Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Квадратный трехчлен: Учебно-методическое пособие для школьников

Голосов: 1

Учебно-методическое пособие для подготовки школьников к ЕГЭ и ГИА, разработанное в Учебном центре "Резольвента". В пособии рассмотрены следующие вопросы: 1. Квадратный трехчлен. Квадратное уравнение; 2. Выделение полного квадрата; 3. Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант; 4. Прямая и обратная теоремы Вийета; 5. Разложение квадратного трехчлена на множители; 6. График квадратного трехчлена. Координаты вершины параболы, точки пересечения параболы с осями координат. Приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. &nbsp; <a href="http://window.edu.ru/window/library?p_mode=1&p_qprovider=314&p_rubr=2.1.11" target="_blank">Пособия Учебного центра "Резольвента" для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ->></a>

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
           ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


               Учебный центр «Резольвента»

               Доктор физико-математических наук, профессор



                               К. Л. САМАРОВ


                   КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

                Учебно-методическое пособие для школьников




                                                                  © К. Л. Самаров, 2010
                                                          © ООО «Резольвента», 2010


    Квадратным трехчленом относительно x называют многочлен 2-й сте-
пени

                                     ax 2 + bx + c,
где a, b, c - числа, называемые коэффициентами квадратного трехчлена, a ≠ 0 .
    Квадратным уравнением называют уравнение относительно x вида:
                                    ax 2 + bx + c = 0 .
    Решения квадратного уравнения, т.е. значения x, при которых квадрат-
ный трехчлен обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена
(уравнения).
    Пример 1. Найти все значения параметра p, при которых один из кор-
ней уравнения
                                ─ 3x2 + 2px + 8p = 0
равен 2.

       ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   1


        ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,     resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

    Решение. Подставив в уравнение число x = 2, получим
                             −3 ⋅ 22 + 2 p ⋅ 2 + 8 p = 12 p − 12 = 0,
                                      12 p = 12, p = 2.
    Ответ: p = 2.
    Выделением полного квадрата называют представление квадратного
трехчлена в виде:

                                               b  b 2 − 4ac
                                                        2
                                         
                         ax + bx + c = a  x +
                              2
                                                   −        .
                                              2a     4a
Чтобы получить эту формулу, проведем следующие вычисления, основой кото-
рых является формула для квадрата суммы двух слагаемых:
                                        b   c               b   c
                ax 2 + bx + c = a  x 2 + x +  = a  x 2 + 2 ⋅ x +  =
                                        a   a               2a  a
        2      b     b   b  c
                           2      2
                                        2     b   b2  b2 c 
    = a x + 2 ⋅ x +   −   +  = a x + 2 ⋅ x + 2 − 2 +  =
               2a                   
                      2a   2a  a         2a  4a  4a  a
       
       2      b   b2       b2      c    2      b   b 2  b 2 4ac
   = a x + 2 ⋅ x + 2  − a ⋅ 2 + a ⋅ = a x + 2 ⋅ x + 2  −   +    =
              2a  4a       4a      a           2a  4a  4a 4a
                                           b  b 2 − 4ac
                                                  2
                                     
                                  = a x +     −        .
                                          2a     4a
    Выделение полного квадрата позволяет также найти корни квадратного
трехчлена.
    Действительно, если квадратный трехчлен имеет корни, то
                               b  b 2 − 4ac              b  b 2 − 4ac
                                       2                                    2
                                                   
     ax + bx + c = 0 ⇔ a  x +
         2
                                   −        = 0 ⇔ a x +     =        ⇔
                              2a     4a                2a     4a
                                       b  b 2 − 4ac
                                                  2
                                   
                                  ⇔x+     =
                                      2a    4a 2
Поскольку левая часть последнего выражения неотрицательна, то для того,
чтобы у уравнения существовали корни, необходимо и достаточно, чтобы и
правая часть была неотрицательной, а это возможно лишь в том случае, когда
число
                                           D = b 2 − 4ac ,

        ООО «Резольвента»,    www.resolventa.ru ,     resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   2


     ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

называемое дискриминантом квадратного уравнения, больше или равно ну-
лю. При этом

                     b     b 2 − 4ac      b  b 2 − 4ac
                  x+    =±           ⇔ x=− ±           ⇔
                     2a       4a 2        2a    4a 2
              b  b 2 − 4ac     −b ± b 2 − 4ac     −b ± D
         ⇔ x=− ±           ⇔x=                ⇔x=        .
              2a    2a              2a               2a
    Итак, формула корней квадратного уравнения имеет вид:

                                         −b ± b 2 − 4ac
                                  x1,2 =                .
                                              2a
    Если дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два
различных корня. Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение
имеет два совпавших корня. Если дискриминант отрицателен, то квадратное
уравнение корней не имеет.
    Из формулы для корней квадратного уравнения вытекает теорема Виета:
Корни квадратного уравнения
                                     ax 2 + bx + c = 0
являются решениями системы уравнений
                                                   b
                                       x1 + x2 = − a ,
                                      
                                      
                                      x ⋅ x = с .
                                       1 2 a
                                      
Действительно, если x1 и x2 ─ корни квадратного уравнения, то

                           −b − b 2 − 4ac −b + b 2 − 4ac −2b   b
               x1 + x2 =                 +              =    =− ,
                                2a             2a         2a   a
Таким образом, первое уравнение системы выполнено. Чтобы проверить вы-
полнимость второго уравнения системы, нужно воспользоваться одной из фор-
мул сокращенного умножения, а именно, формулой разности квадратов двух
чисел:




     ООО «Резольвента»,      www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   3


       ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,      (495) 509-28-10


                                                                                 (              )
                                                                                                    2
                   −b − b 2 − 4ac   −b + b 2 − 4ac  ( −b ) − b − 4ac
                                                                             2         2

        x1 ⋅ x2 =                 ⋅                =                                                =
                        2a               2a                 4a 2
                                                   
                             b 2 − ( b 2 − 4ac )     b 2 − b 2 + 4ac 4ac c
                         =                         =                = 2= .
                                    4a 2                   4a 2      4a  a
      Теорема Виета доказана.
      Справедлива и обратная теорема Виета:
      Если пара чисел ( u , v ) является решением системы уравнений

                                                          b
                                              u+v=− ,
                                                          a
                                              
                                              u ⋅ v = с ,
                                              
                                                      a
то эти числа u и v являются корнями квадратного уравнения
                                            ax 2 + bx + c = 0 .
      Очень важной является формула разложения квадратного трехчлена на
множители. Чтобы получить эту формулу, проведем следующие вычисления,
основой которых является теорема Виета:
         a ( x − x1 )( x − x2 ) = a ( x 2 − xx1 − xx2 + x1 x2 ) = a ( x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 ) =
                                           b   c
                                 = a  x 2 + x +  = ax 2 + bx + c.
                                           a   a
Таким образом, если дискриминант квадратного трехчлена неотрицателен,
то квадратный трехчлен раскладывается на множители:
                                  ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ),
где

                             −b − b2 − 4ac                    −b + b2 − 4ac
                        x1 =               ,             x2 =               .
                                  2a                               2a
При этом в случае, когда дискриминант равен нулю, выполняется соотноше-
ние x1 = x2 и разложение на множители имеет вид:

                                      ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) 2 .
      Пример 2. Сократить дробь
       ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,       resolventa@list.ru,      (495) 509-28-10        4


     ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,     resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10

                                            x2 + 6x − 7
                                               x+7
    Решение. Разложим сначала квадратный трехчлен, стоящий в числителе
дроби, на множители:
                                        −6 ± 36 + 28 −6 ± 8
            x 2 + 6 x − 7 = 0, x1,2 =                      =          , x1 = −7, x2 = 1,
                                                2               2
                                  x 2 + 6 x − 7 = ( x + 7 )( x − 1) .

Поэтому
                              x 2 + 6 x − 7 ( x + 7 )( x − 1)
                                           =                  = x − 1.
                                  x+7             x+7
    Ответ: x − 1.
    Перейдем теперь к свойствам графика квадратного трехчлена.
    График функции y = ax 2 + bx + c              ( a ≠ 0)   называется параболой. На рис.1

изображен график параболы y = x 2 .




                                              Рис. 1
    При a > 0 ветви параболы y = ax 2 направлены вверх. При a < 0 ветви па-
раболы направлены вниз. Вершина параболы совпадает с началом системы ко-
ординат.
    В соответствии с формулой

                                                 b  b 2 − 4ac
                                                             2
                                           
                       ax + bx + c = 0 = a  x +
                          2
                                                     −        ,
                                                2a     4a


     ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,     resolventa@list.ru,    (495) 509-28-10   5


       ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

графиком функции (квадратного трехчлена) y = ax 2 + bx + c является пара-

бола y = ax 2 , сдвинутая так, чтобы ее вершина (Рис. 2) попала в точку

M v = ( xv ; yv ) , где

                                                      b
                                            xv = −      ,
                                                     2a
                                                    4ac − b 2
                          2
                b       b        b2 b2     b2               D
        yv = a  −  + b  −  + c =   −   +c=− +c=           =− .
                2a      2a       4a 2a     4a     4a        4a




                                               Рис. 2
     Последнюю формулу запоминать не нужно. Значение y v вычисляется при
                                                                               b
помощи        подстановки         координаты        вершины            x=−           в   формулу
                                                                              2a

y = ax 2 + bx + c .

     Парабола y = ax + bx + c пересекает ось OY в точке с координатами
                              2



(0, с). При a > 0 ветви параболы направлены вверх. При a < 0 ветви параболы

направлены вниз. В случае a > 0 функция y = ax + bx + c в точке                          xv дости-
                                                                2



гает наименьшего значения. В случае a < 0 функция y = ax + bx + c в точке
                                                                              2



xv достигает наибольшего значения.




       ООО «Резольвента»,         www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10    6


      ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

     Если квадратный трехчлен имеет два различных корня (дискрими-
нант положителен), то парабола пересекает ось OX в точках с координатами

( x1;0 )   и   ( x2 ; 0 ) .
     Если квадратный трехчлен имеет два совпавших корня (дискрими-
нант равен 0), то парабола касается оси OX в точке с координатой ( xv ;0 ) . В
этом случае
                                                         b
                                     x1 = x2 = xv = −       .
                                                         2a
     Если квадратный трехчлен корней не имеет (дискриминант отрицате-
лен), то парабола ось OX вообще не пересекает.
     Пример 3. Определить знаки коэффициентов a, b, c , исходя из расположе-

ния параболы ax 2 + bx + c , изображенной на рис. 2, относительно осей коорди-
нат (стр. 6).
     Решение. Поскольку ветви параболы направлены вверх, то a > 0. По-
скольку парабола пересекает ось OY в точке с отрицательной ординатой, то
                                                                             b
c < 0. Поскольку x –я координата вершины параболы xv = −                        > 0, то, в силу
                                                                             2a
того, что a > 0 , заключаем, что b < 0.
     Ответ: a > 0, b < 0, c < 0.
     Пример 4. Найти координаты точек пересечения графиков функций
                              y = 5 – x, y = x2 ─ 3x + 2.

     Решение. Координаты            ( x; y)   каждой точки пересечения графиков ука-
занных функций удовлетворяют системе уравнений:

                                       y = 5 − x,
                                      
                                       y = x − 3 x + 2.
                                             2



Поэтому,



      ООО «Резольвента»,        www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   7


     ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

                x 2 − 3 x + 2 = 5 − x, x 2 − 2 x − 3 = 0, x1 = −1, x2 = 3,
                              y1 = 5 − x1 = 6, y2 = 5 − x2 = 2.
    Ответ: ( −1;6 ) , ( 3;2 ) .
    Пример 5. Найти все значения параметра p, при которых один из корней
уравнения

                                  ( p − 2 ) x 2 − ( p − 4) x − 2 = 0
на 3 больше другого.

    Решение. Пусть x1 и x2 ─ корни данного уравнения. По условию задачи

и в соответствии с теоремой Виета числа x1 , x2 , p удовлетворяют системе
уравнений:

                                                     p−4
                                         x1 + x2 =       ,
                                                      p−2
                                        
                                                      2
                                         x1 ⋅ x2 = −       ,
                                                     p−2
                                         x2 = x1 + 3.
                                        
                                        
Решим эту систему уравнений:

                 p−4                     p−4                    p−4
     x1 + x2 =          x1 + x1 + 3 =              2 x1 + 3 =
                  p−2                      p−2                     p−2
                                                  
                  2                          2                          2
     x1 ⋅ x2 = −     ⇔  x1 ⋅ ( x1 + 3 ) = −     ⇔  x1 ⋅ ( x1 + 3 ) = −
                 p−2                        p−2                        p−2
     x2 = x1 + 3        x2 = x1 + 3                x2 = x1 + 3
                                                  
                                                  
Из первого уравнений полученной системы находим:

          1 p −4      1  p − 4 − 3p + 6                     1  −2 p + 2         p −1
      x1 =        − 3 =                 =                                 =−           .
          2 p − 2      2      p−2                           2 p −2             p−2
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

     ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10    8


      ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10

                        p −1   p −1         p − 1  3 p − 6 − p + 1 
    x1 ⋅ ( x1 + 3) = −       ⋅−     + 3 = −                        =
                        p−2  p−2            p − 2       p−2        
                             p − 1  2 p − 5      2
                         = −                 =−     .
                             p − 2  p − 2       p−2
Следовательно,
               p − 1  2 p − 5    2
                              =      ⇒ ( p − 1)(2 p − 5) = 2( p − 2) ⇔
               p − 2  p − 2  p − 2
                ⇔ 2 p2 − 2 p − 5 p + 5 = 2 p − 4 ⇔ 2 p2 − 9 p + 9 = 0 ⇔
                              9 − 81 − 72 9 − 3 6 3
                         p1 =            =      = = ,
                                  4         4      4 2
                       ⇔
                         p = 9 + 81 − 72 = 9 + 3 = 12 = 3.
                         2
                                   4         4      4
               3
    Ответ: p1 = , p2 = 3.
               2
    Пример 6. Найти все значения параметра p, при которых отношение кор-
ней уравнения
                                px 2 − ( p + 3) x + 3 = 0
равно (-2).
    Решение. Пусть x1 и x2 ─ корни данного уравнения. По условию задачи и

в соответствии с теоремой Виета числа x1 , x2 , p удовлетворяют системе урав-
нений:
                                               p+3
                                    x1 + x2 =      ,
                                                 p
                                   
                                             3
                                    x1 ⋅ x2 = ,
                                              p
                                    x2 = −2 x1.
                                   
                                   
Решим эту систему уравнений:




      ООО «Резольвента»,   www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   9


     ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10


                             p+3           p+3          p+3
                  x1 + x2 =         − x1 =        x1 = − p
                 
                               p
                                    
                                               p   
                            3                3   
                                                     p +3
                                                                  2
                                                                    3
                  x1 ⋅ x2 =      ⇔ −2 x1 =     ⇔ −2  −       = p
                                           2

                            p                p            p 
                  x2 = −2 x1        x2 = −2 x1    x2 = −2 x1
                                                 
                                                 
                                                   
Из второго уравнения полученной системы находим:
                          2
             p +3  3
         −2  −    = ⇒ 2( p + 3) = −3 p ⇔ 2 p + 12 p + 18 = −3 p ⇔
                                 2            2

               p   p
                                      −15 −            225 − 144 −15 − 9
                                 p1 =
                                
                                                                 =        = −6
      ⇔ 2 p 2 + 15 p + 18 = 0 ⇔                        4           4
                                 p = −15 +             225 − 144 −15 + 9
                                                                 =
                                                                              6
                                                                          =− =−
                                                                                3
                                 2
                                                       4            4        4 2
                          3
    Ответ: p1 = −6, p2 = − .
                          2
    Пример 7. Найти все значения параметра p, при которых сумма квадратов
корней уравнения
                                  x 2 − (2 p + 1) x + p 2 + p − 2 = 0
минимальна. Чему равно минимальное значение?
    Решение. Поскольку дискриминант уравнения

             D = ( 2 p + 1) − 4 ( p 2 + p − 2 ) = 4 p 2 + 4 p + 1 − 4 p 2 − 4 p + 8 = 9,
                              2


то корни уравнения
             2 p +1− 3 2 p − 2 1               2 p +1+ 3 2 p + 4 1
      x1 =            =       = ( p − 1), x2 =          =       = ( p + 2).
                 4        4    2                   4        4    2
Следовательно,
                     1           1            1
         x12 + x2 2 = ( p − 1)2 + ( p + 2)2 = ( p 2 − 2 p + 1 + p 2 + 4 p + 4) =
                     4           4            4
                              1                 p2 p 5
                           = ( p 2 + 2 p + 5) =    + + ,
                              4                 4 2 4
причем функция


     ООО «Резольвента»,           www.resolventa.ru ,   resolventa@list.ru,   (495) 509-28-10   10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика