Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебно-методическое пособие

Голосов: 0

Учебно-методическое пособие для студентов, разработанное в Учебном центре "Резольвента". В пособии рассмотрены следующие вопросы: 1. Множества, функции и последовательности; 2. Точки непрерывности и точки разрыва функций; 3. Производные функций; 4. Применение производных для исследования поведения функций. Приведены вопросы для самоконтроля и задания для самостоятельной работы.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

         Учебный центр «Резольвента»



         Доктор физико-математических наук, профессор



                         К. Л. САМАРОВ




                      МАТЕМАТИКА



             Учебно-методическое пособие по разделу


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
                  ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ




                                                            © К. Л. Самаров, 2009
                                                    © ООО «Резольвента», 2009




 ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


    ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

                               СОДЕРЖАНИЕ
1   Множества, функции и последовательности ………………………….                                3
    1.1 Множества и операции над ними ………………………………......                               3
    1.2 Числовые функции одного переменного …………………………..                               3
    1.3 Числовые последовательности ...…………………………………...                                5
    1.4 Вычисление пределов последовательностей и функций ………….                        5
2   Точки непрерывности и точки разрыва функций …………………….                              12
3   Производные функций ………………………………………………….. 16
4   Применение производных для исследования поведения функций ….. 20
    4.1 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ………. 20
    4.2 Исследование функции на экстремумы ……………………………. 22
    4.3 Правило Лопиталя ………………………...………………………… 24
    4.4 Выпуклость функции, точки перегиба …………………………….. 25
    4.5 Формула Тейлора ……………………………………….…………... 26
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ……………………………………….. 28
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ………………………. 30
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... 31




    ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10    2


     ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

         1. МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

                     1.1 Множества и операции над ними
     •     Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств A и B , называется объединением
(суммой) множеств и обозначается A U B или A + B .
     •     Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат как множеству A , так и множеству B , называется пересечени-
ем (произведением) множеств и обозначается A I B или A ⋅ B .
     •     Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат множеству A , но не принадлежат множеству B , называется
разностью множеств A и B и обозначается A \ B .
     •     Если A ⊂ B , то разность множеств B \ A называется дополнением
множества A до множества B .
     •     Множество ( A \ B ) U ( B \ A) называется симметрической разностью
множеств A и B и обозначается A# B .
     Пример 1.1.1. Рассмотрим два числовых множества:
                           A = {−3,1,4,7} , B = {−5,0,1,8} .
Найти множества: A + B , A ⋅ B , A \ B , B \ A , A# B .
     Решение. Воспользовавшись приведенными определениями, получаем:
                A + B = {−5, −3,1,4,7,8}, A ⋅ B = {1} , A \ B = {−3,4,7} ,
                       B \ A = {−5,0,8} , A# B = {−5, −3,4,7,8} .

                 1.2 Числовые функции одного переменного
     •     Пусть X – некоторое числовое множество. На множестве X задана
числовая функция f , если указан закон, по которому каждому элементу x из
множества X ставится в соответствие некоторое число y = f ( x ) .
     •     Число x называется аргументом функции f или независимой пе-
ременной, а множество X называется областью определения функции f .



     ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   3


    ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

    •      Множество Y всех тех и только тех элементов { y} , таких, что
y = f ( x ) при x ∈ X , называется множеством значений функции f .
    •      Часто в задачах известна формула, задающая соответствие (закон,
функцию) f , и требуется найти наиболее широкое множество, для каждого
элемента которого определено соответствие f . В этом случае указанная за-
дача формулируется так: – «Найти область определения функции y = f ( x ) ».
    •      Иногда в задачах требуется найти не только область определения
функции, но и ее множество значений.
    Пример 1.2.1. Найти область определения функции

                                                    x+2
                                     y = ln 2 x +        .
                                                    3− x

    Решение. Область определения данной функции задается системой не-
равенств
                                          2 x > 0,
                                          
                                          x+2
                                           3 − x ≥ 0,
                                          

которая эквивалентна системе неравенств
                                            x > 0,
                                           
                                            x < 3,
                                           
                                            x ≥ −2.
Решением этой системы является интервал x ∈ ( 0, 3) .

    Ответ. x ∈ ( 0, 3) .
    Пример 1.2.2. Найти множество значений функции

                                       y = x2 + 4x + 3 .

    Решение. Поскольку

                   x 2 + 4 x + 3 = x 2 + 4 x + 4 − 1 = ( x + 2) − 1 = y ≥ −1 ,
                                                               2


то для каждого числа y ≥ −1 существует решение уравнения


    ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,        resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   4


    ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,    resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

                                 x2 + 4x + 3 = y ,

определяемое формулой

                                  x = −2 ± y + 1 .

Ответ. Множество значений рассматриваемой функции имеет вид: [−1, + ∞ ) .

                     1.3 Числовые последовательности
    •      Бесконечной числовой последовательностью {an , n ∈ N } называется
числовая функция, областью определения которой является множество N
натуральных чисел.
    •      Часто последовательность задается с помощью явной формулы, на-
пример,
                                  an = 2n , n ∈ N ,
или с помощью рекуррентного соотношения, например,
                         an+2 = an + an+1;     a1 = 1, a2 , = 1.
Существуют и другие способы задания последовательностей.
    •      Последовательность {an } называется ограниченной, если существу-
ет число M такое, что при всех значениях n выполняется неравенство
                                     an ≤ M .
    •      Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется не-
ограниченной.
    •      Важными частными случаями бесконечных последовательностей
являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

          1.4 Вычисление пределов последовательностей и функций

    •      Число a называется пределом последовательности {an } , если для
любого положительного числа ε найдется такое натуральное число M , что
при всех n > M выполняется неравенство an − a < ε .




    ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,    resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   5


     ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,           resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

     •    Условие того, что число a является пределом последовательности
{an } , записывается с помощью обозначения
                                             lim an = a
                                             n→∞

или с помощью обозначения
                                     an → a при n → ∞ .
     •    Число b называется пределом функции f ( x ) при x , стремящемся к
a , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное
число δ , что при всех x ≠ a , удовлетворяющих неравенству x − a < δ , будет
выполняться неравенство f ( x ) − b < ε .

     •    Условие того, что число b является пределом функции f ( x ) при x ,
стремящемся к a , записывается с помощью обозначения
                                            lim f ( x ) = b
                                            x →a

или с помощью обозначения
                                    f ( x ) → b при x → a .
     •    Если при x , стремящемся к a , существуют пределы функций f1( x )

и f 2 ( x ) , то при x , стремящемся к a , существуют также и пределы суммы,

разности и произведения этих функций, причем

                       x →a
                           (                    )
                       lim f1( x ) + f 2 ( x ) = lim f1( x ) + lim f 2 ( x ) ,
                                                 x →a          x →a



                       x →a
                           (                    )
                       lim f1( x ) − f 2 ( x ) = lim f1( x ) − lim f 2 ( x ) ,
                                                 x→a           x→a



                        x →a
                               (                )
                        lim f1( x ) ⋅ f 2 ( x ) = lim f1( x ) ⋅ lim f 2 ( x ) .
                                                  x→a           x →a


Если, кроме того, lim f 2 ( x ) ≠ 0 , то при x , стремящемся к a , существует пре-
                  x →a

            f1( x )
дел дроби            , причем
            f 2 ( x)

                                        f ( x)       lim f1( x )
                                                      x →a
                                    lim 1      =                     .
                                    x →a   f 2 ( x ) lim f 2 ( x )
                                                     x →a




     ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,           resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   6


    ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

    •    Для пределов последовательностей справедливо аналогичное ут-
верждение.
    •    Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы чис-
лителя и знаменателя дроби равны ∞ , то вычисление такого предела назы-
                                            ∞
вают раскрытием неопределенности              .
                                            ∞
                                                                         ∞
    •    В алгебраических выражениях неопределенность                      раскрывается с
                                                                         ∞
помощью деления числителя и знаменателя на старший член выражения.
    •    Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы чис-
лителя и знаменателя дроби равны 0 , то вычисление такого предела называ-
                                       0
ют раскрытием неопределенности           .
                                       0
                                                                         0
    •    В алгебраических выражениях неопределенность                      при х → а рас-
                                                                         0
крывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя
рациональной дроби с последующим сокращением на соответствующую сте-
пень множителя (x - а).
                                                                               0
    •    В тригонометрических выражениях неопределенность                        раскрыва-
                                                                               0
ется с помощью первого замечательного предела
                                           sin α
                                    lim            = 1.
                                    α →0     α
    •    Если при нахождении предела степени некоторого выражения вы-
ясняется, что предел основания степени равен 1, а предел показателя степени
равен ∞ , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределен-
ности 1∞ .
    •    Неопределенность 1∞ раскрывается с помощью второго замеча-
тельного предела:
                                              1
                                  lim (1 + α) α    =e.
                                  α→0


    ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   7


       ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

      •      Второй замечательный предел удобно использовать и в другой
форме:
                                                 ln (1 + α )
                                             lim             = 1.
                                             α→0     α
      •      При решении задач на вычисление пределов часто используются
следующие формулы:

                                                   a−b
a 2 − b2 = ( a − b ) ⋅ ( a + b ) ,   a− b=              ;
                                                   a+ b
                       (
a3 ± b3 = ( a ± b ) ⋅ a 2 m ab + b2 ;   )
( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b2;
         2

                                                c             b
ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 ), x1 ⋅ x2 = , x1 + x2 = − , a ≠ 0;
                                                a             a
                   α
1 − cosα = 2sin 2 ;
                   2
                        α −β         α+β
cosα − cosβ = −2sin            ⋅ sin        .
                           2           2

      •      В случае k > 0 выполнено соотношение
                                                       1
                                               lim          =0 .
                                               n→∞
                                                       nk

      •      В случае 0 < a < 1 выполнено соотношение

                                                   lim a n = 0 .
                                                n→∞

      Пример 1.4.1. Найти предел последовательности

                                               22n+1 + 3n+2
                                             lim            .
                                            n→∞ 4n+2 + 5


      Решение.

                                                                  3n
                    22n+1 + 3n+2              2 ⋅ 4n + 9 ⋅ 3n           2 + 9⋅
              lim                     = lim            = lim      4n = 2 = 1 .
             n→∞       4n+2 + 5        n→∞ 16 ⋅ 4n + 5  n→∞       5
                                                             16 + n 16 8
                                                                 4
      Пример 1.4.2. Найти предел последовательности


       ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   8


    ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,       (495) 509-28-10


                              (
                        lim n 4 + 2n 2 + n + 1 − n 4 − 3n 2 + 5
                        n→∞
                                                                               ) .

    Решение.


  lim  n 4 + 2n 2 + n + 1 − n 4 − 3n 2 + 5  = n→∞
                                             lim
                                                              (n4 + 2n2 + n + 1) − (n4 − 3n2 + 5)
                                                                                        =
  n→∞ 
                                                  n 4 + 2n 2 + n + 1 + n 4 − 3n 2 + 5

                                                                           1 4
                                                                    n2  5 + − 2 
                   5n 2 + n − 4                                            n n 
= lim                                            = lim                                    =
 n→∞                                               n→∞
         n 4 + 2n 2 + n + 1 + n 4 − 3n 2 + 5             n2
                                                                 2 1 1
                                                              1+ 2 + 3 + 4 + n 2 1− 3 + 5
                                                                n n n              n2 n4

                                             1 4
                                          5+ n − 2                         5   5
                    = lim                       n                     =       = .
                      n→∞           2 1 1       3 5                         1+ 1 2
                              1+       + + + 1− 2 + 4
                                      2 n3 n 4
                                    n          n n

    Пример 1.4.3. Найти предел функции

                                                      x3 + 8
                                         lim                    .
                                        x→ − 2    3x 2 + x − 10

    Решение.


        lim
                  x3 + 8
                           = lim
                                                  (
                                  ( x + 2) ⋅ x 2 − 2 x + 4
                                                           = lim
                                                                    )
                                                                   x2 − 2x + 4    12
                                                                                =− .
    x→ − 2    3x 2 + x − 10 x→ − 2 3( x + 2 ) ⋅  x − 5    x→ − 2 3⋅  x − 5    11
                                                                           
                                                     3                   3

    Пример 1.4.4. Найти предел функции

                                                   4 x 2 − 9 x − 55
                                         lim                        .
                                         x→5      4 x + 5 − 20 + x

    Решение.


                                                                   4 (
                                                                      4 x + 5 + 20 + x )
                                                                  11 
                                                 4 ( x − 5)  x +
                                                            
                  4 x 2 − 9 x − 55                         
          lim                          = lim                                              =
          x→5    4 x + 5 − 20 + x        x→5                 ( 4 x + 5) − ( 20 + x )




    ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,      resolventa@list.ru,       (495) 509-28-10   9


    ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,      (495) 509-28-10


                              4 (
                                     4 x + 5 + 20 + x )
                             11 
          4 ( x − 5)  x +
                     
                                                        = lim  x +  ( 4 x + 5 + 20 + x ) =
                                                            4    11
  = lim
   x→5                         3( x − 5)                  x→5 3 
                                                                   4                      .
                                                   310
                                                =
                                                    3
    Пример 1.4.5. Найти предел функции

                                                           x3 − 2 x 2
                                              lim                      .
                                              x→0       cos3x − cos8 x

    Решение.

                                                             5x   11x 
                                                                           x 2 ( x − 2) 
lim
          x3 − 2 x 2
                  = lim
                             ( x − 2) = lim
                                         x2                     
                                                             2  2 
                                                                        
                                                                            =
                                                                                        
x→0 cos3x − cos8 x x→0      5x      11x x→0  5x   11x   5x   11x 
                        2sin ⋅ sin          2  sin   sin           
                             2       2            2       2  2  2 

                                 5x           11x 
                                 2            2 
                       = lim         ⋅ lim         ⋅ lim ( x − 2) = − 4 .
                         x→0     5x  x→0  11x  x→0 2 ⋅ 5 ⋅ 11        55
                              sin 2        sin 2            2 2
                                                    

    Пример 1.4.6. Найти предел функции

                                                                3x
                                                          1 + sin
                                              lim                2 .
                                              x→ π ( 2 x − π ) cos5x
                                                 2

    Решение. Чтобы вычислить данный предел сделаем сначала замену пе-
                  π                                 π
ременного x = + z . Поскольку x → ⇔ z → 0 , получаем
                  2                                 2


                                      1 + sin  + 3z 
                      3x                          3π
              1 + sin                           2                  1 − cos3z
    lim                2  = lim                              = lim                 =
    x→ π ( 2 x − π ) cos5x z→0                         5π    z→0 2 z ⋅ ( − sin5z )
       2                        ( π + 2 z − π ) ⋅ cos  + 5z 
                                                       2    

                                                   2
                                      2 3z ⋅  3z  ⋅ 5 z
                                                                                      ( )
                                                                                            2
                                                   ( )
                          3z
                   2sin 2        sin
                                         2 2
                                                                                        3
      = − lim          2 = − lim                         = − lim                       2 =− 9 .
          z→0 2 z ⋅ sin5z    z→0      3z 
                                           2                  z→0                       5   20
                                 z ⋅   ⋅ (sin 5z ) ⋅ 5z
                                      2
                                      



    ООО «Резольвента»,            www.resolventa.ru ,         resolventa@list.ru,      (495) 509-28-10   10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика