Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Электронные промышленные устройства: Учебное пособие

Голосов: 5

В учебном пособии рассмотрены информационные основы и основы построения устройств промышленной электроники, предназначенных для обработки аналоговых и цифровых сигналов с использованием современной элементной базы.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                                                                     11

                1.2.СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

                       Ключевые понятия раздела
                         Спектры сигналов, преобразование Фурье. Способы представления информа-
                         ции, мера информации, кодирование информации. Виды кодов, коды для отоб-
                         ражения информации, численные коды, форматы представления числовой ин-
                         формации.

                                    1.2.1.Спектры сигналов

      Спектральная (частотная) форма представления сигналов использует разложение сигналь-
ных функций на периодические составляющие.
      Периодичность гармонических колебаний исследовал еще в VI веке до нашей эры Пифагор
и даже распространил его на описание гармонического движения небесных тел. Термин "spectrum"
("спектр") впервые применил И. Ньютон в 1571 году при описании разложения солнечного света,
пропущенного через стеклянную призму, на многоцветную полосу. Он же дал и первую математи-
ческую трактовку периодичности волновых движений. В 18-м веке решениями волновых уравне-
ний (в приложении к струнам) занимались Даниил Бернулли и Леонард Эйлер. По существу, уже
Бернулли и Эйлер показали, что произвольные периодические функции представляют собой сум-
мы простейших гармонических функций – синусов и косинусов кратных частот. Эти суммы полу-
чили название рядов Фурье, после того как в 1807 году французский инженер Жан Батист Фурье
обосновал метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, которым можно отобра-
жать с абсолютной точностью (при бесконечном числе членов ряда) или аппроксимировать с за-
данной точностью (при ограничении числа членов ряда) любую периодическую функцию, опреде-
ленную на интервале одного периода, и удовлетворяющую условиям Дирехле (ограниченная, ку-
сочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода).
            Жан-Батист Жозеф ФУРЬЕ Французский математик. Родился в Осере, в девять лет остался
            сиротой. Получил образование в церковной школе и военном училище, затем работал препода-
            вателем математики. На протяжении всей жизни активно занимался политикой, арестован в
            1794 году за защиту жертв террора, выпущен из тюрьмы после смерти Робеспьера. Принимал
            участие в создании знаменитой Политехнической школы в Париже. Сопровождал Наполеона в
            Египет, был назначен губернатором Нижнего Египта. По возвращении во Францию в 1801 году
            назначен губернатором одной из провинций. В 1822 году стал постоянным секретарем Фран-
            цузской академии наук.

      Представление сигнала во временной области позволяет определить его параметры, энергию,
мощность и длительность. Существуют также формы математического описания, лучше отобража-
ющие другие параметры. Нередко уделяется большое внимание изучению частотных свойств сигна-
ла. Для этого используется представление сигнала в частотной области в виде спектра, получаемого
на основе математического аппарата преобразования Фурье.
      Знание частотных свойств позволяет решать задачи идентификации характеристик сигнала
(определения его наиболее информативных параметров), фильтрации (выделения полезного сиг-
нала на фоне помех), выбора частоты дискретизации непрерывного сигнала. Одним из важнейших
параметров сигнала является ширина его частотного спектра, так как именно этот параметр оказы-
вается определяющим при согласовании сигнала с аппаратурой обработки и передачи информа-
ции. Полагая, что сигнал описывается известной функцией времени, т. е. является детерминиро-
ванным, рассмотрим особенности получения и анализа частотных спектров.
      Спектральное преобразование функций, по существу, представляет собой представление
функций в новой системе координат, т.е. перевод исходных функций на новый координатный ба-
зис. Выбор наиболее рациональной ортогональной системы координатного базиса функций, как
правило, зависит от цели исследований и определяется стремлением максимального упрощения
математического аппарата анализа, преобразований и обработки данных. В качестве базисных
функций в настоящее время используются полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и
другие. Наибольшее распространение получило преобразование сигналов в базисах гармониче-


12

ских функций: комплексных экспоненциальных                и вещественных тригонометрических
синус-косинусных функций, связанных друг с другом формулой Эйлера. Это объясняется тем, что
гармонические колебания является функциями времени, сохраняющими свою форму при прохож-
дении через любую линейную цепь, изменяются только амплитуда и начальная фаза колебаний,
что очень удобно для анализа систем преобразования сигналов.
      Спектральный анализ часто называют частотным анализом. Термин "частотный" обязан
происхождением обратной переменной             временного представления сигналов и функций.
Понятие частотного преобразования не следует связывать только с временными аргументами, т.к.
математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла независимых пере-
менных. Так, например, при переменной " x ", как единице длины, значение f будет представлять
собой пространственную частоту с размерностью        - число периодических изменений сигнала
на единице длины.
      В математическом аппарате частотного анализа удобно использовать угловую частоту
        . Для процессов по другим независимым переменным в технической литературе вместо
индекса частоты часто используется индекс v, а для угловой частоты индекс           , который
называют волновым числом.


                                      1.2.2.Ряд Фурье

      Пусть исследуемый сигнал описывается периодической функцией времени        , которая
удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной в
пределах периода ее измененияТ, а в точках разрыва принимает ограниченные значения. Тогда
функцию       можно представить в виде ряда Фурье (основная форма):

                                                                                          (1.1)

коэффициенты которого определяются по формулам:




                                                                                          (1.2)


      Разложение сигнала на гармонические функции получило название прямого преобразования
Фурье (Fourier transform). Обратный процесс – синтез сигнала по синусоидам – называется об-
ратным преобразованием Фурье (inverse Fourier transform).
      Физически такое представление сигнала соответствует выделению постоянной составляю-
щей , первой гармоники с частотой              и высших гармоник с частотами          и т.д.
Распространена и другая форма записи ряда Фурье:

                                                                                          (1.3)

      Постоянную составляющую a0, амплитуду ak и фазу ' k k-ой гармоники сигнала находят как:

                                                                                          (1.4)

      Совокупность значений       и (         ) называют амплитудным и фазовым частотными
спектрами сигнала (спектром амплитуд и спектром фаз, примеры спектровпрямоугольных колеба-
ний приведены на рис. 1.4), а последовательность операций по нахождению указанных коэффици-
ентов для каждой гармоники сигнала – гармоническим анализом.


                                                                                           13




                       Рис. 1.4. Примеры амплитудного и фазового спектров.

      Часто удобно использовать ряд Фурье в комплексной форме, выражение для которого не-
сложно выводится при использовании для гармонических функций вещественного аргумента фор-
мул Эйлера:




тогда


где:




               Рис. 1.5. Примеры вещественной и мнимой части комплексного спектра.

      Используя разложение периодической функции x (t)в ряд Фурье, а также свойство ортого-
нальности составляющих его гармонических функций, несложно показать, что средняя за период
мощность периодического сигнала при единичном сопротивлении нагрузки определяется соотно-
шением:

                                                                                         (1.5)

      Таким образом, средняя мощность сигнала определяется только его спектром амплитуд и не
зависит от спектра фаз. Из последнего соотношения (равенство Парсеваля для периодического
сигнала) следует, что независимо от формы сигнала если его разложение в ряд Фурье существует,
то амплитуда гармоники падает с ростом ее частоты (поскольку мощность конечна).
      Рассмотрим частотный спектр периодического импульсного сигнала (рис. 1.6). Пользуясь
предыдущими соотношениями несложно получить выражения для амплитудного частотного спек-
тра:

                                                                                     ,   (1.6)

который удобно представить графически в виде отрезков длины ak , проведенных перпендикуляр-
но оси, на которой наносятся значения частот k ! 1.


14




                              Рис. 1.6. Периодический импульсный сигнал

        На рис. 1.7 приведен график амплитудного частотного спектра исследуемого сигнала для
           (по оси ординат отложены относительные значения амплитуд гармоник          ). Как
видно из графика, в спектре сигнала преобладают низкочастотные составляющие.




                    Рис. 1.7. Спектр периодического импульсного сигнала (/T = 1/2)

      Воспользовавшись формулой (1.5), нетрудно убедиться, что распределение средней мощно-
сти сигнала по его гармоникам является следующим: 50%-постоянная составляющая, 40% - первая
гармоника, 5% - третья гармоника, 1% - пятая гармоника и т.д. Таким образом, в диапазоне частот (
        ) содержится 90% средней мощности импульсного сигнала, в полосе частот (           ) - 95
% мощности сигнала.




                    Рис. 1.8. Спектр периодического импульсного сигнала (/Т=1/5)

       Изменение соотношения между длительностью и периодом         следования импульсов при-
водит к перераспределению указанной мощности сигнала по отдельным участкам спектра -
уменьшается удельный вес его низкочастотных составляющих, возрастает удельный вес высших
гармоник. На рис. 1.8 показан график амплитудного спектра для случая когда         .
       Вычисления показывают, что 90 % средней мощности сигнала содержится в диапазоне ча-
стот (0 …     , а 95 % - в полосе         ). Оценивая практическую (эффективную) ширину ча-


                                                                                               15

стотного спектра       по 90%-ному содержанию мощности, можно воспользоваться следующей
формулой (см. рис. 1.7 и рис. 1.8):

                                                                                             (1.7)

откуда видно, что     определяется главным образом длительностью прямоугольного импульса ї .


                       1.2.3. Непрерывные преобразования Фурье

      Частотный спектр непериодического сигнала формально можно получить из спектра соот-
ветствующего периодического сигнала, принимая T ! 1 в формулах (1.1). В этом случае разность
частот между двумя соседними гармониками ! 1 = 2ј / T стремится к нулю, т. е. частотный спектр
из дискретного (линейчатого) становится непрерывным (сплошным). Если функция x (t), описы-
вающая исследуемый сигнал, на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле и,
кроме того, является абсолютно интегрируемой на бесконечном промежутке (-, +), т. е.:

                                                           ,

(или прямым преобразованием Фурье):

                                                                                             (1.8)

      Для выяснения физического смысла прямого преобразования Фурье (1.8) приведем формулу
обратного преобразования Фурье, осуществляющего обратный переход от изображения X (j ! ) к
оригиналу - временной функции x (t):

                                                                                             (1.9)

       Отсюда видно, что интеграл Фурье позволяет представить непериодическую функцию x (t)
в виде суммы бесконечного числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами:
                                                                 ,

и с частотами, занимающими диапазон от – до +. Таким образом, изображение X (j ! ) характе-
ризует плотность распределения амплитуд гармонических составляющих по отдельным участкам
спектра и поэтому нередко называется спектральной плотностью сигнала. Полученное изображе-
ние:
                                                     X (j ! ) = X (! )ej µ(! ) ;            (1.10)
где X (! ) = jX (j ! )j - амплитудный частотный спектр; Ј (! ) = arg(X (j ! ))- фазовый частотный
спектр сигнала.
      При определении энергии сигнала         можно воспользоваться равенством Парсеваля:
                                                Z1
                                                +                       Z1
                                                                        +
                                                       2         1
                                           W=         x (t)dt =              X 2 (! )d! :   (1.11)
                                                                2ј
                                                Ў1                    Ў1

      В левой части равенства записано выражение для полной энергии сигнала       во временной
области, в правой - та же энергия, но подсчитанная в частотной области, с учетом характера рас-
пределения амплитудного частотного спектра.
      Найдем частотный спектр одиночного прямоугольного импульса, принимающего значение
E на интервале [Ўї / 2; ї / 2].
      Используя (1.8) несложно получить:


16


                                                                                           (1.12)

      Как видно из рис. 1.9, энергия исследуемого сигнала также в основном сосредоточена в об-
ласти низких частот (90% полной энергии сигнала содержится в диапазоне частот от 0 до
                                              ! = 2ј / ї , 95% - в диапазоне частот, не превыша-
                                              ющих ! = 4ј / ї ). Таким образом, как и в случае
                                              периодического импульсного сигнала (рисунок
                                              1.7), здесь можно говорить о практической ши-
                                              рине частотного спектра ў ! , которая влияет на
                                              поведение (форму) сигнала.
                                                     Если принять, что полоса частот ў ! со-
                                              держит 90% энергии сигнала, то получаем
                                                                    . Иногда последнее выраже-
   Рис. 1.9. Спектр одиночного прямоугольного ние записывают так:
                  импульса
                                                                                          ,(1.13)
и называют его соотношением неопределенностей. Как видно из (1.13), чем короче импульс
(меньше ї ), тем более широкий спектр должен быть сохранен при передаче сигнала, например, по
линии связи. Удлинение импульса позволяет обойтись узкополосной линией связи для передачи
значительной части энергии сигнала. Для рассмотренного ранее периодического импульсного сиг-
нала полоса частот ў ! , подсчитываемая по 90%-ному содержанию мощности, также принимает
значение, равное 2ј / ї .
      На практике периодический сигнал в электрической цепи можно получить, если генератор
напряжения (тока) работает достаточно долго. Так как время его работы всегда конечно, возникает
вопрос: какой сигнал можно считать периодическим? Для ответа на этот вопрос вводится понятие
текущего (мгновенного) спектра сигнала:

                                                                 ,


где t 0 - момент начала развития процесса x (t); t - текущее время наблюдения. В отличие от опре-
деления (1.9), которое отражает процесс x (t) на всей временной оси (Ў 1 ; 1 ), текущий спектр
сигнала X t (j ! ) учитывает реальную историю процесса и позволяет проследить изменение во
времени амплитуд и фаз его отдельных гармонических составляющих.
        Вернемся к примеру прямоугольных импульсов, полагая, что прямоугольный импульс выда-
ется генератором, который по истечении паузы, равной длительности импульса , выдает второй
аналогичный импульс, затем через время - третий и т. д. Тогда с ростом числа импульсов n на
выходе генератора текущий частотный спектр сигнала постепенно превращается из непрерывного
в дискретный (рис. 1.10). На графике по оси ординат отложены относительные значения амплитуд.




                      Рис. 1.10. Спектр конечной последовательности импульсов

спектральных составляющих X (! )для n = 5, пунктиром отмечен график амплитудного спектра


                                                                                                        17

одиночного импульса. В частотном спектре сигнала наибольший удельный вес имеют гармоники,
группирующиеся вокруг частот ! = 0, ј / ї , 3ј / ї , 3ј / ї , т. е. кратных значению ! 1 = ј / ї = 2ј / T .
Таким образом, периодический процесс - это предел, к которому может стремиться с течением
времени реальный повторяющийся процесс (на практике достаточно повторения 20-30 импульсов,
для того чтобы частотный спектр сигнала считать линейчатым).


                            1.2.4.Дискретное преобразование Фурье

       Применение цифровых устройств для анализа спектра непрерывных сигналов приводит к
тому, что реальный сигнал заменяется его N дискретными отсчетами, равностоящими друг от дру-
га наў t = T/ N . При этом вместо ряда Фурье обычно говорят о дискретном преобразовании Фурье
(ДПФ), а интегрирование в (1.2) и (1.6) приближенно заменяют суммированием конечного числа
членов. Так, коэффициенты ряда Фурье, представленного в более компактной комплексной форме
записи (1.6), при переходе к ДПФ находятся как:
                                    NЎ1              µ          ¶
                                 1 X                    j 2ј ki
                            ck =        x (i ў t) exp Ў           (k = 0; 1; 2; : : : ; N Ў 1) ; (1.14)
                                 N     i= 0
                                                           N
гдеx (i ў t)-значения сигнала x (t) в дискретные моменты времени t = 0; ў t; 2ў t; : : : ; (N Ў 1) ў t:
Вводя дополнительные обозначения:
                                                             µ          ¶
                                                                j 2ј ki
                                                    wNi = exp Ў
                                                     k
                                                                          ,                     (1.15)
                                                                   N
можно сформулировать алгоритм ДПФ в виде следующих операций:
      а) производят выборку дискретных отсчетов x (i ў t)исследуемого сигнала с заданным ин-
      тервалом дискретизации ў t их преобразование в цифровой код;
      б) генерируются значения комплексных весовых коэффициентов wNi в том же кодовом пред-
                                                                               k

      ставлении;
      в) умножают дискретные отсчеты сигнала x (i ў t)на весовые коэффициенты wNi в последова-
                                                                                        k

      тельности, определяемой принятой программой расчета;
      г) суммируют полученные частные произведения (взвешенные отсчеты сигнала), в результа-
      те чего находят искомые значения спектральных коэффициентов ck .
      Предполагается, что действия над комплексными числами осуществляются в устройстве в
соответствии с известными законами алгебры. Если количество учитываемых отсчетов сигнала N
принять равным2m ( m-целое положительное число), то требуемое число весовых коэффициентов
wNi заметно сокращается. Так, например, для N = 2m число различных по модулю значений wNi
  k                                                                                                k

равно N / 4, в других случаях это значение близко к N .
      Различают два типовых режима реализации ДПФ. Первый характеризуется разделением во
времени процессов ввода и обработки информации и применяется при реализации ДПФ с помо-
щью универсальных ЭВМ. Обработка информации здесь начинается только после того, как все N
дискретных отсчетов сигнала x (i ў t)(i = 0; 1; 2; : : : ; N Ў 1)вводятся в оперативную память вычис-
лителя. Возникающее при этом запаздывание готовности результатов определяется полным време-
нем обработки исходных данных Tобр , которое при большом числе отсчетов N может оказаться
сопоставимым с длительностью рассматриваемого сигнала T = Nў t . Второй режим отличается
совмещением операций ввода и обработки данных за счет более активного использования пауз
между отсчетами и широко используется в специализированных процессорах ДПФ, где на каждом
цикле обработки производятся умножение очередного отсчета x (i ў t) на комплексные весовые
коэффициенты wNi для всех номеров k = 0; 1; 2; : : : ; N Ў 1, а также запись частных произведений
                   k

x (i ў t) wN в ячейках памяти с соответствующими адресами k и суммирование полученных произ-
           ki

ведений с результатами предыдущей обработки по каждому адресу. Таким образом, вычисление
оценок спектральных коэффициентов ck происходит параллельно с процедурой ввода информа-


18

ции, а время запаздывания готовности результатов уменьшается в N раз по сравнению с рассмот-
ренным ранее случаем.


                             1.2.5. Быстрое преобразование Фурье

       Можно предложить такие вычислительные процедуры, которые позволили бы существенно
сократить число требуемых вычислительных операций, учитывая конкретные особенности ис-
пользуемой системы базисных функций. Широко используется быстрое преобразование Фурье
(БПФ) - вычислительный алгоритм, обеспечивающий быстрое и эффективное вычисление ДПФ.
Идея БПФ заключается в том, что анализируемая выборка дискретных данных путем прорежива-
ния по времени разбивается на две (или более) промежуточные выборки и спектр сигнала выража-
ется через спектры этих выборок. Полагая        целой степенью числа 2, включим в первую выборку
дискретные отсчеты сигнала с четными номерами, т. е. x (0), x (2ў t), x (4ў t), x ((N Ў 2) ў t), а во
вторую - отсчеты с нечетными номерами, т.е. x (ў t), x (3ў t), x ((N Ў 1) ў t), Тогда спектры этих
выборок:
                                      N / 2Ў 1               µ          ¶
                             ( 1)   2 X                         j 4k1 i
                            ck 1 =             x (2i ў t) exp Ў
                                   N i= 0                         N      ,
                                          N / 2Ў 1
                                            P                            і          ґ
                              (2)
                             ck 1 =   2
                                      N              x ((2i + 1) ў t) exp Ў j 4k 1 i ,
                                                                               N                 (1.16)
                                           i= 0
где k 1 не превышает числа N / 2, т. е. k1 2 [0; N / 2]. Искомые коэффициенты:
                                   ·             µ          ¶       ё
                                  1 (1)              j 2ј k1 (2)
                           ck =      c + exp Ў                 ck 1    k = k1
                                  2 k1                  N                     ,
                          ·             µ                     ¶      ё
                        1 (1)               j 2ј (k1 + N / 2) (2)
                  ck =      ck 1 + exp Ў                        ck 1    k = k1 + N / 2
                        2                          N
           Используя следующее свойство комплексной экспоненциальной функции:
                                                                                         ,

можно переписать последние соотношения:




                                                                                             ,
или, с учетом введенных обозначений,

                                                                          ;

                                                                    ;                .

      При вычислении N коэффициентов ck по (1.14) требуется выполнить N 2 операций сложе-
                                                                                      ±
ния и N 2операций умножения, тогда как при использовании (1.16), (1.17) достаточно N 2 2 + N
                       ±
операций сложения и N 2 2 + N операций умножения.
                                                                                  ±
      Следовательно, общее число арифметических операций уменьшается в 2N 2 2 + N раз,
вдвое сокращается и число требуемых отсчетов базисных функций (весовых коэффициентов w N1).
                                                                                          k

                                                                                                    (1)
Аналогичным образом снижается объем расчетов и при вычислении промежуточных спектров ck1
     (2)
и ck2 . В пределе каждая промежуточная выборка содержит лишь два отсчета сигнала, а общее чис-


                                                                                               19

ло сложений при использовании БПФ составит N log2 N (операций умножения потребуется
N / 2log2 N ). Таким образом, применение БПФ обеспечивает выигрыш в числе требуемых опера-
ций, который будет тем больше, чем больше число отсчетов сигнала N .

                                     Вопросы для самопроверки
   Запишите представление сигнала в виде ряда Фурье в основной форме.
   Сформулируйте условие Дирихле.
   Каким выражением определяется амплитуда k-ой гармоники.
   Запишите выражение для нулевого коэффициента ряда Фурье, объясните его физический смысл.
   В чем основное отличие спектров одиночного импульса и последовательности импульсов.
   Чем определяется средняя мощность сигнала.
   Дайте определение гармоническому анализу.
   Что называется амплитудным и фазовым спектром сигнала?
   Запишите выражение для ряда Фурье в комплексной форме.
   Запишите соотношение неопределенности, дайте объяснение.
   Как зависит распределение мощности в спектре прямоугольного сигнала от соотношения
   В чем заключается обратное преобразование Фурье.
   Дайте определение спектральной плотности.


20

                                 1.3 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

                         Ключевые понятия раздела
                           Понятие случайного процесса. Моменты случайных процессов. Стационарный
                           и эргодический случайный процесс. Автокорреляционная функция.

        Случайные процессы — это изменяющиеся во времени случайные физические величины.
Случайные процессы, для которых независимой переменной является время t , называются также
стохастическими процессами.
        Набор случайных величин при измерении случайного процесса позволяет получить некото-
рые обобщенные параметры изменяющихся во времени случайных функций. Конкретная совокуп-
ность значений, принимаемых случайным процессом, называется реализацией случайного процес-
са. При многократном повторении эксперимента (измерения) получают совокупность реализаций
случайного процесса.
        Изменяющаяся случайная величина может зависеть не только от времени, но и от других
параметров. Тогда имеют дело со случайными функциями нескольких переменных. Функция, зна-
чение которой при каждом данном значении независимой переменной является случайным, назы-
вается случайной.
        Допустим, что в результате каких-либо измерений, получен ансамбль случайных функций
x (t), характеризующих данный стохастический процесс (рис. 1.11). Очевидно, что функции x (t) в
каждый момент времени t k будут иметь различные значения [x i (t)]t = t k = »i (t i ) и, следовательно,
отличаться друг от друга. Это обусловлено различными случайными факторами, воздействующи-
ми на результат измерения. Статистические методы изучения случайных процессов ставят себе
задачей не изучение каждой из функций x i (t), входящих в совокупность функций » (t), характери-
зующих данный процесс, а изучение свойств всего множества в целом при помощи усреднения
свойств входящих в него функций. Для описания случайных процессов так же, как и случайных
величин, используют дифференциальные и интегральные функции распределения вероятности.
Эти функции позволяют определять моментные и корреляционные функции, которые являются
более простыми, чем функции распределения, но позволяют оценивать поведение случайных про-
цессов во времени более зримо.
       Если действительный случайный процесс » (t) характеризуется плотностью распределения
p(x; t), то математическое ожидание процесса, соответствующее времени t , будет:

                                                                          ,                      (1.17)

      Другими словами, математическое ожидание представляет собой статистическое усредне-
ние случайной величины » (t), под которым понимают усреднение по ансамблю реализаций в ка-
ком либо фиксированном сечении t i случайного процесса.Математическое ожидание m» (t) пред-
ставляет собой неслучайную составляющую случайного процесса » (t).
      Для характеристики внутренней связи действительного случайного процесса определяется
момент второго порядка, называемый ковариационной функцией:

                                                                                       ,

где x 1 и x 2 берутся соответственно в моменты времени t 1 и t 2и могут принимать значения на всей
области изменения x , p(x 1 ; x 2 ; t 1 ; t 2 ) - двумерная функция плотности вероятности. Для вычисле-
ния этой функции при фиксированных моментах времени t 1 и t 2определяются попарно значения
x 1 (t 1) и x 2 (t 2) для всех реализаций случайного процесса. Затем строится двумерная функция
p(x 1 ; x 2 ).



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика