Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Экспериментальные методы исследований. Погрешности и неопределенности измерений: Учебное пособие

Голосов: 9

В настоящем пособии изложен современный подход к оцениванию неопределенностей измерений, а также основные элементы документа "Руководство по выражению неопределенности измерений", разработанного ведущими международными метрологическими организациями. Этот документ приобрел статус неформального международного стандарта. Существует некоторое противоречие между заложенными в нем принципами и системой отечественных стандартов, касающихся погрешностей результатов измерений. В пособии изложены, также основные положения отечественного нормативного документа, устанавливающего соответствие между двумя формами представления результатов измерений и их сравнительный анализ. Приведены примеры расчета неопределенностей измерений. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению 140000 - "Энергетика, энергетическое машиностроение и электроника", специальность 140402 - "Теплофизика", и бакалавров по направлению 140400 - "Техническая физика".

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                          θ( p )                                      θ( p )
                                               < 0 ,8                    0 ,8 ≤          ≤8
                                        S                                           S
                                                                                                                                          θ( p )
                                                                                                                                                   >8
                                                                                                                                            S

                                      ∆р=tp(f’aa)S,

                                                     2
                                          m ⎛ df ⎞ 2
                                      S= ∑⎜        ⎟ S ( xi )
                                         i =1⎝ dxi ⎠
                                                                                                                           2
                                                                                                          2 m ⎛ df     ⎞
                                                                               t p ( f эфф )S + θ( p )
                                                                                                                                 2
                                                                         ∆p =                            S + ∑⎜        ⎟       θ i / 3,
                                                                                                2            i =1 dx
                                                                                      m ⎛ df ⎞ 2                 ⎝ i   ⎠
Отечественные нормативные документы




                                                                              S+ ∑⎜           ⎟   θi / 3
                                                                                     i =1 dx
                                                                                         ⎝ i⎠


                                                                                                 2
                                                                                           ⎛ df ⎞ 2
                                                                                       mсист
                                                                         θ( p ) = K ∑ ⎜          ⎟ θi ,
                                                                                      i =1 ⎝ dxi ⎠

                                                                         K = 1,1 при p = 0,95;
                                                                         K =1,4 при p = 0,99; mсист > 4;
                                                                             2
                                                  ⎛ m ⎛ ⎞2          ⎞                   4
                                                          df
                                                  ⎜ ∑ ⎜ ⎟ S ( x )⎟ −
                                                                2      2 m ⎛ df ⎞ 4
                                                                  i ⎟        ∑⎜       ⎟ S ( xi )
                                                  ⎜ i =1⎝ dxi ⎠       m + 1 i =1⎝ dxi ⎠
                                      f эфф =     ⎝                 ⎠
                                                                                   4
                                                                   1    m ⎛ df ⎞ 4
                                                                        ∑⎜       ⎟ S ( xi )
                                                                 m + 1 i =1⎝ dxi ⎠

                                                                        2
                                                             m ⎛ df ⎞ 2
                                        U p = t p ( ν eff ) ∑ ⎜       ⎟ u ( xi ),
                                                            i =1⎝ dxi ⎠

                                                            4
                                                           uc
                                      ν eff =
                                                                     4
                                                                         ,
                                                 m u 4 ( xi ) ⎛ df ⎞
                                                 ∑            ⎜ ⎟
                                                i =1 νi ⎝ dxi ⎠
Руководство




                                      νi = ni -1        для неопределенностей, вычисленных по типу А;
                                      νi = ∞        для неопределенностей, вычисленных по типу В.
                                      Для большинства практических случаев в предположении:
                                      - нормального закона распределения: U0,95 = 2uc, U0,99 = 3uc;
                                             - равномерного закона распределения: U0,95 = 1,65uc, U0,99 = 1,71uc;




                                                                                                                                                   80


2.4. При сопоставлении оценок характеристик погрешности и
неопределенностей измерений рекомендуется использовать следующую
схему (с учетом пояснений п.п. А.5 и А.6):

 СКО, характеризующее                 Стандартная неопределенность,
 случайную погрешность                вычисленная по типу А

 СКО, характеризующее
 неисключенную                        Стандартная неопределенность,
 систематическую                      вычисленная по типу В
 погрешность

 СКО, характеризующее                 Суммарная           стандартная
 суммарную погрешность                неопределенность

 Доверительные границы
                                      Расширенная неопределенность
 погрешности



2.5. Если отсутствует достаточная информация для неопределенности u
в соответствии с Руководством, то ее оценка u может быть получена на
                                            €
основании оценок характеристик погрешности по приведенным ниже
схемам. Схемы 1 и 2 соответствуют двум различным способам
представления результатов измерений, принятым в отечественных
нормативных документах. Необходимо отметить, что оценки
неопределенностей, полученные таким образом, в ряде случаев не
совпадают со значениями неопределенностей, полученными в
соответствии с Руководством (см. приложение В).




                                                                  81


Схема 1.

y – результат измерений;                        y – результат измерений;
S – СКО случайной погрешности                    €
                                                u A = S – оценка стандартной
     результата измерений;                      неопределенности, вычисленной по типу А;
θ(р) – доверительные границы
       неисключенной систематиче-               u B = θ( p )
                                                €                      - оценка стандартной
       ской погрешности результата
       измерений;
                                                               (K 3)
mсист – число источников неисключен-            неопределенности, вычисленной по типу В;
        ной систематической погрешно-           K = 1,1 при р = 0,95;
        сти;                                    K = 1,4 при p = 0,99; mсист > 4;

                                                uc = u 2 + u B
                                                           €2
n – число измерений.
                                                €    €                  - оценка суммарной
                                                       A
                                                стандартной неопределенности;
                                                                 ⎡ u2 ⎤
                                                                     €
                                                €
                                                ν     = ( n − 1) ⎢1 + B ⎥ - оценка
                                                  eff            ⎢ u2 ⎥
                                                                     €
                                                                 ⎣     A⎦
                                                эффективного числа степеней свободы;
                                                €
                                                U p = tp €
                                                         ν ( ) €
                                                               u
                                                           eff c
                                                                         - оценка расширенной

                                                неопределенности.




Схема 2.

y – результат измерений;                      y – результат измерений;

∆( р) – доверительные границы                 €
    погрешности измерений;                    Up = ∆p     - оценка расширенной
                                              неопределенности;
р - доверительная вероятность.
                                                     ∆p
                                              uc =
                                              €           - оценка суммарной стандартной
                                                     zP
                                              неопределенности;

                                              zз – квантиль нормального распределения.




Оценить неопределенности uA             и   uB по отдельности, зная только ∆р,
невозможно.



                                                                                              82


3. ПРИЛОЖЕНИЯ. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДВУХ ПОДХОДОВ
   К ВЫРАЖЕНИЮ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

3.1. Приложение А.
       А.1. Целью измерения является получение оценки истинного значения
измеряемой величины, Понятие погрешности измерений, как разности между
результатом измерений и истинным (действительным) значением измеряемой
величины, используется для описания точности измерений в отечественных
НД. Говоря об оценивании погрешности, в отечественной метрологической
практике подразумевают оценивание ее характеристик.


  Погрешность     Характеристика      Алгоритм       Оценка характеристики
                   погрешности       оценивания          погрешности




       А.2. В Руководстве для выражения точности измерений вводят понятие
неопределенности измерений. Неопределенность измерений понимают как
неполное знание значения измеряемой величины и для количественного
выражения этой неполноты вводят распределение вероятностей возможных
(обоснованно приписанных) значений измеряемой величины. Таким образом,
параметр этого распределения (также называемый – неопределенность)
количественно характеризует точность результата измерений.
       А.3. Сходными для обоих подходов являются последовательности
действий при       оценивании характеристик погрешности и вычислении
неопределенности измерений:
       - анализ уравнения измерений;
       - выявление всех источников погрешности (неопределенности)
измерений и их количественное оценивание;
       - введение поправок на систематические погрешности (эффекты),
которые можно исключить.
       А.4. Методы вычисления неопределенности, также как и методы
оценивания характеристик погрешности, заимствованы из математической
статистики, однако при этом используются различные интерпретации закона
распределения вероятностей случайной величины. Кроме изложенных в
Руководстве и отечественных НД на практике используют и другие методы
вычисления неопределенности и оценивания характеристик погрешности.
       Возможные различия между оценками характеристик погрешности (в
соответствии с отечественными НД) и неопределенностями (в соответствии с
Руководством) проиллюстрированы в примерах (см. приложения Б и В).




                                                                             83


       Различие    двух    подходов    проявляется   также   в   практике
неопределенности и характеристик погрешности, основанной на разных
интерпретациях вероятности: частотной и субъективной. В частности,
доверительные границы погрешности (отложенные от результата измерений)
накрывают истинное значение измеряемой величины с заданной доверительной
вероятностью (частотная интерпретация вероятности), В то же время
аналогичный интервал (y-Up, y+Up) трактуется в Руководстве как интервал,
содержащий заданную долю распределения значений, которые могли бы быть
обоснованно приписаны измеряемой величине (субъективная интерпретация
вероятности).
       А.5. В общем случае не существует однозначного соответствия между
случайными погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу А
(а   также     неисключенными      систематическими    погрешностями    и
неопределенностями, вычисленными по типу В). Деление на систематические и
случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления
в ходе измерительного эксперимента, а деление на неопределенности,
вычисляемые по типу А и по типу В – методами их расчета.
       А.6. Результаты сравнительного анализа процедур оценивания
характеристик погрешности и вычисления        неопределенности измерений
приведены в табл. А.1 и А.2.




                                                                       84


Таблица А.1. Процедура оценивания характеристик погрешности результата
измерений
Погрешность                ξ = y – yист          y= yист + ξ
Модель погрешности         ξ –случайная величина с плотностью распределения вероятностей
                             p(x; E,σ2,…), E – математическое ожидание, σ2 – дисперсия
Характеристики                           θ – граница неисключенной ∆р – доверительные
                           S –СКО
погрешности                              систематической погрешности               границы
Исходные данные      для   1. Модель объекта исследования.
оценивания                 2. Экспериментальные данные xiq; q = 1,…,ni; I = 1,…,m.
характеристик              3. Информация о законах распределения.
погрешности                4. Сведения об источниках погрешностей, их природе и характеристиках
                           составляющих (S(xi), θi, структурная модель погрешности.
                           5. Стандартные справочные данные и другие справочные материалы.
Методы       оценивания
                                        1 ni
                                            ∑     ( xiq − xi ) ;
характеристик:                                                2
                           S( xil ) =
3.   Случайных
                                      ni − 1 q =1
     погрешностей                                       ni
                                               1
                                                       ∑ ( xiq − xi ) ;
                                                                     2
                           S( xi ) =
                                         ni ( ni − 1 ) q =1
                                               2
                                  m
                                    ⎛ ∂f ⎞ 2
                           S = ∑⎜
                             2
                                          ⎟ S ( xi ),                  ∆ p = t p ( f эфф )S
                               i =1 ⎝ ∂xi ⎠

                                                    2
                                          m
                                           ⎛ ∂f ⎞
                           θ( p ) = k ∑ ⎜ ⎟ θi2
                                      i =1 ⎝ ∂x ⎠
2.       Неисключенных
систематических
                                                                                  2
погрешностей                      t p ( f эфф )S + θ( p )             ⎛ ∂f ⎞ θi2
                                                                       m
                           ∆p =                              S + ∑⎜
                                                               2
                                                                            ⎟    ;
                                           ⎛ ∂f ⎞ θi2
                                           m
                                                        2
                                                                 i =1 ⎝ ∂xi ⎠ 3
                                  S + ∑⎜         ⎟
                                      i =1 ⎝ ∂xi ⎠ 3
3.Суммарной
погрешности                                                        2
                                                       ⎛ ∂f ⎞ 2
                                                    mсист
                           где         θ( p ) = K ∑ ⎜        ⎟ θi , K = 1,1 при р = 0,95;
                                                  i =1 ⎝ ∂xi ⎠

                                                                                              2
                                                                     ⎛ ∂f ⎞ 2     m
                           K = 1,4 при p = 0,99; mсист > 4; S = ∑ ⎜        ⎟ S ( xi )
                                                                i =1 ⎝ ∂xi ⎠
Форма      представления
характеристик              θ(p), S, n                                  ∆p
погрешности
Интерпретация              Интервал (-∆p, ∆p) c вероятностью р содержит погрешность измерений, что
полученных результатов     равносильно тому, что интервал (y – ∆p, y + ∆p) с вероятностью р содержит
                           истинное значение измеряемой величины.




                                                                                                  85


Таблица А.2. Процедура вычисления неопределенности измерений

Модель                  η – случайная величина с плотностью распределения вероятностей
неопределенности        p(x; y, u2,…), y – математическое ожидание, u2 – дисперсия
(представление знания
о           значении
измеряемой
величины)
Неопределенность        Стандартная                              Суммарная                                   Расширенная
(количественная мера)   U                                                  m                                 Up = k · uc
                                                                 uc =    ∑u
                                                                          i =1
                                                                                  2
                                                                                  i

Исходные данные для     1. Модель объекта исследования.
вычисления              2. Экспериментальные данные xiq, q = 1,…,ni; I = 1,…,m.
неопределенности        3. Информация о законах распределения.
                        4. Сведения об источниках неопределенности и информация                                            о   значениях
                        неопределенности.
                        5. Стандартные справочные данные и другие справочные материалы.
Методы вычисления
неопределенности:
1) по типу А                        ni                                                 ni

                                   ∑( x
                                    q =1
                                              iq   − xi )
                                                        2
                                                                                       ∑( x
                                                                                       q =1
                                                                                                      iq   − xi )2
                        u A,i =                              ,        u A ( xi ) =
                                           ni − 1                                           ni ( ni − 1 )
2) по типу В                             bi
                        u B ( xi ) =
                                          3
3)      расширенной                                                                                                                  2
неопределенности                                                                 uc4                                 m
                                                                                                                      ⎛ ∂f        ⎞
                        U p = t p ( ν eff ) ⋅ uc ,          νeff =                                ,         uc = ∑ ⎜        u( xi ⎟ ;
                                                                                                                 i =1 ⎝ ∂xi
                                                                                              4
                                                                          ⎛ ∂f         ⎞                                          ⎠
                                                                          ⎜    u( xi ) ⎟
                                                                      m
                                                                            ∂x
                                                                     ∑⎝ i ν ⎠
                                                                     i =1       i
                        U0,95 =2uc, U0,99 = 3uc - для нормального закона;
                        U0,95 =1,65uc, U0,99 = 1,71uc - для равномерного закона.
Представление
неопределенности        uc, Up, k, ui, νi
Интерпретация           Интервал (y-Up, y+Up) содержит большую долю (р) распределения значений, которые
полученных              могли бы быть обосновано приписаны измеряемой величине.
результатов




                                                                                                                                    86


3.2. Приложение Б. Измерение силы электрического тока с помощью
вольтметра и токового шунта

Б.1. Уравнение измерений
                                                  V
                                I = f (V ,R ) =     ,                                   (Б.1)
                                                  R

где I - сила тока, V - напряжение, R - сопротивление шунта.
Б.2. Нахождение результата измерений.
Б.2.1. В результате измерений напряжения при температуре t = (23,00 ±0,05) oC
получают ряд значений Vi в милливольтах, I = 1,…,n; n = 10;
100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65.
Б.2.2. На основе полученных значений вычисляют среднее значение
напряжения по формуле
                                                                1 n
                                                             V = ∑Vi =100,72 мВ.
                                                                n i =1
(Б.2)

Б.2.3. Значения сопротивления шунта установленного при его калибровке для
I = 10 А и t = 23,00 оС и равно
   Rо = 0,010088 Ом.
Б.2.4. Результат измерения силы тока получают по формуле:
                                                                              V
                                                                      I=         = 9 ,984 A.
                                                                              R0
(Б.3)
Б.3. Анализ источников погрешности результата измерений
Б.3.1. СКО V , характеризующее случайную составляющую погрешности при
измерениях напряжения, вычисляют по формуле

                                                         n

                                                        ∑ (V − V )
                                                                          2
                                                                i
                                          S(V ) =       i =1
                                                                              = 3,4 ⋅ 10−2 мВ,
                                                             n( n − 1 )
(Б.4)

   %
  S(V ) = 0 ,034 %.
Здесь и далее по тексту знак тильды над буквой, обозначающей характеристику
погрешности (неопределенности), означает, что данная характеристика
приведена в относительном виде.



                                                                                           87


Б.3.2. Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра
определены при его калибровке в виде следующего выражения (в выражениях
для границ погрешностей при разных значениях отклонений от нуля будем
опускать знак ±)

             θν = 3 · 10-4 · V + 0,02 мВ                        (Б.5)

Тогда при V = V получают
                              θν = 5,0 · 10-2 мВ,
                                θν = 0,050 %.
Б.3.3. Границы неисключенной систематической погрешности значения
сопротивления шунта, определенные при его калибровке, равны

  θR = 0 ,070 %.
Тогда при R = R0 получают

                          θR = 7 · 10-4 · R0 = 7,1 · 10-6 Ом.             (Б.6)

Б.3.4. Границы неисключенной систематической составляющей погрешности
значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений
температуры, находят из формулы, определяющей зависимость сопротивления
от температуры
                            R = R0 · [1 + a · (t – t0)],           (Б.7)

где R0 - значение сопротивления при t = t0 (t0 = 23,00 оС; R0 = 0,010088 Ом); a
- температурный коэффициент (а = 6 · 10-6К-1).
В случае, когда границы погрешности измерения температуры равны ∆t,
границы      соответствующей     составляющей        погрешности       значения
сопротивления равны
                                           θR,t = a · ∆t · R.            (Б.8)
Таким образом, при ∆t = 0,05 оС получают
                                     θR,t = 3,0 · 10-9 Ом,
                                     θR ,t = 3,0 · 10-9 %.

В дальнейшем эту составляющую погрешности (ввиду ее малости по
сравнению с другими составляющими) можно не учитывать.

Б.4. Вычисления характеристик погрешности результата измерений.




                                                                             88


Б.4.1. Делают предположение о равномерном законе распределения
неисключенных систематических составляющих погрешности результата
измерений внутри их границ θν и θR . Тогда СКО суммарной неисключенной
систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока
определяют по формуле

                                                             2               2
                                                   ⎛ ∂f ⎞ θ v ⎛ ∂f ⎞ θ R
                                                            2          2
                                              sθ = ⎜    ⎟ ⋅ +⎜ ⎟ ⋅ ,
                                                   ⎝ ∂V ⎠ 3 ⎝ ∂R ⎠ 3
(Б.9)

        ∂f  1 ∂f  V
где        = , = − 2 - коэффициенты влияния. Таким образом, получают
        ∂V R ∂R   R

                       2      2
               ⎛ 1 ⎞ θ2 ⎛ V ⎞ θ2
          Sθ = ⎜ ⎟ ⋅ ν + ⎜ 2 ⎟ ⋅ R    = 5,0 ⋅ 10−3 А,
               ⎝ R0 ⎠ 3 ⎝ R0 ⎠ 3

          %
          Sθ = 0,050 %.

Б.4.2. Доверительные границы суммарной неисключенной систематической
составляющей погрешности результата измерений силы тока при
доверительной вероятности р = 0,095 оценивают по формуле

                                                2           2
                                             ⎛1⎞       ⎛V ⎞
                            θ( 0 ,95 ) = 1,1 ⎜ ⎟ θ 2 + ⎜ 2 ⎟ ⋅ θ 2 = 9 ,5 ⋅ 10−3 A,
                                                   ν             R
                                             ⎝ R⎠      ⎝R ⎠
(Б.10)

  %
  θ 0 ,95 = 0 ,95% .

Б.4.3. СКО случайной составляющей погрешности результата измерений силы
тока определяют по формуле
                          ∂f
                      S=      ⋅ S(V ) = 3,4 ⋅ 10−3 A,
                         ∂V                                     (Б.11)
                           %
                           S = 0,034%.




                                                                                  89



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика