Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математический анализ. Метод математической индукции. Точные границы числовых множеств: Учебное пособие

Голосов: 13

Данное пособие посвящено методу математической индукции и понятиям точных границ числовых множеств. Метод математической индукции - метод доказательства, который по своему существу связан с понятием числа и в первую очередь имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел. Однако понятие числа является основным не только в теории чисел, но и во всей математике, поэтому метод математической индукции широко используется в самых разнообразных её областях. Понятия точных границ числовых множеств являются основными понятиями в теории числовых множеств и лежат в основе базовых теорем математического анализа.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
      ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
 ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»




                                                 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 11
                                                 сентября 2007 г., протокол № 1



    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ – 1.
 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ


      Учебно-методическое пособие для вузов

                  Составители:
                   С.П. Зубова,
                  О.К. Плетнёва,
                   Е.В. Раецкая                  Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического
                                                 анализа математического факультета Воронежского государственного уни-
                                                 верситета.


                                                 Рекомендуется для студентов первого курса дневного отделения в помощь
                                                 при изучении дисциплины «Математический анализ».




                                                 Для специальности: 010101 – Математика
        Издательско-полиграфический центр        и направления: 010200 – Математика. Прикладная математика
    Воронежского государственного университета
                       2007


                                                                                  2


                                         Cодержание                                                                                              Введение

Введение .................................................................................................. 4         Одной из важнейших задач современной высшей школы является
1. Метод математической индукции ..................................................... .5
                                                                                                                 активизация поисков путей повышения эффективности самостоятельной
2. Применение метода математической индукции для доказательства
равенств…................................................................................................. 5     работы студентов, что продиктовано необходимостью формировать у обу-
3. Применение метода математической индукции для доказательства
                                                                                                                 чающихся познавательную самостоятельность, поисковые умения, спо-
неравенств ................................................................................................. 7
4. Формула бинома Ньютона .................................................................. 9                   собность применять фундаментальные знания в дальнейшей профессио-
5. Верхние и нижние границы числовых множеств ........................... 14
                                                                                                                 нальной деятельности.
6. Свойства точных границ множества................................................ 15
Литература .............................................................................................. 18          Предлагаемое пособие открывает серию изданий, которые обеспечат
                                                                                                                 организацию самостоятельной работы студентов математического фа-
                                                                                                                 культета Воронежского государственного университета. С их помощью
                                                                                                                 обучающиеся смогут самостоятельно разобраться в отдельных темах кур-
                                                                                                                 са математического анализа. Большое количество детально разобранных
                                                                                                                 примеров с подробной теоретической аргументацией позволит студентам
                                                                                                                 различного уровня подготовленности усвоить представленный материал.
                                                                                                                      Данное пособие посвящено методу математической индукции и по-
                                                                                                                 нятиям точных границ числовых множеств.
                                                                                                                      Метод математической индукции – метод доказательства, который
                                                                                                                 по своему существу связан с понятием числа и в первую очередь имеет
                                                                                                                 наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел. Однако
                                                                                                                 понятие числа является основным не только в теории чисел, но и во всей
                                                                                                                 математике, поэтому метод математической индукции широко использу-
                                                                                                                 ется в самых разнообразных её областях.
                                                                                                                      Понятия точных границ числовых множеств являются основными
                                                                                                                 понятиями в теории числовых множеств и лежат в основе базовых теорем
                                                                                                                 математического анализа.




                                                 3                                                                                                  4


                    1. Метод математической индукции                                    Нужно теперь доказать, что если справедливо утверждение Pk (т. е.,
                                                                                   если ak ∈ Z ), то справедливо и Pk +1 (т. е. ak +1 ∈ Z ). Имеем
      Метод математической индукции применяется в том случае, когда                                                         3k +1 + 3( k +1)+1 + 3( k +1)+ 2
нужно доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального                                           ak +1 =                                    .
числа n, начиная с n0 ∈ N .                                                                                                             117
      Для доказательства достаточно доказать:                                           Преобразуем последнюю дробь, вынеся в числителе множитель 3 за
      1) что это утверждение верно для n = n0;                                     скобки:
      2) что если это утверждение верно для некоторого k ∈ N , k ≥ n0 , то
оно верно и для k + 1.                                                                                3k +1 + 3( k +1)+1 + 3( k +1)+ 2    3k + 3k +1 + 3k + 2
      Таким образом, пусть требуется доказать справедливость                                                                           =3                     = 3 ⋅ ak .
утверждения Pn для n ∈ N , k ≥ n0 . Тогда если                                                                    117                           117
      1*) Pn0 истинно;                                                                    Если ak ∈ Z , то очевидно и 3 ⋅ ak ∈ Z , следовательно, утверждение
     2*) при истинности Pk , Pk → Pk +1 , ∀ k ∈ N , k ≥ n0 , то Pn верно для лю-   Pk +1 верно (при условии выполнения Pk ).
бых n ≥ n0 .                                                                       Теперь, полагая последовательно k = 2, 3, 4, …, получим:
     Действительно, пусть выполняется 1*). Тогда из 2*) при k = n0 сле-
дует справедливость утверждения Pn0 +1. Из 2*) при k = n0 + 1 вытекает                                  P2 ⎯⎯→ P3 ⎯⎯→ P4 ⎯⎯→… ⎯⎯→ Pn ,
                                                                                                               ⎯
                                                                                                            (2*)
                                                                                                                      ⎯
                                                                                                                   (2*)
                                                                                                                             ⎯
                                                                                                                          (2*)
                                                                                                                                  ⎯
                                                                                                                               (2*)


справедливость Pn0 + 2 . Полагая далее в 2*) последовательно k = n0 + 2,
n0 + 3, …, убедимся в справедливости утверждения Pn для любых n ∈ N ,              т. е. исходное свойство справедливо для ∀n ≥ 2.
n ≥ n0 .                                                                                   Пример 2. Докажем, что справедливо равенство

         2. Применение метода математической индукции                                                            n(n + 1) n(n + 1)(n + 2)
                                                                                             1 + 3 + 6 + ... +           =                ,                 ∀n ∈ N .       (1)
                  для доказательства равенств                                                                       2            6

      Пример 1. Докажите, что числа 3n + 3n+1 + 3n+ 2 делятся без остатка                 Проверим данное равенство для n = 1. Слева в (1) при n = 1 стоит
на 117 при любых n ≥ 2.                                                                                         1⋅ 2
                                                                                   сумма чисел от 1 до               , т. е. до 1. Значит, только одно слагаемое – число
                                                                                                                 2
   В качестве Pn будем рассматривать утверждение:                                                    1⋅ 2 ⋅ 3
                                                                                   1, т. е. справа            , тоже 1. Следовательно, равенство (1) при n = 1 вы-
                      3n + 3n+1 + 3n+ 2                                                                 6
                                        ∈ Z , ∀n ≥ n0 , n0 = 2.
                            117                                                    полняется.
                                                                                            Запишем его для n = k:
   Проверим выполнение условия 1) или, что то же самое, 1*):                                                                 k (k + 1) k (k + 1)(k + 2)
                                                                                                         1 + 3 + 6 + ... +            =                 .            (2)
                                                                                                                                 2              6
                     32 + 32+1 + 32+ 2   9 + 27 + 81 117                                Нужно доказать, что если (2) выполняется, то оно справедливо и для
             P2 :                      =            =     = 1∈ Z .
                          117                117      117                          n = k + 1, т. е. что из (2) следует равенство
                                                                                                                         k (k + 1) (k + 1)((k + 1) + 1)
                                                                                                     1 + 3 + 6 + ... +              +                     =
   Таким образом, убедились, что P2 истинно. Введем обозначение:                                                             2                2
                                        3k + 3k +1 + 3k + 2                                                      (k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)
                                 ak =                       .                                                =                                     .                  (3)
                                              117                                                                                  6

                                            5                                                                                           6


     Применим к слагаемым в левой части последнего равенства соот-
ношение (2). Теперь в левой части равенства (3) стоит выражение                                                                                  (k + 1)k 2
                                                                                               Pk +1 :          (1 + x) k +1 ≥ 1 + (k + 1) x +           x.               (5)
                                                                                                                                                    2
                       k (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
                                       +               ,
                               6               2                               Имеем
                                                                                                                                 (4)
                                                                                                                                                k (k − 1) 2
                                                                                            (1 + x) k +1 = (1 + x) k ⋅ (1 + x) ≥ (1 + kx +                x ) (1 + x) =
которое совпадает с выражением, стоящим в правой части равенства (3).                                                                                2
То есть из (2) следует (3). Таким образом                                                                              k (k − 1) 2                k (k − 1) 3
                                                                                                          =1 + kx +              x + x + kx 2 +             x =
               ( k = 1)   ( k = 2)    ( k =n )
                                                                                                                           2                           2
            P ⎯⎯⎯ P2 ⎯⎯⎯ P3 → … → Pn ⎯⎯⎯ Pn+1 → …
             1          →          →           →                                                                            k (k − 1)             k (k − 1) 3
                                                                                                         =1 + (k + 1) x + (           + k ) x2 +           x.
                                                                                                                                2                      2
Следовательно, равенство (1) верно ∀n ∈ N .
                                                                                                                                       k (k − 1) 3
      Задание 1. Доказать равенство (см. [ 4] , пример 2):                             Отбросим неотрицательное слагаемое                       x , получим
                                                                                                                                           2
                                                                                                                                k (k − 1 + 2) 2
                                                  n(n + 1)(2n + 1)                               (1 + x) k +1 ≥ 1 + (k + 1) x +               x ,
                     12 + 22 + 32 + ... + n 2 =                    .                                                                  2
                                                         6                     т. е. справедливо неравенство (5). И если Pk → Pk +1 , то

      Задание 2. Доказать равенство (см. [ 4] , пример 3):                                         P → P2 → P3 → … → Pn …,
                                                                                                    1                                       ∀n ∈ N .

                   13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n) 2 .                 Пример 4 (см. [1] , пример 10). Доказать неравенство

                                                                                                         1 3    2n − 1
                                                                                                                    1
                                                                                                Pn :      ⋅ ⋅…⋅        < , ∀n ∈ N .                                       (6)
        3. Применение метода математической индукции                                                     2 4      2n + 1
                                                                                                                 2n
                для доказательства неравенств                                                                  1     1
                                                                                       Проверим выполнение P : <
                                                                                                            1            (поскольку                           3 < 2).
                                                                                                               2      3
       Пример 3. Доказать, что если x ≥ 0 , то
                                                                                       Запишем Pk :
                                          n(n − 1) 2                                                   1 3    2k − 1       1
                   (1 + x) n ≥ 1 + nx +           x , ∀n ∈ N .           (4)                            ⋅ ⋅…⋅        <           .                                        (7)
                                             2                                                         2 4     2k         2k + 1

Проверим справедливость соотношения (4) для n = 1:                                   Оценим левую часть неравенства (6) с n = k + 1 с помощью нера-
                                                                                венства (7):
                                                       1⋅ 0 2                              1 3     2k − 1 2(k + 1) − 1     1       2k + 1     2k + 1
                       (1 + x)1 = 1 + x =1 + 1 ⋅ x +       ⋅x .                              ⋅ ⋅…⋅         ⋅           <         ⋅        =          .
                                                        2                                  2 4       2k       2(k + 1)    2k + 1   2k + 2 2k + 2
Выпишем его для n = k :                                                                             2k + 1                                 1
                                                    k (k − 1) 2                     Но значение              меньше, чем значение                  (докажите
                        Pk : (1 + x) k ≥ 1 + kx +            x.                                    2k + 2                             2(k + 1) + 1
                                                        2
                                                                               самостоятельно).
      С помощью этого неравенства нужно убедиться, что выполняется                  То есть из выполнения Pk следует выполнение Pk +1. Следовательно,
                                                                               неравенство (6) справедливо ∀n ∈ N .
                                         7                                                                                       8


      Задание 3. Доказать неравенство (см. [ 4] , пример10.1(а)):                       Тогда формулы (8) запишутся в виде
                                                                                                                                                                          2


                             1    1          1
                                                                                                                  (a + b) 2 = C2 a 2 + C2 ab + C2 b 2 =
                                                                                                                               0        1       2
                                                                                                                                                                         ∑C
                                                                                                                                                                         m =0
                                                                                                                                                                                m
                                                                                                                                                                                2   a 2− mb m ,
                          1+    +    + ... +    > n            ( n ≥ 2).                                                                                                             3
                              2    3          n
                                                                                                             (a + b) = C a + C a b + C ab + C3 b3 =
                                                                                                                       3        0 3
                                                                                                                                3
                                                                                                                                         1 2
                                                                                                                                         3
                                                                                                                                             3            2
                                                                                                                                                          3
                                                                                                                                                               2
                                                                                                                                                                                    ∑C
                                                                                                                                                                                    m =0
                                                                                                                                                                                           m
                                                                                                                                                                                           3   a 3−mb m .

                                                                                        Естественно предположить, что
                       4. Формула бинома Ньютона                                                                                               n
                                                                                                                               ( a + b) n =   ∑C
                                                                                                                                              m =0
                                                                                                                                                      m
                                                                                                                                                      n   a n − mb m .                                      (10)
      Большую роль в математике играет формула, называемая формулой                          Действительно, эта формула верна (она называется формулой бинома
бинома Ньютона. Речь идет о формуле для возведения в натуральную сте-                   Ньютона) и доказать её можно с помощью метода математической индук-
                                                                                        ции.
пень n суммы двух слагаемых a и b ( a , b ∈ R ) , то есть о формуле для                                                                            m
                                                                                        Предварительно нужно изучить некоторые свойства выражений Cn .
вычисления выражения (a + b) n . Известны следующие формулы сокра-                      Введём обозначение k! для k ∈ N :

щенного умножения:                                                                      k != 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (k − 1) ⋅ k .
                           (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
                           (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 .                        Например,      3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6, 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 240.
       Их можно переписать в виде                                                       Теперь выражение Cnm [см. (9)] при m > 0 можно записать в другой форме:
                                     2       2 ⋅1 2                                                                   n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1)
                (a + b) 2 = 1 ⋅ a 2 + ab +        b ,                                                          Cnm =                                   =
                                     1       1⋅ 2                                                                                    m!
                                                                                                             n(n − 1)...(n − m + 1) ⋅ (n − m) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
                                                                                                           =                                                .
                                          3       3 ⋅ 2 2 3 ⋅ 2 ⋅1 3                                                     m!(n − m) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
                   ( a + b ) 3 = 1 ⋅ a 3 + a 2b +      ab +          b.           (8)
                                          1       1⋅ 2      1⋅ 2 ⋅ 3                    То есть:
                                                                                                                        n!
       Заметим, что здесь участвуют коэффициенты
                                                                                                            m
                                                                                                          Cn =                 ,        n, m ∈ N .                     (11)
                                                                                                                  m !(n − m)!
                               n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2)                                                             5!       5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
                             1, ,        ,                                                    Например, C52 =                =                  = 10. Заметим, что формула
                               1    1⋅ 2      1⋅ 2 ⋅ 3                                                           2!(5 − 2)! 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3
с n = 2 и n = 3.
                                                                                                                                                 5⋅ 4
                                                                                        (11) более удобна для вычисления: C52 =                       = 10, но для изучения
       Введем обозначения                                                                                                                        1⋅ 2
                  m   n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1)                                     свойств Cnm более удобна формула (9).
                 Cn =                                        при           m >0   (9)
                             1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ m                                              Для доказательства формулы бинома Ньютона нам понадобятся сле-
                                                                                        дующие свойства биномиальных коэффициентов:
  и                                                                                                                       Cnm = Cn −m
                                                                                                                                   n
                                                                                                                                                                        (12)
                          Cn = Cn n = 1.
                           0
                                                                                        и
                                                                                                                         Cnm + Cnm−1 = Cn+1.  m
                                                                                                                                                                        (13)




                                           9                                                                                                         10


      Задание 4. Убедитесь, что C7 = C72 , что C85 + C84 = C9 .
                                       5                         5
                                                                                                                        Задание 5. Применить формулу бинома Ньютона к выражениям
    При доказательстве свойства (12) по формуле (11) имеем
                                     n!                  n!                                                                                     (a + b)5 , (a + b)10 , (1 + x) n .
                 Cn − m =
                   n
                                                 =                   m
                                                                = Cn .
                           (n − m)!(n − (n − m))! (n − m)!m!
   Доказательство свойства (13):                                                                                        Пример 5. Доказать неравенство
                                     n!                 n!                                                                                    1             1 n+1
                 Cn + Cn −1 =
                   m       m
                                             +                     .                                                                      (1 + ) n < (1 +     ) , ∀n ∈ N .                                   (16)
                                 m!(n − m)! (m − 1)!(n − m + 1))!                                                                             n           n +1
     Приведём последнюю сумму к общему знаменателю, домножив
                                                                                                                         Для доказательства воспользуемся формулами бинома Ньютона для
первое слагаемое на ( n − m + 1), а второе на m :
                                                                                                                    выражений, стоящих в левой и правой частях данного неравенства:
                          n!(n − m + 1 + m)        (n + 1)!                                                                  1         n 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) 1          1
            Cn + Cn −1 =
             m    m
                                             =                      m
                                                                = Cn+1.                                                  (1 + ) n = 1 + ⋅ +        ⋅ +               ⋅ 3 + ... + n , (17)
                            m!(n − m + 1)!     m!((n + 1) − m)!                                                              n         1 n   1 ⋅ 2 n2      1⋅ 2 ⋅ 3   n         n

       Перейдём к доказательству формулы (10) методом математической                                                                   1 n+1         n +1 1           (n + 1) ⋅ n        1
индукции.                                                                                                                         (1 +    ) = 1+           ⋅       +              ⋅           +
                                                                                                                                     n +1              1 n +1            1⋅ 2       (n + 1) 2
        Во-первых, формула верна для n = 1 (убедитесь), n = 2 , n = 3
[см. (8)].                                                                                                                             (n + 1)n(n − 1)       1                 1
                                                                                                                                     +                 ⋅          + ... +              .        (18)
        Во-вторых, запишем её для n = k :                                                                                                  1⋅ 2 ⋅ 3      (n + 1)3         (n + 1) n+1
     (a + b) k = Ck0 a k ⋅ b0 + Ck a k −1b1 + Ck2 a k −2b 2 + ... + Ckk −1a1 ⋅ b k −1 + Ckk a 0 ⋅ b k . (14)
                                 1                                                                                        Заметим, что первые пары слагаемых в правых частях выражений
                                                                                                                    (17) и (18) одинаковые. Сравним третьи слагаемые. Имеем
     Используя эту формулу, найдём выражение для (a + b) k +1 :
                                                                                                                                             n(n − 1) 1 (n + 1) ⋅ n             1
        (a + b) k +1 = (a + b) ⋅ (a + b) k = (a + b) ×                                                                                                ⋅ 2<                ⋅           ,
                                                                                                                                               1⋅ 2     n        1⋅ 2       (n + 1) 2
        ×(Ck0 a k × b0 + Ck a k −1b1 + Ck2 a k −2b 2 + ... + Ckk −1a1 ⋅ b k −1 + Ckk a 0 ⋅ b k ) =
                              1
                                                                                                                    то есть
                = Ck0 a k +1 ⋅ b 0 + Ck a k b1 + Ck2 a k −1b 2 + ... + Ckk −1a 2 ⋅ b k −1 + Ckk a1 ⋅ b k +
                                         1
                                                                                                                                                     n −1        n
                                                                                                                                                            <        ,                          (19)
        + Ck a ⋅ b + Ck a b + Ck2 a k −2b3 + ... + Ckk −1a1 ⋅ b k + Ckk a 0 ⋅ b k +1.
            0 k      1     1 k −1 2
                                                                                                                                                        n      n +1
        Приведём подобные слагаемые:                                                                                поскольку
        (a + b) k +1 = Ck0 a k +1 ⋅ b 0 + (Ck + Ck0 )a k b1 + (Ck2 + Ck )a k −1b 2 + ...
                                            1                             1                                                                             n2 − 1         n2
                                                                                                                                                                <             .
                         ... + (Ckk + Ckk −1 )a1 ⋅ bk + Ckk a0 ⋅ bk +1.                                      (15)                                      n(n + 1) n(n + 1)
                                                           +1
     Заметим, что Ck0 = 1= Ck0+1 , Ckk = Ckk+1 , и по формуле (13)
                                                                                                                           Сравним m-ые слагаемые. Докажем, что
                                   Ckm + Ckm−1 = Ckm+1 , m = 1, 2,...k .                                                                  n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 2) 1
                                                                                                                                                                                ⋅ m−1 ≤                      (20)
        Теперь выражение (15) записывается в виде                                                                                                  1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...(m − 1)         n
       (a + b) k +1 = Ck0 a k +1 ⋅ b 0 + Ck +1a k b1 + Ck2+1a k −1b 2 + ...
                                          1
                                                                                                                                      (n + 1)n(n − 1)...(n − m + 3)              1
                                                         k +1                                                                       ≤                                      ⋅             .
                                                                                                                                            1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...(m − 1)           (n + 1) m−1
            ... + Ckk+1a1 ⋅ b k + Ckk+1 a 0 ⋅ b k +1 =
                                     +1
                                                         ∑C
                                                         m=0
                                                                m
                                                                   a
                                                                k +1
                                                                     k +1− m m
                                                                          b .
                                                                                                                           После сокращения выражение (20) можно записать в виде
     То есть из (14) следует формула (16), следовательно, формула (10)                                                       n n −1 n − 2          n − m + 2 n +1 n n −1                           n−m+3
                                                                                                                               ⋅    ⋅      ⋅ ... ⋅                ≤       ⋅       ⋅        ⋅ ... ⋅       .
верна для любых n ∈ N .                                                                                                      n n       n                n            n +1 n +1 n +1                 n +1
                                                                                                                           Первые сомножители здесь одинаковые. Сравним вторые:
                                                                                                                                             n −1          n
                                                                                                                                                     <                  [неравенство (19)].
                                                                                                                                                n        n +1

                                                         11                                                                                                      12


          Для третьих сомножителей                                                        В последнем выражении, отбросив все положительные слагаемые,
                                      n − 2 n −1                                     кроме первых двух (тем самым уменьшив сумму), получим
                                           <      ,
                                        n    n +1                                                          k + 2 k +1  k +1
                                                                                                         (      ) >1 +      = 2.
так как                                                                                                    k +1        k +1
                                 n2 − n − 2       n2 − n                                  То есть из неравенства Pk следует неравенство Pk +1 , тем самым не-
                                              <               .
                                   n(n + 1)      n(n + 1)                            равенство (21) доказано.
        Для k-х сомножителей имеем
                                    n − k n − k +1                                           5. Верхние и нижние границы числовых множеств
                                           <               ,
                                      n         n +1
поскольку                                                                                  Числовое множество X ⊂ R называется ограниченным сверху, если
                         n 2 − (k − 1)n − k n 2 − (k − 1)n                           существует число c ∈ R+ ... такое, что для всякого элемента x ∈ X выполня-
                                              <                 .                    ется неравенство x ≤ c, т. е.
                               n(n + 1)             n(n + 1)
       Итак, каждое слагаемое в (17) не превосходит соответствующего                                ( X – огр. св.) ⇔ ( ∃ ( c ∈ R+ ) ∀ ( x ∈ X )[ x ≤ c ]). (23)
слагаемого в (18). Кроме того, в (18) большее количество слагаемых, чем                    Число c называют мажорантой множества X .
в (17). Следовательно, неравенство (16) верно.                                             Аналогично        числовое множество X ⊂ R называется ограничен-
       Пример 6 (см. [1] , № 8). С помощью метода математической ин-                 ным снизу, если существует число c ∈ R− такое, что для всякого элемента
дукции и формулы бинома Ньютона доказать следующее неравенство:                      x ∈ X выполняется неравенство x ≥ c, т. е.
                            n +1 n                                                                   ( X –огр.сн.) ⇔ ( ∃( c ∈ R− )∀ ( x ∈ X )[ x ≥ c ]).    (24)
                     n! < (      )       при n > 1.                           (21)      В этом случае c называют минорантой множества X .
                              2
        Проверим выполнение этого неравенства для n = n0 = 2 :
                                         3       9                                          Примеры.
                                   2!< ( ) 2 = .                                            1. Для множества X = (1,5] мажорантой является любое число,
                                         2       4                                   большее или равное 5, минорантой является любое число не большее, чем 1.
        Запишем его для n = k :                                                             2. Множество X = (−∞; 3) ограничено сверху любым числом, боль-
                                                 k +1 k
                                 Pk :     k!< (          ).                   (22)   шим или равным 3.
                                                   2                                       Множество X не ограничено сверху, если для любого c ∈ R+ сущест-
        В силу неравенства (22) имеем:
                                                                                     вует элемент x ∈ X такой, что x > c, т. е.
                                              (k + 1) k +1
                     (k + 1)! = k !(k+1)<                   .                                    ( X – не огр. св.) ⇔ (∀ ( c ∈ R+ ) ∃( x ∈ X )[ x > c ]).
                                                 2k
                                                                  k + 2 k +1                Аналогично:
        Докажем, что последнее выражение меньше, чем (                 ) , т. е.                    ( X – не огр. сн.) ⇔ ( ∀ ( c ∈ R− ) ∃ ( x ∈ X )[ x < c ].
                                                                    2
                                                                                           Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.
                                 (k + 1) k +1    k + 2 k +1
                                              <(         ) .
                                      2k           2                                        Задания.
        Преобразуем его:
                                                                                          1. Убедиться, что множество натуральных чисел N является ограни-
                                               k + 2 k +1
                                         2< (        ) .                             ченным снизу, но не является ограниченным сверху.
                                               k +1                                                                      1
        Действительно, по формуле бинома Ньютона получаем                                 2. Является ли множество X = { , n ∈ N } ограниченным сверху? Ог-
                                                                                                                         n
                                                                   2
                                                                                     раниченным снизу?
          k + 2 k +1      1 k +1    k +1 1     (k + 1)k ⎛ 1 ⎞                             3. Является ли множество X ={ x 2 − 4 x + 5, x ∈ R } ограниченным
      (        ) = (1 +      ) = 1+     ⋅    +         ⋅⎜     ⎟ + ...
          k +1          k +1          1 k +1     1⋅ 2 ⎝ k + 1 ⎠                      сверху? Ограниченным снизу?
                                        13                                                                               14


     4. Являются ли множества X 1 ={ arctgx, x ∈ R }, X 2 ={ arcsin x, x ∈ [ −1,1] }   чем     M,     то,    взяв      ε     = M − M * > 0,   мы  получили бы
ограниченными?                                                                         x′ > M − ( M − M *) = M * , т. е. M * – не мажоранта (?!).
     Если множество ограничено сверху (снизу), то среди всех мажорант                          Задание 6. Доказать, что:
(минорант) можно найти наименьшее (наибольшее) число.                                         а) m = inf X обладает свойствами 1–2 в (26);
       Наименьшая из всех мажорант называется верхней границей (точной верх-                  б) число m, имеющее свойства 1–2 в (26), является точной нижней
ней границей) числового множества, или супремумом множества X (sup X ) .               границей множества X .
       Наибольшая из всех минорант называется нижней границей (точной
нижней границей) числового множества, или инфимумом множества X                                Примеры.
(inf X ).                                                                              1. Для множества X = [ a, b ] число b является sup X , число a является
         Замечание. Если X не ограниченное сверху множество, то пола-                  inf X .
гают sup X = +∞. Если X не ограниченное снизу множество, то полагают                   2. Множество X = ( a, b ) имеет sup X =b , inf X = a. Покажем, что sup
inf X = −∞.                                                                             X =b:
        Теорема. Всякое непустое числовое множество имеет точные                        1) ∀x ∈ (a, b) выполняется неравенство x < b;
верхнюю и нижнюю границы.
                                                                                        2) для любого достаточно малого ε ∈ (0, b − a ) существует число x′
                 6. Свойства точных границ множества                                                              ε                                                       ε
                                                                                       (например, x′ = b −            ), которое принадлежит X             (так как b −       < b ), и
                                                                                                                  2                                                       2
    В случае ограниченного сверху множества X имеет место соотношение                                                  ε
                                                                                       x′ > b − ε (поскольку b −     > b − ε ).
                                                                                                                   2
                            ⎧1.∀( x ∈ X ) [ x ≤ M ] ,
                            ⎪                                                                3. Покажем, что инфимумом множества X = {arccos t , t ∈ [ −1,1]} яв-
           ( M = sup X ) ⇔ ⎨                                       (25)
                            ⎪2.∀(ε > 0)∃( x′ ∈ X ) [ x′ > M − ε ].
                            ⎩
                                                                                       ляется число 0:
                                                                                              1) arccos t ≥ 0, ∀ t ∈ [ −1,1] ;
    В случае ограниченного снизу множества X имеет место соотношение
                                                                                                                                                                                    ε
                                                                                                  2) ∀ (ε > 0) ∃ (t ′ ∈ [ −1,1]) [ arccos t ′ < 0 + ε = ε ] . Например, t ′ = cos
                            ⎧1.∀( x ∈ X ) [ x ≥ m ] ,
                            ⎪                                                                                                                                                       2
            ( m = inf X ) ⇔ ⎨                                         (26)                                   ε
                            ⎪2.∀(ε > 0)∃( x′′ ∈ X ) [ x′′ < m + ε ].
                            ⎩                                                          (тогда arccos t ′ = < ε ).
                                                                                                          2
      Докажем свойства 1 и 2 в (25). Дано: M = sup X , т. е. M – наи-                        Пример 7. Убедимся, что множество X = { x, x 3 < 3} имеет sup X =
меньшая из мажорант множества X . Предположим, что свойство 1 не вы-
полняется, т. е. существует x ∈ X – такой, что x > M . Но тогда M не явля-             =   3
                                                                                               3, inf X = −∞.
ется мажорантой множества X (?!). Предположим, что не выполняется                                  Имеем:
второе свойство в (25): существует ε > 0 такое, что для любого                                     1) из неравенства x3 < 3 следует x < 3 3;
x′ ∈ X имеет место неравенство x′ ≤ M − ε . Но тогда число ( M − ε ) явля-                         2) ∀(ε > 0) существует такой x′, что ( x′)3 < 3, но x′ > 3 3 − ε . Возьмем
ется мажорантой множества X , причем меньшей, чем M , и тогда M не
                                                                                                     ε                  ε                     ε
является наименьшей из мажорант (?!).                                                  x′ = 3 3 −      . Тогда ( 3 3 − )3 < 3 и      3
                                                                                                                                         3−       > 3 3 − ε , т. е. выполнены свой-
      Замечание. Двойные стрелки ⇔ в (25) и в (26) говорят о том, что                                2                2                       2
                                                                                       ства (25).
если некоторое число M (или m ) обладает свойствами 1–2, то это число
                                                                                             Далее: inf X = −∞ , так как X не ограниченное снизу множество.
является точной верхней границей (или точной нижней границей) множе-
                                                                                       Действительно, какое бы число c > 0 мы ни взяли, есть число x < −c та-
ства X . Действительно, свойство 1 в (25) говорит о том, что M является
мажорантой множества X [см. (23)].                                                     кое, что x3 < 3. Например, x = −2c < −c и (−2c)3 = −8c3 < 0 < 3, т. е. X
      Второе свойство в (25) показывает, что M есть наименьшая из ма-                  не ограниченное снизу множество и inf X = −∞.
жорант. Действительно, если бы существовала мажоранта M * меньшая,
                                         15                                                                                          16


       Пример 8. Пусть {− x} – множество чисел, противоположных чис-                                                            Литература
лам x ∈ { x}. Доказать, что inf {− x} = sup { x} ( см. [ 4] , пример 18 (а)).                      1. Ильин В.А. Математический анализ / В.А. Ильин, В.А. Садовничий,
                                                                                             Бл.Х. Сендов. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 2004. – Ч. 1. – 357 с.
     Доказательство. Рассмотрим случай, когда { x} – ограниченное сверху                           2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа : в 2 т. /
множество. Обозначим { x} = X , sup X = M и {− x} = X ′. Имеем из (25):                      Л.Д. Кудрявцев. – М. : Физматлит, 2003. – Т.1. – 424 с.
                               ⎧1.∀( x ∈ X ) [ x ≤ M ] ,                                           3. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому ана-
                               ⎪                                                             лизу : в 2 кн. / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. – М. :
                               ⎨
                               ⎪2.∀(ε > 0) ∃ ( x′ ∈ X ) [ x′ > M − ε ].
                               ⎩                                                             Высш. шк., 2002. – Кн. 1. – 736 с.
         Умножим неравенства в прямых скобках на (–1). Из первого нера-                            4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
венства следует, что ∀(− x ∈ X ′) [ − x ≥ − M ] . Из второго неравенства выте-               анализу / Б.П. Демидович. – М. : Аст* Астрель, 2002. – 558 с.
кает, что ∀(ε > 0) ∃ ( (− x′) ∈ X ′ ) [ − x′ < − M + ε ] , т. е. − M = inf X ′ согласно
(26). А это и означает, что inf {− x} = − M = − sup { x}.
         Пример 9. Пусть { x + y} есть множество всех сумм x + y, где
 x ∈ { x} , y ∈ { y} . Доказать равенство (см. [ 4] , пример 19 (а)):
                           inf { x + y} = inf { x} + inf { y}.                     (27)

Доказательство. Обозначим { x} = X , { y} = Y , { x + y} = Z , inf X = m1 , inf Y = m2 ,
m3 = m1 + m2 . Требуется доказать: inf Z = m3 .
      Докажем равенство (27) для ограниченных снизу множеств X , Y .
Тогда множество Z тоже ограничено снизу (докажите).
       Из первого свойства (26) следует:
                   ∀ ( x ∈ X ) [ x ≥ m1 ] и ∀ ( y ∈ Y ) [ y ≥ m2 ] .
       Тогда
                ∀ ( z ∈ Z , z = x + y ) [ z ≥ m1 + m2 = m3 ] .                    (28)

Вторые свойства inf X и inf Y дают:
                             ⎡             ε⎤                       ⎡           ε⎤
  ∀ (ε > 0) ∃ ( x′′ ∈ X ) ⎢ x′′ < m1 + ⎥ и ∀ (ε > 0)∃( y′′ ∈ Y ) ⎢ y′′ < m2 + ⎥ .
                             ⎣             2⎦                       ⎣           2⎦
       Отсюда
                                         ⎡           ε      ε                       ⎤
∀ (ε > 0) ∃ ( z′′ ∈ Z , z′′ = x′′ + y′′) ⎢ z′′ < m1 + + m2 + = m1 + m2 + ε = m3 = ε ⎥ (29)
                                         ⎣           2      2                       ⎦
Из (28) и (29) следует, что m1 + m2 = inf Z , что и требовалось доказать.
      Задание 7. Решить примеры 18(б), 19(б), 20(а, б) из [ 4] .




                                            17                                                                                  18


                          Учебное издание




                МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ-1.
             МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
            ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

                   Учебно-методическое пособие


                       Составители:
                Зубова Светлана Петровна,
              Плетнёва Ольга Константиновна,
               Раецкая Елена Владимировна



                     Редактор О.А. Исаева




 Подписано в печать 17.12.07. Формат 60Ч84/16. Усл. печ. л. 1,2.
                   Тираж 100 экз. Заказ 2077.

                  Издательско-полиграфический центр
            Воронежского государственного университета.
394 000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс)
          http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@typ.vsu.ru

 Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра
         Воронежского государственного университета.
      394 000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133.




                          19



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика