте предиката. Другим термином в каждой
посылке является средний термин (если он, конечно, есть), который в заключе-
ние не входит.
      Рассмотрим сначала два примера. Пусть даны посылки

      В цирк слона пропускают без билета.
      Безбилетные зрители всегда встревожены.

Придадим этим суждениям логическую форму и определяем их тип:

      Все слоны суть те, кого в цирк пропускают без билета.           (а)
      Все безбилетники суть те, кто всегда встревожен.                (а)

Считаем термины. Их четыре: «слоны», «тот, кого в цирк пропускают без биле-
та», «безбилетник» и «тот, кто всегда встревожен». Хотя второе и третье кажут-
ся близкими по смыслу, вывода сделать нельзя.
       Следующий пример. Даны посылки

      Мартышки не вяжут чулков.
      Тот, кто вяжет чулки пользуется напёрстком.

Логическая форма:

      Ни одна мартышка не суть тот, кто вяжет чулки.                  (е)
      Все, кто вяжет чулки, суть те, кто пользуются напёрстком.       (а)

Терминов три: М – «тот, кто вяжет чулки», S – «тот, кто пользуется напёрст-
ком», Р – «мартышка». Средний термин М находится в бульшей посылке на
месте предиката, а в меньшей – на месте субъекта. Получается конфигурация




                                                                            29


соответствующая четвёртой фигуре. Ищем правильный модус четвёртой фигу-
ры, в котором двумя первыми гласными являлись бы «е» и «а», и обнаруживаем
модус fesapo. Формулируем теперь частноотрицательное заключение:

      Некоторые из тех, кто пользуется напёрстком не                 (о)
      мартышки

      Приведём ещё ряд примеров (о страусах), в которых мы по возможности
будем сохранять естественную форму суждений.

Пример 1.

      Страус не имеет австралийского паспорта.                       (е)
      Все страусы в дождливую погоду не ходят в шлёпанцах.           (е)

Обе посылки отрицательны, поэтому вывода сделать нельзя.

Пример 2.

      По вторникам в лото играют все друзья страуса.
      По вторникам некоторые обитатели пампас не играют в лото.

Приведём логическую форму посылок, поскольку она здесь неочевидна:

      Все друзья страуса суть те, кто играет                         (а)
      в лото по вторникам.
      Некоторые обитатели пампас не суть те, кто играет              (о)
      в лото по вторникам.

Средний термин здесь – «те, кто играет в лото по вторникам»; вторая фигура;
модус baroco. Получаем заключение:

      Некоторые обитатели пампас не суть друзья страуса.             (о)

Пример 3.

      Все мои знакомые страусы пишут стихи.                          (а)
      Тот, кто не пишет стихов, имеет цветущий вид.                  (е)

Вывода сделать нельзя, поскольку терминов не три, а четыре: «мои знакомы
страусы», «тот, кто пишет стихи», «тот, кто не пишет стихов», «тот, кто имеет
цветущий вид».




                                                                           30



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика