Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Задачи на проценты: Учебно-методическое пособие для школьников

Голосов: 1

Учебно-методическое пособие для подготовки школьников к экзаменам, разработанное в Учебном центре "Резольвента". В пособии рассмотрены следующие вопросы: 1. Понятие процента от числа; 2. База для нахождения процентов; 3. Налог на добавленную стоимость (НДС); 4. Месячный темп инфляции. Приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. &nbsp; <a href="http://window.edu.ru/window/library?p_mode=1&p_qprovider=314&p_rubr=2.1.11" target="_blank">Пособия Учебного центра "Резольвента" для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ->></a>

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
      ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10




                Учебный центр «Резольвента»

               Доктор физико-математических наук, профессор



                               К. Л. САМАРОВ


                       ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

                Учебно-методическое пособие для школьников




                                                             © К. Л. Самаров, 2010
                                                     © ООО «Резольвента», 2010


      Определение 1.
      •    Одна сотая доля числа a называется одним процентом от числа a;
      •    k сотых долей числа a называются k процентами от числа a;
      •    Число a называется базой для нахождения процентов.
      По определению 1,
                                                    k
                               k % от числа a =        a.                           (1)
                                                   100
      Пример 1. Даны два числа a и b. Сколько процентов составляет число b от
числа a?
      Решение. Заметим, что в примере 1 базой для нахождения процентов являет-
ся число a, и предположим, что число b составляет x % от числа a. По формуле
(1)
                                           x
                                     b=       a,
                                          100
  ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,          resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10
откуда легко вытекает, что
                                              100 ⋅ b
                                         x=           .                                   (2)
                                                a
                                    100 ⋅ b
      Ответ. Число b составляет             % от числа a.
                                      a
      Пример 2. Число увеличилось в 3,7 раза. На сколько процентов увеличилось
это число?
      Решение. Обозначим рассматриваемое число буквой a. При увеличении
числа в 3,7 раза (т.е. умножении на 3,7) число a увеличивается на число b, при-
чем
                                    b = 3,7a − a = 2,7a .
По формуле (2)
                                  100 ⋅ b 100 ⋅ 2,7 ⋅ a
                             x=          =              = 270 .
                                    a           a
      Ответ. Число a увеличилось на 270 %.
      Пример 3. Число уменьшилось в 2,5 раза. На сколько процентов уменьши-
лось это число?
      Решение. Обозначим рассматриваемое число буквой a. При уменьшении
числа в 2,5 раза (т.е. делении на 2,5) число a уменьшается на число b, причем
                            a    2,5 ⋅ a − a 1,5 ⋅ a 15 ⋅ a 3 ⋅ a
                    b=a−       =            =       =      =      .
                           2,5      2,5       2,5     25     5
По формуле (2)
                                    100 ⋅ b 100 ⋅ 3 ⋅ a
                              x=           =            = 60.
                                      a       5⋅ a
      Ответ. Число a уменьшилось на 60 %.
      Пример 4. Число увеличилось на 5%. Во сколько раз увеличилось это число?
      Решение. Обозначим рассматриваемое число буквой c, а буквой d – число c,
увеличенное на 5%. Воспользовавшись формулой (1), получаем
                                  d = c + 0,05 ⋅ c = 1,05 ⋅ c .
      Ответ. Число увеличилось в 1,05 раза.



 ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,          resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,     www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10
    Пример 5. Число d на 15% меньше числа c. Какую часть составляет число d
от числа c?
    Решение. Важно отметить, что в рассматриваемом примере базой для нахо-
ждения процентов является число c. В соответствии с формулой (1)
                             d = c − 0,15 ⋅ c = 0,85 ⋅ c .
    Ответ. Число d составляет 0,85 числа c.
    Пример 6. Налог на добавленную стоимость (НДС) равняется 18% цены то-
вара. Найти цену товара, если товар с учетом НДС стоит 1652 руб.
    Решение. Обозначим цену товара без учета НДС буквой a. Стоимость това-
ра с учетом НДС составляет 100% +18%=118% от a. Следовательно,

                                  a ⋅ 1,18 = 1652 ,

                                  1652
                             a=        = 1400(руб.)
                                  1,18

    Ответ. Цена товара без учета НДС равна 1400 руб.

    Пример 7. В течение первого месяца цена товара увеличилась на 30%, а в те-
чение следующего месяца новая цена товара уменьшилась на 10%. На сколько
процентов изменилась первоначальная цена товара за 2 месяца?
    Решение. Обозначим первоначальную цену товара буквой a. Поступая по
аналогии с решением примера 4, получаем, что по истечении первого месяца цена
товара стала равной 1,3·a. По условию задачи за второй месяц новая цена товара,
равная 1,3·a (база), уменьшилась на 10% и стала равной
                               1,3 ⋅ a ⋅ 0,9 = 1,17 ⋅ a .
    Ответ. Первоначальная цена товара за 2 месяца увеличилась на 17%.
    Пример 8. В течение месяца цена товара увеличилась на 25%, а в течение
следующего месяца цена товара возвратилась до первоначального уровня. На
сколько процентов уменьшилась новая цена товара?
    Решение. Обозначим первоначальную цену товара буквой c. Поступая по
аналогии с решением примера 4, получаем, что по истечении месяца новая цена
товара стала равной 1,25·c. Следовательно, для того, чтобы вернуться к первона-

 ООО «Резольвента»,     www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


  ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10
чальному уровню c, новая цена товара, равная 1,25·c (база), должна уменьшиться
на число 0,25·c. Для завершения решения примера остается определить, сколько
процентов составляет число 0,25·c от числа 1,25·c . Воспользовавшись формулой
(1), получаем
                                    100 ⋅ b 100 ⋅ 0,25 ⋅ c
                               x=          =               = 20 .
                                      a       1,25 ⋅ c
    Ответ. Новая цена товара уменьшилась на 20%.
    Пример 9. Банковский вклад, не тронутый в течение года, в конце этого года
увеличивается на 10%. На сколько процентов увеличится вклад, не тронутый в
течение трех лет?
    Решение. Обозначим первоначальную сумму вклада буквой a. Действуя по
аналогии с решением примера 4, получаем, что по истечении первого года вклад
станет равным 1,1·a. По истечении второго года вклад станет равным
1,1·a·1,1=1,21·a,   а   по     истечении        третьего       года   вклад    станет   равным
1,21·a·1,1=1,331·a. Таким образом, вклад, не тронутый в течение трех лет, увели-
чивается на число b, равное 0,331·a. В соответствии с формулой (1.0.2.) первона-
чальная сумма вклада увеличивается на
                               100 ⋅ b 100 ⋅ 0,331 ⋅ a
                         x=           =                = 33,1(%) .
                                 a            a
    Ответ. Вклад увеличится на 33,1 %.
    Определение 2. Месячным темпом инфляции называется такое количество
процентов, на которое возрастают цены товаров за месяц, по сравнению с преды-
дущим месяцем.
    Пример 10. Месячный темп инфляции равен 5%. На сколько процентов воз-
растают цены за год?
    Решение. Обозначим цену товара в первый день года буквой c. В соответст-
вии с решением примера 4 через месяц после начала года цена товара будет равна
1,05·с. Через два месяца после начала года цена товара будет равна

                                    1,05 ⋅ c ⋅ 1,05 = 1,052 ⋅ c .

Еще через месяц (т.е. через три месяца после начала года) цена товара будет равна

  ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


  ООО «Резольвента»,     www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10
                              1,05 ⋅ 1,05 ⋅ c = 1,05 ⋅ c,
                                   2                   3



и т.д. Таким образом, через n месяцев после начала года цена товара станет рав-
ной
                                       1,05n ⋅ c ,                                       (3)
где n = 1,2,…,12. Проводя для n = 12 вычисления на калькуляторе, из формулы
(3) получаем:
                                1,0512 ⋅ c = 1,7959 ⋅ c .
Следовательно, с начала года цена товара c увеличилась на число 0,7959 ⋅ c , т.е. на
79,59 %.
      Ответ. Цены вырастают за год на 79,59%.
      Замечание. Расчет по формуле (3), а также расчет, проведенный в решении
примера 10, являются простейшими примерами расчетов по схеме сложных про-
центов.


              ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
      1.   Одно положительное число в 1,5 раза больше другого. Сколько процен-
тов от суммы этих чисел составляет меньшее число?
      2.   Одно положительное число в 4 раза меньше другого. Сколько процентов
от суммы этих чисел составляет большее число?
      3.   На сколько процентов надо уменьшить положительное число, чтобы по-
лучить число в 4 раза меньше исходного?
      4.   На сколько процентов надо увеличить положительное число, чтобы по-
лучить число в 2,5 раза больше исходного?
      5.   Цена товара была увеличена на 20 рублей, затем снижена на 20% и ока-
залась равной 64 рублям. Найти первоначальную цену товара.
      6.   Цена товара была уменьшена на 10 рублей, затем повышена на 25% и
оказалась равной 75 рублям. Найти первоначальную цену товара.
      7.   На сколько процентов повышена цена товара, если исходная цена 150
рублей, а новая 180 рублей?


  ООО «Резольвента»,     www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


 ООО «Резольвента»,       www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10
    8.   На сколько процентов снижена цена товара, если исходная цена 80 руб-
лей, а новая 60 рублей?
    9.   Найти новую цену товара, если исходная цена 150 рублей была сначала
повышена на 20%, а затем снижена на 20%.
    10. Найти новую цену товара, если исходная цена 200 рублей была сначала
снижена на 30%, а затем повышена на 30%.
    11. Найти число, 28% которого равны 7.
    12. Найти число, 18% которого равны 27.
    13. Если цену товара снизить на 40%, то она уменьшится на 12 рублей. Най-
ти исходную цену товара.
    14. Если цену товара снизить на 7рублей, то она уменьшится на 20%. Найти
исходную цену товара.
    15. Цена товара повышена на 150%. На сколько процентов надо снизить но-
вую цену товара, чтобы цена товара вернулась к прежнему уровню?
    16. Цена товара снижена на 20%. На сколько процентов надо повысить но-
вую цену товара, чтобы цена товара вернулась к прежнему уровню?
    17. 7% числа 200 равны 20% числа a. Найти число a.
    18. 5% числа 300 равны 60% числа a. Найти число a.
    19. На сколько процентов следует уменьшить радиус круга, чтобы его пло-
щадь уменьшилась на 19% ?
    20. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую
массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав со-
держал 60% меди?
    21. На экзамене по математике 20% студентов не решили ни одной задачи,
60% остальных студентов допустили ошибки или решили не все задачи. Сколько
студентов сдавало экзамен, если 96 человек решили все задачи верно?




 ООО «Резольвента»,       www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика