Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Лекции по основным курсам физики: Электромагнетизм

Голосов: 5

Пособие содержит учебные материалы по одному из основных разделов школьного курса физики - электромагнетизму. Подробно излагаются следующие вопросы: электростатика, диэлектрики, постоянный ток, магнитное поле, электродинамика.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ




     Курс лекций для ФМШ




     ЭЛЕКТРОСТАТИКА




         А. П. Ершов




       1 сентября 2006 г.


   В этом семестре мы начинаем изучение электродинамики. Это не просто новый
раздел, что-то вроде усовершенствованной механики. Развитие физики – это развитие
представлений людей о природе. Сейчас уместно вспомнить историю.
    Основы механики заложили Галилей и Ньютон еще в XVII веке. Хотя современный
вид эта наука приобрела в XVIII – XIX веках (Лагранж, Гамильтон), это было в основ-
ном развитие форм, методов и приемов. Механикой занимаются и до сих пор; нынешние
продвижения – это новые решения, иногда даже новые неожиданные области (как дина-
мический хаос). В механике есть сложные задачи, есть еще нерешенные, есть и такие,
которые вряд ли удастся решить в обозримом будущем. Но все они в принципе уже
содержатся в законах Ньютона. Механика в этом смысле проста и понятна. Она опира-
ется на житейский здравый смысл и повседневный опыт каждого человека. Объекты
механики тоже просты и привычны (кирпичи, повозки), а более сложные вещи (автомо-
били, самолеты) – это не более как комбинации простых деталей. Благодаря расцвету
механики в XIX веке приобрела популярность концепция материи, в то время попросту
понимаемой как вещество, и развелись во множестве философы-материалисты.
    Молекулярная физика создана в основном в XIX веке. Такая задержка именно
вызвана тем, что объекты «теплоты» более сложны и часто плохо доступны воспри-
ятию. Вначале появилась идея тепла как неосязаемой жидкости, которая как бы пле-
щется в нагретых кирпичах и может из одного в другой перетекать. Прорыв начался,
когда была осознана идея молекулярной структуры вещества, и всячески пытались све-
сти теплоту к механике. Этот путь привел к частичному успеху (например, про горячее
тело мы говорим не как бывало, что в нем избыток теплорода, а что его молекулы имеют
много кинетической энергии). Но выявились проблемы следующего уровня: поведение
теплоемкости, излучение... В прошлом семестре мы замели их под ковер, объявив, что
это область квантовой механики и электродинамики. Возможно, преподавателям и не
удалось в должной мере всех в этом убедить, но хорошо уже, если мы донесли, что
тут не годится классическая механика. Впрочем, теплоемкость и фотоны – это некие
тонкости, а есть проблема более грубая и зримая. Почему вещество делится на части
только до масштаба порядка 10−8 см, а не дальше? Откуда взялся этот размер, который
мы называем атомным?
   В этом году мы попробуем разобраться в этих вопросах. И для начала займемся
электродинамикой. В течение XIX века было осознано (Фарадей, Максвелл, Герц
и др.), что кроме вещества (того, что делится на атомы), есть в природе и другие
сущности – поля, из которых предметом электродинамики являются электрическое
и магнитное поле.
   «На глаз» нельзя отличить провода «под током» и отключенные, что и приводит к
электрическим поражениям. Но это не значит, что наши органы чувств не реагируют
на поля. Электрическое поле мы прекрасно чувствуем: если оно присутствует в орга-
низме (одновременно идет ток), то непроизвольно сокращаются мышцы и возникают


непривычные ощущения, памятные каждому, кто хоть раз хватался за провода. Ме-
нее сильное поле (от батарейки) ощущается на вкус. Связаны эти эффекты с тем, что
управляющие сигналы в организме, в нервах и пр. – электрические. Магнитное поле
человек не замечает: попробуйте отличить магнит и простой кусок железа, не прибегая
к таким индикаторам, как гвозди. Однако некоторые птицы как будто ориентируются
по довольно слабому земному магнитному полю. С другой стороны, свет – это чистое
электромагнитное поле, больше в нем ничего нет, а именно свет мы только и видим.
И вообще все наши ощущения на микроуровне формируются именно полями, в основ-
ном электрическое поле действует как передаточный ремень. Можно сказать, что наши
ощущения нас обманывают. Мы чувствуем не то, что есть на самом деле.
    Видно, что восприятие полей какое-то косвенное, оно резко отличается от воспри-
ятия грубо материальных предметов. Потому-то понятие поля возникло достаточно
поздно, приблизительно с работ Фарадея (первая треть XIX века). Если теплота как-то
свелась к механике, правда не всегда обычной, то электродинамика – вещь принципи-
ально не механическая. Хоть электромагнитное поле имеет энергию и импульс, может
воздействовать на «обычные»1 макроскопические предметы с некоторой силой, но это
воздействие никак не главное, а сами поля не имеют ничего общего с основой ньютонов-
ской механики – материальными точками. Это гораздо более тонкие вещи. Напротив,
на микроскопическом уровне все вещество пронизано и «скреплено» полями: в атомах
в основном электрическое поле не дает электронам разбежаться.




  1
      То есть не несущие заметного электрического заряда, см. п. 1.1.


Глава 1

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1.1     Закон Кулона. Электрическое поле заряда
Притяжение/отталкивание «наэлектризованных» тел известно с древности. В 1785 г.
Кулон установил закон взаимодействия
                                               q1 q2
                                         F =         ,                                   (1.1)
                                                R2
похожий на закон тяготения. Разница с тяготением в том, что заряд q может быть
положительным и отрицательным: (+,+) и (–,–) отталкиваются, а (+,–) притягиваются.
    Из (1.1) размерность q: (сила)1/2 · длина. Заряд 1 (г)1/2 · (см)3/2 /сек взаимодействует
с таким же зарядом на расстоянии 1 см с силой в 1 дину. Кратко его называют единицей
заряда СГС, или 1 CGS(Q).
    В системе СИ вводится единица заряда – кулон (Кл); 1 Кл = 3·109 CGS(Q). Обратим
внимание, что отличается не только единица заряда, но и форма записи закона:
                                       1   q1 q2 q1 q2
                                F =       · 2 =k· 2 .                                    (1.2)
                                      4πε0 R      R
Электрическая постоянная ε0 (она же диэлектрическая проницаемость вакуума) равна
8,854 · 10−12 Кл2 сек2 /(кг · м3 ), так что коэффициент k в (1.2) равен 9 · 109 . Сила взаимо-
действия зарядов в 1 Кл на расстоянии 1 км будет 9·103 Н, или 900 кГ. Часто полезность
системы СИ видят в том, что в ней единицы «бытовой» величины. Видно, что кулон как
единица нескомпенсированного заряда не подходит под это правило. В природе заряды
порядка сотен кулон возникают разве что в грозовых облаках. Заметим, что не только
кулон гораздо больше единицы заряда СГС, но у него и размерность другая. Строго
говоря, основная единица в СИ – ампер1 (А), 1 Кл = (1 А)·(1 секунду). В физике СИ
неудобна, как мы еще не раз увидим.
  1
   Ампер определяется как величина тока, который, проходя по двум тонким параллельным прямым
проводникам, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывает между этими
проводниками силу, равную 2 · 10−7 Н на каждый метр длины.

                                               3


4                                                              Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

   Существует элементарный заряд e = 4,8·10−10 СГС = 1,6·10−19 Кл. Заряд электрона
равен −e, протона +e. Любой заряд в природе «набирается» из таких единиц. Поскольку
элементарный заряд мал, мы обычно не замечаем дробности заряда (так же как и
дробности вещества), но достаточно чувствительные приборы реагируют на отдельный
электрон.
        Сейчас известно, что многие элементарные частицы (адроны) состоят из так называемых
кварков, имеющих дробные заряды, конкретно ±e/3 и ±2e/3. Но кварки живут не в свобод-
ном виде, а тройками (барионы, например протон и нейтрон) либо парами кварк-антикварк
(мезоны, например π-мезон), так что заряд наблюдаемой частицы всегда получается целый2 .
Есть еще лептоны (электрон), которые кварков не содержат; их заряд целый без всяких
усложнений.
    Заряд сохраняется. Сохранение заряда просто понять, учитывая его дробность:
это означает, что электрон не может возникнуть из ничего или исчезнуть без следа. Од-
нако возможно парное рождение в одной точке частиц с противоположными зарядами,
например, электрона и позитрона из двух фотонов, либо обратный процесс – аннигиля-
ция. Если в каком-то объеме изменился заряд, то он или прибыл извне (через границу),
или удалился; и то и другое – в результате движения заряженных частиц.
    В атомах электроны притягиваются к протонам. Атомы, молекулы, вирусы, медведи
и т.п. сдерживаются вместе электрическими силами. В основном наш мир – электриче-
ская система.
    Электрическая сила между двумя протонами больше гравитационной в e2 /(Gm2 ) ≈p
  36
10 раз (здесь mp – масса протона, G – постоянная всемирного тяготения). Отсюда сле-
дует, что заряды электрона и протона близки с очень хорошей точностью (по современ-
ным представлениям, точно равны). Иначе в сколько-нибудь заметном куске вещества
заряды компенсировались бы не совсем, и гравитационное притяжение планет могло
бы «забиваться» электрическим взаимодействием.
    Правильнее считать, что не заряды взаимодействуют непосредственно, а каждый
из них создает в пространстве электрическое поле. Это поле и действует на второй
заряд. По определению, если на неподвижный пробный3 заряд q в некоторой области
пространства действует сила, пропорциональная q и зависящая, вообще говоря, от вре-
мени и координат,
                                      F = q·E,                                   (1.3)

то в этой области имеется электрическое поле напряженности E. Иногда говорится ко-
роче: электрическое поле равно E. Можно сказать, что E – это сила, действующая
на единичный заряд. Поле может быть однородным (не зависеть от координат в неко-
торой конечной области), статическим (не зависеть от времени), но в общем случае
E = E(r, t). В этой главе мы рассматриваем простейший случай – электростатиче-
    2
        Найдены более редкие четырех- и пятикварковые частицы, также имеющие в сумме целый заряд.
    3
        Пробным называют заряд, достаточно малый, чтобы не влиять на рассматриваемое поле.


1.2. Принцип суперпозиции                                                          5

ские, то есть не зависящие от времени, электрические поля. Строго говоря, это значит,
что заряды должны быть неподвижны. На практике, однако, допустимы движения со
скоростями, малыми по сравнению со скоростью света (примерно такое же приближение
представляет собой ньютоновская механика).
   Поскольку заряд – явный скаляр, поле E – вектор. Из (1.2,1.3) следует, что на-
пряженность поля, созданного зарядом Q в точке, куда «смотрит» радиус-вектор r,
проведенный из этого заряда,
                                    Q           Q·r
                              E=      2
                                        ,   E= 3 .                             (1.4)
                                    r             r
Казалось бы, нет разницы между набором уравнений (1.3),(1.4) и одним (1.1). И ее
действительно нет в рамках электростатики. Позже мы узнаем, что поле может суще-
ствовать совершенно отдельно от зарядов и поэтому является не лишним неизвестным,
а реальным фактором. Например, при смещении одного из зарядов сила меняется не
сразу, как можно ожидать из (1.1) (это называлось бы дальнодействие), а с некоторой
задержкой. Сначала изменится поле в непосредственной близости от смещаемого заря-
да, а потом область этих изменений расширяется. Когда она «зацепит» второй заряд,
изменится и сила (близкодействие). Мы увидим, что изменения поля распространя-
ются со скоростью света. Можно представлять себе поле как некие «резинки», через
которые взаимодействуют заряды.
    Закон Кулона напоминает закон тяготения; аналогом электрического поля в грави-
тации является ускорение силы тяжести g (сила на единичную массу).


1.2    Принцип суперпозиции
Этот принцип установлен на опыте и означает, что поля от нескольких зарядов скла-
дываются:
                                                   qi r i
                                  E=      Ei =        3
                                                          .                  (1.5)
                                                    ri
В электростатике электрическое поле создается зарядами и только ими (это также
опытный факт). Любое электростатическое поле можно представить как сумму полей
от некоторых зарядов. Говорят, что заряды – источники поля.
    Примеры.
Кольцо радиуса R с зарядом q; на расстоянии z от центра на оси кольца:
E = qz/(R2 + z 2 )3/2 , направление – вдоль оси кольца.
Нить с зарядом λ на единицу длины: поле при λ > 0 направлено «от нити». Разде-
лив нить на элементы длины dx, заряды которых λdx, суммируем проекции полей на
поперечное к нити направление:
                                                   ∞
                    λ · dx        r                          dx         2λ
              dE = 2        ·√          ⇒ E = λr                      =    .
                  (r + x2 )    r 2 + x2                (r 2 + x2 )3/2    r
                                                 −∞


6                                                          Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Плоскость с зарядом σ на единицу площади: режем на кольца площади dS = 2πRdR.
Поле направлено по нормали и равно
                                                       ∞
                   σ · dS         z                              RdR
              dE = 2        ·√          ⇒ E = 2πσz                          = 2πσ
                  R +z    2
                               R 2 + z2                    (R2   + z 2 )3/2
                                                       0

независимо от расстояния z до плоскости. Для оценки можно считать, что поле создает
кусок плоскости размером z, скажем круг такого радиуса. Его заряд πz 2 σ, расстояние до
точки наблюдения порядка z, и поле должно быть порядка πz 2 σ/z 2 ∼ πσ. Получилась
ошибка в два раза, чего и следовало ожидать от оценки. Остальная часть плоскости
имеет бесконечный заряд, но поля от удаленных участков направлены почти вдоль
плоскости, поэтому их вклад невелик.
    Важный случай – поле равномерно заряженной сферы. Эту за-
дачу решил еще Ньютон (в гравитационном варианте). Проследив
за его решением, мы одновременно вернем долг (в первом семестре
результат мы приняли без доказательства).
    Легко показать, что внутри сферы поле равно нулю. На рис.
1.1 показаны два узких конуса с вершинами в произвольной точ-
ке наблюдения A, которые опираются на два противоположных
малых участка поверхности. Площади этих участков dS1 и dS2
относятся как квадраты расстояний r1 и r2 (обратите внимание на
подобие узеньких треугольников). Поля от участков dS1 и dS2 в
                                                                        Рис. 1.1.
точке A направлены вдоль отрезков r1 и r2 , и результат их сложения можно записать как

                                        dS1 dS2
                                    σ     2 − r2
                                         r1
                                                   = 0.
                                               2

Отсюда нулевым будет и суммарное поле сферы, так как ее поверхность исчерпывается такими
малыми участками.
    Более сложно найти поле снаружи сферы. Решение
Ньютона – пример математического изящества. Приве-
дем его в современных обозначениях.
    На рис. 1.2 на расстоянии R от центра сферы ра-
диуса a расположена точка наблюдения (обозначенная
также R). Внутри сферы имеется так называемая со-
пряженная точка A, на расстоянии x = a2 /R от центра.
Проведем через точку A прямую, пересекающую сфе-
ру в двух точках (верхняя обозначена B). Прямая будет
осью двух узких конусов, с телесным углом4 dΩ, выре-              Рис. 1.2.
зающих на сфере два участка поверхности. Треугольники AOB и BRO подобны, так как угол
α у них общий, а отношения соответственных сторон равны: x/a = a/R. Тогда и отношение
    4
   Телесным углом называется отношение площади участка сферы, проведенной из данной точки, к
квадрату радиуса.


1.3. Потенциал                                                                                       7

r/l = a/R, а угол OBA равен ϕ. Заряд верхнего участка qB = σdSB = σr 2 dΩ/ cos ϕ, посколь-
ку r 2 dΩ – элемент поверхности, перпендикулярной радиусу r; деление на косинус учитывает
наклон поверхности сферы к оси конуса. Поле в точке наблюдения из симметрии направлено
горизонтально:
                                 qB         σr 2 dΩ         σa2 dΩ
                           dE = 2 cos ϕ = 2         cos ϕ =        .
                                  l        l cos ϕ           R2
Теперь суммируется очень просто: полный телесный угол равен 4π, а 4πa2 σ есть заряд сферы
Q; нам даже не понадобилось то обстоятельство, что «обратный» конус дает такой же вклад
в поле. Отсюда
                                             Q
                                        E= 2.
                                             R
Снаружи сфера действует, как будто весь заряд расположен в ее центре. Отсюда следует, что
любое сферически симметричное распределение заряда создает снаружи такое же поле, как
суммарный точечный заряд.



1.3     Потенциал
При движении пробного заряда в электростатическом поле изменяется его потенци-
альная энергия U. Поскольку электрическая сила – вторичное понятие, а основное –
электрическое поле E, или сила на единичный заряд, то в электростатике важна по-
тенциальная энергия единичного заряда – потенциал ϕ. Для пробного заряда q по
определению U = qϕ. Соответствия:
                                                                                      x
                                                          x2
 F ⇐⇒ U :       F = −dU/dx,      U(x2 ) − U(x1 ) = −           F dx,       U(x) = −       F dx
                                                         x1
                                                                            (от места, где U = 0)
                                                                                      x
                                                         x2
 E ⇐⇒ ϕ :        E = −dϕ/dx,     ϕ(x2 ) − ϕ(x1 ) = −          Edx,         ϕ(x) = −       Edx .
                                                         x1
                                                                            (от места, где ϕ = 0)

(Не забывайте знак минус !!!). В пространстве имеются три направления, которым
соответствуют три частных производных:
                                 ∂ϕ               ∂ϕ                   ∂ϕ
                        Ex = −      ,    Ey = −      ,        Ez = −      .
                                 ∂x               ∂y                   ∂z
Короче то же самое записывается в виде
                                                    ∂ϕ    ∂ϕ    ∂ϕ
                    E = −∇ϕ ≡ −gradϕ = − i             +j    +k                 .                 (1.6)
                                                    ∂x    ∂y    ∂z
Здесь i, j, k – единичные векторы по осям, ∇ и grad – различные обозначения диф-
ференциального оператора градиента:
                                              ∂     ∂     ∂
                            ∇ ≡ grad =    i      +j    +k              ,
                                              ∂x    ∂y    ∂z


8                                                              Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

который как бы умножается на функцию, стоящую справа от него. Если нежелательно
пользоваться координатами, то можно сказать, что градиент – это вектор, направлен-
ный в сторону быстрейшего изменения потенциала и равный производной потенциала
вдоль этого направления.
    Из (1.6) видна выгода использования потенциала – в одной функции содержится
та же информация об электрическом поле, как в трех функциях – компонентах напря-
женности поля. Правда, эта информация присутствует в «свернутом» виде: чтобы ее
извлечь, надо вычислить три производных. Далее мы увидим, что потенциал полезен
не только для сокращения, но и сам по себе, как физическая величина.
    Пока ниоткуда не следует, что потенциал – функция, которая обращает (1.6) в тож-
дество – существует. В общем случае, для произвольного поля E, это и неверно. Но в
электростатике потенциал существует и даже (при известном расположении зарядов)
выписывается явно. А именно, точечный заряд q на расстоянии r создает потенциал
                                                q
                                           ϕ=     .                                  (1.7)
                                                r
Действительно,

                    ∂ϕ      ∂(x2 + y 2 + z 2 )−1/2                            qx
           Ex = −      = −q                        = qx(x2 + y 2 + z 2 )−3/2 = 3 .
                    ∂x              ∂x                                        r
Остальные компоненты отличаются тем, что x заменяется на y или z. Вектор поля
                                       ix jy kz                qr
                              E=q         + 3 + 3          =
                                       r3  r   r               r3
в полном соответствии с (1.4). В силу принципа суперпозиции поле любого числа заря-
дов есть сумма элементарных полей вида (1.4), но тогда и потенциал суммарного поля
можно найти как сумму элементарных потенциалов:
                                                        qi
                                   ϕ=       ϕi =           .                         (1.8)
                                                        ri
   Как и потенциальная энергия в механике, потенциал определен с точностью до
постоянной: выражение ϕ = q/r + 2006 даст точно такое же поле. Другими словами,
существует свобода выбора «нуля потенциала» – точки, где ϕ = 0. В некоторых задачах
нуль потенциала фиксируется из соображений удобства, но часто имеется естественный
выбор. Для точечного заряда не только удобно, но и естественно полагать потенциал
равным нулю на бесконечности.
   Обратный переход от поля к потенциалу в пространстве имеет вид

                                ϕ(2) − ϕ(1) = −        (EdL) ,                       (1.9)
                                                   L

где L обозначает любой путь, соединяющий точки 1 и 2, а dL – векторный элемент дли-
ны этого пути. Такое выражение имеет определенное значение, если интеграл зависит от


1.3. Потенциал                                                                                              9

начальной и конечной точек, а не от пути между ними (условие потенциальности).
Другая формулировка этого условия:

                                                 (EdL) = 0 ,                                            (1.10)

где – интеграл по любому замкнутому контуру. В этом случае существует однозначно
определенный потенциал.
   Потенциальность поля точечного заряда легко установить и прямым интегрирова-
нием. Действительно, подставляя (1.4) в (1.9), можно заметить, что поперечные радиусу
перемещения не дают вклада в интеграл, и его можно свести к интегралу вдоль радиуса.
Для определенности выбираем ϕ(∞) = 0:
                                                      r
                                                          qdr   q
                                     ϕ(r) = −                2
                                                               = ,
                                                           r    r
                                                    ∞

что совпадает с (1.7). Отметим, что «на заряде» ϕ = ∞; реально заряд либо имеет
размер, либо (на очень малых расстояниях) нарушается классическая электродинамика,
то есть излагаемая теория; то же касается поля E.
    Складывать потенциалы по принципу суперпозиции (1.8) проще, чем поля, посколь-
                                                            √            √
ку ϕ – скаляр. На оси кольца (пример 1 из п. 1.1) ϕ =   ∆q/ R2 + z 2 = q/ R2 + z 2 .
Проверим: Ez = −∂ϕ/∂z = qz/(R2 + z 2 )3/2 !
   Сложнее ситуация с потенциалом заряженной нити (пример 2 из п. 1.1).
                  ∞                         ∞                                                   ∞
                            dx                         dx
            ϕ=λ          2 + x2 )1/2
                                     = 2λ           2 + x2 )1/2
                                                                = 2λ ln      x2   +   r2   +x       .
                      (r                         (r
                 −∞                         0                                                   0


Формально подставляя пределы, получим бесконечность (интеграл расходится). Но в природе
бесконечных заряженных нитей не бывает. Пусть длина нити 2L велика, но конечна. Заменим
предел с ∞ на L:
                                                     L             √
                                                                       L2 + r 2 + L
                   ϕ = 2λ ln      x2 + r 2 + x           = 2λ ln                           .
                                                                           r
                                                     0

Потенциал обращается в бесконечность при r = 0 и L = ∞. Первая расходимость – это по
существу бесконечность на точечном заряде, ослабленная размазанностью линейного распре-
деления. Вторая вызвана бесконечной длиной нити и для реальных задач несущественна. По-
лученным выражением уже можно пользоваться, в частности, дифференцировать его:
                                            √
                             d                  L2 + r 2 + L            2λL      1
                      E = −2λ ln                                   =√           · .
                             dr                     r                   L 2 + r2 r


При L → ∞ получаем E = 2λ/r, как и при прямом суммировании полей. Можно также
писать ϕ = 2λ ln(r0 /r), при любом значении радиуса фиксации нуля потенциала r0 . Это как



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика