Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: Конспект лекций (отдельные главы из учебника для вузов)

Голосов: 9

Рассмотрены вопросы математического моделирования и обработки результатов инженерного эксперимента. Изложение материала отличается простотой и наглядностью: приводится много примеров из различных областей современной металлургии. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям металлургического профиля, может быть полезно студентам других специальностей политехнических вузов.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
               6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

тронных таблиц Microsoft Excel FРАСПОБР. Для m1=(n-l)=(8-3)=5 и m2=n(m*-
1)=8(2-1)=8 значение F0,05;5;8=3,69 (FРАСПОБР(0,05;5;8)=3,69). Поскольку Fэксп<
Fтеор, то полученная модель адекватна.



                                   6.4. Планы второго порядка

         Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто ока-
зывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксима-
ция может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка
(6.7).

         В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее
чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит
слишком большое количество опытов, равное 3k. Так, при k=3 их 27, а число ко-
эффициентов b – 10, при k=5 число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с
этим осуществление ПФЭ для планов второго порядка не только сложно, но и
нецелесообразно.

         Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым ком-
позиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсо-
ном. Так, при двух факторах модель функции отклика y = f(x1,x2) второго поряд-
ка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д.,
описываемую в общем виде уравнением
   )                              2        2
   y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b11 x1 + b22 x2 + b12 x1 x2 .

         Для определения такой поверхности необходимо располагать координа-
тами не менее трех ее точек, т.е. факторы x1 и x2 должны варьироваться не ме-
нее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов x1 и
x2 на рис.6.3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4 ПФЭ 22, распола-
гающихся в вершинах квадрата, как это было для модели первого порядка. К
ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные
на осях x1 и x2 с координатами (±α;0), (0;±α) и обязательно опыт 9 в центре
квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалось
три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.


                                                        180


         6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

     a                                    б




                                              1                        2




             Рис. 6.3. Планы второго порядка при k=2:
             а — ортогональный; б — ротатабельный

      Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет
при k<5 ПФЭ 2k, а при k≥5 — дробную реплику от него. Если линейное уравне-
ние регрессии оказалось неадекватным, необходимо:

      1) добавить 2⋅k звездных точек, расположенных на координатных осях
факторного пространства (±α,0,0,...,0), (0,±α,0,...,0), ..., (0,0,...,±α), где α —
звездное плечо, или расстояние до звездной точки;

      2) провести n0 опытов при значениях факторов в центре плана.

      При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана
составит

 n=2k + 2⋅k +n0 при k<5,

 n=2k-1 + 2⋅k +n0 при k≥5.

      При этом величина звездного плеча α и число опытов в центре плана n0
зависит от выбранного вида композиционного плана.

      Композиционный план для k=2 и n0=1 представлен в табл.6.8.



                                                                Таблица 6.8
                    Композиционный план второго порядка
     Номер                       Факторы                         Результат
                                       181


               6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

         опыта                                  x0                  x1              x2         x1x2      x12   x22   yj
                               1                +1                  -1              -1          +1       +1    +1    y1
  Ядро                         2                +1                  +1              -1          -1       +1    +1    y2
  плана                        3                +1                  -1              +1          -1       +1    +1    y3
                               4                +1                  +1              +1          +1       +1    +1    y4
                               5                +1                  +α               0           0       α2     0    y5
  Звезд-                       6                +1                  -α               0           0       α2     0    y6
  ные                          7                +1                   0              +α           0        0    α2    y7
  точки                        8                +1                   0              -α           0        0    α2    y8
   Центр                       9
                                                +1                      0           0            0       0     0     y9
  плана

              Аналогичным образом составляются планы и для большего числа фак-
торов.


                                      6.4.1. Ортогональные планы второго порядка


          В общем виде план, представленный в табл.6.8, неортогонален, так как
  n                                n

 ∑x                               ∑x
                2                                    2          2
         0j   xij ≠ 0;                          ij       xuj ≠ 0, i ≠ u .                                                 (6.26)
  j =1                             j =1


          Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые перемен-
ные (преобразования для квадратичных эффектов):
                           n

                           ∑x
                                            2
                                      i j
                2          j =1                                 2       2
 xi' j = xi j −                                  = xi j − x i .
                                  n
                     n                                   n                          n

                    ∑ x 0 j x i j = ∑ ( x i j − x i ) = ∑ x i j − n x i = 0.
                                            '                       2           2          2         2
При этом
                    j =1                                 j =1                       j =1


Тогда уравнение регрессии будет записано как
            k                               k                               k
  )
  y = b0 '+ ∑ bi xi +                   ∑b               i u x i x u + ∑ bi i ' x i '.
                i =1                    i ,u =1                         i =1


          Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звезд-
ное плечо α. В табл. 6.9 приведено значение α для различного числа факторов
k и числа опытов в центре плана n0.
                                                                                                                     Таблица 6.9
         Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка

                                                                                           182


          6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

   Число опытов                      Звездное плечо α при различном числе факторов k
     в центре
     плана n0                        k=2                               k=3                             k=4                  k=5 *
         1                          1,000                             1,215                           1,414                 1,546
         2                          1,077                             1,285                           1,471                 1,606
         3                          1,148                             1,353                           1,546                 1,664
         4                          1,214                             1,414                           1,606                 1,718
         5                          1,267                             1,471                           1,664                 1,772
         6                          1,320                             1,525                           1,718                 1,819
         7                          1,369                             1,575                           1,772                 1,868
         8                          1,414                             1,623                           1,819                 1,913
         9                          1,454                             1,668                           1,868                 1,957
        10                          1,498                             1,711                           1,913                 2,000
      *) В ядре полуреплики


      В частности, ортогональный план второго порядка для k=2 и n0=1 пред-
ставлен в табл. 6.10, а его геометрическая интерпретация – на рис. 6.3, а.
      Представленный на рис.6.3, а и в табл. 6.10 прямоугольный (квадратный)
план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и не-
сколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодаря
трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и
оценить их характер.
                                                                                                                      Таблица 6.10
                                 Ортогональный план второго порядка
   Номер                                                     Факторы                                                         Резуль-
                                                                                                             ’
   опыта                    x0        x1                    x2   x1x2                                  x1             x2’     тат yj
          1                 +1        -1                    -1    +1                                  +1/3           +1/3       y1
   Ядро 2                   +1        +1                    -1    -1                                  +1/3           +1/3       y2
    плана 3                 +1        -1                    +1    -1                                  +1/3           +1/3       y3
          4                 +1        +1                    +1    +1                                  +1/3           +1/3       y4
          5                 +1       α=+1                    0    0                                   +1/3           -2/3       y5
   Звезд- 6                 +1       α=-1                    0    0                                   +1/3           -2/3       y6
   Ные    7                 +1         0                   α=+1   0                                   -2/3           +1/3       y7
   точки 8                  +1         0                   α=-1   0                                   -2/3           +1/3       y8
   Центр 9
                            +1           0                     0                         0            -2/3           -2/3      y9
    плана
                                                               9


                                                      2
                                                               ∑x
                                                               j =1
                                                                          ij
                                                                               2

                                                                                         2 2
      В этой таблице x'i j = xi j −                                                = xi j − .
                                                                      9                    3

      В силу ортогональности матрицы планирования все коэффициенты

          n                              n                                           n

          ∑x
          j =1
                  ij   yj                ∑x
                                         j =1
                                                 ij   '⋅ y j                        ∑
                                                                               183 ( xi j xu j ) y j
                                                                                     j =1
   bi =       n
                            ; bi i ' =       n
                                                               ; bi u =                  n
                                                                                                                 .            (6.27)
          ∑x                             ∑ x'                                        ∑ (x
                        2                                  2
                   ij                                 ij                                     ij   xi u ) 2
           j =1                           j =1                                        j =1


           6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

уравнения регрессии b определяются независимо один от другого по формулам

Здесь i – номер столбца в матрице планирования; j – номер строки; суммы в
знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодей-
ствий.

         Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие:
                       n                                            n                                     n
     2
                       ∑x            2              2
                                                                ∑x               2
                                                                                                          ∑ (x
                                                                                            2
 S bi = S 2 восп                ij       ; S ' bii = S 2 восп           '
                                                                            ij       ; S biu = S 2 восп          ij   x u j )2 .   (6.28)
                       j=1                                      j=1                                       j=1


         Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, полу-
чаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с
разной точностью (см. уравнение (6.28)), в то время как ортогональные планы
первого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов, т.е. план,
представленный в табл. 6.10, являющийся ортогональным и обеспечивающий
независимость определения коэффициентов b, не является ротатабельным.

         В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для
квадратичных эффектов получим уравнение регрессии в виде
            k         k              k
  )
  y = b0 '+ ∑ bi xi + ∑ bi u xi xu + ∑ bi i ' ( xi − x i ).
                                                  2     2
                                                                                                                                   (6.29)
            i =1               i ,u =1                  i =1


         Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэф-
фициента b0’ к коэффициенту b0, используя выражение
              k
 b0 = b0 '−∑ b'i i x i .
                               2
                                                                                                                                   (6.30)
             i =1


         При этом дисперсия этого коэффициента рассчитывается по следующе-
му соотношению:
                           k
 S b 0 = S b '0 + ∑ x i ⋅S b 'ii .
     2             2                   2        2
                                                                                                                                   (6.31)
                        i =1


         В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значи-
мость коэффициентов и адекватность уравнения:



           k                       k                     k
  )
  y = b0 + ∑ bi xi +            ∑ biu xi xu + ∑ bii xi .
                                                                2
                                                                                                                                   (6.32)
            i =1                i ,u =1                 i =1


                                                                            184


             6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ



           Значимость       коэффициентов        проверяется    по   критерию    Стьюдента
t i = bi    S bi . Коэффициент значим, если t i > t α, m , где m – число степеней сво-

боды дисперсии воспроизводимости.

           Адекватность         уравнения      проверяется      по    критерию     Фишера

F = S ад S 2
      2
           восп . Уравнение адекватно, если составленное таким образом F-
отношение меньше теоретического: F < Fα; m1; m2 , где m1=n-l – число степеней

свободы дисперсии адекватности; m2 – число степеней свободы дисперсии
воспроизводимости; l – число коэффициентов в уравнении регрессии второго
порядка, равное числу сочетаний из k+2 по 2, т.е.

       (k + 2)(k + 1)
  l=                  .                                                          (6.32а)
             2

                     6.4.2. Ротатабельные планы второго порядка


           Как мы установили, план второго порядка, представленный в табл.6.10,
не обладает свойством ротатабельности. Ротатабельным называют планиро-
                                                            )
вание, для которого дисперсия отклика (выходного параметра) y , предсказан-
ного уравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равном
расстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее не известно,
где находится та часть поверхности отклика, которая представляет для него
особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество инфор-
мации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинаково для всех равно-
отстоящих от центра эксперимента точек. Действительно, удаление от центра
точек 5,6,7,8 в           2 =1,414 раза меньше, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 (см. рис.
6.3, а), и, следовательно коэффициенты уравнения регрессии определяются с
различной дисперсией. Бокс и Хантер предложили ротатабельные планы 2-го
порядка. Для того чтобы композиционный план был ротатабельным, величину
звездного плеча α выбирают из условия
                      k
                                               k −1
              α =2    4
                           при k<5 и    α =2    4
                                                      при k≥5                    (6.32б)
или в общем случае

                                                 185


          6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

                  k− p
           α =2    4
                         ,

где k – число факторов; р – дробность реплики (для ПФЭ р=0, для полуреплики
р=1, для четвертьреплики р=2 и т.д.).
      Число точек в центре плана n0 увеличивают. В табл. 6.11 приведены зна-
чения α и n0 для различного числа независимых факторов.
                                                                        Таблица 6.11
 Значения звездных плеч и числа точек в центре ротатабельных планов
Параметр                  Значения параметров при числе независимых факторов
плана                    2      3      4   5      6      6     6     7       7
Ядро плана               22     23    24   25    25-1   26    26-1   27    27-1
Звездное
                    1,414      1,682   2,00 2,378 2,00   2,828      2,378    3,333      2,828
плечо
Число точек в
                         5       6      7     10    6         15        9      21       14
центре плана n0

      Поясним идею выбора значения звездного плеча α на примере матрицы
ротатабельного планирования второго порядка для k=2, представленной в
табл. 6.12.
      Размещение точек этого плана показано на рис. 6.3,б. Для обеспечения
ротатабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на
расстояние α в    2 =1,414 раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осей х2
и х1. В результате этого все точки плана (табл. 6.12) оказываются лежащими на
окружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика слу-
чайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а
несколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усред-
нения полученных результатов и для осуществления статистического анализа
результатов всего эксперимента в целом.
                                                                        Таблица 6.12
                  Ротатабельный план второго порядка

    Номер                              Факторы                              Результат
                                                          2         2
    опыта         x0           x1        x2  x1x2        x1        x2           yj
              1   +1           -1        -1   +1         +1        +1           y1
 Ядро         2   +1           +1        -1   -1         +1        +1           y2
 плана        3   +1           -1       +1    -1         +1        +1           y3
              4   +1           +1       +1    +1         +1        +1           y4
 Звезд-       5   +1         +1,414       0    0          2         0           y5

                                            186


         6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

 ные             6       +1                       -1,414      0             0          2   0   y6
 точки           7       +1                          0     +1,414           0          0   2   y7
                 8       +1                          0     -1,414           0          0   2   y8
                 9       +1                          0        0             0          0   0   y9
 Центр          10       +1                          0        0             0          0   0   y10
 плана          11       +1                          0        0             0          0   0   y11
                12       +1                          0        0             0          0   0   y12
                13       +1                          0        0             0          0   0   y13

      Учитывая специфический характер ротатабельного плана в общем виде,
можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения рег-
рессии и их дисперсий:

               A⎡ 2                      k
                                               ⎤
      b0 =      ⎢ 2λ (k + 2)(oy ) − 2λc∑ (iiy )⎥;                                              (I)
               n⎣                      i =1    ⎦

      b i = (c / n )(iy );                                                                     (II)

               A⎡ 2                                        k
                                                                            ⎤
      bii =     ⎢ c [(k + 2)λ − k ] (iiy ) + c 2 (1 − λ )∑ (iiy ) − 2λc(oy )⎥;                 (III)
               n⎣                                        i =1               ⎦

                c2
      b iu =       (iuy );                                                                     (IV)
                nλ

                2Aλ2 (k + 2) 2
      S20 =
       b                    Sвосп ;                                                            (V)
                     n


      S 2ii =
                     (
                A[ k + 1)λ − (k − 1)c 2 ] 2
                                         S восп ;
                                                       )                                       (VI)
        b
                           n

                c2 2
      S2iu =
       b           Sвосп ,                                                                     (VII)
                λn
                               n                                         n
      где         (oy ) = ∑ x 0 j y j ;                       (iuy ) = ∑ x ij x uj y j ;       (VIII)
                               j=1                                       j=1


                               n                                        n
                  (iy ) = ∑ x ij y j ;                        (iiy ) = ∑ x ij2 y j ;           (IX)
                             j=1                                        j=1


                               n                                           1
                  C=                          ;               A=                       ;       (X)
                         n
                                                                    2λ[(k + 2 )λ − k ]
                         ∑x
                                          2
                                     ij
                         j=1




                                                              187


                 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

                              nk       k (n1 + n 0 )
                      λ=             =               .                  (XI)
                           (k + 2) n1 (k + 2) n1
        Здесь n0 – число опытов в центре плана; n1 – число остальных опытов.

        Матрица ротатабельного планирования, оказывается неортогональной,
так как
   n                          n

  ∑ x 0 j ⋅ x uj ≠ 0;      ∑x
                  2                      2       2
                                    ij       ⋅ x uj ≠ 0; i ≠ u.         (6.33)
  j=1                       j=1


        Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался
незначимым, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии не-
обходимо пересчитать заново.

        При использовании ротатабельных планов второго порядка дисперсию
воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с
этим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по ротата-
бельному плану второго порядка, поступают следующим образом.

        Находят остаточную сумму квадратов
        n
                  )
  S12 = ∑ ( y j − y j ) 2                                               (6.34)
          j =1


с числом степеней свободы

                          (k + 2)(k + 1)
  m1 = n − l = n −                       .
                                2

        По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводи-
мости
        n0            −
 S2 = ∑ ( y 0 j − y 0 j ) 2
  2                                                                     (6.35)
        j=1


с числом степеней свободы m2 = n0 -1.

        Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность

S32 = S12 - S22 , число степеней свободы которой

                                  (k + 2)(k + 1)
  m3 = m1 − m2 = n −                             − (n0 − 1).
                                        2


                                                                  188


           6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

         Проверяют адекватность по F-критерию:

        2
       S3 / m 3
    F=          .                                                             (6.36)
       S2 / m 2
        2

         Уравнение адекватно, если F<Fα;m3;m2.

         Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повто-
рить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или пере-
нести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, ко-
гда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти
к планам третьего порядка.



               6.4.3. Исследование причин образования расслоений
                              в горячекатаных листах

         В качестве примера планирования эксперимента второго порядка рас-
смотрим задачу исследования причин образования расслоений в горячеката-
ных листах (за основу числового материала взяты данные из книги1).

         Известно, что при прокатке листов толщиной более 12 мм появление
брака связано большей частью с дефектами, унаследованными от слитка. Наи-
более серьезными дефектами толстого листа являются расслоения, трещины и
рванины.

         Существует достаточно тесная связь между некоторыми параметрами
выплавки стали и пораженностью листов расслоениями. По результатам ульт-
развуковой дефектоскопии было установлено, что на пораженность листов рас-
слоениями (которая количественно может быть выражена в относительных
единицах по площади расслоений, отнесенной к площади всего раската – Y, %)
наиболее существенно влияют такие два фактора, как скорость выгорания уг-
лерода в период рудного кипения – x1, %/ч, и время разливки стали – x2, мин.

         Уровни варьирования факторов представлены в табл. 6.13.

                                                                Таблица 6.13


1
 Паршин В.А, Зудов Е.Г., Колмогоров В.Л. Деформируемость и качество. – М.:Металлургия,
1979.
                                           189



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика