Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Экспериментальные методы исследований. Погрешности и неопределенности измерений: Учебное пособие

Голосов: 9

В настоящем пособии изложен современный подход к оцениванию неопределенностей измерений, а также основные элементы документа "Руководство по выражению неопределенности измерений", разработанного ведущими международными метрологическими организациями. Этот документ приобрел статус неформального международного стандарта. Существует некоторое противоречие между заложенными в нем принципами и системой отечественных стандартов, касающихся погрешностей результатов измерений. В пособии изложены, также основные положения отечественного нормативного документа, устанавливающего соответствие между двумя формами представления результатов измерений и их сравнительный анализ. Приведены примеры расчета неопределенностей измерений. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению 140000 - "Энергетика, энергетическое машиностроение и электроника", специальность 140402 - "Теплофизика", и бакалавров по направлению 140400 - "Техническая физика".

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Б.4.4. СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока
вычисляют по формуле
                                                                    S Σ = S 2 + Sθ2 = 6 ,0 ⋅ 10−3 ,
                                                                          %
                                                                          S = 0 ,060%.
                                                                              Σ
(Б.12)
Б.4.5. Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока
при р = 0,95 и числе эффективных степеней свободы fэфф = n – 1 = 9
вычисляют по формуле

                                                          t0 ,95 ( 9 ) ⋅ S + θ( 0 ,95 )
                                              ∆ 0 ,95 =                                 ⋅ SΣ = 0 ,012 A,
                                                                      S + Sθ
                                                                       %
                                                                      ∆ = 0 ,12%.
                                                                    0 ,95

(Б.13)

Б.5. Вычисление неопределенности измерений.
Б.5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную
источниками неопределенности, имеющими случайный характер.
Б.5.1.1.    Стандартную неопределенность напряжения, обусловленную
источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют
по формуле
                                        n                 2

                                      ∑ (V − V )i
                         u A (V ) =    i =1
                                                              ,
                                            n( n − 1 )
                         u A (V ) = 3,4 ⋅ 10−2 мВ,                                              (Б.14)
                         u A (V ) = 0 ,034%
                         %

Б.5.1.2.   Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную
источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют
по формуле

                               ∂f
                         uA =       ⋅ u A (V ) = 3,4 ⋅ 10−3 A,
                               ∂V                                                              (Б.15)
                         u A = 0 ,034%.
                         %

Б.5.2. По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные
источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон
распределения величин внутри границ считают равномерным.



                                                                                                     90


Б.5.2.1. Границы систематического смещения при измерениях напряжения,
определенные при калибровке вольтметра, равны 3 · 10-4 · V + 0,02. Тогда
соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле

                                                               3 ⋅ 10−4 ⋅ V + 0 ,02
                                                    u B ,V   =                      = 2 ,9 ⋅ 10−2 мВ,
                                                                            3
                                                                     u B ,V = 0 ,029%.
                                                                     %
(Б.16)
Б.5.2.2. Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта,
определены при калибровке шунта и равны 7 · 10-4 · R. Тогда при R=Ro
соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле

           3 ⋅ 10−4 ⋅ R0
u B ,R =                 = 4 ,0 ⋅ 10−6 Ом,
                  3
                                                              (Б.17)
                u B ,R = 0 ,040%.
                %

Б.5.2.3. Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного
изменением температуры, равны α · ∆t · Ro. Соответствующую стандартную
неопределенность получают в соответствии с формулой

                                                                             α ⋅ ∆t ⋅ R0
                                                                  u B ,t =               = 1,7 ⋅ 10−9 Ом,
                                                                                  3
                                                                             u B ,t = 1,7 ⋅ 10−5%.
                                                                             %
(Б.18)

В дальнейшем этой составляющей неопределенности (ввиду ее малости по
сравнению с другими составляющими) можно пренебречь.
Б.5.2.4. Суммарную стандартную неопределенность, вычисленную по типу В,
определяют по формуле

                                                              2                   2
                                                  ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2
                                             uB = ⎜    ⎟ u BY + ⎜ ⎟ ⋅ u B ,R = 5,0 ⋅ 10 A,
                                                                                       -3

                                                  ⎝ ∂V ⎠        ⎝ ∂R ⎠
                                                                   u B = 0 ,050%.
                                                                   %
(Б.19)

Б.5.3. Суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле



                                                                                                      91


                                                               uc = u A + u B = 6 ,0 ⋅ 10−3 A,
                                                                      2     2



                                                                            uc = 0 ,060%.
                                                                            %
(Б.20)

Б.5.4. Эффективное число степеней свободы

                                                                  uc4
                                  ν eff =               4               4               4
                                                                                            = 87.
                                            ⎛1      ⎞ ⎛1       ⎞ ⎛V           ⎞
                                            ⎜ ⋅ u A ⎟ ⎜ ⋅ u BY ⎟ ⎜ 2 ⋅ u B ,R ⎟
                                            ⎝R      ⎠ +⎝R      ⎠ +⎝R          ⎠
                                             n −1         ∞          ∞
(Б.21)

Б.5.5. Коэффициент охвата получают по формуле

                                                                        k = t0,95(νeff) = 1,99.
(Б.22)

Б.5.6. Расширенную неопределенность определяют следующим образом

                           U 0 ,95 = k ⋅ uc = 0 ,012 A,
                                                                                        (Б.23)
                                 %
                                U 0 ,95 = 0 ,12%.

Б.6. Переход от характеристик погрешности к неопределенности измерений.
Б.6.1. Используя оценки характеристик погрешности, полученные в п.п. Б.3 и
Б.4 данного примера, можно продемонстрировать получение оценок
неопределенностей в соответствии с п.4.4 настоящей рекомендации.
Схема Б.1.

 I = 9,984 A,                                I = 9,984 A,

 S = 3,4 · 10-3 A,                           u A = S = 3,4 ⋅ 10−3 A,
                                             €

                                                      θ( 0 ,95 )
 θ(0,95) = 9,5 · 10-3 A,                     uB =
                                             €                   = 5,0 ⋅ 10−3 A,
                                                       K⋅ 3
 mcист = 2,
                                             K = 1,1; p = 0,95,
 n = 10                                      uc = u A + u B = 6 ,0 ⋅ 10−3 A,
                                             €    €2 €2
                                                                            2
                                                                 ⎡ uB ⎤
                                                                     €2
                                             € eff
                                             ν       = ( n − 1 ) ⎢1 + 2 ⎥ = 87 ,
                                                                     €
                                                                 ⎣ uA ⎦                       92


В данном примере неопределенности измерений, вычисленные в п. Б.5 данного
примера в соответствии с Руководством, совпадают с их оценками,
полученными по схеме Б.1.

Схема Б.2.
                                       I = 9,984 A,
          I = 9,984 A,
                                       €
                                       U 0 ,95 = ∆ 0 ,95 = 0 ,012 A,
          ∆0,95 = 0,012 A,
                                       z 0,95 = 2,
          р = 0,95

                                              ∆ 0 ,95 0 ,012
                                       uc =
                                       €             =       = 0 ,006 A.
                                              z0 ,95     2



В данном примере разность неопределенностей измерений, вычисленных в
п.Б.5 данного примера в соответствии с Руководством, и их оценок,
полученных по схеме Б.2, меньше погрешности округления при вычислениях.


   3.3.   Приложение В. Измерения длины штриховой меры


      Измерение длины штриховой меры проводят на государственном
первичном эталоне единицы длины интерференционным методом.

В.1. Уравнение измерений

                                                        λ
                                              L = A⋅          + αL0 ⋅ (20 − t ) + ∆l s ,
                                                       2n В
(В.1)

где L – длина штриховой меры; Lо – опорное значение длины штриховой меры
(Lо = 1,000 м); γ – длина волны излучения (γ = 0,632 991 398 2 мкм); А –
число импульсов; nв – показатель преломления воздуха (nв = 1,000275236); t –

                                                                                      93


температура штриховой меры (t = 20,125 оС); α – коэффициент линейного
расширения (α = 1,15 · 10-5 К-1); ∆ls– поправка на размер коллиматорной щели
(∆ls = 0,031 мкм).


В.2. Нахождение результата измерений
В.2.1. В результате измерений числа импульсов и внесения поправок на
известные систематические погрешности в соответствии с уравнением
измерения (В.1) получают ряд значений Li в метрах, i = 1,…,n; n = 10:
1,000 001 356; 1,000 001 584; 1,000 001 383; 1,000 001 469; 1,000 001 491; 1,000
001 466; 1,000 001 575; 1, 000 001 397; 1,000 001 405; 1,000 001 334.
В.2.2. Длину штриховой меры определяют по формуле

                            1 n
                         L = ∑ Li = 1,000001474 м.                                  (В.2)
                            n i =1

В.3. Анализ источников погрешности результата измерений
В.3.1. СКО случайной составляющей погрешности определяют по формуле

                                                       n

                                                      ∑( L − L )
                                                                        2
                                                               i
                                                S=    i =1
                                                                            = 2,5 ⋅ 10−8 м
                                                           n( n − 1 )
(В.3)
Для более контактной записи значений характеристик погрешности
(неопределенности) в дальнейшем будем использовать микрометры (мкм)

S = 0,025 мкм.
В.3.2. Границы неисключенных систематических погрешностей:
 - определения показателя преломления воздуха θв = 2,0 · 10-8;
 - значения длины волны θγ = 6,2 · 10-9 мкм;
 - определения температуры меры θt = 0,003 оС;
 - определения поправки на размер коллиматорной щели θ∆l = 0,002 мкм.
Составляющие      погрешности      результата  измерений,      обусловленные
погрешностями значений L0 и α пренебрежимо малы.
В.4. Вычисление характеристик погрешности результата измерений
В.4.1. В предложении о равномерном законе распределения неисключенных
систематических составляющих погрешности внутри границ θв, θγ , θt и θ∆l

                                                                                        94


СКО неисключенной систематической составляющей погрешности результата
измерений вычисляют по формуле


                       2           2             2                   2
                ⎛ ∂f ⎞ θ в ⎛ ∂f ⎞ θ 2 ⎛ ∂f ⎞ θt2 ⎛ ∂f ⎞ θ ∆l
                          2                               2
           Sθ         ⎟ ⋅ +⎜ ⎟ ⋅ +⎜ ⎟ ⋅ +⎜            ⎟ ⋅    ,                               (В.4)
                                    λ
                ⎜
                ⎝ ∂nв ⎠ 3 ⎝ ∂λ ⎠ 3 ⎝ ∂t ⎠ 3 ⎝ ∂( ∆l ) ⎠ 3

            ∂f       λ   ∂f       1   ∂f              ∂f
где            = −A⋅ 2 ,    = A⋅    ,    = α ⋅ L0 ,         = 1-              коэффициенты
           ∂mв      2nв  ∂λ      2nв ∂t             ∂( ∆l )
влияния.

Таким образом, получают

                   2                   2
       ⎛     λ ⎞ θв ⎛
                   2
                           1 ⎞ θ2               2
                                             2 θt
                                                         2
                                                     2 θ ∆l
  Sθ = ⎜ A ⋅ 2 ⎟ ⋅ + ⎜ A ⋅   ⎟ ⋅ + ( α ⋅ L0 ) ⋅ + (1) ⋅     .                            (В.5)
                                 λ

       ⎝    2nв ⎠ 3 ⎝ 2nи ⎠ 3                  3        3

                                                      λ
Для упрощения расчетов можно принять A ⋅                    ≈ 1 м, , nв ≈ 1,00, λ ≈ 0,633 мкм .
                                                     2 nв
Тогда получают Sθ ≈ 0,024 мкм.

В.4.2. Доверительные границы неисключенной систематической составляющей
погрешности результата измерений для р = 0,99 и mсист = 4 (К = 1,23, см. МИ
2083-90) вычисляют по формуле

                                            2               2            2               2
                                     ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2
                   θ( 0 ,99 ) = 1,23 ⎜     ⎟ ⋅ θ в + ⎜ ⎟ ⋅ θ λ + ⎜ ⎟ ⋅ θt + ⎜         ⎟ ⋅ θ ∆l ,
                                     ⎝ ∂nв ⎠         ⎝ ∂λ ⎠      ⎝ ∂t ⎠     ⎝ ∂( ∆l ) ⎠
(В.6)

Расчет коэффициентов влияния по п.В.4.1
θ(0,99) = 0,051 мкм.
В.4.3. СКО суммарной погрешности определяют по формуле

                               S Σ = S 2 + Sθ2 = 0 ,035 мкм.                              (В.7)

В.4.4. Доверительные границы суммарной погрешности при р = 0,99 и
fэфф = n-1 = 9 вычисляют по формуле



                                                                                                95


                             t 0,99 (9) ⋅ S + θ (0,99)
                  ∆ 0,99 =                               ⋅ S 2 + Sв .
                                                                  (В.8)
                             S + Sв
В.5. Вычисление неопределенности измерений
В.5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную
источниками неопределенности, имеющими случайный характер при
измерении длины штриховой меры

                                                                    n

                                                                   ∑( L − L )
                                                                                      2
                                                                            i
                                                            uA =   i =1
                                                                                          =0,025 мкм
                                                                        n( n − 1 )
(В.9)

В.5.2. По пункту В вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную
источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон
распределения величин внутри границ считают равномерным.
В.5.2.1. Границы, внутри которых лежит значение показателя преломления
воздуха, равны θв = 2,0 ·10-8. Стандартную неопределенность, обусловленную
неточным знанием данного параметра, определяют, как

                                θв
                      u B.в =      = 1,2 ⋅ 10−8.                                                (В.10)
                                 3

В.5.2.2. Границы, внутри которых лежит значение длины волны излучения,
равны θγ = 6,2 · 10-9 мкм. Тогда соответствующую стандартную
неопределенность вычисляют по формуле

                                                                                θλ
                                                                   u B.λ =         = 3,6 ⋅ 10−9 мкм.
                                                                                 3
(В.11)

В.5.2.3. Границы, внутри которых лежит значение температуры штриховой
меры, равны θt = 0,003 оС. Стандартную неопределенность, обусловленную
неточным знанием температуры, вычисляют по формуле

                                                                                          θt
                                                                                u B.t =      = 0 ,002oC.
                                                                                           3
(В.12)

В.5.2.4. Границы, внутри которых лежит значение поправки на размер
коллиматорной щели, равны θ∆l = 0,02 мкм. Тогда соответствующую
стандартную неопределенность получают по формуле
                                                                                                     96


                                    θ ∆l
                         u B.∆l =        = 0 ,001 мкм.                                 (В.13)
                                      3

В.5.2.5. Суммарную стандартную неопределенность, вычисленную по типу В,
определяют по формуле

                  2            2               2              2
           ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2
      uв = ⎜     ⎟ ⋅ uв + ⎜ ⎟ ⋅ uλ + ⎜ ⎟ ⋅ ut + ⎜         ⎟ ⋅ u∆l                      (В.14)
           ⎝ ∂nв ⎠        ⎝ ∂λ ⎠     ⎝ ∂t ⎠     ⎝ ∂( ∆l ) ⎠

Расчет коэффициентов влияния по п. В.4.1 uв ≈ 0,024 мкм.
В.5.3. Суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле

                        uc = u А + u B =0,035 мкм
                               2     2
                                                                                       (В.15)

В.5.4. Эффективное число степеней свободы

                                        uc4
ν eff =                  4                                              4
                                                                            = 35.
               ⎛ ∂f       ⎞ ⎛             4
                                                  ⎞ ⎛ ∂f ⋅ u ⎞
                                                         4

               ⎜     ⋅ uв ⎟ ⎜ ∂f ⋅ uγ ⎟ ⎜ ∂f ⋅ ut ⎟ ⎜
                                      ⎞ ⎛
                                                                ∆l ⎟
      ( u A ) ⎝ ∂nв
            4
                          ⎠ + ⎝ ∂λ    ⎠ + ⎝ ∂t    ⎠ + ⎝ ∂( ∆l )    ⎠
             +
       n −1         ∞             ∞           ∞              ∞
(В.16)

В.5.5. Коэффициент охвата определяют следующим образом

                                                                  k = t0 ,95 ( ν eff ) = 2 ,78.
(В.17)

В.5.6. Расширенную неопределенность определяют, как

                                                             U 0,99 = k ⋅ uc = 0,097 мкм .
(В.18)

В.6. Переход от характеристик погрешности к неопределенности измерений
В.6.1. Используя оценки характеристик погрешности, полученные в п. В.4
данного    примера,    можно     продемонстрировать     получение   оценок
неопределенностей в соответствии с п.4.4 настоящей рекомендации.




                                                                                            97


Схема В.1.                                    Y = 1,000001474 м,
                                              u A = S = 0 ,025 мкм,
                                              €
 Y = 1,000001474 м,                                 θ (0,99)
                                              uв =
                                               €             = 0,024 мкм,
 S = 0,025 мкм,                                      K⋅ 3
 θ (0,99) = 0,051 мкм,                        р = 0,99; К = 1,23,
 mсист = 4,                                   uc = u A + u B = 0 ,035 мкм,
                                              €       €2 €2
 n = 10.                                                                   2
                                                                  ⎡ uB ⎤ €2
                                              € eff = ( n − 1 ) ⎢1 + 2 ⎥ = 35,
                                              ν
                                                                  ⎣ uA ⎦ €
                                              €
                                              U 0 ,99 = t0 ,99 ( 35 ) ⋅ uc = 0,097 мкм.
                                                                        €




В данном примере неопределенности измерений в п. Б.5 данного примера в
соответствии с Руководством, совпадают с их оценками, полученными по
схеме В.1.

Схема В.2.
                                        Y = 1,000001474 м,
 L = 1,000001474 м,                     z = 0,99,
 p = 0,99,                               €
                                        U 0 ,99 = ∆ 0 ,99 = 0 ,094 мкм,
 ∆0,99 = 0,094 мкм.
                                                ∆         0 ,094
                                        uc = 0 ,99 =
                                        €                        = 0 ,031 мкм.
                                                z0 ,99       3




Разность неопределенностей измерений, вычисленных в п.Б.5 данного примера
в соответствии с Руководством, и их оценок, полученных по схеме В.2 (когда
отсутствует достаточная информация для их оценки в соответствии с
Руководством), в данном примере равны

                   €
                   U 0 ,99 − U 0 ,99         0 ,094 − 0 ,097
                                     ⋅ 100 =                 ⋅ 100 = 3%,
                        U 0 ,99                   0 ,097




                                                                                          98


                       uc − u c
                       €                0 ,031 − 0 ,035
                                ⋅ 100 =                 ⋅ 100 = 11% .
                         uc                  0 ,035

Эти различия вызваны разными алгоритмами определения коэффициента
охвата при вычислении расширенной неопределенности и коэффициента при
суммировании систематической и случайной составляющих суммарной
погрешности.

3.4. Приложение Г. Значение коэффициента tp(v) для случайной величины,

                           имеющей распределение Стьюдента с ν степенями
свободы

ν           р = 0,95          р = 0,99        ν                р = 0,95   р = 0,99
3           3,182             5,841           16               2,120      2,921
4           2,776             4,604           18               2,101      2,878
5           2,571             4,032           20               2,086      2,845
6           2,447             3,707           22               2,074      2,819
7           2,365             3,499           24               2,064      2,797
8           2,306             3,355           26               2,056      2,779
9           2,262             3,250           28               2,048      2,763
10          2,228             3,169           30               2,042      2,750
12          2,179             3,055           ∞                1,960      2,576
14          2,145             2,977




                                                                                     99



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика