Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Алгебраические уравнения

Голосов: 0

Основное назначение серии – помочь учащемуся старших классов систематизировать, творчески усвоить программу средней школы, а также адаптировать будущего студента к программе высшей школы. Поэтому книги будут полезны и первокурсникам, только приступившим к изучению высшей математики. Не в последнюю очередь мы надеемся, что предлагаемые учебные пособия окажутся полезными учителям математики, особенно преподающим в физико-математических классах. В процессе работы над книгой авторы опирались на личный опыт подготовки абитуриентов к вступительным экзаменам и опыт преподавания на различных факультетах ПетрГУ, который показывает, что многим студентам, вплоть до старших курсов, не дают успешно учиться пробелы в знаниях по элементарной математике. А это, как зубная боль: пока серьезно не возьмешься за лечение, будет мешать. Само название серии говорит о том, что мы не считаем главной целью обучения сдачу ЕГЭ. Любой экзамен всего лишь один из методов контроля качества усвоенного материала, и, к сожалению, его успешная сдача далеко не всегда означает готовность подняться на следующую ступень образования.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    УДК 512.1
ББК 22.14 Б439
Печатается по решению редакционно-издательского совета Петрозаводского государственного университета
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор каф. геометрии и топологии ПетрГУ
С. С. Платонов ;
д-р экон. наук, зав. отделом моделирования и прогнозирования реги-
онального развития института экономики КарНЦ РАН
П. В. Дружинин
Белый, Евгений Константинович.
Б439 Алгебраические уравнения : учебное пособие для абитуриентов
и студентов первого курса / Е. К. Белый, Ю. А. Дорофеева ; М-во об-
разования и науки Рос. Федерации, Федеральное бюджетное образова-
тельное учреждение высш. проф. образования Петрозавод. гос. ун-т. –
Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2015. – 240 с. – (Математика не
для ЕГЭ).
ISBN 978-58021-2604-2
Учебное пособие ориентировано на широкий круг читателей: абитури-
ентов, студентов первого курса, а также учителей математики средней
школы.
ISBN 978-58021-2604-2
УДК 512.1ББК 22.14
c
○ Белый Е. К., Дорофеева Ю. А., 2015
c
○ Петрозаводский государственный университет, 2015 

Содержание
Предисловие 5
Математическая символика 9
Введение 12
Глава 1. Линейные уравнения 19 § 1.1. Уравнения с одной неизвестной . . . . . . . . 19
§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными . . . . . . 20
§ 1.3. Системы двух уравнений . . . . . . . . . . . . 28
§ 1.4. Системы трех и более уравнений . . . . . . . 35
§ 1.5. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Глава 2. Уравнения второго порядка 55 § 2.1. Основные алгебраические тождества . . . . . 55
§ 2.2. Квадратный трехчлен . . . . . . . . . . . . . 59
§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными . . . . . . 80
§ 2.4. Симметричные формы . . . . . . . . . . . . . 84
§ 2.5. Однородные многочлены . . . . . . . . . . . . 94
§ 2.6. Уравнения с тремя неизвестными . . . . . . . 99
Глава 3. Уравнения старшего порядка 102 § 3.1. Операции над многочленами . . . . . . . . . 102
§ 3.2. Разложение многочленов на множители . . . 107
§ 3.3. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

§ 3.4. Комплексные корни многочлена . . . . . . . 132
§ 3.5. Формула Кардано . . . . . . . . . . . . . . . . 149
§ 3.6. Формула Феррари . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 3.7. Границы корней многочлена . . . . . . . . . . 164
§ 3.8. Интерполяционный многочлен Лагранжа . . 168
§ 3.9. Многочлены в других задачах . . . . . . . . 173
Задачи 188
Ответы 207
Древнегреческий алфавит 226
Биографические справки 227
Список литературы 237 

Учитель может только указать путь.
Пройти путь каждый должен сам. Восточная мудрость
Предисловие ⇒
9 Дорогой читатель! Мы открываем экспериментальную
серию книг «Математика не для ЕГЭ». Основное назначе-
ние серии – помочь выпускнику систематизировать, твор-
чески усвоить программу средней школы и адапти-
ровать будущего студента к программе высшей шко-
лы . Поэтому книги будут полезны и первокурсникам, толь-
ко приступившим к изучению высшей математики. Не в по-
следнюю очередь мы надеемся, что предлагаемые учебные
пособия окажутся полезными учителям математики, осо-
бенно преподающим в физико-математических классах. В
процессе работы над книгой авторы опирались на личный
опыт подготовки абитуриентов к вступительным экзаменам
и опыт преподавания на различных факультетах ПетрГУ,
который показывает, что многим студентам, вплоть до стар-
ших курсов, не дают успешно учиться пробелы в знаниях по
элементарной математике. А это, как зубная боль: пока се-
рьезно не возьмешься за лечение, будет мешать.
Само название серии говорит о том, что мы не считаем глав-
ной целью обучения сдачу ЕГЭ. Любой экзамен всего лишь 

6
ПРЕДИСЛОВИЕодин из методов контроля качества усвоенного материала, и,
к сожалению, его успешная сдача далеко не всегда означает
готовность подняться на следующую ступень образования.
Сейчас имеется довольно широкий выбор литературы для
поступающих в вузы, и может возникнуть вопрос: зачем
нужна еще одна книга для абитуриентов? Здесь можно за-
метить, что мы преследуем более дальние цели, неже-
ли только поступление в вуз . Книги этой серии не за-
менят школьные учебники и тем более уроки, в них нет той
последовательности изложения материала, которая прису-
ща методистам и которая рассчитана на годы обучения, но
они помогут на некоторые вещи взглянуть под другим углом
зрения. Авторы не пытались включить в пособие как можно
больше задач, поскольку хороших задачников с разобран-
ными примерами решений более чем достаточно. Разумеет-
ся, это книги под редакцией М. И. Сканави, учебное пособие
для студентов педагогических институтов В. Н. Литвиненко
и А. Г. Мордкович и пр. Для всех, кто интересуется зада-
чами с параметрами, можно рекомендовать замечательную
книгу В. П. Моденова. В конце пособия (с. 237) вы найде-
те список литературы, где представлены не только книги,
содержание которых «вписывается» в школьную програм-
му, но и вузовские, в которых пройденные в школе темы
получают дальнейшее развитие. Это, прежде всего, учебни-
ки и задачники по аналитической геометрии и алгебре. Для 

7
будущих математиков и физиков можно рекомендовать все
выпуски физико-математического журнала «Квант» начи-
ная с 1970 года, где можно найти не только разбор мето-
дов решения задач по самым разным разделам математики
и физики, но и множество статей, написанных представи-
телями этих наук. Если вы серьезно настроены на учебу,
не стоит останавливаться на одном учебном пособии .
Разные авторы по-разному раскрывают одни и те же темы,
и разные читатели по-разному воспринимают один и тот
же текст. К одной цели можно идти различными дорогами.
Приобретение нескольких книг поможет сэкономить на ре-
петиторах и между делом развить навык самостоятельной
работы, который в жизни очень пригодится.
На протяжении столетий в школьной программе формиро-
валась, фиксировалась система наиболее важных сведений,
необходимых для начала самостоятельной жизни, – фунда-
мент востребованных в обществе профессий. Вопрос «как
учиться?» непростой. Сейчас главная беда значительной ча-
сти первокурсников заключается даже не в слабой подготов-
ке по математике, а именно в неумении и нежелании учить-
ся. А учится человек для себя . Потому что ему интерес-
но учиться. Потому что он хочет продолжить образование
в лучших вузах страны и даже мира. Потому что он хочет
стать специалистом, хозяином жизни , быть востребо-
ванным в обществе и государстве. Ведь все привычные нам 

8
ПРЕДИСЛОВИЕи кажущиеся незаменимыми в повседневной жизни заме-
чательные технические устройства, сооружения – резуль-
тат применения достижений науки, в том числе сложного
математического аппарата. В современном обществе наука
признана важнейшим фактором производства. Впрочем, и
раньше многие выдающиеся государственные деятели пони-
мали это. Так, Петр I и Наполеон не только знали математи-
ку на уровне квалифицированного инженера, но и уделяли
большое внимание вопросам математического образования,
поскольку математика является базовой дисциплиной для
всех точных наук, а заботу о процветании наук они считали
делом государственным.
Авторы надеются, что «Математика не для ЕГЭ» поможет
будущим специалистам усовершенствовать свою математи-
ческую подготовку, а у кого-то пробудит интерес к матема-
тике. Замечания и предложения вы можете направлять по
адресу: belyi@petrsu.ru . Хотелось бы обратить внимание
на тот факт, что инструмент, которым вы научитесь
пользоваться сегодня, будет вашим верным другом
на протяжении всей жизни . И если вы все-таки решили
учиться, желаем запастись терпением. Пусть в этом нелег-
ком деле вам сопутствует удача!
Евгений БелыйИюль 2015 

Математическая символика
5
⇔ 12 1.
– пустое множество.
2. {3} – множество, состоящее только из числа 3.
3. {1,2 ,5 } – множество, состоящее из чисел 1,2 и 5.
4. ��� {�, �, �, �, � }– максимальное значение из перечис-
ленных �, �, �, �, � .
5. ��� {�, �, �, �, � }– минимальное значение из перечис-
ленных �, �, �, �, � .
6. (� ;�) – открытый интервал вещественных чисел, т. е.
все числа от �до �, за исключением границ.
7. [� ;�] – замкнутый интервал вещественных чисел, т. е.
все числа от �до �, включая границы.
8. �∈ � –� является элементом множества �.
9. �⊂ � –� является подмножеством множества �.
10. �∪� – объединение множеств �и�.
11. �∩� – пересечение множеств �и�.
12. �
– дополнение множества �. 

10
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА13.
(�, � )– упорядоченная пара чисел �и�. Интерпрети-
руется так же, как точка плоскости с соответствующи-
ми координатами.
14. (�, �, � )– упорядоченная тройка чисел �, � и �или
точка в трехмерном пространстве.
15. (�
�, �
�)
– вектор на плоскости с координатами �
� и
�
�.
16. {(�, � )|2 � + �= 1 }– множество пар (� ;� ), для которых
выполняется условие 2� + �= 1 .
17. ℜ= ( −∞ ; +∞)– множество вещественных чисел. По-
скольку каллиграфы сейчас стали большой редкостью,
в конспектах и на доске этот символ обычно изобра-
жают как �с двойной вертикальной чертой.
18. �∈ ℜ –� является вещественным числом.
19. {(�, 2)}, где �∈ ℜ – множество всех пар (�, � ), в кото-
рых �– произвольное вещественное число, а �= 2 .
20. {(�, 2)|� ∈ ℜ} – то же, что и {(�, 2)}, где �∈ ℜ .
21. (ℜ ,2) – то же, что и {(�, 2)|� ∈ ℜ} .
22. {(�, � )} , где �, �∈ ℜ – множество всех пар веществен-
ных чисел или всех точек плоскости.
23. (ℜ ,ℜ )– то же, что и {(�, � )} , где �, �∈ ℜ. 

11
24.
�
�(
� ) – некоторый многочлен степени �от перемен-
ной �. Для этой цели также в книге иногда использу-
ются обозначения: �
�(
� ), �
�(
� ) или �
�(
� ).
25. �(� ) – некоторый линейный член, т. е. выражение вида
�� +�, где �и �– константы.
26. &– логическое «И».
27. ∨– логическое «ИЛИ».
28. (� ̸
= 2)&( �̸
= 3) – истинны одновременно два утвер-
ждения: (� ̸
= 2) и(� ̸
= 3) .
29. (� ̸
= 2) ∨(� ̸
= 3) – истинно утверждение (� ̸
= 2) , или
( � ̸
= 3) или(� ̸
= 2)&( �̸
= 3) .
30. ∀� – любое �.
31. ∃� – существует �. 


    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика