Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Дифференциальное исчисление: Учебное пособие

Голосов: 0

Пособие содержит теоретический материал по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению функций одной и многих переменных, а также методические указания, в которых рассмотрены примеры решения типовых задач. Теоретические положения дополнены двумя контрольными работами. Предусмотрен автоматизированный самоконтроль при наличии устройства "Символ". Для студентов заочной и дистанционной форм обучения. Подготовлено на кафедре высшей математики ТУСУР.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
      РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ



           Л.И. Магазинников,
           А.Л. Магазинников




Дифференциальное исчисление
            Учебное пособие




              Томск 2007


УДК
ББК

Рецензенты:
кафедра высшей математики Сибирского гос. мед. ун-та, зав. каф. д-р
физ.-мат. наук, проф. В.В. Свищенко.
Канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томского политех-
нического ун-та Е.Т. Ивлев.
Магазинников Л.И.,
Магазинников А.Л.
 Дифференциальное исчисление. Учебное пособие.       Томск: Томский
государственный университет систем управления и радиоэлектроники,
2007.   191 с.
ISBN
   Пособие содержит теоретический материал по введению в математический
анализ и дифференциальному исчислению функций одной и многих перемен-
ных, а также методические указания, в которых рассмотрены примеры решения
типовых задач. Теоретические положения дополнены двумя контрольными рабо-
тами. Предусмотрен автоматизированный самоконтроль при наличии устройства
“Символ”.
   Для студентов заочной и дистанционной форм обучения.


   Учебное издание
   Магазинников Леонид Иосифович,
   Магазинников Антон Леонидович
   Дифференциальное исчисление
   Редактор
   Технический редактор
   Корректор




ISBN                        c Л.И. Магазинников,
                              А.Л. Магазинников, 2007
                            c Томск. гос. ун-т систем управления
                               и радиоэлектроники, 2007


   Оглавление

   Введение                                                                                     6

1. Введение в математический анализ                                                             7
   1.1. Множества. Операции над множествами . . . . . . . . .                                   7
   1.2. Числовые множества. Границы числовых
        множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           8
   1.3. Функции или отображения . . . . . . . . . . . . . . . . .                               10
         1.3.1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .                             10
         1.3.2. Частные классы отображений . . . . . . . . . . .                                10
         1.3.3. Основные элементарные функции . . . . . . . .                                   12
         1.3.4. Суперпозиция (композиция)
                отображений. Сложная и обратная функции . .                                     13
   1.4. Системы окрестностей в R и Rn . . . . . . . . . . . . . .                               14
   1.5. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                            16
         1.5.1. Понятие предела функции . . . . . . . . . . . . .                               16
         1.5.2. Последовательность и её предел . . . . . . . . .                                20
         1.5.3. Определение предела функции на языке
                последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . .                             22
         1.5.4. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . .                               23
         1.5.5. Теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . .                            23
   1.6. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . . .                                 25
         1.6.1. Основные понятия и теоремы . . . . . . . . . . .                                25
         1.6.2. Классификация точек разрыва . . . . . . . . . .                                 28
   1.7. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . .                               29
         1.7.1. Первый замечательный предел . . . . . . . . . .                                 29
         1.7.2. Второй замечательный предел и его следствия .                                   30
   1.8. Бесконечно малые и бесконечно большие
        функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           33
         1.8.1. Теоремы о свойствах бесконечно малых функций                                    33
         1.8.2. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
                больших функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .                             34
         1.8.3. Свойства эквивалентных бесконечно малых
                функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           35

2. Дифференциальное исчисление                                                                  38
   2.1. Дифференцируемые отображения .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   38
   2.2. Строение производной матрицы . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
   2.3. Некоторые свойства производных .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   42
   2.4. Производная по направлению . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   46
   2.5. Производные высших порядков . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   48


4                                                                  Оглавление


    2.6. Функции, заданные параметрически,
          и их дифференцирование . . . . . . . . . . . . .         . . . . . 50
    2.7. Функции, заданные неявно,
          и их дифференцирование . . . . . . . . . . . . .         . . . . . 51
    2.8. Геометрический и механический смысл
          производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      . . . . . 53
    2.9. Уравнение касательной
          к кривой. Уравнения касательной
          плоскости и нормали к поверхности . . . . . .            .   .   .   .   .   54
    2.10. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . .           .   .   .   .   .   56
    2.11. Дифференциалы высших порядков . . . . . . .              .   .   .   .   .   58
    2.12. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   60
    2.13. Основные теоремы дифференциального
          исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     . . . . . 62
    2.14. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . .         . . . . . 64
    2.15. Условия постоянства функции. Условия
          монотонности функции . . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   66
    2.16. Экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   67
           2.16.1.Необходимые условия экстремума . . .             .   .   .   .   .   67
           2.16.2.Достаточные условия экстремума . . . .           .   .   .   .   .   68
           2.16.3.Отыскание наибольшего и наименьшего
                  значений функции . . . . . . . . . . . . .       . . . . . 71
    2.17. Выпуклость вверх и вниз графика
          функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      . . . . . 72
    2.18. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . .            . . . . . 74
    2.19. Общая схема исследования функции
          и построения графиков . . . . . . . . . . . . . .        . . . . . 75

3. Методические указания
   (контрольная работа № 3)                                                            80
   3.1. Понятие функции. Область определения
        функции (задачи 1 и 2) . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   80
   3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б) .           .   .   .   .   .   .   85
   3.3. Предел функции (задачи 4, а, б) . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   88
   3.4. Первый замечательный предел (задача 4, в)              .   .   .   .   .   .   94
   3.5. Второй замечательный предел (задача 4, г) .            .   .   .   .   .   .   97
   3.6. Следствия второго замечательного предела
        (задачи 4, д, е) . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . 101
   3.7. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
        больших функций (задача 5) . . . . . . . . .           . . . . . . 106
   3.8. Непрерывность функции. Классификация
        разрывов функции (задачи 6, а, б) . . . . . .          . . . . . . 114


Оглавление                                                               5


4. Методические указания
   (контрольная работа № 4)                                           118
   4.1. Техника дифференцирования функций
        одного аргумента (задачи 1, а, б, в) . . . .    . . . . . . . . 118
   4.2. Производная высших порядков функций
        одного аргумента (задачи 2 и 3) . . . . . .     . . . . . . . . 125
   4.3. Частные производные (задачи 4 и 5) . . .        . . . . . . . . 127
   4.4. Производная по направлению (задача 6) .         . . . . . . . . 133
   4.5. Производные параметрически заданных
        функций (задача 7) . . . . . . . . . . . . .    . . . . . . . . 136
   4.6. Дифференцирование функций, заданных
        неявно (задача 8) . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . 137
   4.7. Геометрический и механический смысл
        производной (задача 9) . . . . . . . . . . .    . . . . . . . . 141
   4.8. Дифференциал (задачи 10 и 11) . . . . . .       . . . . . . . . 147
   4.9. Экстремумы. Наибольшие и наименьшие
        значения функции (задачи 12 и 13) . . . .       . . . . . . . . 156
   4.10. Исследование функций и построение
        графиков (задача 14) . . . . . . . . . . . .    . . . . . . . . 165

5. Контрольные работы                                              166
   5.1. О самоконтроле при выполнении работ . . . . . . . . . 166
   5.2. Контрольная работа № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
   5.3. Контрольная работа № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

   Литература                                                         189

   Предметный указатель                                               190


   Введение
   Отличительной особенностью предлагаемого пособия является
тесное объединение идей линейной алгебры и дифференциального
исчисления, что позволяет добиться большой общности изложения,
приняв за исходное отображение Rn → Rm , рассматривая отображе-
ния R → R, Rn → R и R → Rn как частные случаи. Пособие состоит
из пяти глав. В первой главе рассматриваются основные понятия
математического анализа     предел и непрерывность   после пред-
варительного определения системы окрестностей точек на прямой,
плоскости и в пространстве.
   Во второй главе излагается дифференциальное исчисление для
функций одной и многих переменных. В качестве первоначальных
приняты понятия дифференцируемого отображения, дифференциа-
ла и производной матрицы. Изучается строение производной мат-
рицы в наиболее важных для приложения случаях. В эту же главу
включён традиционный материал исследования функций.
   Третья и четвёртая главы содержат методические указания, в ко-
торых подробно разобраны способы решения типовых задач по ма-
тематическому анализу с целью оказать помощь студентам в выпол-
нении контрольных работ, приведённых в пятой главе. Предусмот-
рена возможность автоматизированного самоконтроля при наличии
устройства “Символ” или его компьютерного аналога, разработан-
ных в Томском государственном университете систем управления и
радиоэлектроники.
   Пособие предназначено для студентов технических и экономиче-
ских специальностей заочной и дистанционной форм обучения.


   1. Введение в математический анализ
   1.1. Множества. Операции над множествами
   Для сокращения записей мы будем часто использовать следую-
щие символы (кванторы).
   Квантор общности ∀. Запись ∀x означает: всякий (любой) x.
   Квантор существования ∃. Запись ∃x означает: существует x.
   Понятие множества является первичным и определению не под-
лежит, его лишь можно пояснить примерами. Множество считается
заданным, если имеется правило, позволяющее установить относи-
тельно любого объекта, является ли он элементом этого множества
или нет. Множество можно задать либо перечислением всех его эле-
ментов, либо указанием свойства, которым обладают элементы этого
множества и не обладают объекты, не являющиеся его элементами.
Множества будем обозначать большими буквами латинского алфа-
вита: A, B, C, D, X, Y и т.д. Множество, не содержащее ни одного эле-
мента, называется пустым и обозначается ⊘. Запись a ∈ A означает,
что элемент a принадлежит множеству A. Если a не принадлежит
A, то пишут a ∈ A или x∈A. ¯
   Говорят, что множество A входит в B (пишут A ⊂ B), если для
∀a ∈ A → a ∈ B. В этом случае A называют подмножеством B.
   Множества A и B называются равными (A = B), если A ⊂ B и
B ⊂ A.
   Над множествами определим следующие операции.
   Объединением или суммой множеств A и B (обозначают A ∪ B,
A + B) называют множество C, состоящее из всех элементов мно-
жеств A и B, не содержащее никаких других элементов.
   Очевидно, A ∪ A = A. Операция объединения коммутативна:
A ∪ B = B ∪ A и ассоциативна (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
   Пересечением множеств A и B называется множество C (обозна-
чают C = A ∩ B), состоящее лишь из всех тех элементов, которые
принадлежат одновременно и A и B. Операция пересечения мно-
жеств обладает свойствами: A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
A ∩ A = A. Операции пересечения и объединения множеств связаны
распределительным законом A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
   Разностью множеств A и B называется множество A \ B, со-
держащее все те и только те элементы множества A, которые не
являются элементами множества B.
   Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называ-
ется множество A×B, элементами которого являются всевозможные
пары (a, b), где a ∈ A, b ∈ B. Аналогично можно определить прямое
произведение любого числа множеств.


8                                 1. Введение в математический анализ


   Пример. Пусть A = {1, 3, 4, 8}, B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}. Тогда
C = A + B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}, A ∩ B = {1, 4, 8}, A \ B = {3}.

    1.2. Числовые множества. Границы числовых
    множеств
   Вещественным (действительным) числом называется любая де-
сятичная дробь. Множество всех вещественных чисел будем обозна-
чать R. Подмножествами R являются:
   N    множество натуральных чисел 1, 2, . . .;
   Z    множество всех целых чисел (это десятичные дроби, все де-
сятичные знаки которых равны нулю);
   Q    множество рациональных чисел        множество всех перио-
дических десятичных дробей. Любое рациональное число r можно
                                                  m
представить как отношение двух целых чисел r = , n = 0.
                                                  n
   На множестве вещественных чисел введены операции сложения,
умножения и деления. Свойства этих операций изучены в средней
школе.
   Геометрически вещественные числа можно изображать точками
числовой оси. Доказано, что между множеством всех вещественных
чисел и всеми точками числовой оси можно установить взаимно од-
нозначное соответствие при выбранной единице масштаба.
   Напомним понятие модуля вещественного числа. Модуль веще-
ственного числа a обозначается |a| и определяется равенством
                                  a, если a > 0,
                       |a| =      0, если a = 0,
                                 −a, если a < 0.
    Модуль    числа    обладает       следующими свойствами: |a| ≥ a,
                                    a    |a|
|a + b| ≤ |a| + |b|, |ab| = |a||b|,    =      , b = 0, |x − y| ≥ ||x| − |y||.
                                    b     |b|
    Наиболее часто мы будем использовать следующие типы число-
вых множеств.
    Множество X чисел, удовлетворяющих неравенству a ≤ x ≤ b,
называется отрезком (сегментом), обозначается [a, b], a < x < b ин-
тервалом (a, b), a ≤ x < b полуинтервалом [a, b).
    Число c ∈ R называется верхней границей множества A ⊂ R, если
для всякого a ∈ A выполнено неравенство a ≤ c. Множество, имею-
щее верхнюю границу, называется ограниченным сверху.
    Аналогично определяется нижняя граница и ограниченность
снизу.
    Наименьшая из всех верхних границ множества A называется
точной верхней границей и обозначается sup A (супремум A). Наи-


1.2. Числовые множества. Границы числовых множеств                           9


большая из нижних границ множества A называется точной нижней
границей и обозначается inf A (инфимум A).
   Отметим без доказательства следующее свойство множества ве-
щественных чисел, называемое свойством непрерывности.
   Каждое ограниченное сверху (снизу) множество действительных
чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) границу.
   Кроме того, множество вещественных чисел обладает свойством
плотности, которое выражается в том, что между любыми двумя
неравными вещественными числами расположены другие веществен-
ные числа, как рациональные, так и нерациональные.
   Для обозначения неограниченных числовых множеств множество
вещественных чисел дополним символами +∞, −∞, ∞.
   Если множество A не ограничено сверху, то полагают
sup A = +∞, если оно не ограничено снизу, то полагают inf A = −∞.
Символ ∞ используют для обозначения неограниченности множе-
ства A и сверху и снизу. С символами +∞, −∞, ∞ нельзя обра-
щаться, как с числами. Операции над ними определены соотноше-
ниями: α + (±∞) = ±∞, ∀α ∈ R; α − (±∞) = ∓∞, ∀α ∈ R;
(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, α · (±∞) = ±∞, если
α > 0; α·(±∞) = ∓∞, если α < 0; (−∞)·(+∞) = (+∞)·(−∞) = −∞;
                                                  α       α
(−∞)·(−∞) = (+∞)·(+∞) = +∞; ∞·∞ = ∞.                 =        = 0, ∀α ∈ R.
                                                  ∞     ±∞
Операции (+∞) − (+∞), (+∞) + (−∞), 0 · (±∞), 0 · ∞ не определены.
   С помощью символов ±∞ обозначают неограниченные проме-
жутки:
              [a, +∞) = {x ∈ R, x ≥ a};
              (a, +∞) = {x ∈ R, x > a};
              (−∞, a] = {x ∈ R, x ≤ a};
              (−∞, a) = {x ∈ R, x < a};
              (−∞, +∞) = R.
   Заметим, что неравенство |x| > b определяет множество X, явля-
ющееся объединением двух множеств (−∞, −b) ∪ (b, +∞).
   Кроме числовых множеств, мы будем в нашем курсе также
использовать множества векторов (точек) из евклидова простран-
ства Rn , в котором выбрана некоторая декартова система коор-
динат. Элементы из Rn можно задать в виде упорядоченной со-
вокупности n вещественных чисел (α1 , α2 , . . . , αn ) и трактовать их
либо как точки x с координатами (α1 , α2 , . . . , αn ), либо как векто-
ры x = (α1 , α2 , . . . , αn ), причём |x| = (α1 )2 + (α2 )2 + . . . + (αn )2 .
Например, множество {(x, y) ⊂ R2 , x2 + y 2 < r2 } определяет все
точки, лежащие внутри окружности x2 + y 2 = r2 , а множество
{(x, y, z) ⊂ R3 , x2 + y 2 + z 2 < r2 } есть множество точек шара с
центром в начале координат радиусом r, множество {(x, y, z) ⊂ R3 ,


10                                1. Введение в математический анализ


a < x < b, c < y < d, e < z < f } определяет параллелепипед с
гранями, параллельными координатным плоскостям.

     1.3. Функции или отображения
     1.3.1. Понятие функции

     Пусть даны два множества X и Y . Говорят, что задано отобра-
жение множества X во множество Y , или, что то же самое, задана
функция на X со значениями в Y , если всякому x ∈ X по неко-
торому правилу f поставлен в соответствие элемент y ∈ Y . Пишут
              f
f : X → Y, x → y. Элемент y = f (x) называют образом элемента x
при отображении f . Элемент x также называют аргументом функ-
ции f (x). Множество X называется областью определения функции
              ˜
f , множество Y ⊆ Y всех тех y, которым соответствует хотя бы одно
значение x, называется областью значений функции f .
     Замечание. Если в определении функции f : X → Y каждому
x ∈ X ставится в соответствие единственный элемент y ∈ Y , то та-
кая функция называется однозначной или однолистной. В математи-
ке изучают и многозначные отображения, когда каждому элементу
x может соответствовать несколько значений y (и даже бесконечно
много). Мы в нашем курсе будем изучать лишь однозначные функ-
ции.
     1.3.2. Частные классы отображений

   В зависимости от строения множеств X и Y можно рассмотреть
четыре класса отображений.
   Класс 1. X ⊆ R, Y ⊆ R : y = f (x)         числовая функция одного
                                               √
числового аргумента, например, y = x2 , y = x, y = sin x и др. Такие
функции изучались в средней школе.
   Класс 2. X ⊆ Rn , Y ⊆ R : если x = (x1 , x2 , . . . , xn ), то
y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) числовая функция векторного аргумента,
или числовая функция многих скалярных переменных, например,
y = x2 + sin(x1 + x2 ).
      1
   Класс 3. X ⊆ R, Y ⊆ Rn             f : X ⊆ R → Y ⊆ Rn     вектор-
функция одной переменной, ставящая в соответствие каждому веще-
ственному числу x из X вектор y = f (x) из Rn , т.е. каждая коорди-
ната вектора f (x) есть скалярная функция скалярного аргумента x:
                  f (x) = [f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)]T .
   Функции класса 3 широко используются в физике для описа-
ния движения материальной точки M , координаты которой являют-



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика