Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Алгебра: Учебное пособие

Голосов: 9

Учебное пособие знакомит иностранных учащихся с основными понятиями алгебры, содержит тексты, лексико-грамматические материалы, примеры и вопросы, позволяющие студентам-иностранцам овладеть основными понятиями и определениями элементарной алгебры. Содержание пособия соответствует стандарту по математике на подготовительных факультетах для иностранных граждан. Предназначено для студентов иностранцев, проходящих предвузовскую подготовку.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Ю.Ю. ГРОМОВ, О.Г. ИВАНОВА,
Ю.А. КОСТЫЛЕВ, А.В. ЛАГУТИН



    АЛГЕБРА




      Издательство ТГТУ


                                         Учебное издание

                                    ГРОМОВ Юрий Юрьевич,
                                  ИВАНОВА Ольга Геннадьевна,
                                 КОСТЫЛЕВ Юрий Александрович,
                                 ЛАГУТИН Андрей Владимирович



                                          АЛГЕБРА
                                         Учебное пособие

                               Редактор В.Н. Митрофанова
                        Компьютерное макетирование М.А. Филатовой

                                     Подписано в печать 8.11.2006
                  Формат 60 × 84 / 16. Бумага офсетная. Гарнитура Тimes New Roman.
                              4,6 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ № 608

                                Издательско-полиграфический центр
                      Тамбовского государственного технического университета,
                               392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14
                   Министерство образования и науки Российской Федерации
               ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»




                          Ю.Ю. ГРОМОВ, О.Г. ИВАНОВА,
                          Ю.А. КОСТЫЛЕВ, А.В. ЛАГУТИН


                                    АЛГЕБРА




                                            Тамбов
                                     ♦ Издательство ТГТУ ♦
                                              2006
УДК 512 (07)


ББК В14я73
    А456

                                      Рецензент
                       Заведующий кафедрой прикладной информатики
                   ТФ ФГОУ ВПО МГУКИ кандидат технических наук, доцент
                                       В.Н. Точка



      Громов, Ю.Ю.
А456   Алгебра : учебное пособие / Ю.Ю. Громов, О.Г. Иванова, Ю.А. Костылев, А.В. Лагутин. –
  Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2006. – 80 с. – 100 экз. ISBN 5-8265-0526-5



      Учебное пособие знакомит иностранных учащихся с основными понятиями алгебры, содержит тексты,
  лексико-грамматические материалы, примеры и вопросы, позволяющие студентам-иностранцам овладеть
  основными понятиями и определениями элементарной алгебры.
      Содержание пособия соответствует стандарту по математике на подготовительных факультетах для
  иностранных граждан.
      Предназначено для студентов иностранцев, проходящих предвузовскую подготовку.




ISBN 5-8265-0526-5 © Громов Ю.Ю., Иванова О.Г.,
                     Костылев Ю.А., Лагутин А.В., 2006
                   © ГОУ ВПО «Тамбовский государственный
                     технический университет» (ТГТУ), 2006


                                           ВВЕДЕНИЕ


    С    труктура и содержание пособия соответствуют отраслевому стандарту по математике и раз-
         работаны с учетом специфических особенностей системы обучения иностранных студентов,
а также принципа преемственности в обучении на предвузовском этапе подготовки и первых курсах
высших учебных заведений.
     Изложение материала рассчитано на продолжение чтения основного курса лекций по математике
после изучения иностранными студентами вводного курса по математике, направленного на овладе-
ние научным стилем речи.
     В пособии приведен необходимый объем учебной информации, обеспечивающий овладение ос-
новами алгебры. Материал для изучения дается в сжатом виде, освещает основные понятия и опреде-
ляется элементарной алгеброй: алгебраические выражения и действия над ними, уравнения, неравен-
ства, системы уравнений и неравенств.
     Для обеспечения доступности усвоения учебного материала иностранными студентами текст по-
собия адаптирован.
     Содержание учебного пособия соответствует стандарту по курсу «Математика» на подготови-
тельных факультетах для иностранных студентов.
           1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ

  1.1 ВЫРАЖЕНИЕ. ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ

     Одно из основных понятий алгебры – это понятие выражения. Числовое выражение записыва-
ется с помощью чисел, знаков действий и скобок. Например, (15 – 10) : 2. Это выражение содержит
числа, знаки действий и круглые скобки. Если, соблюдая принятый порядок, выполнить указанные
в выражении действия, то получится число: например, (15 – 10) : 2 = 2,5. Число 2,5 называется чи-
словым значением данного числового выражения.
     Числовое выражение не всегда имеет числовое значение. Так числовое (2 + 4) : 4 + 2 – 6) не име-
ет числового значения, так как не все указанные действия можно выполнить. В данном примере пред-
полагается деление на нуль, что невозможно.
     В соответствии с данным определением числового выражения, любое число можно рассматри-
вать как числовое выражение. Например, число 4 – это числовое выражение. Его числовое значение
равно 4.
     Итак, числовое выражение или имеет одно числовое значение, или не имеет числового значения.
В последнем случае говорят, что числовое выражение не имеет смысла. Выражение, которое содер-
жит числа, знаки действий, скобки и буквы, называется выражением с переменными. Буквы могут
принимать определенные числовые значения. Эти буквы переменные величины. Например, выраже-
ние 4(3а + 2b) – это выражение с переменными a и b. Переменные а и b могут принимать любые зна-
чения из множества действительных чисел. При различных значениях переменных а и b выражение
может принимать различные числовые значения.
        Числовое значение выражения с переменными – это число, которое получится, если в
   это выражение вместо переменных подставить их числовые значения и выполнить ука-
   занные действия
     При некоторых значениях переменных выражение может не иметь смысла. Например, выраже-
ние 3 : (x – 5) не имеет числового значения при x = 5. Действительно, при этом значении переменной
x знаменатель выражения обращается в нуль. А по правилам алгебры деление на нуль невозможно.

                       Множество значений переменных, при которых вы-
                   ражение с переменными имеет смысл, называется обла-
                   стью определения этого выражения

    Подставив все значения переменных из области определения, мы получим множество числовых
значений данного выражения.

                       Числовые значения переменных, при которых выра-
                   жение имеет смысл, называются допустимыми значения-
                   ми переменных


     Значение x = 3 является допустимым значением переменной выражения 3 : (x – 5). Значение x = 5
не является допустимым значением данного выражения

       Множество всех допустимых значений переменных выражения называется областью
   допустимых значений выражения с переменными

    Для множества допустимых значений выражения с переменными принято сокращение ОДЗ.
Найдем, например, ОДЗ выражения x : (x – 1). Это выражение имеет смысл при всех значениях пере-
менной, за исключением x = 1. Поэтому ОДЗ данного выражения с переменной – это множество всех
действительных чисел за исключением x = 1.
    Найдем ОДЗ выражения (а + b) : аb. Допустимыми значениями переменных а и b являются пары
чисел (а; b) в которых ни одна из переменных не равна нулю. Поэтому ОДЗ данного выражения –
множество пар (а; b), таких что а и b не равны нулю. Например, пары чисел (1; 4) и (5; 2) принадле-
жат ОДЗ выражения (а + b) : ab. А пары чисел (2; 0) и (0; 5) не принадлежат ОДЗ этого выражения.
                         Два выражения тождественно равны, если числовые
                    значения этих выражений равны при всех значениях пе-
                    ременных

    Например, выражения ( x 2 + x) и x(x + 1) при всех действительных значениях переменной при-
нимают равные значения. Поэтому они тождественно равны.
                        Равенства, в которых левая и правая части тождест-
                    венно равны, называются тождествами

     Тождественное равенство обозначается символом      ≡ . Например, равенство    x2 + x   ≡ x(x + 1) –
это тождественное равенство.

                         1.2 ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.

    Рассмотрим выражения 2; a; 3b; 4а2b; 5,4ab2c3. Они содержат числа, переменные, с натуральным
и показателями, их произведения.
                        Выражения, представляющие собой произведение
                    чисел, переменных и степеней переменных, называется
                    одночленом
                        Числовой множитель одночлена называется коэф-
                    фициентом. Например, у одночлена 5xy числовой мно-
                    житель 5 – это коэффициент
    Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя
(коэффициента) и буквенного выражения, в котором каждая из переменных взята в натуральной сте-
пени
                       Степенью одночлена стандартного вида называется
                    сумма показателей степеней переменных

    Например, 5 x 2 y 3 – это одночлен пятой степени. Степень одночлена 5x равна единице, а степень
одночлена 8 равна нулю.
                           Одночлены, отличающиеся только числовым ко-
                     эффициентом или равные между собой, называются по-
                     добными

     Например, одночлены 3 x 2 y 3 , 5 x 2 y 3 и 5 x 2 y 3 являются подобными. Подобные члены можно со-
единить в один член. Соединение подобных членов в один называется приведением подобных чле-
нов. Чтобы привести подобные члены нужно сложить их коэффициенты и написать общее буквенное
выражение. Например, 4a + 5ax – 3a – 7ax = (4 – 3)a + (5 – 7)ax = a – 2ax. Алгебраическая сумма од-
ночленов называется многочленом. Одночлены, которые составляют многочлен, называются его чле-
нами
     Если многочлен содержит два члена, например 2x + 3y, он называется двучленом. Если много-
член содержит три члена, то его называют трехчленом и т.д. Одночлен можно рассматривать как ча-
стный случай многочлена.


    Рассмотрим многочлен одной переменной x
                                               3x 2 + 4x + 5x 4 + 2.
Он содержит четыре члена. Наибольшую степень имеет третий член. Этот член называется старшим
членом многочлена. Степень старшего члена многочлена называется степенью многочлена. Поэтому
данный многочлен – это многочлен четвертой степени.
    Рассмотрим пример
                      3x 2 y 4 (−2 xy 2 ) = 3( −2)( x 2 x)( y 4 y 2 ) = −6 x 2 +1 y 4 + 2 = −6 x 3 y 6 .
    При умножении одночленов мы применяем коммутативный и ассоциативный законы и свойства
умножения степеней.

        Чтобы умножить одночлен на одночлен нужно перемножить их коэффициенты и
    сложить показатели степеней, которые имеют одинаковые основания

    Рассмотрим пример
                          (2x 2 y 3 ) 2 = 2 2 ( x 2 ) 2 ( y 3 ) 2 = 4 x 2⋅2 y 3⋅2 = 4 x 4 y 6 .
    При возведении одночлена в степень мы применяем свойства степени.
                       Чтобы возвести одночлен в степень нужно возвести
                   коэффициент в эту степень и умножить показатели сте-
                   пеней переменных на показатель степени, в которую
                   возводим одночлен

                            Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточ-
                        но каждый член многочлена умножить на одночлен и
                        полученные произведения сложить

    Деление многочлена на одночлен производится по аналогичному правилу.
       Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член первого многочлена
    умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить
    Например
                                5 x( x − y ) + (2 x + y )( x − y ) = 5 x 2 − 5 xy + 2 x 2 − 2 xy +
               + xy − y 2 = 7 x 2 − 6 xy − y 2 .
                            Чтобы сложить многочлены, нужно записать все
                        члены многочленов последовательно и затем привести
                        подобные члены
    Например
                            (5 х 2 − 2 x + 3) + (3 x 2 + 4 x − 7) = 5 x 2 − 2 x + 3 + 3x 2 + 4 x − 7 =
                                  = 8 x 2 + 4 = 4(2 x 2 + 1).
                            Чтобы вычесть из одного многочлена другой мно-
                        гочлен, нужно записать все члены первого многочлена с
                        их знаками и приписать к ним все члены второго мно-
                        гочлена с противоположными знаками и привести по-
                        добные члены
    Например
    ( х 2 + 5 x − 2) − (7 x 2 − 8 x + 4) = 3x 2 + 5 x − 2 − 7 x 2 + 8 x − 4 =
        = −4 x 2 + 13 x − 6.
                      1.3 ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
    Одночлены и многочлены – это целые алгебраические выражения. Применим к ним операцию
деления. Рассмотрим пример
                                          6 x5 y 3
                                                   = 3 x 5 − 3 y 3 −1 = 3x 2 y 2 .
                                     6x 5 y 3 : 2 x 3 y =
                                             3
                                          2x y
    Здесь мы использовали свойство деления степеней.


         Чтобы разделить одночлен на одночлен, нужно разделить коэффициент делимого
     на коэффициент делителя и вычесть показатели степеней делителя из показателей сте-
     пеней одинаковых оснований делимого
    Разделим многочлен x + y на одночлен с(с ≠ 0). Заменим деление на многочлен с умножением на
обратный ему многочлен 1 с и применим дистрибутивный закон умножения.
    Получим:
                                    x+ y             1 x y
                                         = ( x + y) ⋅ = + .
                                     z               z z z
         Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить каждый член многочле-
     на на этот одночлен и сложить частные
                  8x3 + 6 x 2 8x3 6 x 2
     Например:               =    +     = 4 x 2 + 3x .
                     2x        2x   2x
         Многочлен называется расположенным многочленом, если его члены расположены
     в порядке убывания или возрастания показателей степеней
    Например: многочлены 4x 3 y 4 − 2 x 2 y + 5 xy 2 + 3 и 3 + 5xy 2 −2 x 2 y + 4 x 3 y 4 – расположенные мно-
гочлены. В первом многочлене показатели входящих в него одночленов убывают, а во втором – воз-
растают.
                      1.4 ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

     Найдем произведение суммы двух чисел (a + b) на их разность (a – b) (a + b) ⋅ (a − b) =
a + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2 . Итак, мы получили тождество (a – b) (a + b) = a 2 −b 2 .
 2


           Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чи-
     сел
                                               (a + b)(a – b) = a – b2
     Возведем сумму двух чисел (a + b) в квадрат. Мы получим:
                                       (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
                            Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого
                        числа плюс удвоенное произведение первого числа на
                        второе плюс квадрат второго числа, т.е.
                                         (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
     Возведем разность двух чисел (a – b) в квадрат. Мы получим:
                                       (a – b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
         Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное про-
     изведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа, т.е.
                                     (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
     Возведем сумму двух чисел (a – b) в куб. Мы получим:
                        (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
         Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение
     квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на
     квадрат второго плюс куб второго числа, т.е.
                                 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
     Возведем разность двух чисел (a – b) в куб. Мы получим
                         (a – b) 3 = (a − b)(a − b)(a − b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 .
         Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение
     квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на
     квадрат второго минус куб второго числа, т.е.
                                  (ab)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3


    Выражение (a 2 −ab + b 2 ) принято называть неполным квадратом разности. Найдем произведение
суммы двух чисел (a + b) на неполный квадрат их разности. Мы получим:
                                     (a + b)(a 2 −ab + b 2 ) = a 3 + b 3 .
        Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный
    квадрат разности, т.е.
                                a3 + b3 = (a + b)(a – ab + b2)
    Выражение (a 2 + ab + b 2 ) принято называть неполным квадратом суммы. Умножим разность двух
чисел (a – b) на их неполный квадрат суммы. Мы получим:
                                      (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 ).
       Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их непол-
    ный квадрат суммы, т.е.
                                a3 – b3 = (a – b)(a + ab + b2)


                         1.5 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

     Разложить многочлен на множители – это значит записать этот множитель как произведение
двух или нескольких многочленов. Например: a 2 −b 2 = (a + b)(a − b) .
     Рассмотрим основные методы разложения многочленов на множители.
     Метод вынесения общего множителя за скобки. Разложим на множители многочлен (ac + bc).
Его члены ac и bc имеют общий множитель с. Общий множитель можно вынести за скобки, а в скоб-
ках записать результат деления данного многочлена на общий множитель. Мы получим: (ac + bc) =
c(a + b). Это равенство верно, так как оно выражает дистрибутивный закон умножения.
                           Если все члены многочлена имеют общий множи-
                       тель, то его можно вынести за скобки, а в скобках запи-
                       сать результат деления многочлена на этот общий мно-
                       житель
     Метод группировки. Разложим на множители многочлен
                                            ax + bx + ay + by.
     Все члены этого многочлена не имеют общего множителя, но первые два члена имеют общий
множитель x, а вторые два члена имеют общий множитель y. Соединим первый и второй члены в од-
ну группу, а третий и четвертый в другую группу. Мы получим: (ax + bx) + (ay + by). В первой группе
общий множитель x, а во второй группе – общий множитель y. Вынесем их за скобки. Тогда получим:
x(a + b) + y(a + b). Каждое из двух слагаемых этого многочлена имеет множитель (a + b). Вынесем его
за скобки. Тогда окончательно получим: (a + b)(x + y). Итак
                           ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y).
    Метод разложения на множители по формуле сокращенного умножения. При разложении
многочлена на множители иногда можно применить формулы сокращенного умножения. В качестве
примера рассмотрим разложение на множители многочлена 9a 4 −25b 2 . Этот многочлен можно рас-
сматривать как разность квадратов
                          9a 4 −25b 2 = (3a 2 ) 2 − (5b) 2 = (3a 2 + 5b)(3a 2 − 5b) .
    Здесь мы воспользовались формулой сокращенного умножения a 2 −b 2 = (a + b)(a − b).
    Метод введения вспомогательных членов. Разложим на множители многочлен x 2 +2 x − 3. Рас-
смотрим два способа.
    1 способ. Введем вспомогательные члены 1 и –1. Затем применим способ группировки и форму-
лу разности квадратов. Тогда получим
                                                                                     2
                       x2 + 2x − 3 = x2 + 2x + 1 −1 − 3 = (x2 + 2x + 1) − 4 = (x + 1) − 22 =
                                = ( x + 1 − 2)(x + 1 + 2) = ( x −1)(x + 3).
   2 способ. Член 2x запишем как сумму –x + 3x и, применив метод группировки, получим:
x + 2 x − 3 = x 2 − x + 3 x − 3 = ( x 2 − x) + (3 x − 3) = x( x − 1) + 3( x − 1) =
 2


   = ( x − 1)( x + 3).


                                        Контрольные вопросы
    1 Что называется числовым выражением?
    2 Что такое числовое значение выражения?
    3 Сколько числовых значений имеет числовое выражение?
    4 Что называется выражением с переменными?
    5 Что такое числовое значение выражения с переменными?
    6 Что называется допустимыми значениями переменных?
    7 Что такое область допустимых значений выражения с переменными?
    8 Какие выражения называются тождественно равными?
    9 Что такое одночлен?
    10 Что такое степень одночлена?
    11 Сформулируйте правило умножения одночленов.
    12 Сформулируйте правило возведения одночленов в степень.
    13 Что такое многочлен?
    14 Как называются одночлены составляющие многочлен?
    15 Какие члены многочлена называются подобными?
    16 Сформулируйте правило приведения подобных членов.
    17 Сформулируйте правило сложения многочленов.
    18 Сформулируйте правило вычитания многочленов.
    19 Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен.
    20 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
    21 Что такое целое алгебраическое выражение?
    22 Как разделить одночлен на одночлен?
    23 Как разделить многочлен на одночлен?
    24 Какой многочлен называется расположенным многочленом?
    25 Как разделить многочлен на многочлен?
    26 Что значит разложить многочлен на множители?
    27 Какие методы разложения на множители Вы знаете?



                                   2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ

                           2.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО
                                  АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ

                                                                          A
         Алгебраической дробью называется выражение вида                    , где А и В одночлены
                                                                          B
    или многочлены (В ≠ 0); А – это числитель дроби, В – это знаменатель дроби
                             3 2a 3b a − c                                                    a−c
    Например, выражения ,            ,       − это алгебраические дроби. Алгебраическая дробь
                             x 5c a + c                                                       a+c
читается так: «дробь, в числителе а – с, в знаменателе, а + с».
                        Область допустимых значений (ОДЗ) алгебраиче-
                   ской дроби – это множество всех значений переменных,
                   при которых знаменатель дроби не равен нулю
                                2a 2 x
     Например, ОДЗ дроби                − это множество всех действительных значений переменной x,
                             5c( x − 4)
за исключением x = 4.
     Рассмотрим условие равенства дроби нулю. Дробь, равна нулю, если ее числитель равен нулю, а
знаменатель не равен нулю, т.е.
                                         A
                                            = 0 ⇔ A = 0 и B ≠ 0.
                                         B
                         x+3
         Например, дробь        = 0 , если x + 3 = 0 и x – 2 ≠ 0 . Или если x = –3 и x ≠ 2 . Следовательно,
                         x−2
рассматриваемая дробь равна нулю, если x = –3.


    Рассмотрим основное свойство алгебраической дроби. Если А, В и С – многочлены такие, что В
≠ 0 и С ≠ 0 , то
                                             A AC
                                              =   .
                                             B BC
    С помощью основного свойства дроби можно сокращать дроби и приводить дроби к общему зна-
менателю.
                                          5ab
    Сокращение дробей. Пусть дана дробь         . Числитель и знаменатель дроби имеют общий
                                         10a 3b
множитель 5ab. Поэтому данную дробь можно сократить на 5ab ( a ≠ 0, b ≠ 0)
                                      5ab         5ab       1
                                         3
                                             =        2
                                                        = 2 .
                                     10a b 5ab 2a          2a
      Приведение дробей к общему знаменателю. Пусть даны дроби, которые имеют разные знаме-
натели
                                              1      1
                                                  и 2.
                                             3c     2c
      Приведем их к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Наименьший общий знаменатель – это
простейший общий знаменатель, который делится на знаменатель каждой дроби. Найдем НОЗ. НОЗ =
6с 2 . Найдем дополнительные множители каждой дроби. Для этого разделим НОЗ на знаменатель ка-
ждой дроби. Тогда получим:
                                      6c 2            6c 2
                                           = 2c ,          = 3.
                                       3c             2c 2
      Умножим числитель, и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Мы полу-
чим дроби, у которых знаменатели равны, т.е.
                                             2c       3
                                                2
                                                  и 2.
                                            6c      6c
                                                                A
      Изменение знаков у членов дроби. Пусть задана дробь ( B ≠ 0) . Тогда
                                                               B
                                     A −A          −A        A
                                       =       =−       =−      .
                                     B −B           B       −B
    Это означает, что можно изменить знаки на противоположные: 1) одновременно в числителе и
знаменателе; 2) одновременно перед дробью и в числителе; 3) одновременно перед дробью и в зна-
менателе. Рассмотрим пример:
                                  b−a     − (b − a )    a −b
                                       =−            =−      = −1 .
                                  a −b      a −b        a −b


               2.2 ВЫДЕЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ
    Будем рассматривать дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами относи-
тельно одних и тех же переменных.
                                              P
                        Алгебраическая дробь     называется правильной,
                                              Q
                    если степень многочлена P меньше степени многочлена
                    Q
                                      2x2 + x − 5
    Рассмотрим, например, дробь                        . В числителе этой дроби находится многочлен
                                   7 x3 + 4x 2 + x − 4
второй степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Следовательно, данная алгебраическая
дробь является правильной.
                                              P
                        Алгебраическая дробь    называется неправильной,
                                              Q
                   если степень многочлена P больше степени многочлена Q



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика