Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Голосов: 16

Пособие предназначено для студентов факультетов физики, химии, биологии, географии, технологии и предпринимательства РГПУ им. А.И. Герцена. В первой части содержится материал, относящийся к разделу линейной алгебры и аналитической геометрии. В ней изложены: элементы теории матриц и определителей; методы решения систем линейных уравнений; основы аналитической геометрии на плоскости, векторной алгебры, аналитической геометрии в пространстве на базе векторной алгебры; метод приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду на основе линейной алгебры. Материал распределен на пять глав. В каждой главе приводятся: теоретический материал, в котором доказательства теорем и утверждений приведены выборочно; основные формулы, используемые для решения задач; подробно разобранные примеры; наборы задач для самостоятельной работы. В пособии имеются приложения с комплектами задач для проведения проверочных, контрольных работ или для выдачи индивидуальных заданий.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
               Математика
   Часть I. Линейная алгебра и
аналитическая геометрия: Учебное
             пособие




           Санкт-Петербург
                2004


    ББК 22.1 я 73                       Печатается по рекомендации
      М 33                           кафедры прикладной математики
                                     и решению президиума редакцион-
                                     но-издательского совета РГПУ
                                     им. А. И. Герцена




    Рецензенты: д-р пед. наук, проф. Р. Р. Фокин;
    канд. техн. наук, доц. Ю. К. Кузнецов

     Авторы: Е. Б. Александрова, А. А. Атоян, И. Е. Водзинская,
Е. Г. Копосова, Р. А. Мыркина, Т. А. Семенова, Г. Г. Хамов, М. Ю. Чу-
рилова




М 33 Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
     Учебное пособие / Под ред. Г. Г. Хамова. — СПб.: Изд-во РГПУ
     им. А. И. Герцена, 2004. — 149 с.




    ISBN 5—8064—0692—Х                     © Коллектив авторов, 2004
                                           © Издательство РГПУ
                                             им. А. И. Герцена, 2004


2


                          ПРЕДИСЛОВИЕ

    Пособие предназначено для студентов факультетов физики, хи-
мии, биологии, географии, технологии и предпринимательства.
    В первой части содержится материал, относящийся к разделу ли-
нейной алгебры и аналитической геометрии. В ней изложены: элемен-
ты теории матриц и определителей; методы решения систем линей-
ных уравнений; основы аналитической геометрии на плоскости, век-
торной алгебры, аналитической геометрии в пространстве на базе век-
торной алгебры; метод приведения уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду на основе линейной алгебры. Материал рас-
пределен на пять глав. В каждой главе приводятся: теоретический ма-
териал, в котором доказательства теорем и утверждений приведены
выборочно; основные формулы, используемые для решения задач;
подробно разобранные примеры; наборы задач для самостоятельной
работы. В пособии имеются приложения с комплектами задач для
проведения проверочных, контрольных работ или для выдачи инди-
видуальных заданий.
    При самостоятельной работе с данным пособием перед тем, как
приступить к решению задач, рекомендуется внимательно прочитать
теоретические сведения параграфа и рассмотреть разобранные там
примеры.
    Нумерация определений, теорем, формул и примеров проведена
по главам, при этом в приведенном номере первая цифра означает но-
мер главы, а последующие цифры — порядковый номер в главе. На-
пример, запись «Определение 1.3» означает, что определение нахо-
дится в первой главе, а 3 — его порядковый номер в главе.
    В учебном пособии не приводятся доказательства некоторых тео-
ретических положений. При необходимости ознакомления с ними ре-
комендуем обратиться к литературе:

    Баврин И И. Курс высшей математики. — М., 1992.
    Шипачев В.С. Высшая математика. — М., 1996.
    Мантуров О.В. Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. — М., 1986.




                                                                      3


            Глава I. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
             СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


       § 1. Матрицы. Действия над матрицами

    Определение 1.1. Матрицей размера m × n называется прямо-
угольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

                                 ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
                                 ⎜                       ⎟
                                 ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟
                                 ⎜ .................... ⎟    .
                                 ⎜                       ⎟
                                 ⎜ a a ... a ⎟
                                 ⎝ m1 m 2             mn ⎠



    Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
    Элементы матрицы будем обозначать буквами с двумя индек-
сами. Например, aij . В этом обозначении первый индекс — i ука-
зывает номер строки, а второй — j указывает номер столбца, на
пересечении которых находится этот элемент. Для матрицы будем
использовать обозначение

                  A = (aij )    (i = 1, 2,..., m;      j = 1, 2,..., n ) .


    Если m = n , то есть число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n .
Это матрица вида

                                  ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
                                  ⎜                      ⎟
                                  ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟
                               A= ⎜                        .
                                    ................... ⎟
                                  ⎜                      ⎟
                                  ⎜ a a ... a ⎟
                                  ⎝ n1 n 2            nn ⎠



       Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего к
правому нижнему углу, то есть составленная из элементов
a11 , a 22 ,....a nn , называется главной диагональю матрицы.
4


     Матрица, не являющаяся квадратной, называется прямо-
угольной.
     Единичной матрицей порядка n называется квадратная мат-
рица порядка n , у которой все элементы главной диагонали равны
1, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. Для обозначе-
ния единичной матрицы используется буква E .
     Пример 1.1.

        ⎛ 1 4 6⎞
        ⎜        ⎟
      A=⎜ 8 3 9⎟          — квадратная матрица третьего порядка.
        ⎜ − 2 5 0⎟
        ⎝        ⎠

    Здесь   a11 = 1, a12 = 4, a13 = 6, a 21 = 8, a 22 = 3, a 23 = 9, a31 = −2, a32 = 5, a 33 = 0 .


    Пример 1.2.

            ⎛ − 2 8⎞
            ⎜      ⎟
        B = ⎜ 3 4⎟       — прямоугольная матрица размера 3х2.
            ⎜ 1 7⎟
            ⎝      ⎠


    Пример 1.3.
              ⎛1 0 ⎞
         E =⎜ ⎜ 0 1⎟ — единичная матрица второго порядка;
                   ⎟
              ⎝    ⎠
           ⎛1 0 0 ⎞
           ⎜         ⎟
       E = ⎜ 0 1 0 ⎟ — единичная матрица третьего порядка.
           ⎜ 0 0 1⎟
           ⎝         ⎠

    Две матрицы A = (aij ) и B = (bij ) размера m × n считаются равны-
ми, если aij = bij при всех i и j , то есть равны их элементы, стоящие
на одинаковых местах.
    Матрицы можно складывать, вычитать, умножать на число и
друг на друга.
    Определение 1.2. Суммой двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) раз-
мера m × n называется матрица C = (cij ) размера m × n , такая что
    cij = aij + bij (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2,..., n ) .
    Сумма матриц A и B обозначается символом A + B .


                                                                                                     5


                                                     ⎛1 − 2  5⎞                      ⎛0 − 3 0⎞
                                                     ⎜         ⎟                     ⎜       ⎟
      Пример 1.4. Даны матрицы:                  A = ⎜0   2 − 1⎟            и    B = ⎜2  7 4⎟      .
                                                     ⎜4 3    6⎟                      ⎜1   2 1⎟
                                                     ⎝         ⎠                     ⎝       ⎠
      Найти A + B .
      Решение. По определению 1.2. получаем:

                    ⎛1 + 0       (−2) + (−3)        5 + 0 ⎞ ⎛1              −5      5⎞
                    ⎜                                      ⎟ ⎜                       ⎟
            A + B = ⎜0 + 2          2+7           (−1) + 4 ⎟ = ⎜ 2          9       3⎟
                    ⎜4 +1                                                                .
                    ⎝               3+ 2            6 +1 ⎟ ⎜5
                                                           ⎠ ⎝              5       7⎟
                                                                                     ⎠

                                                             ⎛ 0 1 9⎞                         −1 2
                                                                                   иB =⎛
                                                                                                    3⎞
      Пример 1.5. Найти сумму матриц                       A=⎜
                                                             ⎜ − 2 3 4⎟
                                                                      ⎟                ⎜
                                                                                       ⎜              ⎟.
                                                                                                      ⎟
                                                             ⎝        ⎠                      ⎝ 1 3 −1 ⎠
      Решение.
                    ⎛ 0 + (−1)        1+ 2           9 + 3 ⎞ ⎛−1             3     12 ⎞
                    ⎜                                      ⎟ ⎜                        ⎟
            A + B = ⎜ (−2) + 1        3+3         4 + (−1) ⎟ = ⎜ − 1         6      3⎟
                    ⎜                                      ⎟ ⎜                        ⎟.
                    ⎝                                      ⎠ ⎝                        ⎠



     Определение 1.3. Разностью матриц                             A = (aij )
                                                                            и B = (bij ) размера
m × n называется матрица C = (cij ) размера                       m × n , элементы которой
определяются следующим равенством

                       cij = aij − bij (i = 1, 2, ...,m;   j = 1, 2,..., n ) .


      Используется обозначение:                C = A− B.

                                                 ⎛1    2 3⎞                   ⎛2 1 1 ⎞
      Пример 1.6. Даны матрицы                 A=⎜
                                                 ⎜ 0 − 4 8⎟
                                                          ⎟             и     ⎜ 3 − 2 3⎟ .
                                                                            B=⎜        ⎟
                                                 ⎝        ⎠                   ⎝        ⎠
      Найти разность       A− B.

      Решение. Согласно определению 1.3. имеем:

                        ⎛1 − 2         2 −1         3 −1     ⎞ ⎛−1     1 2⎞
                 A− B = ⎜
                        ⎜0 − 3                               ⎟=⎜
                                                             ⎟ ⎜ − 3 − 2 5 ⎟.
                                                                           ⎟
                        ⎝           − 4 − (−2)      8−3      ⎠ ⎝           ⎠


      Определение 1.4. Произведением матрицы                                       A = (aij )   размера
m×n    на действительное число α называется матрица C = (cij ) размера
m × n , элементы которой определяются следующим равенством
6


                         (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2,..., n ) .
                               cij = α aij
    Используется обозначение: C = α A .
                                                        ⎛1        2  0⎞
    Пример 1.7. Дана матрица                          A=⎜
                                                        ⎜3            ⎟.
                                                        ⎝         1 −1⎟
                                                                      ⎠
    Найти произведение 2 A .
    Решение. Пользуясь определением 1.4, получаем

                                  ⎛ 2 ⋅1      2⋅ 2 2⋅0 ⎞ ⎛2              4   0⎞
                             2A = ⎜
                                  ⎜2⋅3                       ⎟=⎜              ⎟.
                                  ⎝           2 ⋅ 1 2 ⋅ (−1) ⎟ ⎜ 6
                                                             ⎠ ⎝         2 − 2⎟
                                                                              ⎠


     Определение 1.5. Произведением матрицы A = (aij ) размера
m × k на матрицу B = (bij ) размера k × n называется матрица C = (cij )
размера m × n , у которой элемент cij (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2,..., n ) равен
сумме произведений соответствующих элементов i -й строки мат-
рицы A и j - го столбца матрицы B , то есть

     cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + K + aik bkj (i = 1,2,K, m; j = 1,2, K, n ) .
    Используется обозначение:                           C = AB .

    Замечание. При умножении матриц количество столбцов пер-
вой матрицы обязательно должно совпадать с количеством строк
второй матрицы.
                                                           ⎛ 2 0 1⎞
                                            ⎛0 1 1 ⎞       ⎜      ⎟
    Пример 1.8. Пусть                     A=⎜
                                            ⎜ 2 1 0 ⎟, B = ⎜1 3 1 ⎟.
                                                    ⎟
                                            ⎝       ⎠      ⎜ 1 0 1⎟
                                                           ⎝      ⎠
    Найти C = A ⋅ B .
    Решение. Здесь             m = 2, k = 3, n = 3. Согласно                определению 1.5
     c11 = a11b11 + a12 b21 + a13 b31 = 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2,
     c12 = a11b12 + a12 b22 + a13 b32 = 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 = 3,
     c13 = a11b13 + a12 b23 + a13 b33 = 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2,
     c 21 = a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 5,
     c 22 = a 21b12 + a 22 b22 + a 23 b32 = 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0 = 3,
    c 23 = a 21b13 + a 22 b23 + a 23 b33 = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 3.

    Тогда C = A ⋅ B = ⎛
                                2 3 2⎞
                              ⎜
                              ⎜ 5 3 3 ⎟.  ⎟
                              ⎝           ⎠




                                                                                              7


    Замечание. Если матрица A имеет размерность m × k , а матри-
ца B — размерность k × m, то можно найти как A ⋅ B, так и B ⋅ A . Од-
нако, вообще говоря, AB ≠ BA .
    При умножении квадратной матрицы A n -го порядка на еди-
ничную матрицу такого же порядка имеем: AE = A и EA = A , то есть
при умножении матриц единичная матрица обладает таким же
свойством, как число 1 при умножении чисел.
    Этим и объясняется ее название «единичная».
    В географии широкий интерес представляет применение мат-
риц при изучении географических сетей (речные сети, транс-
портные сети и т.д.). Рассмотрим для примера участок речной се-
ти (рис. 1.1) в матричной форме относительно количества прито-
ков (ребра), сходящихся в каждой точке их слияния (узловые точ-
ки)

                                          B
                              D                   А
                F                             2
                     E            4
                                          C
                                      3
                          6
                                  K

                                  7


                              Рис. 1.1

     Для изображения речной сети матрица может быть составле-
на как с использованием ребер, так и узлов. Обозначим (см. рис.
1.1) ребра числами 1,2,3,4,5,6,7, а узлы буквами A,B,C,D,E,F,K,L.
В матрице ребер число 0 означает, что притоки непосредственно
не соединяются, а 1 — что они соединяются; в матрице узлов
число 0 означает, что узлы непосредственно между собой не свя-
заны. Получим матрицы:

8


                                                       A    B       C       D       E       F       K           L
         1 2 3 4 5 6 7
                                                   A   ⎛0       0       1       0       0       0       0       0   ⎞
     1   ⎛0   1   1    0   0    0    0⎞                ⎜                                                            ⎟
         ⎜                            ⎟            B   ⎜0       0       1       0       0       0       0       0   ⎟
     2   ⎜1   0   1    0   0    0    0⎟                ⎜1                                                           ⎟
         ⎜1                                        C            1       0       0       0       0       1       0
     3        1   0    0   0    1    1⎟                ⎜                                                            ⎟
         ⎜                            ⎟            D   ⎜0       0       0       0       1       0       0       0   ⎟
     4   ⎜0   0   0    0   1    1    0⎟                ⎜0                                                           ⎟
         ⎜0                                        E            0       0       1       0       1       1       0
     5   ⎜    0   0    1   0    1    0⎟
                                      ⎟
                                                       ⎜                                                            ⎟
                                                   F   ⎜0       0       0       0       1       0       0       0   ⎟
     6   ⎜0   0   1    1   1    0    1⎟                ⎜                                                            ⎟
         ⎜                            ⎟            K   ⎜0       0       1       0       1       0       0       1   ⎟
     7   ⎝0   0   1    0   0    1    0⎠                ⎜0                                                           ⎟
                                                   L   ⎝        0       0       0       0       0       1       0   ⎠

   Если учесть течение воды, то матрицы примут вид:
                                                       A    B       C       D       E       F       K       L
         1 2 3 4 5 6 7
                                               A   ⎛0       0       1       0       0       0       0       0   ⎞
    1   ⎛0    0   1   0    0   0    0⎞             ⎜                                                            ⎟
        ⎜                            ⎟         B   ⎜0       0       1       0       0       0       0       0   ⎟
    2   ⎜0    0   1   0    0   0    0⎟             ⎜0                                                           ⎟
        ⎜0                                     C            0       0       0       0       0       1       0
    3         0   0   0    0   0    1⎟             ⎜                                                            ⎟
        ⎜                            ⎟         D   ⎜0       0       0       0       1       0       0       0   ⎟.
    4   ⎜0    0   0   0    0   1    0⎟             ⎜0                                                           ⎟
        ⎜0                                     E            0       0       0       0       0       1       0
    5   ⎜     0   0   0    0   1    0⎟
                                     ⎟
                                                   ⎜                                                            ⎟
                                               F   ⎜0       0       0       0       1       0       0       0   ⎟
    6   ⎜0    0   0   0    0   0    1⎟             ⎜                                                            ⎟
        ⎜                            ⎟         K   ⎜0       0       0       0       0       0       0       1   ⎟
    7   ⎝0    0   0   0    0   0    0⎠             ⎜0                                                           ⎟
                                               L   ⎝        0       0       0       0       0       0       0   ⎠


    Сумма по каждому столбцу дает общее количество притоков,
впадающих в каждую реку. В данном случае по два притока в
3;6;7 и по два — в узлы C,E,K. Изменения речной сети легко
представить путем сложения и вычитания матриц. Изложенный
метод можно распространить на другие характеристики речной
сети, расход воды, размер русла и т.д.

              Задания для с амостоятельной работы

                                      ⎛2     − 1 3⎞           ⎛3             4 −1⎞
   1. Даны матрицы                  A=⎜
                                      ⎜1          ⎟    и    B=⎜                  ⎟              .
                                      ⎝       0 5⎟⎠
                                                              ⎜5
                                                              ⎝             − 3 4⎟
                                                                                 ⎠

   Найти: а)          A + B;   б)   A − B.

                             ⎛5 3 2 ⎞                     ⎛ −1 − 5 4⎞
   Ответ: а)          A+ B = ⎜
                             ⎜ 6 − 3 9 ⎟;
                                       ⎟      б)   A− B = ⎜
                                                          ⎜ − 4 3 1 ⎟.
                                                                    ⎟
                             ⎝         ⎠                  ⎝         ⎠


                                                                                                                        9


     2. Даны матрицы

               ⎛ 1       3         4⎞        ⎛ 3 1 1⎞         ⎛ − 2 0 1⎞
               ⎜                     ⎟       ⎜         ⎟      ⎜         ⎟
           A = ⎜− 2      5         0 ⎟ , B = ⎜ − 1 0 2 ⎟, C = ⎜ 4 − 1 0 ⎟.
               ⎜ 1      −2         1⎟        ⎜ 1 2 1⎟         ⎜ 1 2 1⎟
               ⎝                     ⎠       ⎝         ⎠      ⎝         ⎠

     Найти: а)   3 А + 2В ;   б)   2 А − 3В ;    в)   А − 2 В + 3С    .

                  ⎛ 9 11 14 ⎞        ⎛ −6     3   5⎞      ⎛ − 11               1    5⎞
                  ⎜          ⎟       ⎜              ⎟     ⎜                           ⎟
     Ответ:   а ) ⎜ − 8 15 4 ⎟ , б ) ⎜ − 1 10 − 6 ⎟ , в ) ⎜ 12                 2   −4 ⎟   .
                  ⎜ 5 − 2 5⎟         ⎜ − 1 − 10 − 1 ⎟     ⎜ 2                  0    2⎟
                  ⎝          ⎠       ⎝              ⎠     ⎝                           ⎠


     3. Вычислить      АВ     и    ВА ,   если
     а)
                                ⎛ 1 2⎞
                                ⎜      ⎟     ⎛ − 1 2 3⎞
                            А = ⎜−1 1⎟ , В = ⎜
                                             ⎜ 4 0 2⎟;⎟
                                ⎜ 3 − 2⎟     ⎝        ⎠
                                ⎝      ⎠
     б)
                             ⎛1 0 1 ⎞          ⎛−1 1 1 ⎞
                             ⎜         ⎟       ⎜        ⎟
                         А = ⎜ 2 − 1 4 ⎟ , В = ⎜ 0 2 − 1⎟ ;
                             ⎜3 2 − 2⎟         ⎜ 2 3 4⎟
                             ⎝         ⎠       ⎝        ⎠


                             ⎛−1 3 7⎞         ⎛ 3 −4 1                    ⎞
                             ⎜         ⎟      ⎜                           ⎟
     в)                  А = ⎜− 5 1 7 ⎟ , В = ⎜ 1 1 − 2                   ⎟.
                             ⎜− 3 − 5 7⎟      ⎜ 2 −1 1                    ⎟
                             ⎝         ⎠      ⎝                           ⎠


     Ответ: а)
                           ⎛ 7            27⎞
                           ⎜                 ⎟        ⎛ 6            − 6⎞
                      АВ = ⎜ 5        − 2 − 1⎟ , ВА = ⎜
                                                      ⎜10               ⎟;
                           ⎜ − 11                     ⎝               4 ⎟
                                                                        ⎠
                           ⎝            6 5⎟ ⎠
     б)
                           ⎛ 1 4 5⎞                    ⎛ 4 1 1⎞
                           ⎜         ⎟                 ⎜          ⎟
                      АВ = ⎜ 6 12 19 ⎟,           ВА = ⎜ 1 − 4 10 ⎟;
                           ⎜− 7 1 − 7⎟                 ⎜ 20 5 6 ⎟
                           ⎝         ⎠                 ⎝          ⎠
     в)
                                             ⎛14 0 0 ⎞
                                             ⎜        ⎟
                                   AB = BA = ⎜ 0 14 0 ⎟.
                                             ⎜ 0 0 14 ⎟
                                             ⎝        ⎠

10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика