Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Уравнения и неравенства с модулями: Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

Голосов: 1

Учебно-методическое пособие для подготовки школьников к экзаменам, разработанное в Учебном центре "Резольвента". В пособии рассмотрены следующие вопросы: 1. Модуль (абсолютная величина) числа; 2. Простейшие уравнения с модулями; 3. Уравнения, использующие свойство неотрицательности модуля; 4. Простейшие неравенства с модулями; 5. Неравенства с модулями, сводящиеся к квадратным неравенствам; 6. Уравнения с модулями, содержащие параметр; 7. Неравенства с модулями, содержащие параметр; 8. Задачи с модулями, связанные с расположением корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра. Приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. &nbsp; <a href="http://window.edu.ru/window/library?p_mode=1&p_qprovider=314&p_rubr=2.1.11" target="_blank">Пособия Учебного центра "Резольвента" для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ->></a>

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10




           Учебный центр «Резольвента»

           Доктор физико-математических наук, профессор



                           К. Л. САМАРОВ


  УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

     Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике




                                                          © К. Л. Самаров, 2010
                                                 © ООО «Резольвента», 2010




  Пример 1. Решить уравнение
                                    2x + 1 = 3
  Решение.
                               2x + 1 = 3     2x = 2     x =1
                 2x + 1 = 3 ⇔               ⇔          ⇔
                              2 x + 1 = − 3  2 x = − 4  x = −2
  Ответ.1; − 2
  Пример 2. Решить уравнение
                              5                  3
                          x3 − x − 2 = x3 + x 2 + x + 2
                              2                  2
  Решение.



ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


ООО «Резольвента»,          www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10




                                         3 5                          3
                                         x − 2x−2= x + x + 2x+2
                                                             3    2

            5                  3
        x3 − x − 2 = x3 + x 2 + x + 2 ⇔                                          ⇔
            2                  2         x3 − 5 x − 2 = −  x3 + x 2 + 3 x + 2 
                                                                              
                                              2                       2       
                                                          ( x + 2 )2 = 0
              x + 4x + 4 = 0
                  2              ( x + 2 )2 = 0         
            ⇔ 3               ⇔                       ⇔      x=0       ⇔
              2x + x2 − x = 0   x ( 2 x 2 + x − 1) = 0  2
                                                          2x + x −1 = 0
                                                         
                              
                                         x1 = − 2
                              
                             ⇔            x2 = 0
                              
                               x = −1 ± 1 + 8 = −1 ± 3 = −1; 1
                               3,4
                                       4          4          2
                        1
  Ответ. − 2; − 1; 0;
                        2
  Пример 3. Решить уравнение
                                         x + 3 −1
                                                  =4
                                           x −1
  Решение.
                                                                 x + 3 = 4x − 3
      x + 3 −1           x + 3 − 1 = 4x − 4  x + 3 = 4x − 3 
                =4⇔                         ⇔               ⇔ 4 x − 3 ≥ 0       ⇔
        x −1                    x ≠1               x ≠1         
                                                                      x ≠1
                                                     6 = 3 x  x + 3 = −4 x + 3
            x + 3 = 4 x − 3  x + 3 = − ( 4 x − 3)          
                                                       3        3
        ⇔ 4 x − 3 ≥ 0       ∪ 4 x − 3 ≥ 0        ⇔ x ≥ ∪ x ≥                 ⇔
                                                       4        4
                 x ≠1                 x ≠1
                                                      x ≠1 
                                                                    x ≠1
                                    x = 2 x = 0
                                    
                                         3      3
                                ⇔ x ≥ ∪ x ≥ ⇔ x = 2
                                         4       4
                                     x ≠1  x ≠1
                                             

  Ответ. 2

ООО «Резольвента»,          www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,     resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


   Пример 4. Решить уравнение
                                       2 x 2 − 4 x = 3x − 3

   Решение.
                                    2 x 2 − 4 x = 3 x − 3 2 x 2 − 4 x = 3 x − 3
                                   
              2 x − 4 x = 3x − 3 ⇔ 
                 2
                                                          ⇔                      ∪
                                   
                                         3x − 3 ≥ 0            3x − 3 ≥ 0
              − ( 2 x 2 − 4 x ) = 3 x − 3 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 2 x 2 − x − 3 = 0
             
            ∪                            ⇔                   ∪                  ⇔
             
                      3x − 3 ≥ 0                  x ≥1               x ≥1
               7 ± 49 − 24              1 ± 1 + 24              7±5          1± 5
        x1,2 =                   x3,4 =                  x1,2 =       x3,4 =
      ⇔              4        ∪                4      ⇔          4 ∪          4 ⇔
                 x ≥1                    x ≥1            x ≥1
                                                                        x ≥1
                                                                        
                                
                                   1                 3
                         x1,2 = 3;        x3,4 = −1;                3
                     ⇔             2∪                2 ⇔ x =3∪ x =
                         x ≥1             x ≥1                      2
                                         
            3
   Ответ.     ;3
            2
   Пример 5. Решить неравенство
                                            x −3 < 7
   Решение.
                         x − 3 < 7 − ( x − 3) < 7      x < 10  x − 3 > −7
             x −3 < 7 ⇔           ∪                 ⇔         ∪           ⇔
                         x−3≥ 0  x −3< 0                x ≥3  x −3< 0
                       ⇔ x ∈ [3, 10 ) ∪ x ∈ ( − 4, 3) ⇔ x ∈ ( − 4, 10 )

   Ответ. x ∈ ( − 4, 10 )
   Пример 6. Решить неравенство
                                        6 x2 − x − 2 ≤ 0

   Решение. Заметим, что исходное неравенство эквивалентно объеди-
нению двух систем неравенств:
                                      6 x 2 − x − 2 ≤ 0  6 x 2 + x − 2 ≤ 0
                     6x − x − 2 ≤ 0 ⇔ 
                       2
                                                        ∪
                                             x≥0                x<0


 ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,     resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


   Решим первую систему неравенств. Для этого сначала найдем корни
соответствующего квадратного уравнения:
                                           1 ± 1 + 48 1 ± 7         1       2
              6 x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =             =      ⇒ x1 = − , x2 =
                                               12      12           2       3
Следовательно,
                                           1 2
                     6 x 2 − x − 2 ≤ 0  x ∈  − ,      2
                                      ⇔   2 3  ⇔ x ∈ 0, 
                            x≥0                         3
                                             x≥0

   Теперь решим вторую систему неравенств. Для этого найдем корни
соответствующего квадратного уравнения:
                                         −1 ± 1 + 48 −1 ± 7         2       1
            6 x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =              =       ⇒ x1 = − , x2 =
                                             12       12            3       2
Далее получаем:
                                          2 1
                    6 x 2 + x − 2 ≤ 0  x ∈  − ,      2 
                                     ⇔   3 2  ⇔ x ∈ − , 0 
                           x<0                         3 
                                            x<0

Объединение решений первой и второй систем неравенств дает ответ за-
дачи.
               2 2
   Ответ. x ∈  − , 
               3 3
   Пример 7. Решить неравенство
                                           2x x + 1 − x − 1 > 0
   Решение. Заметим, что исходное неравенство эквивалентно объеди-
нению двух систем неравенств:
                                2 x ( x + 1) − x − 1 > 0 −2 x ( x + 1) − x − 1 > 0
         2x x + 1 − x −1 > 0 ⇔                          ∪                          ⇔
                                        x +1≥ 0                  x +1< 0
         2 x 2 + x − 1 > 0 −2 x 2 − 3 x − 1 > 0 2 x 2 + x − 1 > 0 2 x 2 + 3 x + 1 < 0
        ⇔                 ∪                    ⇔                   ∪
              x +1≥ 0           x +1< 0                x ≥ −1              x < −1




 ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10


   Теперь решим первую систему неравенств. Для этого сначала найдем
корни соответствующего квадратного уравнения:
                                          −1 ± 1 + 8 −1 ± 3                 1
             2 x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x1,2 =             =       ⇒ x1 = −1, x2 =
                                              4        4                    2
Следовательно,
                                                   1      
          2 x 2 + x − 1 > 0  x ∈ ( −∞, − 1) ∪ x ∈  , + ∞       1      
                           ⇔                      2       ⇔ x ∈ , + ∞ 
                x ≥ −1                                           2      
                                          x ≥ −1

   Теперь решим вторую систему неравенств. Для этого найдем корни
соответствующего квадратного уравнения:
                                          −3 ± 9 − 8 −3 ± 1                   1
           2 x 2 + 3x + 1 = 0 ⇔ x1,2 =              =       ⇒ x1 = −1, x2 = −
                                              4        4                      2
Далее получаем
                                                      1
                      2 x 2 + 3 x + 1 < 0  x ∈  −1, − 
                                         ⇔           2  ⇔ x ∈∅
                            x < −1        
                                            x < −1
Таким образом, вторая система неравенств решений не имеет, и решение
первой системы неравенств дает ответ задачи.
              1      
   Ответ. x ∈  , + ∞ 
              2      
   Пример 8. Найти множество значений параметра p , при которых урав-
нение
                                    2 px − 2 x − 4 x − 1 − 1 = 0
имеет ровно два корня.
   Решение. В случае x ≥ 1 получаем
    2 px − 2 x − 4 x − 1 − 1 = 0 ⇔ 2 px − 2 x − 4 ( x − 1) − 1 = 0 ⇔ 2 px − 6 x + 3 = 0 ⇔
                                     ⇔ 2 x ( p − 3) = −3

Таким образом, при p ≠ 3 решение уравнения имеет вид



 ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


                                               −3
                                      x=              ,                                     (1)
                                           2 ( p − 3)

а при p = 3 уравнение решений не имеет. Кроме того, поскольку x ≥ 1 , то
должно выполняться неравенство
              −3          −3       −3        − 3 − 2 ( p − 3)
                     ≥1⇔      ≥2⇔      −2≥0⇔                  ≥0⇔
          2 ( p − 3)     p −3     p −3            p−3
                                        3
                 3− 2p     2p −3                     p−
               ⇔       ≥0⇔       ≤0⇔    2 ≤ 0 ⇔ p ∈  3 , 3
                                                    2    
                  p−3      p −3      p −3           
   В случае x < 1 получаем
    2 px − 2 x − 4 x − 1 − 1 = 0 ⇔ 2 px − 2 x + 4 ( x − 1) − 1 = 0 ⇔ 2 px + 2 x − 5 = 0 ⇔
                                     ⇔ 2 x ( p + 1) = 5

Таким образом, при p ≠ −1 решение уравнения имеет вид
                                                5
                                      x=              ,                                     (2)
                                           2 ( p + 1)

а при p = −1 уравнение решений не имеет. Кроме того, поскольку x < 1 , то
должно выполняться неравенство
                5            5        5        5 − 2 ( p + 1)
                      <1 ⇔      <2⇔      −2<0⇔                <0⇔
           2 ( p + 1)      p +1     p +1           p +1
                                3
         3− 2p     2p −3                     p−
       ⇔       <0⇔       >0⇔    2 > 0 ⇔ p ∈ ( − ∞, − 1) ∪  3 , + ∞ 
                                                                   
          p +1      p +1     p +1                         2        
Следовательно, в случае
                                            3 
                                         p ∈ , 3
                                            2 
исходное уравнение имеет 2 решения: решение, определяемое по форму-
ле (1) и удовлетворяющее неравенству x ≥ 1 , и решение, определяемое по
формуле (2) и удовлетворяющее неравенству x < 1 .
              3 
   Ответ. p ∈  , 3 
              2 

 ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10


   Пример 9. Найти все значения параметра p , при которых уравнение
                                                      7 − 6p
                                         x2 + p x +          =0
                                                         4
имеет хотя бы один корень.
   Решение. Поскольку
                                  7 −6p               7 − 6p
                    x2 + p x +          =0⇔ x + p x +        =0⇔
                                             2

                                    4                    4
                −p ±   p2 − (7 − 6 p )       −p ±   p2 + 6 p − 7 − p ±     ( p + 7 )( p − 1)
    ⇔ x 1,2 =                            =                      =                              ,
                          2                          2                        2
то исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда,
когда выполняется неравенство

    −p +   ( p + 7 )( p − 1)
                               ≥ 0 ⇔ −p +     ( p + 7 )( p − 1) ≥ 0 ⇔ ( p + 7 )( p − 1) ≥ p .
                2
Таким образом, задача свелась к решению неравенства

                                         ( p + 7 )( p − 1) ≥ p .                                   (3)

Для того, чтобы решить неравенство (3), рассмотрим два случая.
В случае p < 0 должны выполняться неравенства

           ( p + 7 )( p − 1) ≥ 0  p ∈ ( −∞, − 7 ) ∪ (1, + ∞ )
                                ⇔                             ⇔ p ∈ ( −∞, − 7 ) .
            p<0                          p ∈ ( −∞, 0 )

Поскольку при этом левая часть неравенства (3) неотрицательна, а правая
– отрицательна, то неравенство (3) верно.
В случае p ≥ 0 обе части неравенства (3) можно возвести в квадрат:

       ( p + 7 )( p − 1) ≥ p ⇔ ( p + 7 )( p − 1) ≥ p 2 ⇔ 6 p − 7 ≥ 0 ⇔ p ∈              
                                                                                   7
                                                                                    , +∞
                                                                                  6     
Объединение полученных областей дает ответ задачи.
                            7      
   Ответ. p ∈ ( −∞, − 7 ) ∪  , + ∞ 
                            6      




 ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


               ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решить уравнения
   1.    3x + 2 = 1

   2.    4x − 1 = 1

   3.    5x − 2 = 2

          3x − 5
   4.             =1
         x −1 − 4

         x − 2 +1
   5.             = −1
          2x + 1
          7 + 3x
   6.             = −1
         x +1 − 6

   7.    x 2 − 8 x + 12 = 3 x − 12

   8.    x 2 − 4 x = 3x − 6

   9.    x2 − 2 x − 8 = 8x − 8

   10. x 2 + 8 x = 6 x + 24

   11. x 2 − 2 x − 3 = 3 x − 3

   12. x 2 − 3 x = 4 x − 6

   13. x 2 − x − 2 = 4 x − 2

   14. 3 x3 + 12 x + 1 = 3 x3 − 18 x 2 − 1

   15. 8 x3 − 5 x − 2 = 8 x3 + 4 x 2 + 3 x + 2

               14 7        18 5
   16. 8 x +     − 3 = 8x − − 3
                x x         x x
                1   3         3  5
   17. −4 x +     − 3 = −4 x − + 3
                x 2x          x 2x

   18. x3 + 36 x + 9 = x3 − 18 x 2 − 9


 ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10




                    14              10
   19. x3 + 7 x −      = x3 − 9 x −
                     x               x
Решить неравенства
   20. x − 1 > 3

   21. 2 x + 1 < 5

   22. 3 x − 2 < 4

   23.   ( x − 1) x − 2 x + 2 ≤ 0
   24. x 2 − 3 x − 1 − 1 ≤ 0

   25.   ( x + 4 ) x − 3x − 6 > 0
   26. x 2 − 2 x − 3 ≥ 0

   27. 3 x 2 x − 3 + 7 x − 8 < 0

   28. x 2 − 5 x + 1 + 5 > 0

   29. Найти множество значений параметра p , при которых уравнение
                                    2 px − 4 x + 6 x − 1 − 3 = 0

имеет ровно два корня.
   30. Найти множество значений параметра p , при которых уравнение

                                     x − 2 + px + 2 x − 1 = 0

не имеет корней.
   31. Найти все значения параметра p , при которых уравнение

                                           p2 − p − 6
                                    x −px+
                                     2
                                                      =0
                                               4
имеет ровно 4 различных корня.
   32. Найти множество значений параметра p , при которых уравнение

                                         x − 2 − px − x + 1 = 0
не имеет корней.

 ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика