Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Теория случайных процессов: Учебное пособие

Голосов: 1

Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 4 курса дневного и 5 курса вечернего отделений математического факультета. Учебно-методическое пособие написано в соответствии с программой курса "Теория случайных процессов". Оно содержит краткие теоретические сведения и задачи для самостоятельного решения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И
    В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т




             Т Е О РИ Я СЛ ЧА Й Н Ы Х
                            У
                    ПРО Ц Е ССО В
                Пос ие д я с уд ов
                      об     л т ент
     п о сп е и ал ь н ост и 010100- М ат е ат и ка
             ц                             м




                               В оронеж
                                  2004


                                  2




           У т ер ено на ч но-м ет ич ес им с ет м а ем а ич ес ого
              в жд      у         од    к    ов ом  т т        к
           ф а ул т а(3 с яб р 2004 г., пр ок ол№ 1 )
              к ь ет     ент я             от




              Сос а ит и: М иха ов И .В .
                 т в ел         йл а
                          Ба к ов Л .
                            р а .Н




Пос ие под ов ено на к а ед е ур в
    об        гот л           ф р       а нений в ч а т х пр
                                                     с ны   оизв ны х и
                                                                од
т ии в оят т
 еор        ер нос ей     м а ем а ич ес ого ф а ул т а В ор
                             т т        к        к ь ет       онежс ого
                                                                   к
гос а с в
   уд р т енного унив с ет .
                      ер ит а
Рек ом енду с д я с уд ов 4 к у с д ного и 5 к ур а в ер
           ет я л т ент                р а нев             с еч него
от ел
  д ений м а ем а ич ес ого ф а у ь т а
              т т      к       к л ет .


                                            3



         § 1. С луч й ны е п р оце ссы : оп р е де ле ния, п р им е р ы , основ ны е
                   а
                                 х а р а кте р истики

     С луч й н а ф ун к ц и я а гу ент t ∈ T, опр ел
          а я                  р м    а            ед ённа на <Ω ,A,P>:
                                                           я
од нопа а ет ич ес ое с ейс в с уч а х в ич ин {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T ,
        рм р        к       ем   т о л йны        ел
опр ел
    ед ённы х на од   ном и т же в оят т
                               ом     ер нос ном п р т а т е <Ω ,A,P>.
                                                      ос р нс в
Т – м ножес в в ожны х зна ений па а ет аt.
            т о озм              ч      рм р
     С луч й н ы й проц есс, опр ел
          а                      ед ённы й на <Ω ,A,P> ил в ё р в ч т
                                                         и, с а но, о,
на л д ем ы й в опы т G ~ <Ω ,A,P> : Т – под ножес в д т ит ь ны х
   б ю а               е                        м      т о ейс в ел
ч ис ; вэ ом с у а па а ет t м ожно инт пр ир а ь к а в ем я.
    ел т         лч е рм р                  ер ет ов т к р
     Е с и T={t0} – од оч еч ное м ножес в т ξ t - с уч а на в ич ина
        л              нот                 т о, о      л й я ел
                                                            0
                                                                      ,
на л д ем а в опы т G; ес и T = {t1, ..., tn} и n = 2, 3, ... , т {ξ t }t =1 -
                                                                                       n
  б ю а я          е     л                                       о
с уч а й в т , на л д ем ы й вопы т G; ес и T=N={1, 2, ...}, т {ξ t }t =1
                                                                                           ∞
 л йны        ек ор б ю а                    е         л                     о
- с у а я пос ед а ел нос ь , на л д ем а вопы т G.
   л ч йна        л ов т ь        т      б ю а я               е
     За ет , ч т с уч а й п р
        м им       о л йны            оцес {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T ес ь ф у ция д у
                                           с                         т   нк       вх
пер енны х t ∈ T, ω ∈ Ω . Е с и t ∈ T – ф ик с ов но, т ξ t (⋅) - с уч а на
    ем                           л                  ир а           о        л й я
в ич ина опр ел
  ел       ,    ед ённа на< Ω , A, P >, на в ем а зн а ен и ем (сеч и ем )
                        я                       зы а я            ч           ен
случ й н ого проц есса в м ом ент в ем ени t ∈ T. Е с и же ω ∈ Ω -
     а                                     р                         л
ф ик с ов но, т ξ • (ω ) = x (⋅) - ч ис ов я ф у ция а гум ент t ∈ T, к от а
      ир а        о                     л а       нк        р          а         ор я
на в ет я т ра т ори ей
   зы а с           ек              (в бороч ой
                                      ы      н         ф ун к ц и ей , реа за и ей )
                                                                          ли ц
с уч а
 л йного пр     оцес а
                     с.
     С ем ей ст в к он еч ом ерн ы х ра
                 о       н                 спред  елен и й с уч а
                                                                л йного пр     оцес а
                                                                                   с
{ξt }t∈T : P = {Ptr {B} = P{ω : ξtr (ω ) ∈ B}, B ∈ ?(R )}tr∈T
                                                      n
                                                                  .  n
                                                                         ,n∈N
     С ем ей т св к он еч ом ерн ы х ф ун к ц и й ра
                 о       н                          спределен и я с уч а
                                                                    л йного
пр     с                 {     r
                                        {       ( )      r r
                                                          }             }
   оцес а {ξ t }t∈T : F = Ftr ( x ) = P ω : ξ tr ω < x , x ∈ R tr∈T n ,n∈N
                                                                    n


     За ет , ч т м ногие с ес в
       м им           о            ущ т енны е с ой с в с ч а
                                                  в т а лу йного п р       оцес а
                                                                               с
опр ел т я с ойс в м и с ейс в к онеч ном ер х р с ед ений. В
    ед яю с в т а                  ем    та             ны    а пр ел
ч а т т ис я из э их с ойс в б удут в д л нейш ем опр ел
   с нос и,       ход        т        в т,             аь                ед ены
ос ны е к л с ы с уч а х пр
   нов         а с л йны              оцес ов
                                          с .
    О ч ев но, ч т с ейс в P и
          ид      о ем  та                  F   д жны у ов ет ор ь у л иям
                                                 ол    д л в ят с ов
с м ет ии и с а ов ннос и:
 им     р    огл с а    т
                                            r      r
     a) У с ов с м ет ии д я F: Ftr ( x ) = Fπtr (πx ) д я л б ого n ∈ N ,
           л ие им              р   л                   л ю
          r                                                r
л б ого t = (t1 , t 2 ,K t n ) ∈ T и л б ой пер т нов и πt = (t k1 , t k2 ,Kt kn )
                                  n
  ю                                   ю        ес а к
                       r
к оор ина в т а t = (t1 ,Kt n ) ;
     д т ек ор
          b) У с ов с а ов ннос и д я F:
                л ие огл с а   т л


                                                        4

                 r
       lim Ftr ( x ) = Ft1 ,K,tn −1 ( x1 ,K, x n −1 )       дя
                                                             л   л бы х
                                                                  ю                 n∈ N     ,
       xn →∞
r
t = (t1 , t 2 ,K, t n ) ∈ T n
      У п р аж н е и е Сф ор у ир е ус ов a), b) д я с ейс в P.
                  н .       м л уйт л ия          л ем    та

      М а ем а и ч ое ож и д н и е случ й н ого проц есса {ξ t }t∈T : п ус ь
         т      т еск             а          а                                         т
зна ения с уч а ного пр
    ч         л й          оцес а с ь инт ир ы е с у а ны е в ич ины ,
                                 с ут       егр уем             лч й         ел
т ξ t ∈ L (Ω, A, P) д я л б ого t ∈ T , т а м ожно опр ел ь на T
 .е.        1
                        л ю                   огд                       ед ит
ф у цию m(t) = M(ξ), t ∈ T .
   нк                  t
      Ков ри а и он н а ф ун к ц и я случ й н ог проц есса п ус ь зна ения
          а ц            я                 а    о                  :      т        ч
с уч а
 л йного пр       оцес а инт ир ы с к в д а ом , т
                      с      егр уем          арт              .е. ξ t ∈ L (Ω, A, P ) д я
                                                                          2
                                                                                       л
л б ого t ∈ T, т ана T Ч T м ожно в ес и ук а нну ф у цию
 ю              огд                     в т       за ю             нк
      B(s,t) = cov(ξ, ξ) = M((ξ – m(s))( ξ – m(t))), ( s , t ) ∈ T Ч T .
                    s t        s          t


      Св
       ойст в ков и ац и он н ой фу кц и и :
             а ар                    н
            1.  B(s, t) = B(t, s), ( s , t ) ∈ T Ч T ;
            2.  B(s, s) = D(ξ), s ∈ T;
                                s
            3.  B(s,t) = M(ξξ) – m(s)m(t), ( s , t ) ∈ T Ч T ;
                               s t

                 4.        B ( s , t ) ≤ B ( s , s ) B (t , t ) , ( s , t ) ∈ T Ч T .
                 5.       К ов р ционна ф у ция яв яет я неот ица ел но
                                а иа              я            нк                л с    р т ь
               ед ённой ф у цией на T Ч T .
           опр ел                      нк
                 6.       {ξt }t∈T и {ηt }t∈T - случ айны е процесс , определённы е наы
           < Ω , A, P > и η t = ξ t + y (t ), t ∈ T , гд y: T → R1, т а            е       огд
           Bξ ( s, t ) = Bη ( s, t ) д я s,t ∈ T.
                                       л

                                          П р им е р ы случ й ны х п р оце ссов :
                                                           а

      1) П рост ой проц есс восст а ов и я
                                   н лен
          V1) {ξ n }n=1 - пос ед а ел нос ь неза ис ы х неот ица ел ны х
                         ∞
                             л ов т ь    т      в им        р т ь
      од к ов р с ед ённы х с уч а ны х в ич ин;
        ина о а пр ел              л й       ел
                                    ∞
                           n
                                 
               V2)  S n = ∑ ξ k  , где {ξ k }∞=1 из V1 и S0 = 0;
                          k =1  n=1          k

                                                                                     ∞
               V3) { t = max{n : S n < t}}t ≥0 , гд {S n }n=1 из V1 и { t = ∞} = I {S n < t} .
                                                             ∞
                   ν                               е                  ν
                                                                                    n =0
     М од и V1,V2,V3 ч а т ис ь зую т я д я опис ния р б от р зл ны х
          ел            с о пол       с л       а     а ы а ич
ф изич ес их ус р т , с ер щ их с еняем ы е ид ич ны е э ем ент : ξ –
         к     т ойс в од жа        м           ент        л    ы j
в ем я « жизни» j-го э ем ент , к от ы й в м ом ент в ход из с р
  р                     л    а      ор                ы     а    т оя
м гнов енно за еняет я с ед щ им ил р онт у с и т . В т к ой
              м     с л ую            и ем     ир ет я     .д    а


                                                     5

инт п р а
    ер ет ции V1 – пос ед а ел нос ь в ем ён жизни ид ич ны х
                             л ов т ь    т р                       ент
э ем ент ;
  л      ов      V2    –   пос ед а ел нос ь
                              л ов т ь     т      м ом ентов за ен ил
                                                                 м         и
«в са л
   ос т нов ений »; V3 – ч ис о в с а л
                             л ос т нов ений впр ежут е [0;t).
                                                     ом     к
      Ф изич ес ие пр ожения и а л
               к      ил         на огии п од к а в ю тд у
                                             с зы а        р гую на яд
                                                                    гл ную
с у: в м ом ент в ем ени n = 1,2, ... ч а т
  хем                ы р                       с ица пер ещ а с в ол
                                                           ем    ет я д ь
ч ис ов пр ой на в ич ину ξ 1, ξ 2, ... (зд ь ξ j у
    л ой       ям         ел                     ес        же произв ь ны е
                                                                     ол
неза ис ы е од к ов р с ед ённы е с у а ны е в ич ины ), т а
      в им          ина о а пр ел            лч й           ел          огд
{Sn }∞=0
     n   пр инят на в т случ й н ы м блуж д н и ем , а Sn – к оор ина а в
                о зы а ь    а              а                     д т
м ом ентn ч а т , с ер а щ ей с у а
             с ицы ов ш ю       л ч йное б л жд ние.
                                            у а

     2) Г р м онич ские коле ба ния
          а          е
     {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R ,1


     гд A(а пл уд ) – неот ица ел на с уч а я в ич ина
        е м ит а                 р т ь я л йна ел             ,
          η(к р гов я ч а т а – неот ица ел на с у а я в ич ина
                у а с от )           р т ь я л ч йна ел            ,
          φ(на а ь на ф а ) – р в ер
                ч л я         за    а ном но р с р ел
                                                  а п ед ённа на [0, 2π
                                                             я          ]
с уч а я в ич ина
  л йна ел              .
     φ и (A,η), к а п р в о, с ит ю тнеза ис ы м и.
                   к а ил ч а               в им
     Д а ее пр л га т я за а и (д я пер ой пр ед
         л        ед а ю с       дч      л      в      ив ено р ение), в
                                                                еш
к от ы х необ ход о:
    ор              им
             1.      О п ис т м ножес в т а т ий ;
                             аь      т о р ек ор
             2.      Н а т с ейс в од ер х, д ум ер х и т .
                         й и ем     то       ном ны      в    ны      .д
       ф у ций р с ед ния;
           нк       а пр ел
             3.      Нат й и м а ем а ич ес ое ожид ние, д пер ию
                                  т т      к          а      ис с      и
       к ов р ционную ф унк цию за а
            а иа                      д нного с уч а
                                                л йного пр оцес а
                                                                с.

    За да ч и.
              1.       Пр    оцес с V1, V2, V3 в пр пол              ед ожении, ч т     о
        ξ n ~ Π (λ ), λ > 0 .
         Ре ш е ние . О т ет нав ос 1-3 д я п р
                              в им            опр ы          л   оцес аV2.
                                                                      с
            1. { xn }n =1 : 0 ≤ xn ≤ xn +1 , n ∈ N } - м ножес в ч ис ов х неу ы в ю щ их
               {     ∞
                                                              то     л ы      б а
пос ед а ел нос ей снеот ица ел ны и э ем ент м и;
   л ов т ь             т             р т ь                л    а
             2.   F1 = {F ( x) = P{S   n   < x}, x ∈ R`}n=1 :
                                                         ∞



                                    n                 λ
                                                                x
           Fn ( x) = P{S n < x} = P ∑ ξ k < x  = ∫          (λu ) n−1 e −λu Ι ( 0, +∞ ) (u )du =
                                     k =1      −∞  (n − 1)!
                        λx        (λx) n −1  
           = 1 − e −λx 1 +
                               +K+            Ι ( 0, +∞ ) ( x),   x ∈ R1 .
             
                           1!     (n − 1)!  
                                              


                                                  6

                       0, n = 0,
                       
     3. m( n) = MS n =  n
                       ∑ Mξ k = nλ , n ∈ N ;
                        k =1
                     n
     D (n) = DS n = ∑ Dξ k = nλ , n ∈ N 0 ;
                    k =1

                                              M ( S n − nλ )( S m − mλ ), m ≠ n,
     B ( n, m) = M ( S n − nλ )( S m − mλ ) =                                    =
                                               DS n , m = n
        M ( S n − nλ )( S n − nλ + ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m,
       
     = nλ , n = m,                                                        =
        M ( S − mλ + ξ + K + ξ − ( n − m)λ )( S − mλ ), n > m
              m             m +1        n                m

        M ( S n − nλ ) 2 − M ( S n − nλ ) M (ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m,    DS n , n < m,
                                                                                     
     = nλ , n = m,                                                                 =  nλ , n = m,
        M ( S − mλ ) 2 + M (ξ + K + ξ − (n − m)λ ) M ( S − mλ ), n > m  DS , n > m,
              m                   m +1        n                    m                  m

     т B(n,m) = λ
      .е         min(n,m), m,n ∈ N0.

          2. Пу т G – с уч а й опы т к от ы й м ожет за онч ит я од
                    сь        л йны               ,    ор           к      с   ним
из д у в ожны х ис ов ω=1 ил ω=2. Сч ит я ис ы
         вх        озм               ход                 и               а    ход
р в ер ны м и
 а нов оят                        р с м от ет
                                    ас р ь                с уч а й
                                                           л йны            процесс
{ξ t (ω ) = ω ⋅ t , ω ∈ Ω = {1,2}}t∈[0,1] , на лю да ы й вда
                                              б     ем       нном опы т G.
                                                                       е
           3. Сл а й опы т G – в б ор на д ч у т к и из от езк а [0,1]
                    уч йны                           ы       уа      оч        р
(геом ет ич ес а
          р         к я         с а
                                 хем ).         Ра с от ет
                                                     см р ь         с ча й
                                                                     лу йны       процесс
{                                      }
 ξ t (ω ) = Ι {ω:ω >t } (ω ), ω ∈ Ω = [0,1] t∈[ 0,1] , на л д ем ы й вда
                                                         б ю а          нном опы т G.
                                                                                  е
         4. Пус ь η – с уч а я в ич ина ф у ция р с ед ния к от ой
               т       л йна ел        ,   нк       а пр ел            ор
F(x), x ∈ R. Ра с от ет с уч а й пр
               с м р ь л йны         оцес {ξ t = η + t}t∈R , с ит я ч т Dη
                                         с                    ч а      о
с ес в .
 ущ т ует
         5. Пус ь η, ζ – неза ис ы е N(0,1/2) с уч а ны е в ич ины .
                т              в им                 л й           ел
                                                     1       
Ра с от ет с уч а й пр
  с м р ь л йны       оцес ξ t = (η + ζ )
                          с                                         .
                                                     t       t∈R+
         6. Пус ь η, ζ – с ч а е в ич ины , к от ы е им ею т в ор е
                   т                лу йны    ел         ор           т ы
м ом ент , п р ем η – им еет с м ет ич ное от ит ь но ну я
         ы         ич                        им   р         нос ел       л
р с ед ение и P{η=0} = 0. Ра с от ет с ч а й п р
  а пр ел                                       см р ь    лу йны      оцесс
{ξ t = ζ + t (η + t )}t ≥0 . Н а и т к же вероят т т
                                йт а              нос ь ого, ч т р л ции
                                                                о еа иза
с уч а
 л йного пр        оцес ав а т ю т
                          с озр с а .
         7. Пус ь ξ – с у а на в ич ина им ею щ а с а а т
                     т              л ч й я ел       ,         я т нд р ное
нор а ь ное р с ед ение. Ра с от ет с у а й пр
     м л         а пр ел                с м р ь л ч йны   оцес с
               a) {ξ t = ξt + b}t ≥0 и b∈ R;


                                                    7


             b) {ξ t = (ξσ + m)t + b}t ≥0 ,σ > 0, m, b ∈ R .
          8. Пус ь A, η и φ – с уч а е в ич ины , φ не за ис отA и η и
                 т                       л йны             ел             в ит
     им еет р в ер
              а ном ное р с ед ение на [0, 2π Ра с от ет с ч а й
                                  а пр ел                         ]. с м р ь лу йны
     пр оцес {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R , гд P{A ≥ 0} = P{ ≥ 0} = 1 .
             с                                      е               η
          9. Д ок а т , ч т за а я ф у ция м ожет б ы т к ов р ционной
                   за ь         о д нна                 нк              ь   а иа
     ф у цией нек от ого с ч а
        нк               ор          лу йного пр           оцес а
                                                               с.
                a) B ( s , t ) = min( s, t ) , s, t ≥ 0 ;
                                        1− | s − t |,
                b) B( s, t ) = 
                                 0, | s − t |≥ 1, s, t ∈ R;
                c) B( s, t ) = min( s, t ) − st , s,t∈ [0,1];
                d) B( s, t ) = e −|s −t| , s,t∈ R;
                                    n
                e)    B ( s, t ) = ∑ c k ϕ k ( s )ϕ k (t )   ,   где   ϕ1 (t ),K, ϕ n (t ), t ∈ R   -
                                   k =1

     пр оизв ь ны е в ес в
            ол       ещ т енны е ф у ции, c1, ..., cn – неот ица ел ны е
                                    нк                      р т ь
     ч ис а
         л.

        § 2. Вы бор оч п р остр а нств о случ й ного п р оце сса . Т е ор е м а
                      ное                    а
                              Колм огор ов а

      М ы у зна , ч т с уч а й пр
             же      ем      о л йны           оцес {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T на < Ω , A, P >
                                                    с
м ожет б ы т опр ел к а ф унк ция д ух пер енны х
              ь      ед ён к                     в         ем            t∈T и ω ∈Ω ,
пр ём ξ t пр к а ом ф ик с ов нном t ∈ T яв яет я с уч а
   ич            и жд             ир а                   л с л йной в ич иной ел
на<Ω ,A,P>.
      С д угой с ор , с уч а ны й пр
            р        т оны       л й              оцес {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T оп р ел
                                                        с                       ед яет
                                                                   T
от р жение м ножес в ис ов Ω в м ножес в R = {x: T→ R} в ех
   об а                     т а ход                        то                       с
в ес в
  ещ т енны х ф у ций, оп р ел
                       нк          ед ённы х на T, т м ножес в в б ор ны х
                                                          .е.          то ы      оч
                                                                T
ф у ций с у а
   нк         л ч йного пр    оцес аес ь под ножес в R .
                                  с т          м         то
      Т а ое от р жение Ω → R инду ует ес ес в
         к       об а              {ξ }      T
                                          t t ∈T
                                                      цир          т т енны м об р зом
                                                                                   а
                                                      T
нек от ое р с ед ение в оят т наR .
        ор а пр ел               ер нос ей
      Ча т пр р ении пр к т ес их за а на изв т с ейс в
         со       и еш              а ич к            дч       м      ес но ем      то
к онеч ном ер х р с ед ений с у а
               ны       а пр ел            л ч йного пр     оцес а В с язи с э им
                                                                  с.      в         т
в озник а  ет      с ь ёзны й в ос в к а ой с епени р с ед ение
                    ер             опр :             к         т          а пр ел
                        T
в оят т наR , инду ов нное пр
  ер нос ей                    цир а             оцес ом , опр ел с с ейс в
                                                       с          ед яет я ем      т ом
к онеч ном ер х р с р ел
               ны       а п ед ений э ого пр
                                           т         оцес а Бол т
                                                           с?        ее ого, ес и на
                                                                                 л
м ножес в зна ений па а ет а T за а
          те         ч            рм р                д но нек от ое с ейс в
                                                                      ор      ем    то
к онеч ном ер х р с ед ений, т пр к а их ус ов
               ны        а пр ел            о      и     к         л иях с щ ес в
                                                                             у т ует
с уч а й пр
  л йны           оцес , им ею щ ий с ей с в к онеч ном ер х р с ед ений,
                        с               ем     то                  ны    а пр ел
с па а щ ее сд нны м ?
  ов д ю             а
      О т етнаэ и в ос с ер с в зна енит т ем е К ол огор а
         в         т опр ы од жит я                   м       ой еор          м     ов .


                                                        8

     Т еорем а Колм огоров . Ч а ь
                               а         ст 1. Сем ей с в   т о к онеч ном ер х    ны
р с ед ений (ф у ций р с ед ения) с уч а ного пр
  а пр ел          нк        а пр ел           л й                 оцес аод
                                                                        с нозна но  ч
опр ел р с ед ение в оят т на σ-а геб р B (R ) б ор ев к их
    ед яет а пр ел             ер нос ей              л      е         T
                                                                              ел с
              T
м ножес ввR .
         т
     З м еч н и е. B(RT) – на ень ш а σ - а геб р , с ер щ а
      а а                           им        я              л        а од жа я
                                     T
цил р ес ие м ножес в в R , гд ц и л и н др и че
    инд ич к                та             е                ское м н ож е в A c
                                                                             ст о
ос а
   нов нием B1xB2x...xBn, с в с в щ ее м ом ент м в ем ени t1, ..., tn,
                              оот ет т ую                    а р
опр ел с к а At 1
    ед яет я к      r ( B Ч K Ч B ) = { ∈ R : x (t ) ∈ B , K , x (t ) ∈ B } , д я n ∈ N,
                                                                               л
                                            T
                                 n     x          1     1          n     n
r
t = (t1 ,K , t n ) ∈ T n , B1, ..., Bn ∈      B (R1).
       Ч а ь Пр
           ст 2.        оизв ь ное с ейс в к онеч ном ер х р с ед ений
                                ол     ем то             ны      а пр ел
{Ptr ( B), B ∈ B ( R )}n∈N ,tr∈T является сем ейством к онеч ном ерны х рас-
                    n
                              n


пр ел
   ед ений нек от ого с уч а
                 ор    л йного пр оцес а т а и т ь к о т а к огд
                                      с огд              ол        огд ,   а
д нное с ейс в уд л в яет ус ов
 а         ем то    ов ет ор     л иям с м ет и и с а ов ннос и
                                        им         р           огл с а    т
(с . §1).
  м
     В ер нос ное
          оят т       пр т а т о
                        ос р нс в    < R T , ( R Т ), P{ξt }t∈T >    ,   где
P{ξt }t∈T ( B) = P{ω : ξ t (ω ) ∈ B} , д я B ∈ B(RT) пр
                                        л              инят на в т в бороч ы м
                                                           о зы а ь ы     н

вероят н ост н ы м прост ра ст в с а   н     ом луч йного пр       оцес а {ξ t }t∈T , P ξ t }t∈T -
                                                                       с               {
ра спред    елен и ем в  ероят н ост ей э ого пр т          оцес а а с у а й пр
                                                                с,     л ч йны           оцес    с
{                       }
 η t ( x ) = x, x ∈ R t∈T - н епосред в н о за а н ы м с уч а м пр
                       T
                                             ст ен           дн      л йны            оцес ом .
                                                                                              с
       За да ч и.
       1. Я в яю т я л с ед щ ие под ножес в RT б ор ев к им и?
              л с и л ую                         м         та        ел с
                                 ∞                
           a) T = N , A = ( xn ) n=1 : sup xn ≤ a , a ∈ R;
                                         n        
                                  ∞
           b) T = N , B = {( xn ) n=1 : lim xn = a}, a ∈ R;
                                            n→∞

         c) T = N , C = { ( x )     ∞
                                  n n =1   : п р е л п осле ат е ь н ост и су ст ве и кон е н };
                                                  де       дов л             ще у т        че
                                              
         d) T = R+ , D =  x ∈ R + : sup xt ≤ a, a ∈ R;
                                 R

                                       t ≥0   
         e) T = R, E = {x ∈ R : lim x(t ) = a}, a ∈ R.
                               R
                                   t →t       0

     2. О пр ел с л од
              ед яет я и нозна но к онеч ном ер м и р с ед ениям и
                                           ч                    ны      а пр ел
с уч а
 л йного пр       оцес а в оят т т
                        с ер нос ь ого, ч т т а т ия д нного пр
                                                      о р ек ор         а           оцес а
                                                                                         с
непр ы в пр t=t0 ∈ T? Поч ем у?
     ер на и
     3. Пу т F1, F2, ... пос ед а ел нос ь ф у ций р с ед ения.
             сь                       л ов т ь            т      нк        а пр ел
Пок а т , ч т с ес в ет пос ед а ел нос ь неза ис ы х с уч а ны х
     за ь       о ущ т у                л ов т ь           т        в им        л й
в ич ин ξ 1, ξ 2, ... т к их, ч т Fn ( x) = P{ξ n < x}, x ∈ R , д я в ех n = 1, 2, ... .
 ел                    а         о                               л с
     4. Ра с от им д а ч ис а μ ∈ R, σ
            см р             в       л                 >0. Пок а т ч т с ес в
                                                                   за ь     о ущ т ет
пос ед а ел нос ь неза ис ы х с у а х в ич ин ξ 1, ξ 2, ... т к их, ч т
   л ов т ь            т        в им         л ч йны       ел                   а        о,
Mξ n = ё , Dξ n = σ д я в ех n = 1, 2, ....
                     2
                        л с


                                                     9

     5. Пу т T - нек от ое ч ис ов м ножес в m(t), t ∈ T – пр
            сь             ор     л ое         т о,               оизв ь на
                                                                        ол я
в ес в
 ещ т еннозна на ф у ция на T и B(s,t) – пол
                   ч я нк                           ожит ь но ор ел
                                                         ел       пед ённа    я
ф у ция на TxT. Д ок а т ч т с щ ес в с ч а й пр
   нк                      за ь о у т ует лу йны            оцес т к ой, ч т
                                                                с а           о
m(t), t ∈ T – м а ем а ич ес ое ожид ние э ого пр
                 т т        к       а     т      оцес а а B(s,t), (s,t) ∈ TxT –
                                                      с,
его к ов р ционна ф унк ция.
         а иа         я


        § 3. Г уссов ские случ й ны е п р оце ссы . Вине р ов ский п р оце сс
              а               а

     Га уссов и й случ й н ы й проц есс – с уч а й пр
             ск        а                           л йны        оцес {ξ t }t∈T ,
                                                                    с
к онеч ном ер е р с ед ения к от ого нор а ь ны е (га с с ие), т
             ны   а пр ел             ор            м л         ус ов к          .е.
                           r
д я л б ого n∈ N и л б ы х t = (t1 ,K , t n ) ∈ T с у а ны й в т (ξ t1 , K , ξ t n )
  л ю               ю                            n
                                                   лч й       ек ор
~ N(m(t1), ... m(tn)), Σ tr ), гд m(tj) = Mξ t , j = 1, n ; Σ tr =
                                      е                     j


(cov( (ξ tk , ξ t j ) = B(t k , t j ) ) n , j =1 .
                                        k

       Т а имк           об р зом ,
                             а        ч а т е (к онеч ном ер е) р с ед ения
                                         с ны                 ны           а пр ел
га с с ого с у а
  ус ов к                 л ч йного пр   оцес а опр ел т я д ум я ф у циям и:
                                              с     ед яю с         в         нк
с ед
 р нее зна ение m(t) = Mξ t и к ов р циионна ф у ция B(s,t) =
                     ч                            а иа          я       нк
cov( (ξ s , ξ t ) , s,t ∈ R.
       Ви н еров и й случ й н ы й проц есс, в ход ий из 0 – с у а й
                        ск          а                 ы    ящ                 л ч йны
процес {wt }t ≥0 и
         с
                      1. w0 = 0 п.н.;
                      2. га с с ий с уч а й пр
                              ус ов к      л йны      оцес ;
                                                          с
                      3. м а ем а ич ес ое ожид ние m(t ) ≡ 0, t ≥ 0;
                              т т        к       а
                      к ов р
                           а иоционна ф унк ция B(s,t) = min(s,t), s,t ≥ 0.
                                       я

     Э т пр
        от оцес яв яет я м а ем а ич ес ой м од ь ю хор о изв т
                   с л с         т т     к       ел       ош       ес ного
ф изич ес ого пр
         к        оцес а « б р нов к ое д ижение», к от ое с ер а
                        с      оу с        в             ор       ов ш ет
в еш енна в жид ос и ч а т
 зв         я           к т       с ица под в ейс в
                                               озд т ием ха ич ес их
                                                                 от    к
с ол нов
 т к       ений см ол у а и жид ос и.
                      ек л м       к т
     За да чи.
     1. Пус ь {ξ t }t∈R - га с с ий с уч а ны й пр
             т              ус ов к    л й         оцес , м а ем а ич ес ое
                                                       с     т т        к
ожид ние к от ого к онс а а m(t ) ≡ m , а к ов р ционна ф у ция
      а             ор          т нт                        а иа        я  нк
B (t + τ , t ) = r (τ ) , дл в ех τ , t ∈ R , т с а
                            я с                .е. т циона ны й в ш ир ом с ы с е
                                                          р           ок   м л
с уч а й пр
 л йны               оцес . Н а и к ов р ционную ф унк цию с уч а
                           с    йт           а иа                        л йного
пр     с            {            ч а }
  оцес а ηt = ξ t t∈R , с ит я a) m = 0; b) m- - пр
                                 2
                                                                оизв ь ное
                                                                    ол
д т ит ь ное ч ис о.
 ейс в ел              л
     2. Н а и к ов р ционну
             йт           а иа          ю     ф у цию
                                                 нк   с у а ного пр
                                                       лч й         оцес а
                                                                        с
{ηt = signξt }t∈R , где {ξt }t∈R из задач и 1.


                                               10

     3. Д ок а т , ч т в
               за ь       о инер с ий с уч а й пр
                                     ов к      л йны           оцес , в ход иий из
                                                                   с ы          ящ
ну я, уд л в яетс еду щ им у л иям :
   л     ов ят ор           л ю             с ов
                1) w0 = 0 п.н.;
                2) с уч а ны й пр
                    л й                оцес с неза ис ы м и пр а ениям и, т
                                            с          в им          ир щ               .е.
       wt − wt ,K, wt − wt , неза ис ы е с уч а
          n     n −1       1     0
                                         в им        л йны е в ич ины д я л б ы х
                                                                 ел             л ю
       0<t0< <t1<...<tn;
                3) wτ +t − wτ ~ N (0, t ) д я л б ого τ≥ 0, t > 0.
                                           л ю
     4. Д ок а т э в а ент т пр ед
               за ь к ив л нос ь               ив ённы х в ш е д у опр ел
                                                              ы      вх          ед ений
винер с ого с у а ного пр
       ов к        лч й              оцес а
                                          с.
     Ре е дац и я. Д л р ения за а 1 и 2 пол
        ком н               я еш             дч             езно пом нит с едую щ ий
                                                                          ь л
ф а тиз т ии в оят т
   к      еор       ер нос ей.
              r                r                            r       r
     Е с и ξ = [n Ч 1] ~ N ( ё = [n Ч 1], Σ = [n Ч n]), т Aξ = N ( Aё , AΣ, A' ), гд A =
        л                                                о                          е
[m x n] и rangA ≤m ≤ n.
     5. Н а и на а ь ны е
             йт          ч л              и цент а ь ны е м ом ент пр а ений
                                                   рл                  ы        ир щ
винер с ого с у а ного пр
       ов к        лч й              оцес а
                                          с.
       6. Н а т к ов р ционну
               й и         а иа            ю ф у цию ус ов
                                                  нк          л ного в      инер с ого
                                                                                   ов к
пр оцес а {wt = wt − tw1 }t∈[ 0,1] .
        с     ( 0)


     7. Пус ь {wt(1) }t ≥0 ,{wt( 2 ) }t ≥0 - неза ис ы е в
             т                                      в им        инер с ие пр
                                                                         ов к            оцес ы .
                                                                                             с
                                                1
                                     оцес { ( wt + wt )}t ≥0 т к же в
                                                     (1)  ( 2)
Д ок а т , ч т с у а й пр
      за ь    о л ч йны                     с                          а      инер с ий.
                                                                                       ов к
                                                  2
     8. Пус ь {wt(1) }t ≥0 - в
             т                инер с ий пр
                                         ов к        оцес . Д ок а т , ч т с едую щ ие
                                                         с          за ь      о л
пр оцес ы т к же в
        с а       инер с ие:
                           ов к
                                0, t = 0,                     wt( 2 ) = c wt / c , t ≥ 0,
                 a) {wt(1) } =                   ,        b)                              ,
                                tw1 / t , t > 0;              c = const > 0.
                                  wt ,0 ≤ t ≤ T ,
                       c) {wt } = 
                            ( 3)

                                  2 wT − wt , t > T , г T = const > 0.
                                                        де


                               § 4. Э м е нты случ й ного а на лиз
                                     ле           а               а

       В §2 м ы р с м от ел от р жение Ω {ξ }→ RT. О б с им т
                   а с р и об а                                 уд
                                                              t t ∈T
                                                                       епер ь
а л ич ес ие
  на ит      к       с ойс в
                      в та             (непр ы в т ,
                                            ер нос ь     д ф ер
                                                            иф енцир ем ос ь )
                                                                    у     т
                          {ξ t }t∈T
от р жения
     об а            T  → L ( Ω , A, P ) , гд L (Ω, A, P) -м ножес в
                                       o
                                                     е
                                                        o
                                                                         то
                            ед ённы х на <Ω ,A,P>. В L (Ω, A, P) с щ ес в т
                                                          o
с уч а х в ич ин, оп р ел
  л йны         ел                                                у т ую
р зл ны е т
  а ич           ипы с им ос и: с им ос ь поч т на ер
                        ход          т     ход    т         и  в ное (п.н.),
с им ос ь по в оят т с им ос ь в с ед
  ход      т         ер нос и, ход             т       р нем пор к а r д я
                                                                 яд       л
 L (Ω, A, P) , в ч а т
   r
                      с ном с уч а д я r = 2, с им ос ь в с ед
                                    л е л               ход    т      р нем
к в д а ич ес ом . В с в с в
     арт       к         оот ет т ии с э им м ы м ожем р с м а р а ь
                                               т                а с т ив т
р зл ны е в ы непр ы в т и д ф ер
  а ич         ид       ер нос и иф             енцир ос и.
                                                     уем т



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика