Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Дифференциальное исчисление: Учебное пособие

Голосов: 0

Пособие содержит теоретический материал по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению функций одной и многих переменных, а также методические указания, в которых рассмотрены примеры решения типовых задач. Теоретические положения дополнены двумя контрольными работами. Предусмотрен автоматизированный самоконтроль при наличии устройства "Символ". Для студентов заочной и дистанционной форм обучения. Подготовлено на кафедре высшей математики ТУСУР.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    3.1. Понятие функции. Область определения функции                   81

                                      √
    3.1.4. Даны функции f (x) = x, ϕ(x) = sin x. Найдите f [f (x)],
ϕ[ϕ(x)], f [ϕ(x)], ϕ[f (x)].
                             √     √
    Решение. f [f (x)] =       x = 4 x; ϕ[ϕ(x)] = sin(sin x);
              √                       √
    f [ϕ(x)] = sin x; ϕ[f (x)] = sin( x).
    3.1.5. Найдите область определения следующих функций:
           √                      1                        5x − x2
а) f (x) = x2 − x − 2 + √                 ; б) f (x) = lg          .
                              3 + 2x − x2                     4
    Решение: а) область определения данной функции состоит из тех
значений x, для которых оба слагаемых принимают действительные
значения. Должны выполняться два условия:
                            (x2 − x − 2) ≥ 0,
                           (3 + 2x − x2 ) > 0.
Корнями квадратного уравнения x2 − x − 2 = 0 являются числа −1
и 2, a уравнения 3 + 2x − x2 = 0 числа −1 и 3. Поэтому данная
система эквивалентна системе
                          (x + 1)(x − 2) ≥ 0,
                          (x + 1)(x − 3) < 0.
Используя метод интервалов, находим, что первое неравенство вы-
полняется на лучах (−∞, −1] и [2, +∞), а второе            в интервале
(−1, 3). Общей частью этих трёх множеств является множество [2, 3),
которое и является областью определения данной функции;
                              5x − x2
    б) функция f (x) = lg              принимает действительные зна-
                                 4
                       2
                5x − x                  5x − x2
чения, если lg           ≥ 0, т.е. если          ≥ 1, или x2 − 5x + 4 =
                   4                       4
= (x − 1)(x − 4) ≤ 0. Решая последнее неравенство, находим, что об-
ластью определения является отрезок [1, 4].
    3.1.6. Найдите область определения следующих векторных
функций скалярного аргумента:             √         √
                   x2                       x−2+ 4−x
    а) f (x) =       1     , б) ϕ(x) =              x+1      .
                lg                           arccos
                   x+1                                4
    Решение. Чтобы найти область определения векторной функ-
ции, нужно найти области определения каждой координатной функ-
ции и взять их общую часть. В случае а) имеем: f1 (x) = x2 ,
              1
f2 (x) = lg      . Функция f1 (x) определена на всей числовой оси
            x+1
                                                        1
(−∞, +∞), а функция f2 (x) определена при                 >0, т.е. при
                                                     x+1


82              3. Методические указания (контрольная работа № 3)


x > −1 или в (−1, +∞). Этот луч и является областью определения
функции f (x).
                              √         √
    В случае б) f1 (x) = x − 2 + 4 − x. Эта функция определе-
                                                    x+1
на на отрезке [2, 4], функция f2 (x) = arccos              определена при
                                                      4
 x+1
          ≤ 1, т.е. |x + 1| ≤ 4 или −4 ≤ x + 1 ≤ 4. Получаем отрезок
    4
[−5, 3]. Этот отрезок с отрезком [2, 4] имеет общую часть [2, 3]. От-
резок [2, 3] является областью определения функции ϕ(x).
    3.1.7. Найдите область определения векторной функции вектор-
                                                         x + arcsin y
ного аргумента f : X ⊂ R2 → Y ⊂ R2 : f (x, y) = y + arcsin x .
    Решение. Область определения этой функции является
пересечением областей определения координатных функций
f1 (x, y) = x + arcsin y и f2 (x, y) = y + arcsin x. Первая из них опре-
делена в полосе −1 ≤ y ≤ 1, а вторая                в полосе −1 ≤ x ≤ 1.
Эти полосы пересекаются по замкнутому квадрату со сторонами
x = ±1 и y = ±1, который и является областью определения данной
функции.
    3.1.8. Функция f (x) определена на отрезке [2, 4]. Какова область
определения функций: а) f (8x2 ), б) f (x − 3)?
    Решение: а) функция f (8x2 ) является композицией функ-
ций u = 8x2 и f (u). Область значений функции u = 8x2 долж-
на входить в область определения функции f (u), поэтому
2 ≤ 8x2 ≤ 4, т.е. 1/4 ≤√2 ≤ 1/2. Отсюда следует, что множество
      √                     x
[−1/ 2, −1/2] ∪ [1/2, 1/ 2] является областью определения функ-
ции f (8x2 );
    б) функция f (x − 3) определена при всех x, удовлетворяющих
неравенству 2 ≤ x − 3 ≤ 4, т.е. на отрезке [5, 7].
                                                    1−x
    3.1.9. Докажите, что функция f1 (x) = lg               является нечёт-
                  x
                                                    1+x
                 3 +1
ной, f2 (x) = x x        чётна, а функция f3 (x) = 2x3 − x + 1 общего
                 3 −1
вида (не является ни чётной, ни нечётной).
    Решение.
                                       −1
                  1+x           1−x              1−x
    f1 (−x) = lg        = lg              = − lg        = −f1 (x);
                  1−x           1+x              1+x
                   3−x + 1        1/3x + 1        3x + 1
    f2 (−x) = −x −x         = −x      x−1
                                            = −x         =
                   3 −1           1/3             1 − 3x
         3x + 1
    =x x        = f2 (x), т.е. функция f1 (x) нечётна, а f2 (x) чётна;
         3 −1


3.1. Понятие функции. Область определения функции                   83


   f3 (−x) = −2x3 + x + 1. Видим, что f3 (x) = −f3 (−x) и
   f3 (−x) = f3 (x), т.е. функция f3 (x) общего вида.
   3.1.10. Докажите, что если f (x) периодическая функция с пе-
риодом T , то функция f (ax) также периодическая с периодом T /a.
   Действительно, f [a(x + T /a)] = f (ax + T ) = f (ax), т.е. T /a
один из периодов функции f (ax).
   3.1.11. Найдите период функции f (x) = cos2 x.
                                       1 + cos 2x
   Решение. Можем записать: cos2 x =              . Видим, что пе-
                                           2
                 2
риод функции cos x совпадает с периодом функции cos 2x. Так как
период функции cos x равен 2π, то согласно задаче 3.1.10 период
функции cos 2x равен π.

   Задачи для самостоятельного решения
   3.1.12. Пусть f (x) = x2 и ϕ(x) = 2x . Найдите:
   а) f [ϕ(x)], б) ϕ[f (x)].
                             2
   Ответы: а) 22x ; б) 2x .
   3.1.13. Найдите f (x + 1), если f (x − 1) = x2 .
   Ответ: x2 .
                                    1
   3.1.14. Дана функция f (x) =         . Найдите
                                  1−x
   ϕ(x) = f {f [f (x)]}.
   Ответ: x.
   3.1.15. Найдите области определения следующих функций:
             √                      2+x
   а) f (x) = x + 1; б) f (x) = lg      ;
             √                      2−x
   в) f (x) = 2 + x − x2 ; г) f (x) = arcsin(log2 x).
   Ответы: а) [−1, +∞); б) [−2, 2]; в) [−1, 2]; г) [1, 2].
   3.1.16. Постройте область определения следующих функций:
                                               √
   а) f (x, y) = log2 (x + y); б) f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ;
                         x2 + y 2                √
   в) f (x, y) = arcsin           ; г) f (x, y) = xy.
                            4
   3.1.17. Найдите область определения следующих функций:
                   1 − lg x                             3 − 2x
                                                            
                                                 arcsin
   а) f (x) =         1      ; б) f (x) = 
                                                    √      5   .
                  √
                    x2 − 4x                           3−x
   Ответы: а) [4, +∞); б) [−1, 3].


84              3. Методические указания (контрольная работа № 3)


  3.1.18. Найдите и постройте область определения следующих
функций:
                       4x − y 2                         x2 + 2x + y 2
  а) f (x, y) =           2     2    ; б) f (x, y) =                  .
                  lg(1 − x − y )                        x2 − 2x + y 2
  3.1.19. Докажите, что функции
                  2            2x + 2−x
  а) f1 (x) = 2−x и f2 (x) =                 чётные;
                                   2
                x     −x               x
               2 −2                   3 +1
  б) ϕ1 (x) =            и ϕ2 (x) = x            нечётные;
                    2                 3 −1
                                             2
  в) ψ1 (x) = sin x − cos x и ψ2 (x) = 2x−x       общего вида.
    3.1.20. Даны функции: а) y = sin2 x; б) y = sin x2 ;
                           1
в) y = 1 + tg x; г) y = sin . Какие из них являются периодическими?
                           x
    Ответ: а) и в).
                                              2x
    3.1.21. Докажите, что функция y =              имеет обратную, и
                                            1 + 2x
найдите её.              x
    Ответ: y = log2          .
                        1−x
    3.1.22. Докажите, что функция y = x2 − 2x имеет две обратных:
           √                   √
y1 = 1 + x + 1 и y2 = 1 − x + 1.
    3.1.23. Постройте графики следующих функций:
                x, если − ∞ < x < 1;
               
                   1     1
               
    а) f (x) =       x + , если 1 ≤ x ≤ 3;
                2       2
                   4, если 3 < x < +∞;
               

   б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|;
   г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x);
                t+5                     t+1
   е) f (t) = t − 7 ; ж) f (t) = t2 + 2t + 2 .
   3.1.24. Охарактеризуйте вид графика следующих функций:
   а) z = 1 − x2 − y 2 ; б) z = x2 + y 2 ;
   в) z = x2 + y 2 ; г) z = x2 − y 2 .
   3.1.25. Начертите линии уровня данных функций, придавая z
значения от −3 до +3 через 1: а) z = xy; б) z = y(x2 + 1).
   3.1.26. Постройте графики функций:
   а) y = 2 √  −3(x + 1) − 0,5 с помощью преобразования графика
функции y = x;
   б) y = 3 sin(2x − 4) с помощью преобразования графика функции
y = sin x.


3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б)                  85


   3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б)
   Предлагается изучить п. 1.5.2.
   3.2.1. Исходя из определения предела последовательности, дока-
                1
жите, что lim     = 0.
           n→∞ n

   Решение. Пусть Uε (0) любая ε-окрестность точки 0. Требуется,
согласно определению предела последовательности, найти окрест-
ность символа +∞ такую, что если n ∈ VM (+∞), т.е. n > M , то
                         1                1            1
должно выполняться          − 0 < ε, т.е.   < ε или n > . Видим, что
                         n                n            ε
                         1                         1    1
можно принять M = . Если выполнено n > , то               < ε. Это и
                         ε                         ε    n
                    1
означает, что lim     = 0.
             n→∞ n
   Теоремы о пределе суммы, произведения и частного, сформули-
рованные для функций непрерывного аргумента, переносятся и на
последовательности. Применяя результаты решения задачи 3.2.1 и
теорему о пределе произведения последовательностей, легко нахо-
               1             1       1
дим, что lim 2 = lim           · lim    = 0. Учитывая непрерывность
          n→∞ n       n→∞ n n→∞ n
                  λ
функции f (x) = x , λ > 0 и применяя теорему о пределе частного,
                1          1
получаем lim λ =                = 0 при λ > 0.
          n→∞ n        lim nλ
                     n→∞
    3.2.2. Найдите пределы следующих последовательностей:
            2n2 + 5n + 4          n2 − 2n + 3
    а) lim               ; б) lim 3            ;
       n→∞     n2 + 7         n→∞ n + 5n2 + 4
                                                  2
            n3 + 4n + 1            n4 + 2n3 + 3
    в) lim 2            ; г) lim                    .
       n→∞ n + n + 5         n→∞ 2n4 + 3n2 + 2
    Решение. В примерах а, б, в делим числитель и знаменатель на
старшую степень величины n. Получаем:
            2n2 + 5n + 4      ∞         2 + 5/n + 4/n2
    а) lim      2+7
                          =      = lim                 =2
       n→∞     n              ∞    n→∞      1 + 7/n2
(применили теорему о пределе частного, суммы и то, что
      5         4           7
 lim    = lim 2 = lim 2 = 0);
n→∞ n      n→∞ n      n→∞ n

            n2 − 2n + 3       ∞         1/n − 2/n2 + 3/n3
    б) lim 3              =      = lim                    = 0;
       n→∞ n + 5n2 + 4        ∞    n→∞    1 + 5/n + 4/n3


86             3. Методические указания (контрольная работа № 3)

               n3 + 4n + 1             1 + 4/n2 + 1/n3
     в) lim                   = lim                          =
        n→∞ n2 + n + 5          n→∞ 1/n + 1/n2 + 5/n3

                  4      1              1
= lim 1 + 2 + 3 ·                                     = 1 · ∞ = ∞;
   n→∞           n      n      1/n + 1/n2 + 5/n3
    г) учитывая непрерывность функции y = x2 , получаем
                            2                                      2
          n4 + 2n3 + 3             ∞                n4 + 2n3 + 3
 lim                          =       = lim                          =
n→∞ 2n4 + 3n2 + 2                  ∞        n→∞ 2n4 + 3n2 + 2
                                 2         2
             1 + 2/n + 3/n4            1         1
= lim                              =         = .
     n→∞ 2 + 3/n2 + 2/n4               2         4
    3.2.3. Найдите следующие пределы:
               √                             √
               3                              4
                 8n3 + 2n2 − 1                  n3 + 2n2
    а) lim                       ; б) lim                 .
        n→∞          n+3              n→∞       (n + 3)
                           √
                           3
                              8n3 + 2n2 − 1        ∞
    Решение. а) lim                           =         =
                    n→∞          n+3               ∞
    3
      (8n  3 + 2n2 − 1)/n3             3
                                          8 + 2/n − 1/n3
=                              = lim                         =2
           (n + 3)/n             n→∞         1 + 3/n
(поделили числитель и знаменатель на n, величину n подвели под
знак корня, применили теорему о пределе частного, использовали
                                √
непрерывность функции 3 u, применили теорему о пределе суммы);
                 √
                 4
                                                   √
                   n3 + 2n2        ∞             ( 4 n3 + 2n)/n
      б) lim                   =       = lim                     =
          n→∞      (n + 3)         ∞      n→∞       (n + 1)/n
                4
                   n3 /n4 + 2n/n4             4
                                                 1/n + 2/n3
      = lim                         = lim                     =0
         n→∞          1 + 1/n         n→∞        1 + 1/n
(обоснование всех операций сделать самостоятельно).
    3.2.4. Найдите следующие пределы:
               √                                 √           √
    а) lim ( n2 + 6n + 8 − n); б) lim ( 3 n3 + 1 − 3 n3 + 4).
       n→∞                        n→∞
   Решение этих примеров основано на применении формул
(a − b)(a + b) = a2 − b2 и (a3 − b3 ) = (a − b)(a2 + ab + b2 ):
             √
   а) lim ( n2 + 6n + 8 − n) = (∞ − ∞) =
       n→∞
             √                  √
           ( n2 + 6n + 8 − n)( n2 + 6n + 8 + n)
   = lim               √                             =
      n→∞               n2 + 6n + 8 + n
            n2 + 6n + 8 − n2                 (6n + 8)/n
   = lim √                     = lim √                          =
      n→∞     n2 + 6n + 8 + n    n→∞ ( n2 + 6n + 8 + n)/n

                   (6 + 8/n)               6
   = lim                              =        = 3;
      n→∞
                1 + 6/n + 8/n 2+1        1+1


3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б)                                       87

            √           √
   б) lim ( 3 n3 + 1 − 3 n3 + 4) =
       n→∞
                        √
                        3         3    √        3
                          n3 + 1 − 3 n3 + 4
   = lim 3                                                  =
      n→∞    (n3 + 1)2 + 3 (n3 + 1)(n3 + 4) + 3 (n3 + 4)2
                             n3 + 1 − n3 − 4
   = lim 3                                                  = 0.
      n→∞    (n3 + 1)2 + (n3 + 1)(n3 + 4) + 3 (n3 + 4)2
                           3


   В приведённых примерах мы имели неопределённость вида
∞ − ∞. При этом может получиться предел конечный, отличный
от нуля, равный нулю или бесконечный.
   3.2.5. Найдите:
                n2
                       
                                                  √
            n2 + 4                   n2           n
   а) lim      √        = lim
                         n→∞ n2 + 4        i+ √        j ;
      n→∞         n                           3 n+2
               √
              3 n+2
             2n       1 − 4n      n+5
   б) lim        i+           j+       k .
      n→∞ n + 1       2n + 1      n−6
   Решение: а) имеем векторную последовательность. Её пределом,
согласно теории, является вектор, координаты которого равны пре-
делам координатных последовательностей. Поэтому
                                           
             n2                      n2                     1    
         2+4                  lim 2                 lim
                                               n→∞ 1 + 4/n2 
    lim  n √n
                       n→∞ n + 4
                     =              √      =                 =
   n→∞                                 n                    1
                                                     lim       √
                                           
            √                  lim √
           3 n+2              n→∞ 3 n + 2           n→∞ 3 + 2/ n

        1            1
   = 1/3 = i + j;
                     3
   б) пусть дан вектор an = {xn , yn , zn }, тогда |an | =          x2 + yn + zn .
                                                                     n
                                                                          2    2

Учитывая, что функции f (x, y, z) =      x2 + y 2 + z 2 и ϕ(x) = x2 непре-
рывны, получаем, что lim |an | =        lim x2 + lim yn + lim zn .
                                             n
                                                      2        2
                           n→∞         n→∞                  n→∞     n→∞
                2n      1 − 4n    n+5
   Поэтому lim       i+        j+     k =
           n→∞ n + 1    2n + 1    n−6
                       2                    2                         2
              2n                   1 − 4n                   n+5
   =      lim              +     lim            +       lim               =
         n→∞ n + 1             n→∞ 2n + 1               n→∞ n − 6
                           2                        2                         2
                 2              1/n − 4                          1 + 5/n
   =      lim           + lim                           +     lim                 =
         n→∞ 1 + 1/n       n→∞ 2 + 1/n                       n→∞ 1 − 6/n
                        √
   =   22 + (−2)2 + 12 = 4 + 4 + 1 = 3.


88               3. Методические указания (контрольная работа № 3)


     Задачи для самостоятельного решения
   3.2.6. Исходя из определения предела последовательности, дока-
                     n+2                       1
жите, что: а) lim           = 1; б) lim            = 0.
                n→∞ n + 3             n→∞ n + 4

   3.2.7     3.2.9. Найдите следующие пределы, обосновывая каж-
дую операцию:
                   3n3 + 5n2 + n + 1                   (n + 4)(n + 5)
   3.2.7. а) lim        3 − 2n + 2
                                       ; б) lim                        ;
              n→∞     n                      n→∞ (n + 1)(n + 2)(n + 3)
                                                       3
            n4 + 2n2 + 4               n3 − 2n2 + 1
   в) lim 3               ; г) lim                       .
      n→∞ n + 5n + 3            n→∞        2n3 + 6
   Ответы: а) 3; б) 0; в) ∞; г) 1/8.
                    √
                    4
                                                   √
                      16n4 + 2n3 + 3                 2n + 5 − 2
   3.2.8. а) lim                       ; б) lim √                ;
        √
               n→∞
                    √      n+5               n→∞
                                             √       18n + 1 −√3
         4
           n5 + 2 − 3 n2 + 1                   n5 − 2n2 + 1 + 3 n4 + 1
в) lim √ 3
                    √         ; г) lim √ 4
                                                            √             .
  n→∞      n4 + 2 − n3 + 1        n→∞      n10 + 6n5 + 2 − 5 n7 + 3n3 + 1
   Ответы: а) 2; б) 1/3; в) 0; г) 1.
                   √             √               √                 √
   3.2.9. а) lim ( 3n + 5) − n); б) lim ( n2 + 3n + 1 − n2 + 1);
            √n→∞                √           n→∞
   в) lim ( 3 n3 + 4n2 + 1 − 3 n3 + 6n2 + 2);
       n→∞
     г) lim ( 3 (n + 1)2 −   3
                                 (n − 1)2 ).
       n→∞
     Ответы: а) ∞; б) 3/2; в) −2/3; г) 0.

     3.3. Предел функции (задачи 4, а, б)
   Рекомендуется изучить подразделы 1.4, 1.5.1, 1.5.2, 1.5.5 и 1.6.1.
Особенно хорошо надо освоить подраздел 1.4 и знать все типы
окрестностей, их обозначения и формы записи в виде неравенств.
   3.3.1. Используя теоремы о пределе произведения суммы и част-
ного, докажите, что: а) lim xn = xn ;
                                  0
                             x→x0
 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an ) =
     x→x0           x→x0
                          = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ;
                                0       0
           Pn (x)           a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an
 в) lim           = lim                                             =
      x→x0 Qm (x)    x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm
                                 n        n−1
                             a0 x0 + a1 x0 + . . . + an−1 x0 + an
                         =                                           ,
                            b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm
                                0        0
где n и m натуральные числа, ai и bi              константы,
b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm = 0, x0
    0       0                                        конечно.


3.3. Предел функции (задачи 4, а, б)                             89


   Решение: а) можем записать: lim xn = lim (x · x · · · · · x). Так
                                     x→x0       x→x0
как lim x = x0 , то по теореме о пределе произведения
      x→x0
              lim xn = lim x · lim x · · · · · lim x = xn ;
                                                        0
              x→x0      x→x0    x→x0         x→x0

    б) функция Pn (x) представляет собой сумму (1 + n) слага-
емых, каждое из которых имеет конечный предел, например,
 lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . Поэтому б) следует из теоремы
                                    0
n→∞          x→x0    x→x0
о пределе суммы;
    в) следует из теоремы о пределе частного, суммы и произведения.
    Функцию Pn (x) в задаче 3.3.1 называют многочленом или поли-
номом порядка n (если a0 = 0).
    3.3.2. Вычислите следующие пределы:
                               x2 + 2x − 3
а) lim (x2 + 3x + 4); б) lim 2             .
   x→2                   x→3 2x + 4x − 5
    Решение. На основе доказанного в задаче 3.3.1, б можем записать:
lim (x2 + 3x + 4) = 22 + 3 · 2 + 4 = 14;
x→2
           x2 + 2x − 3      32 + 2 · 3 − 3      12
        lim  2 + 4x − 5
                        =                    =     .
      x→3 2x              2 · 32 + 4 · 3 − 5    25
                             5x2 − 20x + 15
   3.3.3. Найдите A = lim 2                   .
                        x→1 3x − 15x + 12
   Решение. В данном случае применить теорему о пределе частно-
го невозможно, так как знаменатель обращается при x0 = 1 в нуль.
Заметим, что и числитель при x0 = 1 также обращается в нуль. По-
лучаем неопределённое выражение типа 0/0. Мы уже подчёркивали,
что в определении предела при x → x0 величина x значение x0 ни-
когда не принимает. В нашем примере x = 1, а потому x − 1 = 0.
Разлагая на множители числитель и знаменатель, получаем
                    5x2 − 20x + 15           5(x − 1)(x − 3)
           A = lim 2                 = lim                   .
                x→1 3x − 15x + 12        x→1 3(x − 1)(x − 4)

Поделим числитель и знаменатель на величину x − 1, отличную от
                       5(x − 3)    5(1 − 3)   10
нуля. Получим A = lim            =          =     .
                   x→1 3(x − 4)    3(1 − 4)    9
                              x3 + 5x2 + 3x − 9
   3.3.4. Найдите A = lim 3                      .
                      x→−3 x − 3x2 − 45x − 81
   Решение. Убеждаемся, что числитель и знаменатель в точке
x0 = −3 обращаются в нуль. По теореме Безу многочлены в чис-
лителе и знаменателе делятся на (x + 3). Выполняя это деление, по-
                  (x + 3)(x2 + 2x − 3)           (x2 + 2x − 3)
лучаем A = lim                          = lim
            x→−3 (x + 3)(x2 − 6x − 27)    x→−3 (x2 − 6x − 27)


90              3. Методические указания (контрольная работа № 3)


(числитель и знаменатель разделили на x + 3 = 0). Замечаем, что
числитель и знаменатель опять обращаются в нуль при x0 = −3. На-
                     (x + 3)(x − 1)          (x − 1)      −3 − 1    4   1
ходим A = lim                       = lim              =         =    = .
              x→−3 (x + 3)(x − 9)       x→−3 (x − 9)      −3 − 9   12   3
                                  2x + 4
     3.3.5. Найдите A = lim              .
                            x→∞ 3x + 5
     Решение. Поделим числитель и знаменатель на x. Получим A =
          2 + 4/x
= lim             . По теореме о пределе частного и суммы и учитывая,
   x→∞ 3 + 5/x
            4            5                             2 + 4/x   2
что lim       = 0, lim      = 0, находим A = lim               = .
      x→∞ x         x→∞ x                       x→∞ 3 + 5/x      3
                                   7x4 + 2x3 − 14
     3.3.6. Найдите A = lim                          .
                            x→∞ 5x4 + x3 + x2 − 1
     Решение. Поделив числитель и знаменатель на x4 , получим
               7 + 2/x − 14/x4
A = lim                              . Затем применяем теоремы о пре-
      x→∞ 5 + 1/x + 1/x2 − 1/x4
                                                                      2
деле суммы, произведения и частного. Учитывая, что lim                  = 0;
                                                                 x→∞ x
       14             1          1          1                            7
 lim       = 0; lim     = lim 2 = lim 4 = 0, получаем, что A = .
x→∞ x4          x→∞ x      x→∞ x       x→∞ x                             5
                                  x4 + 2x2 + 1
     3.3.7. Найдите A = lim 3                  .
                            x→∞ x + 4x + 2
     Решение. Поделим числитель и знаменатель на x4 . Получим
              1 + 2/x2 + 1/x4
A = lim                           = ∞, поскольку числитель стремится к
      x→∞ 1/x + 4/x3 + 2/2x4
единице, а знаменатель к нулю.
     В частных случаях, встречающихся довольно часто, функция
f (x) может быть определена во всей окрестности V (x0 ), включая и
x0 . Если при этом окажется, что lim f (x) существует и равен f (x0 ),
                                    x→x0
т.е. lim f (x) = f (x0 ), то функция называется непрерывной в точке
     x→x0
x0 .
     В задаче 3.3.1 мы доказали непрерывность многочлена. Доказано,
что все элементарные функции непрерывны в каждой внутренней
точке их области определения.
     В граничных точках возможна односторонняя непрерывность.
Эти точки подлежат дополнительному исследованию.
     Для непрерывных функций в точке x0 справедливы равенства:
 lim f (x) = f ( lim x) = f (x0 ),
x→x0           x→x0
       lim f [ϕ(x)] = f [ lim ϕ(x)] = f [ϕ( lim x)] = f [ϕ(x0 )],
       x→x0              x→x0               x→x0



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика