Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г. Математика

Голосов: 152

Приведен демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 года по математике. Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Приведённые критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, включённые в этот вариант, дают представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа. <a href="http://www.edu.ru/moodle/" target="_blank" class="colored_bold">Пройти он-лайн тест. Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010г. по математике</a>

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                              1



           Пояснения к демонстрационному варианту
    контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года
                     по МАТЕМАТИКЕ


      Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2010 года разрабо-
тан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и
науки Российской Федерации.
      Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать
представление о структуре будущих контрольных измерительных мате-
риалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания Де-
монстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, кото-
рые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы в 2010
году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень
вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по ма-
тематике для составления контрольных измерительным материалов ЕГЭ
2010 г.
      Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1 экзамена-
ционной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каж-
дого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5 и
С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30.
      Предполагается, что верное выполнение не менее пяти заданий эк-
заменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, под-
тверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных
программ общего (полного) среднего образования. Конкретное значение
минимального тестового балла, подтверждающего освоение выпускником
основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего
образования, определяется Федеральной службой по надзору в сфере об-
разования и науки Российской Федерации в установленном порядке.
      К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в демон-
страционный вариант, дается одно-два возможных решения. Приведен-
ные критерии оценивания позволяют составить представление о требова-
ниях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов и система оценивания, специ-
фикация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к
ЕГЭ по математике.




     (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
          Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                          2



        Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

                    Демонстрационный вариант
          контрольных измерительных материалов 2010 года

                    Инструкция по выполнению работы

      На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4
часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.
     Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового
уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются вы-
полненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа
или конечной десятичной дроби.
      Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу
курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и
ответ.
    Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не
удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению
пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

                                   Желаем успеха!




     (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
          Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                                3



                                              Часть 1

     Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная де-
     сятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа
     от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую
     цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответ-
     ствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать
     не нужно.


B1    Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов
      можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на
      20%?


В2    На графике показано
      изменение температу-
      ры воздуха на про-
      тяжении трех суток.
      На оси абсцисс отме-
      чается время суток в
      часах, на оси ординат –
      значение температуры
      в градусах. Определи-
      те по графику наиболь-
      шую температуру воз-
      духа 15 августа.


B3    Найдите корень уравнения 3x2  27 .


B4    В треугольнике ABC угол C равен 90о,
      AB  5 , cos A  0,8 . Найдите BC .




           (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
                Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                                  4



B5    Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из
      трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.
      Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с достав-
      кой?

     Поставщик       Стоимость пеноблоков              Стоимость           Дополнительные
                         (руб. за 1 м3 )                доставки           условия доставки
                                                         (руб.)
         1                       2600                     10000
                                                                        При заказе товара на
                                                                        сумму свыше 150000
         2                       2800                      8000
                                                                        рублей доставка бес-
                                                                        платная.
                                                                        При заказе товара на
                                                                        сумму свыше 200000
         3                       2700                      8000
                                                                        рублей доставка бес-
                                                                        платная.

B6    Найдите площадь четырехугольника, изобра-
      женного на клетчатой бумаге с размером
      клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте
      в квадратных сантиметрах.




                                                               1
B7    Найдите значение выражения log 2 200  log 2                .
                                                               25



B8     На рисунке изображен график функции
       y  f  x  и касательная к этому графику
      в точке с абсциссой, равной 3. Найдите
      значение производной этой функции в
      точке x  3 .




             (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
                  Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                                 5



B9    Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три
      раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Най-
      дите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

B10   Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на кото-
      рой он находится, описывается формулой h  t   5t 2  18t ( h – высота в
      метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите,
      сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

B11   Найдите наибольшее значение функции
                                       3                               
                     y  2cos x  3x     на отрезке                   0; 2  .
                                       3                                    

B12   Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколь-
      ко дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за
      два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

                                               Часть 2
      Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк
      ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а за-
      тем полное обоснованное решение и ответ.

C1    Решите систему уравнений
       x 2  3x  x 2  3x  1  7,
      
      
      2 2 sin y  x.
      

С2    Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 ,
      а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью
      A1BC и плоскостью основания призмы.

      Решите неравенство log x3  9  x 2   log 23  x  3  2 .
                                               1               2
С3                                                 x
                                              16

С4    На стороне BA угла ABC , равного 30  , взята такая точка D, что AD  2 и
      BD  1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и ка-
      сающейся прямой BC.




            (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
                 Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                               6


С5   Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
                             4 x  3x  x  a  9 x  1
     имеет хотя бы один корень.

С6   Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чи-
     сел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к деся-
     тичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную за-
                                                                b
     пись числа b, то получится десятичная запись числа, равного .
                                                                a




          (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
               Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                          7

         Система оценивания демонстрационного варианта
    контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

                           Ответы к заданиям части 1

    Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 бал-
лом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуе-
мый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дро-
би.

                       № задания                        Ответ
                          В1                               5
                          В2                              14
                          В3                               5
                          В4                               3
                          В5                            192000
                          В6                              18
                          В7                               3
                          В8                               2
                          В9                               9
                          В10                             2,4
                          В11                              1
                          В12                             20

                              Ответы к заданиям части 2

            № задания                                          Ответ
               С1                                       
                                 x  2, y   1             n, n  Z .
                                                    n

                                                        4
                  С2            30
                  С3            –1
                  С4            1 или 7
                  С5            8  a  6
                  С6            a  2, b  5




     (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
          Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                           8

               Решения и критерии оценивания заданий части 2

    Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности
ответа.
      Общие требования к выполнению заданий с развернутым отве-
том: решение должно быть математически грамотным, полным, все воз-
можные случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен
ход рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и фор-
мы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснован-
но получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов.
      Эксперты проверяют математическое содержание представленного
решения, а особенности записи не учитывают.
     В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие тре-
бования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех воз-
можных ситуаций.
     Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0
баллов.
     При выполнении задания экзаменуемый может использовать без до-
казательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в
учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учеб-
ников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и
науки Российской Федерации.


С1 Решите систему уравнений
     x 2  3x  x 2  3x  1  7,
    
    
    2 2 sin y  x.
    
Решение.
1. Сделаем замену x 2  3x  1  t . Тогда x 2  3x  t 2  1. Теперь первое
уравнение системы можно привести к виду: t 2  t  6  0.
Корни: t   2 или t  3 .
Получаем: x 2  3x  1  2 или x 2  3x  1  3 .
Первое из этих уравнений не имеет корней. Решим второе:
                              x2  3x  10  0;
                             x  5 или x  2 .

2. При каждом из найденных значений x решим второе уравнение систе-
мы.
                               5
а) Если x  5 , то sin y       .
                              2 2

      (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
           Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                                9

                                                                5
     Поскольку 2 2  8 , 8  5 , получаем, что                       1 . Значит, уравнение
                                                              2 2
                  5
     sin y           не имеет решений, поскольку его правая часть меньше 1 .
                 2 2

                                    1              n 
     б) Если x  2 , то sin y         ; y   1       n, n  Z .
                                     2               4

                                         
          Ответ: x  2, y   1       n, n  Z .
                                     n

                                    4
     Возможны другие формы записи ответа. Например:
                                     3
     А) x  2, y   2 n или y            2 n , n  0, 1, 2,...;
                    4                  4
         x  2,
        
     Б)           n
         y   1 4   n, n  0, 1, 2,...
        
                      3            
     В)  2;  2 n  ,  2;     2 n  , n  Z .
         4             4             

        Баллы                    Критерии оценивания выполнения задания С1
          2            В представленном решении обоснованно получен верный ответ.
          1            Верно решено первое уравнение, но система решена неверно.
          0            Решение неверно или отсутствует.
          2            Максимальный балл


С2     Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна
       2 , а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоско-
     стью A1BC и плоскостью основания призмы.

     Решение. Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как тре-
     угольник ABC равносторонний, а треугольник A1BC – равнобедренный,
     отрезки AH и A1H перпендикулярны BC . Следовательно, A1HA – ли-
     нейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1 .




           (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
                Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


                                               10

     Из треугольника A1 AB найдем: AA1 1 .
     Из треугольника AHB найдем: AH  3 .
     Из треугольника HAA1 найдем:
                AA    1
     tg A1HA  1       .
                AH     3


     Искомый угол равен 30 .

     Ответ: 30 .

     Возможны другие формы записи ответа. Например,
        
     А) ;
         6
        
     Б)    рад.
        6
              1
     В) arctg     и т.п.
                3

     Возможны другие решения. Например, решение задачи с использовани-
     ем векторов или метода координат.

       Баллы                  Критерии оценивания выполнения задания С2
         2          Получен и обоснован верный ответ.
         1          Построен или описан линейный угол искомого угла или угол между
                    перпендикулярами к плоскостям A1BC и ABC , но получен неверный
                    ответ или решение не закончено.
          0         Решение неверно или отсутствует.
          2         Максимальный балл



     Решите неравенство log x3  9  x 2  
                                                     1
                                                       log 23  x  3  2 .
                                                                       2
С3                                                         x
                                                    16
     Решение.
        Преобразуем неравенство:
                          log x3   3  x  3  x    log 23 x  3  2 .
                                                          1
                                                               x
                                                          4




           (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
                Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика