Дифференциальные уравнения: Учебное пособие

Голосов: 13

Пособие содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюстрирующие основные понятия по теме "Дифференциальные уравнения". Разработаны варианты контрольных (семестровых) работ. Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших технических заведений всех специальностей и направлений.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Вариант 26
                                    Часть А
Найти общее решение дифференци- 5.Найти частное решение диффе-
ального уравнения 1-го порядка с раз- ренциального уравнения допускаю-
деляющимися переменными:                                                                    x
                                        щее понижение порядка: y ' ' ' = е .                2
a) yy ' x = ( y + 1)( x 2 − 1) ,
                                        6.Найти решение задачи Коши:
b) y  ′ 1 − x2 − x 1 − y2 = 0 .               (5 + x ) y ' '+ y ' = 0 , y(1) = 2, y ' (1) = 6 .
 2.Найти общее решение однородно- 7.Найти общее решение однородного
го дифференциального уравнения 1-го дифференциального уравнения 3-го
порядка:                                порядка:
                 x y′ = xy + y .
                   2             2                          y ' ' '+4 y ' '+3 y ' = 0 .
3.Найти общее решение линейного         8.Найти общее решение неоднород-
дифференциального уравнения 1-го        ного дифференциального уравнения
порядка: xy′ − 2 y = x + 1 .            2-го порядка:
                                                      y ' '+8 y '+16 y = −10e −4 x .
4.Найти общее решение дифферен-
циального уравнения в полных диф-       9.Решить систему дифференциаль-
ференциалах:                            ных уравнений:
                                                               ⎧ x' = 3 x − 4 y
( x 2 + y 2 + 2 x)dx + 2 xydy = 0 .                            ⎨                   .
                                                                                ⎩ y' = x + 4 y
                                              Часть В
Решить уравнения:
1. ( x − 5 y + 4 )dx − (3 x + y − 4 )dy = 0             5. y ' ' = y ' (1 + 4 y )
2. y ′ 1 − x 2 − x 1 − y 2 = 0                          6. xy ′ − y = y 2 + 2x 2
3. y ' '−8 y '−48 y = e , y (0) = 4, y ' (0) = 1
                       8x
                                                        7. y ' '+2 y ' = 6 e x ( cos x + sin x)
   dy       4 xy       1                                 ⎧ x′ = 4 x + y − e 2t 9. y ' '+ y = −сtg x
                                                                                                  2

4.      + 2       = 2     ,если y (0) = 1 ;           8. ⎨
   dx x + 1 x + 1                                        ⎩ y′ = y − 2 x
                                                 Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку М 0 (1,2) и обладающую тем свой-
ством, что в любой ее точке М касательный вектор MN с концом на оси Оу
имеет проекцию на ось Оу равную -1.
2. Решить уравнения:                                 3. Решить систему, записанную в
          2
а) ( y + x y) ⋅ dx − x ⋅ dy = 0                      векторной форме: x ' = Ax , где x – век-
в) y ' '+81y = 9 sin(9 x) + 3 cos(9 x) + 162e 9x     тор, A – данная матрица,
                еx                                                            ⎛ −1 − 2 2⎞
с) y ' '+ y ' =        , если                                                 ⎜           ⎟
             2 + ex                                                        A= ⎜ − 2 − 1 2 ⎟ .
y (0) = ln 27, y ' (0) = 1 − ln 9                                             ⎜ − 3 − 2 3⎟
                                                                              ⎝           ⎠




                                                   60


Вариант 27
                                            Часть А
1.Найти общее решение диффе-                   5.Найти частное решение диффе-
ренциального уравнения 1-го по-                ренциального уравнения допускающее
рядка с разделяющимися перемен- понижение порядка: y ' ' = 20 x 3 − 2 .
ными:                                                                                              x3
 a) xy ' = 1 + y 2 , b) 3 y' tg (3x ) = y .    6.Найти решение задачи Коши:
                                                      xy ' ' = 1 + y ' , y (0,5) = 0,5, y ' (0,5) = 1 .
 2.Найти общее решение однород-
ного дифференциального уравне-                 7.Найти общее решение однородного
ния 1-го порядка:                              дифференциального уравнения 3-го
          ( x − y ) ydx − x 2 dy = 0 .         порядка:
                                                                       y ' ' '−81y ' = 0 .
3.Найти общее решение линейного
                                               8.Найти общее решение неоднород-
дифференциального уравнения 1-го
                                               ного дифференциального уравнения 2-
                   3y
порядка: y′ +           =x.                    го порядка:
                    x                                  y ' '+4 y '+4 y = 2 cos(2 x) − 3 sin(2 x) .
4.Найти общее решение диффе-
                                               9.Решить систему дифференциаль-
ренциального уравнения в полных
                                               ных уравнений:
дифференциалах:
                                                                       ⎧ x' = 5 x + 4 y
 y                                                                     ⎨                 .
   dx + (ln( x) + 3 y )dy = 0 .
                        2
                                                                       ⎩ y' = 2 x + 3 y
 x
                                            Часть В
Решить уравнения:
1. (3 x − 2 y − 1) y ′ − ( x − y ) = 0         5. 7 xdy = 7 ydx + x 2 + y 2 dx
2. y′ − y ⋅ tg ( x ) + y 2 cos( x ) = 0                 6.    4 + y 2 ⋅ dx − y ⋅ dy = x 2 y ⋅ dy
3. y ' '−3 y '−18 y = xe 6 x , y (0) = 6, y ' (0) = 0   7. y ' '−18 y '+36 y = 5e 6 x
                    3 x +1                                 ⎧ x ′ = 2 x − 4 y + 4e −2t   9. xy' ' '+2 y ' = 0
4. y ' '+2 y '+ y =                                     8. ⎨
                      ex                                   ⎩ y′ = 2x − 2 y
                                           Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку М 0 (1,5) и обладающую тем свой-
ством, что в любой ее точке М касательный вектор MN с концом на оси
Оу имеет проекцию на ось Оу равную -2.
2. Решить уравнения:                          3. Решить систему, записанную в
а) xy ( xy′ + y) = 1
          2                                   векторной форме: x ' = Ax , где x – век-
                                              тор, A – данная матрица,
в) y ' ' '−64 y ' = −64е8 x + 128 cos(8 x)                     ⎛3 − 2⎞
                         1                                  A=⎜⎜4 −1 ⎟ .
                                                                       ⎟
с) y ' '−3 y '+2 y =       −x
                              , если                           ⎝       ⎠
                     1+ e
y (0) = 1 + 2 ln 2, y ' (0) = 3 ln 2




                                                         61


  С разделяющими переменными:                                  Дифференциальное уравнение                                        В полных дифференциалах:
  f1 ( x)ϕ1 ( y )dx + f 2 ( x)ϕ 2 ( y )dy = o .                 первого порядка: F(x; y; y′)=0                                       P ( x; y )dx + Q( x; y )dy = 0 .
                      f1 ( x)      ϕ2 ( y)
 Решение:         ∫ f ( x) dx = −∫ ϕ ( y) dy .
                       2            1
                                                                                                                             ∂P ∂Q                                 ∂P ∂Q
                                                             Приводящее к однородным:                              Если         =    ,                    Если        ≠    ,
                                                                                                                             ∂y   ∂x                               ∂y   ∂x
                                                                             ⎛ a x + b1 y + c1 ⎞
 Однородное: P( x; y )dx + Q( x; y )dy = 0                            y′ = f ⎜ 1
                                                                             ⎜a x+b y +c ⎟.    ⎟                    то находим                            то находим
                                                                             ⎝ 2             2 ⎠                                                                       ∂P ∂Q
                                                                                                                   u = ∫ P ( x; y )dx + C ( y ) ,
                                                                                      2
 Замена y = tx , dy = tdx + xdt .                                                                                                                                      ∂y
                                                                                                                                                                          −
                                                                                                                                                                            ∂x
                                                                                                                                                                   ∫             dx
                                                                                                                         ∂u                               t = e           Q
                                                                                                                   затем    = Q( x; y ) .
                                                                                    a1    b1                             ∂y                               или
         a1      b1                ⎧x = u + α,                             Если              = 0,                                                                      ∂Q ∂P
 Если              ≠ 0 , то замена ⎨            где (α ; β )                        a2    b2                       Вычисляем С(у) и                                      −
                                                                                                                                                                       ∂x ∂y
         a2     b2                 ⎩y = v + β ,                            тогда замена:                           подставляем в u.                               ∫          dy
                                                                                                                                                          t =e           P
                                                                                                                                                                                  .
                           ⎧ a x + b1 y + c1 = 0,                          a1 x + b1 y = t и
 точка пересечения прямых: ⎨ 1
                           ⎩a2 x + b2 y + c2 = 0.                                  1      a               Линейные:
                                                                            y′ =      t′ + 1                                                 Метод Лагранжа.
                                                                                   b1     b1            y′ + p ( x ) y = q ( x ) .     Решаем уравнение:
 Уравнение Лагранжа:
 y = x ⋅ ϕ ( y′) + ψ ( y′) . Под-                                                                                                      y′ + p ( x) y = 0. Получаем
                                             Уравнения не разре-
                                                                                                                                        y = C ( x )e ∫
 становка p = y’ . Полу-                     шенные относительно                       Метод Бернулли.                                              − P ( x ) dx
                                                                                                                                                                 . Нахо-
 чаем: ⎧ x = F ( p, C )                         производной                           Замена: y = u ⋅ v ,
                                                                                                                                       дим y′ и подставляем в ис-
         ⎨
        ⎩ y = xf ( p ) + ϕ ( p )
                                                                                      y′ = u′v + v′u .
                                                                                      Затем создаем сис-                               ходное уравнение. Вычис-
Уравнение Клеро:                             Уравнение y = f(y’) или
                                                                                               ⎧v′ + p( x)v = 0,                       ляем С(х) и подставляем
y = x ⋅ y′ + ψ ( y′) . Замена                x = f(y’). Замена: y′ = p .              тему: ⎨                                          полученный у.
y′ = p . После подстановки                   После подстановки по-                             ⎩ u′v = q( x)
          ⎧ x + ϕ ′( p) = 0,                           ⎧       f ′( p)                и решаем.                          Уравнение Дарбу
получаем: ⎨                    .             лучаем:   ⎪x = ∫          dp + C
                                                                              .                                           M ( x; y ) dx + N ( x; y ) dy + P ( x; y )( xdy − ydx ) = 0
                                                       ⎨          p
          ⎩ y = x ⋅ p + ϕ ( p)                         ⎪ y = f ( p)
                                                       ⎩                                                                 Замена y = z ⋅ x .




                                                                                     62


             СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.   Агишева Д.К., Короткова Н.Н., Мустафина Д.А. Математика II часть:
     Учеб.пособие / ВолгГТУ, ВПИ(филиал), Волгоград, 2004.- 94 с.
2.   Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики: Учеб. для
     студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – М.: Просвещение, 1995. – 464 с.: ил.
3.   Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер,
     Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. –
     2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
4.   Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ: Справ. Пособие. В
     2 ч. Ч I. – Мн: Выш. шк., 1989.
5.   Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: спра-
     вочное пособие по решению задач/ А.А. Гусак. – Изд-е 2-е, стереотип. –
     Мн.: «ТетраСистемс», 2001.
6.   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражне-
     ниях и задачах. В 2-х ч. Ч. I: Учеб. Пособие для втузов. – 5-е изд., испр. –
     М.: Высш. шк., 1999.
7.   Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анали-
     зу: Учеб.пособие для вузов. – 10-е изд., испр. – М.: Наука, 1990.
8.   Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анали-
     зу. М.: Высшая школа, 1969.
9.   Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. для втузов.
     – М., 1970.
10. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. – 2-е
     изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003.
11. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики. – Изд. 2-е, перераб. и
     доп. Учеб. пособие для втузов. – М.: «Высшая школа», 1969.
12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Изд.
     4-е, дополненное и переработанное. – М.: Издательство «Наука», 1973.
13. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей матема-
     тики ч.1. – М.: Высшая школа, 1978.


                                        63


                         Ирина Викторовна Ребро
                         Сергей Юрьевич Кузьмин
                        Неля Николаевна Короткова
                       Джамиля Алиевна Мустафина




                       Дифференциальные уравнения




                              Учебное пособие




                         Редактор О.П. Чеботарева
                          Темплан 2006, поз.№ 27
                     Лицезия ИД № 04790 от 18.05.2001




Подписано в печать ____19. 12. 06.______. Формат 60x84 1/16.
Бумага газетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 3, 72
Уч.-изд.л. 3, 84 Тираж 300. Заказ__977__.

Волгоградский государственный технический университет.
400131 Волгоград, просп. им. В.И. Ленина, 28.
РПК ”Политехник” Волгоградского государственного технического
университета.
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.




                                     64



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика