Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Прогрессии: Учебно-методическое пособие для школьников

Голосов: 0

Учебно-методическое пособие для подготовки школьников к экзаменам, разработанное в Учебном центре "Резольвента". В пособии рассмотрены следующие вопросы: 1. Арифметическая прогрессия. Разность арифметической прогрессии. Возрастающая арифметическая прогрессия. Убывающая арифметическая прогрессия; 2. Геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия; 3. Формула общего члена арифметической прогрессии. Характеристическое свойство арифметической прогрессии; 4. Формула общего члена геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии; 5. Сумма n первых членов арифметической прогрессии; 6. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. Приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. &nbsp; <a href="http://window.edu.ru/window/library?p_mode=1&p_qprovider=314&p_rubr=2.1.11" target="_blank">Пособия Учебного центра "Резольвента" для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ->></a>

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
         ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,          resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


             Учебный центр «Резольвента»

             Доктор физико-математических наук, профессор



                              К. Л. САМАРОВ


                             ПРОГРЕССИИ

              Учебно-методическое пособие для школьников




                                                                        © К. Л. Самаров, 2010
                                                                   © ООО «Резольвента», 2010


    Определение 1. Рассмотрим два произвольных числа a и d . Числовую по-
следовательность
                                  a1 , a2 , a3 , ..., an , ... ,
заданную формулами
                a1 = a, a2 = a1 + d , a3 = a2 + d ,..., an+1 = an + d , ...,                   (1)
называют арифметической прогрессией, а число d называют разностью дан-
ной арифметической прогрессии.
    В случае d > 0 арифметическую прогрессию называют возрастающей.
    В случае d < 0 арифметическую прогрессию называют убывающей.
    В случае d = 0 все члены арифметической прогрессии равны числу a , и
арифметическую прогрессию называют стационарной.
    Пример 1. Числовая последовательность
                                    2, 5, 8,..., an ,... ,


     ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,          resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10    1


         ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10



заданная соотношениями
                              a1 = 2, an = an−1 + 3, n = 2,3,... ,
является арифметической прогрессией, у которой a1 = 2 , d = 3 .
    Пример 2. Числовая последовательность задана формулой
                                   an = 3 + 5n, n = 1, 2,3,...
Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?
    Решение. Поскольку
                         an+1 = 3 + 5 ( n + 1) = 3 + 5n + 5 = an + 5 ,
то при всех значениях n = 1, 2,3,... для данной последовательности выполнены
соотношения (1), и она является арифметической прогрессией, у которой a1 = 8 ,
d = 5.
    Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией.
    Определение 2. Рассмотрим два произвольных числа b и q , удовлетво-
ряющих условиям:
                                     b ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 .
Числовую последовательность
                                      b1 , b2 , b3 , ..., bn , ... ,
заданную формулами
                          b1 = b, b2 = b1q, b3 = b2 q,..., bn+1 = bn q, ...,                       (2)
называют геометрической прогрессией, а число q называют знаменателем
данной геометрической прогрессии.
    В случае q > 0 все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же
знак, совпадающий со знаком числа b .
    В случае q < 0 знаки членов геометрической прогрессии чередуются.
    В случае −1 < q < 1 геометрическую прогрессию называют бесконечно
убывающей геометрической прогрессией.
    Пример 3. Числовая последовательность

         ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10    2


         ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

                                      2, 6, 18, ..., bn , ... ,
заданная соотношениями
                              b1 = 2, bn = bn−1 ⋅ 3, n = 2,3,... ,
является геометрической прогрессией, у которой b1 = 2 , q = 3 .
    Пример 4. Числовая последовательность задана формулой
                                   bn = 3 ⋅ 5n , n = 1, 2,3,...
Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?
    Решение. Поскольку
                               bn+1 = 3 ⋅ 5n+1 = 3 ⋅ 5n ⋅ 5 = bn ⋅ 5 ,
то при всех значениях n = 1, 2,3,... для данной последовательности выполнены
соотношения (2), и она является геометрической прогрессией, у которой b1 = 15 ,
q = 5.
    Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией.
    Для арифметической прогрессии с разностью d справедливы соотношения
                                 a2 = a1 + d = a1 + (2 − 1)d ,
                     a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d = a1 + (3 − 1)d ,
                    a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d = a1 + (4 − 1)d ,
                                     ⋯
Таким образом, при всех значениях n = 1, 2,3,... выполнено равенство:
                                       an = a1 + (n − 1)d ,                                    (3)
которое называют формулой для общего члена арифметической прогрессии.
    Для геометрической прогрессии со знаменателем q справедливы соотно-
шения
                                   b2 = b1q = b1q1 = b1q 2−1 ,
                                   b3 = b2 q = b1q 2 = b1q 3−1 ,
                                   b4 = b3q = b1q 3 = b1q 4−1 ,
                                     ⋯
Таким образом, при всех значениях n = 1, 2,3,... выполнено равенство:

                                           bn = b1q n−1 ,                                      (4)
         ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10    3


        ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

которое называют формулой для общего члена геометрической прогрессии.
       Рассмотрим теперь три любых последовательных члена арифметиче-
ской прогрессии:
                                     an−1 , an , an+1 .
Поскольку
                              an = an−1 + d ; an = an+1 − d ,
                         2an = an−1 + d + an+1 − d = an−1 + an+1 ,
то справедливо равенство:
                                            an−1 + an+1
                                     an =               ,                                      (5)
                                                 2
которое называют характеристическим свойством арифметической про-
грессии.
       Рассмотрим три любых последовательных члена геометрической про-
грессии:
                                      bn−1 , bn , bn+1 .
Поскольку
                                                          bn+1
                                  bn = bn−1q; bn =             ,
                                                           q
                                                bn+1
                               bn 2 = bn−1q ⋅        = bn−1 ⋅ bn+1 ,
                                                 q
то справедливо равенство
                                       bn 2 = bn−1 ⋅ bn+1 ,                                    (6)
которое называют характеристическим свойством геометрической прогрес-
сии.
       Если для суммы n первых членов арифметической прогрессии ввести
обозначение
                                  Sn = a1 + a2 + ... + an ,
то будут справедливы следующие формулы:
                                                a1 + an
                                      Sn =              ⋅n,                                    (7)
                                                   2

        ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10    4


     ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10

                                              2a1 + (n − 1)d
                                       Sn =                  ⋅n.                                     (8)
                                                     2
    Действительно, из формулы (3) вытекают соотношения:
                         a1 + an = a1 + a1 + (n − 1)d = 2a1 + (n − 1)d ,
                     a2 + an−1 = a1 + d + a1 + (n − 2)d = 2a1 + (n − 1)d ,
                                                   …
                     an−1 + a2 = a1 + (n − 2)d + a1 + d = 2a1 + (n − 1)d ,
                         an + a1 = a1 + (n − 1)d + a1 = 2a1 + (n − 1)d .
Поэтому
                                   1
          Sn = a1 + a2 + ... + an = ( a1 + a2 + ... + an ) + ( an + an−1 + ... + a1 )  =
                                   2                                                  
                        1
                      = ( a1 + an ) + ( a2 + an−1 ) + ... + ( an + a1 )  =
                        2                                               
                                 a +a        2a + (n − 1)d
                               = 1 n ⋅n = 1                     ⋅ n,
                                   2                 2
что и требовалось доказать.
    Если для суммы n первых членов геометрической прогрессии ввести
обозначение
                                        Sn = b1 + b2 + ... + bn ,
то будет справедлива формула:
                                                      qn − 1
                                            Sn = b1 ⋅        .                                       (9)
                                                      q −1
    Действительно, из формулы (4) получаем:
                        Sn = b1 + b2 + ... + bn = b1 (1 + q + q 2 + ... + q n−1 ).                  (10)
Поэтому
                                  S n = b1 (1 + q + q 2 + ... + q n−1 ),
               qSn = qb1 (1 + q + q 2 + ... + q n−1 ) = b1 (q + q 2 + ... + q n−1 + q n ),
            qS n − S n = b1 (q + q 2 + ... + q n−1 + q n ) − b1 (1 + q + q 2 + ... + q n−1 ) =
                                    = b1 ⋅ q n − b1 ⋅ 1 = b1 (q n − 1).
Следовательно,



     ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10     5


     ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,            resolventa@list.ru,      (495) 509-28-10

                                  qS n − S n = (q − 1) S n = b1 (q n − 1),
                                                        qn − 1
                                               S n = b1        ,
                                                        q −1
что и требовалось доказать.
    Замечание. Из формул (9) и (10) вытекает соотношение:
                               q n − 1 = ( q − 1) ( q n−1 + q n−2 + ... + q + 1) ,                          (11)

следствием которого является формула для разложения двучлена x n − y n на
множители:
               x n − y n = ( x − y ) ( x n−1 + x n−2 y + x n−3 y 2 + ... + xy n−2 + y n−1 ) .               (12)

Например,
              x 2 − y 2 = ( x − y )( x + y ) ,
              x 3 − y 3 = ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) ,
              x 7 − b7 = ( x − y ) ( x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x3 y 3 + x 2 y 4 + xy 5 + y 6 ) .

    Для доказательства формулы (12) совершим в формуле (11) подстановку:
                                                           x
                                                     q=      .
                                                           y
В результате формула (12) примет вид:
                           xn        x   x n−1 x n−2       x 
                              − 1 =  − 1  n−1 + n−2 + ... + + 1 ,
                           yn        y  y      y           y 

откуда, при помощи умножения на y n , и получается формула (12).
    Из формулы (12) вытекает формула для разложения двучлена
x 2 m+1 + y 2 m+1 на множители ( m ─ натуральное число):

            x 2 m+1 + z 2 m+1 = ( x + z ) ( x 2 m − x 2 m−1 z + x 2 m−2 z 2 − ... − xz 2 m−1 + z 2 m ) .    (13)

Например,
                x 3 + z 3 = ( x + z ) ( x 2 − xz + z 2 ) ,
                x 7 + z 7 = ( x + z ) ( x 6 − x5 z + x 4 z 2 − x3 z 3 + x 2 z 4 − xz 5 + z 6 ) .



     ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,            resolventa@list.ru,      (495) 509-28-10     6


     ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

    Для доказательства формулы (13) достаточно в случае n = 2m + 1 совер-
шить в формуле (12) подстановку
                                              y = −z .
    Пример 5. Пятый член арифметической прогрессии равен 3. Найти
сумму первых девяти членов прогрессии.
    Решение. Воспользовавшись формулами (8) и (3), получаем:
                  2a1 + (9 − 1)d     2a + 8d
           S9 =                  ⋅9 = 1      ⋅ 9 = ( a1 + 4d ) ⋅ 9 = a5 ⋅ 9 = 3 ⋅ 9 = 27.
                        2               2
    Ответ: 27 .
    Пример 6. Сумма первого и второго членов арифметической прогрес-
сии равна седьмому члену, а пятый член этой прогрессии равен 18. Найти
первый член этой прогрессии.
    Решение. Условие задачи можно записать в виде следующей системы
уравнений:
                  a1 + a2 = a7 , a1 + a1 + d = a1 + 6d , a1 = 5d ,
                                ⇔                       ⇔               ⇔
                   a5 = 18         a1 + 4d = 18            a1 + 4d = 18
                                 a = 5d , a1 = 5d , a1 = 10,
                             ⇔ 1          ⇔          ⇔
                                 9d = 18     d = 2,     d = 2.
    Ответ: a1 = 10 .
    Пример 7. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен
разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член про-
грессии.
    Решение. Условие задачи можно записать в виде следующей системы
уравнений:
             a4 − a2 = a7 , a1 + 3d − a1 − d = a1 + 6d , a1 = − 4d ,
                           ⇔                            ⇔             ⇔
             a7 = 1            a1 + 6d = 1                a1 + 6d = 1
                                           a = − 4d , a1 = − 2,
                            a1 = − 4d ,  1            
                        ⇔              ⇔      1     ⇔     1
                             2d = 1       d = 2 ,     d = 2 .
                                                       

     ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   7


     ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,    resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

   Ответ: a1 = − 2 .
   Пример 8. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 351, а сумма следующих трех членов равна 13. Найти первый член и
знаменатель прогрессии.
   Решение. Условие задачи можно записать в виде следующей системы
уравнений:
      b1 + b2 + b3 = 351, b1 + b1q + b1q = 351,
                                                  b1 (1 + q + q ) = 351,
                                                   
                                          2                      2

                         ⇔ 3                    ⇔                       ⇔
      b4 + b5 + b6 = 13   b1q + b1q + b1q = 13 b1 (1 + q + q )q = 13
                                       4    5                    2   3
                                                  
                               b (1 + q + q 2 ) = 351,         1 1
     b1 (1 + q + q 2 ) = 351,  1
                                                       b1 (1 + 3 + 9 ) = 351,
                                                        
    ⇔                        ⇔       13 3 1 1 ⇔                              ⇔
     
     351q 3 = 13              q =  3     =         =  q =   1
                                      351       27 3   
                                                              3
                        13               351 ⋅ 9
                         9 b1 = 351, b1 = 13 = 243,
                                     
                       ⇔            ⇔
                        q = 1        q = 1 .
                        
                            3        
                                          3
                          1
   Ответ: b1 = 243, q = . .
                          3
   Пример 9. Три числа составляют возрастающую геометрическую
прогрессию. Если из первого числа этой прогрессии вычесть 4, то полу-
ченные числа в том же порядке составят арифметическую прогрессию,
сумма членов которой равна 9. Найти первый член полученной арифмети-
ческой прогрессии.
   Решение. Поскольку числа b1 , b2 , b3 в указанном порядке составляют
геометрическую прогрессию, то справедливо равенство:
                                     b2 2 = b1b3 .

   Поскольку числа b1 − 4, b2 , b3 в указанном порядке составляют ариф-
метическую прогрессию, то справедливо равенство:
                                         b1 − 4 + b3
                                  b2 =               .
                                              2
     ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,    resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   8


       ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

      Поскольку сумма чисел b1 − 4, b2 , b3 равна 9, то справедливо равенст-
во:
                                  b1 − 4 + b2 + b3 = 9 .

Таким образом, возникает система уравнений:
           b2 2 = b1b3 ,
                                 b1 + b2 + b3 = 13,   b1 + b2 + b3 = 13,
                 b1 − 4 + b3                          
           b2 =              , ⇔ b1 − 2b2 + b3 = 4, ⇔ 3b2 = 9,           ⇔
                       2          2                    2
           b1 − 4 + b2 + b3 = 9 b2 = b1b3             b2 = b1b3
           
                b1 + b3 = 10, b1 + b3 = 10,     b1 + b3 = 10,
                                                
              ⇔ b2 = 3,      ⇔ b2 = 3,        ⇔ b2 = 3,           ⇔
                b b = 9        b (10 − b ) = 9  2
                13             1        1       b1 − 10b1 + 9 = 0
                   b1 + b3 = 10, b1 + b3 = 10, b1 = 9, b1 = 1,
                                                          
                 ⇔ b2 = 3,      ∪ b2 = 3,     ⇔ b2 = 3, ∪ b2 = 3,
                   b = 9          b = 1         b = 1 b = 9.
                   1              1              3         3
Поскольку числа b1 , b2 , b3 в указанном порядке составляют возрастающую
геометрическую прогрессию, то b1 = 1, b2 = 3, b3 = 9. Следовательно, первый
член арифметической прогрессии b1 − 4, b2 , b3 равен − 3 .
      Ответ: − 3 .
             ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.    Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 30.
Найти третий член прогрессии.
2.    Сумма второго и восьмого членов арифметической прогрессии равна
десятому члену, а пятый член этой прогрессии равен – 20. Найти первый
член этой прогрессии.
3.    Шестой член арифметической прогрессии равен 2,5 и равен четверто-
му члену, умноженному на 5. Найти первый член прогрессии.




       ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   9


      ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

4.   Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 39, а
сумма следующих трех членов равна 1053. Найти первый член и знамена-
тель прогрессии.
5.   Три числа составляют убывающую арифметическую прогрессию. Ес-
ли к первому члену этой прогрессии прибавить 4, то полученные числа в
том же порядке составят геометрическую прогрессию, произведение чле-
нов которой равно 27. Найти первый член арифметической прогрессии.




      ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика