Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Решение алгебраических уравнений: Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

Голосов: 3

Учебно-методическое пособие для подготовки школьников к экзаменам, разработанное в Учебном центре "Резольвента". В пособии рассмотрены следующие вопросы: 1. Решение простейших рациональных уравнений; 2. Область определения рационального уравнения; 3. Решение простейших иррациональных уравнений; 4. Область определения иррационального уравнения; 5. Рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным при помощи замены переменной; 6. Иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным при помощи замены переменной; 7. Метод уединения радикала. Приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. &nbsp; <a href="http://window.edu.ru/window/library?p_mode=1&p_qprovider=314&p_rubr=2.1.11" target="_blank">Пособия Учебного центра "Резольвента" для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ->></a>

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

              Учебный центр «Резольвента»

          Кандидат физико-математических наук, доцент


                              С. С. САМАРОВА


      РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


          Учебно-методическое пособие для подготовки к
                          ЕГЭ и ГИА по математике


                                                               © С. С. Самарова, 2010
                                                       © ООО «Резольвента», 2010


    Пример 1. Решить уравнение
                               3    2x −1     2x + 1
                                  −       = 2        .                            (1)
                             x + 2 x + 1 x + 3x + 2
    Решение. Разложим на множители квадратный трехчлен, стоящий в зна-
менателе дроби из правой части уравнения. Для этого сначала нужно найти
корни квадратного трехчлена:

                                     −3 ± 32 − 4 ⋅ 2 −3 ± 1
        x 2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ x1,2 =                  =       ⇔ x1 = −2, x2 = −1.
                                          2            2
Следовательно,
                               x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1)( x + 2 )
и уравнение (1) принимает форму
                               3    2x −1     2x + 1
                                  −       =                .                      (2)
                             x + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 2 )
 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 1


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнений (1) и (2) имеет вид:
                                       { x ≠ −1, x ≠ −2}.
Умножая обе части уравнения (2) на выражение
                                         ( x + 1)( x + 2 ) ,
и, производя необходимые сокращения, получаем:
     3 ( x + 1) − ( 2 x − 1)( x + 2 ) = 2 x + 1 ⇔ 3 x + 3 − ( 2 x 2 − x + 4 x − 2 ) = 2 x + 1 ⇔
             ⇔ 3 x + 3 − 2 x 2 + x − 4 x + 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ −2 x 2 − 2 x + 4 = 0 ⇔
                                 −1 ± 12 + 4 ⋅ 2 −1 ± 3
        ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =
               2
                                                =       ⇔ x1 = −2, x2 = 1.
                                      2            2
Корень x1 = −2 не входит в ОДЗ и должен быть отброшен.
    Ответ: 1.
    Пример 2. Решить уравнение
                                x−3        x2 + 4x + 9
                                         +             = −2                                       (3)
                             x2 + 4x + 9      x−3
    Решение. В результате замены переменного
                                          x−3
                                                   = y,
                                        x + 4x + 9
                                          2


совершенной в уравнении (3), получаем:
                          1
                     y+     = −2 ⇒ y 2 + 1 = −2 y ⇔ y 2 + 2 y + 1 = 0 ⇔
                          y
                                  ⇔ ( y + 1) = 0 ⇔ y = −1.
                                              2



Следовательно,
          x−3
                   = −1 ⇒ x − 3 = − ( x 2 + 4 x + 9 ) ⇔ x 2 + 4 x + 9 + x − 3 = 0 ⇔
        x + 4x + 9
         2


                       ⇔ x 2 + 5 x + 6 = 0 ⇔ x1 = −3, x2 = −2.
Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному
уравнению (3).
    Ответ: −3, − 2.



 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 2


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

    Пример 3. Решить уравнение

                       2 x 2 + 3x − 5 2 x 2 + 3x + 9 + 3 = 0                 (4)
    Решение. Уравнение (4) проще всего решить при помощи замены пере-
менного

                                     2 x 2 + 3x + 9 = y .                    (5)
В этом случае
                                    2 x 2 + 3x + 9 = y 2
и уравнение (3) принимает вид
                       y2 − 9 − 5 y + 3 = 0 ⇔ y2 − 5 y − 6 = 0 ⇔
                          5 ± 52 + 4 ⋅ 6 5 ± 7
                 ⇔ y1,2 =               =      ⇔ y1 = −1, y2 = 6.
                               2           2
В силу того, что переменная y , определенная по формуле (5), является неотри-
цательным числом, значение y1 = −1 должно быть отброшено. Следовательно,

           y = 6 ⇒ 2 x 2 + 3 x + 9 = y 2 = 36 ⇔ 2 x 2 + 3 x + 9 − 36 = 0 ⇔
                                          −3 ± 15           18      9
          ⇔ 2 x 2 + 3 x − 27 = 0 ⇔ x1,2 =         ⇔ x1 = − = − , x2 = 3.
                                             4               4      2
            9
    Ответ: − ,    3.
            2
    Пример 4. Решить уравнение
                                    x    3 x
                                       −       =1                            (5)
                                   1− x 2 1− x
    Решение. Уравнение (5) проще всего решить при помощи замены пере-
менного
                                          x
                                              = y.                           (6)
                                         1− x
В этом случае
                                         x
                                             = y2
                                        1− x
и уравнение (5) принимает вид

 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 3


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

                              3
                        y2 −    y − 1 = 0 ⇔ 2 y2 − 3y − 2 = 0 ⇔
                              2
                            3 ± 25 3 ± 5               2     1
                   ⇔ y1,2 =           =     ⇔ y1 = − = − , y2 = 2.
                                4         4            4     2
В силу того, что переменная y , определенная по формуле (6), является неотри-
                                            1
цательным числом, значение y1 = −             должно быть отброшено. Следовательно,
                                            2
                    x               x                                   4
          y=2 ⇒         = y2 = 4 ⇔      = 4 ⇒ x = 4 − 4 x ⇔ 5x = 4 ⇔ x = .
                   1− x            1− x                                 5
             4
    Ответ:     .
             5
    Пример 5. Решить уравнение

                                                       24
                                 ( x + 2)        +          = 18
                                             2
                                                                                 (7)
                                                     x + 4x
                                                      2



    Решение. Уравнение (7) проще всего решить при помощи замены пере-
менного
                                                 x2 + 4x = y .                   (8)
В этом случае

                            ( x + 2)       = x2 + 4x + 4 = y + 4 ,
                                       2



и уравнение (7) принимает вид

                      24             24
              y+4+       = 18 ⇔ y +      − 14 = 0 ⇔ y 2 − 14 y + 24 = 0 ⇔
                       y              y
                                   14 ± 10
                          ⇔ y1,2 =          ⇔ y1 = 2, y2 = 12.
                                      2

При y1 = 2 из формулы (8) получаем

                                                 −4 ± 24
           x 2 + 4 x = 2 ⇔ x 2 + 4 x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =    = −2 ± 6 ⇔
                                                     2
                            ⇔ x1 = −2 − 6, x2 = −2 + 6.
При y2 = 12 из формулы (8) получаем


 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 4


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

                                                         −4 ± 8
          x 2 + 4 x = 12 ⇔ x 2 + 4 x − 12 = 0 ⇔ x3,4 =          ⇔ x3 = −6, x4 = 2.
                                                           2
    Ответ: −2 − 6; − 2 + 6; − 6;              2
    Пример 6. Решить уравнение
                                       5− x = x−3                                         (9)
    Решение. Заметив, предварительно, что правая часть уравнения (9) должна
быть неотрицательным числом и ОДЗ уравнения имеет вид:
                                           x ≥ 3,                                        (10)
возведем обе части уравнения в квадрат:
                  5 − x = x − 3 ⇒ 5 − x = x2 − 6x + 9 ⇒ x2 − 5x + 4 = 0 ⇒
                                     ⇒ x1 = 1, x2 = 4.
В силу (10) случай x1 = 1 должен быть отброшен. Простая проверка показывает,
что значение x2 = 4 является корнем исходного уравнения.
    Ответ: 4 .
    Пример 7. Решить уравнение
                                    x+5
                                           = x+2                                         (11)
                                    3x − 1
    Решение. Заметив, предварительно, что оба подкоренных выражения в
уравнении (9) должны быть неотрицательными числами, возведем обе части
уравнения в квадрат:
              x+5                  x+5
                      = x+2⇒               = x + 2 ⇒ x + 5 = ( x + 2 )( 3 x − 1) ⇔
             3x − 1               3x − 1
                                                               −4 ± 10             7
  ⇔ x + 5 = 3 x 2 + 6 x − x − 2 ⇔ 3 x 2 + 4 x − 7 = 0 ⇔ x1,2 =           ⇔ x1 = − , x2 = 1.
                                                                  6                3
                  7
Значение x1 = −     должно быть отброшено, поскольку в этом случае подкорен-
                  3
ное выражение из правой части уравнения (11) отрицательно. Простая провер-
ка показывает, что значение x2 = 1 является корнем исходного уравнения.
    Ответ: 1 .


  ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 5


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

    Пример 8. Решить уравнение

                                            7 x2 + x
                                       2x +          = 0.                                      (12)
                                              x +1
    Решение. Переписывая уравнение (12) в виде

                                          7 x2 + x
                                                   = −2 x ,                                    (13)
                                            x +1
заметим, что правая часть уравнения (13) должна быть неотрицательной, т.е.
должно выполняться неравенство
                                        −2 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 .                                     (14)
Также, в силу запрета деления на нуль, должно выполняться соотношение
                                              x ≠ −1 .                                         (15)
Для того, чтобы найти корни уравнения (13), возведем обе его части в квадрат:
         7 x2 + x
                    = 4 x 2 ⇒ 7 x 2 + x = 4 x 2 ( x + 1) ⇔ 4 x 2 ( x + 1) − 7 x 2 − x = 0 ⇔
            x +1
  ⇔ x  4 x ( x + 1) − 7 x − 1 = 0 ⇔ x  4 x 2 + 4 x − 7 x − 1 = 0 ⇔ x ( 4 x 2 − 3 x − 1) = 0 ⇔
                                                             
                                                          3±5                 1
         ⇔ x = 0 ∪ 4 x 2 − 3 x − 1 = 0 ⇔ x1 = 0, x2,3 =       ⇔ x1 = 0, x2 = − , x3 = 1.
                                                           8                  4
В соответствии с (14) значение x3 = 1 должно быть отброшено. Простая провер-
                                                   1
ка показывает, что значения x1 = 0, x2 = −           являются корнями исходного урав-
                                                   4
нения.
               1
    Ответ: 0; − .
               4
    Пример 9. Решить уравнение
                                           1     1  2
                                               −   = .                                         (16)
                                          x −2    x 3
    Решение. В результате замены переменного
                                           x = y, y ≥ 0,                                       (17)
совершенной в уравнении (16), получаем:



  ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 6


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

   1  1 2  3 y − 3( y − 2 ) − 2 y ( y − 2 )
     − = ⇔                                  = 0 ⇒ 3 y − 3( y − 2) − 2 y ( y − 2) = 0 ⇔
  y−2 y 3           3y ( y − 2)
       ⇔ 3 y − 3 y + 6 − 2 y 2 + 4 y = 0 ⇔ −2 y 2 + 4 y + 6 = 0 ⇔ y 2 − 2 y − 3 = 0 ⇔
                                       2±4
                            ⇔ y1,2 =       ⇔ y1 = −1, y2 = 3.
                                        2
В силу (17) значение y1 = −1 должно быть отброшено. Для значения y2 = 3 по-
лучаем:
                                        x = 3, x = 9.
Простая проверка показывает, что найденное значение является корнем исход-
ного уравнения.
    Ответ: 9 .
    Пример 10. Решить уравнение

                               4 + x 26 − x 2 = x − 2 .                                 (18)
    Решение. Сначала заметим, что правая часть уравнения (18) должна быть
неотрицательной, т.е. должно выполняться неравенство
                                    x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.                                  (19)
Теперь возведем обе части уравнения (18) в квадрат:

  4 + x 26 − x 2 = x − 2 ⇒ 4 + x 26 − x 2 = ( x − 2 ) ⇔ 4 + x 26 − x 2 = x 2 − 4 x + 4 ⇔
                                                        2



  ⇔ x 26 − x 2 = x 2 − 4 x ⇔ x 26 − x 2 − x 2 + 4 x = 0 ⇔ x   (                     )
                                                                   26 − x 2 − x + 4 = 0 ⇔

             ⇔ x1 = 0 ∪ 26 − x 2 − x + 4 = 0 ⇔ x1 = 0 ∪ 26 − x 2 = x − 4.
Остается решить уравнение

                                       26 − x 2 = x − 4.                                (20)
Правая часть уравнения (20) должна быть неотрицательной, т.е. должно выпол-
няться неравенство
                                    x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4.                                  (21)
Возводя обе части уравнения (20) в квадрат, получим:

            26 − x 2 = x − 4 ⇒ 26 − x 2 = x 2 − 8 x + 16 ⇔ 2 x 2 − 8 x − 10 = 0 ⇔
                          ⇔ x 2 − 4 x − 5 = 0 ⇔ x2 = −1, x3 = 5.

  ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 7


     ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

     Итак, мы нашли три значения:
                                         x1 = 0, x2 = −1, x3 = 5.
     В силу (19) и (21), значения x1 и x2 должны быть отброшены. Простая проверка
     показывает, что значение x3 = 5 является корнем исходного уравнения.
         Ответ: 5 .
         Пример 11. Решить уравнение
                                          3 x + 10 − x + 2 = 2. .                              (22)
         Решение. Возводя обе части уравнения (22) в квадрат, получим
                 3 x + 10 − x + 2 = 2 ⇒ 3 x + 10 − 2 3 x + 10 x + 2 + x + 2 = 4 ⇒
                                                                                         .
                    ⇒ 4 x + 8 = 2 3 x + 10 x + 2 ⇒ 2 x + 4 = 3 x + 10 x + 2.
     Теперь возведем в квадрат обе части полученного уравнения:

                    2 x + 4 = 3 x + 10 x + 2 ⇒ ( 2 x + 4 ) = ( 3 x + 10 )( x + 2 ) ⇒
                                                            2


              ⇒ 4 x 2 + 16 x + 16 = 3 x 2 + 10 x + 6 x + 20 ⇒ x 2 − 4 = 0 ⇒ x1 = −2, x2 = 2.
     Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному
     уравнению.
         Ответ: −2; 2.

                  ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

         Решить уравнения:
              x −1 1   2 + 3x
1.       1+        + =           ,
              x + 2 x x ( x + 2)


              2t − 1 4t + 3
2.       2+         =       ,
              t + 2 2t + 1


         2y +1 y +1          5y + 4
3.             +       =                   ,
          y − 1 2 y + 1 ( y − 1)( 2 y + 1)




      ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 8


      ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

4.         12 − 2 x + x 2 = x + 2 ,


5.         −11 + 8 x − x 2 = x − 3 ,


            x + 10
6.                 = 5x − 6 ,
             x +1


                x2 + 8x
7.        x+            = 0,
                 x+3


          1    2
8.          =      ,
          x   1− x


          2    2
9.          =      ,
          x   4− x


10.       3x = x3 + 8 x 2 − 6 x ,


          1 − 3x     1
11.              = x− ,
             3x      3


12.       x + x 3 + 2 x 2 − 12 x = 0 ,


          3 − 4x
13.              = 8x − 6 ,
              x


14.       x 2 − 24 − 2 x 2 − 24 = 15 ,




       ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 9


      ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

15.      13 − x 2 − 2 13 − x 2 = 3 ,


16.       x 2 − 21 − x 2 − 21 = 2 ,


17.      10 − x 2 − 10 − x 2 = 6 ,


                3
18.                   + 2 x +1 = 5,
              x +1 +1


               1     1  1
19.                −   = ,
              x −1    x 6


                          4
20.           2− x +            = 2,
                        2− x +3



21.           2x + 6 x2 + 1 = x + 1,


              x −1   x +1 3
22.                −     = ,
              x +1   x −1 2


                x −1    2x + 1
23.       3           −        = 2,
               2x + 1    x −1



24.           4 + x 9 x 2 + 16 = − x + 2 ,


                x+4     1 − 2x
25.       2           −        = 1,
               1 − 2x    x+4




       ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика