Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Компьютерная алгебра в современном образовании механика

Голосов: 0

Приведен краткий очерк применения современных преобразований формул на компьютере (компьютерной алгебры - КоАл) в механическом образовании инженеров и механиков-исследователей, примеры применения этих инструментов обучения и обучения им. Обсуждается специфика использования КоАл в задачах вывода уравнений движения для механических систем с большим числом степеней свободы.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Åôèìîâ Ã.Á.




                                                     Åôèìîâ Ãåîðãèé Áîðèñîâè÷


              ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
     Â ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÌ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ ÌÅÕÀÍÈÊÀ

      Íàøà ðàáîòà ïîñâÿùåíà Ñâÿòîñëàâó Ñåðãååâè÷ó Ëàâðîâó â ñâÿçè ñ åãî 80-ëåòèåì.
Ñâÿòîñëàâ Ñåðãååâè÷, êàê èçâåñòíî, áûë ñîðàòíèêîì Ñ.Ï. Êîðîëåâà â ñàìûå ïåðâûå ãîäû
«êîñìè÷åñêîé ýðû».  òîò ãåðîè÷åñêèé ïåðèîä êîñìîíàâòèêè îí òåñíî îáùàëñÿ ñ ìîèìè
ó÷èòåëÿìè è ñòàðøèìè êîëëåãàìè èç Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè Àêàäåìèè
íàóê (èõ òîãäà íàçûâàëè â ýòîì êðóãó «ìàëü÷èêàìè Êåëäûøà»). Êîãäà ñðåäè íèõ óïîìè-
íàëîñü èìÿ Ñâÿòîñëàâà Ñåðãååâè÷à, ÿ ñëûøàë: «À, Ñâåò Ñåðãååâè÷», è ëèöà èõ ïðîñâåò-
ëÿëèñü. Ñàì ÿ ê ýòîé ãåðîè÷åñêîé ýïîïåå îòíîøåíèÿ ìàëî èìåë, çàíèìàëñÿ ñèìâîëüíûìè
âû÷èñëåíèÿìè íà Ì-20 äëÿ ðàñ÷åòà òðàåêòîðèé ïîëåòà ñ «ìàëîé òÿãîé» (ýëåêòðîðà-
êåòíûìè äâèãàòåëÿìè).
      Ïîòîì ó íàñ íàñòóïèë îïðåäåëåííûé «êðèçèñ æàíðà», ñòàëè èñêàòü íîâûå çàäà÷è.
Ä.Å. Îõîöèìñêèé çàíÿëñÿ ïîäâèæíûìè ðîáîòàìè, çàäà÷àìè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà
è øàãàíèÿ äëÿ íèõ. Ê íèì ïîäêëþ÷èëè è ìåíÿ, íî ðàçðåøèëè çàíèìàòüñÿ è ÊîÀë (êîìïüþ-
òåðíîé àëãåáðîé) – â òàêèõ ñëîæíûõ ìíîãîñîñòàâíûõ ñèñòåìàõ ïàêåòû ÊîÀë ìîãóò èñ-
ïîëüçîâàòüñÿ. Íàêàíóíå 1980 ãîäà âäðóã ñíîâà ñòàëà èíòåðåñíîé ìàëàÿ òÿãà – â ñâÿçè ñ
ïðèáëèæåíèåì çíàìåíèòîé êîìåòû Ãàëëåÿ (ðàç â 76 ëåò). Âîçíèê èíòåðåñ ê äîñòèæåíèþ
êîìåò è àñòåðîèäîâ, äî êîòîðûõ äîëåòåòü è ñåñòü íà íèõ ñ îáû÷íîé ðàêåòíîé òåõíèêîé
çàòðóäíèòåëüíî. Íà÷àëàñü ðàáîòà ïî ïîëåòàì ñ ìàëîé òÿãîé âìåñòå ñ ïðîôåññîðîì
Â.À. Åãîðîâûì, âåòåðàíîì êîñìîíàâòèêè, åãî ñòóäåíòàìè è àñïèðàíòàìè èç ÌÃÓ.
      Îäíàêî ïðîäîëæàëàñü è ðàáîòà ïî ÊîÀë: áûëà ñîçäàíà ñèñòåìà ÏÀÑ íà ôîðòðàíå
äëÿ âûâîäà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â çàäà÷àõ øàãàíèÿ ðîáîòà. Óñòàíîâèëèñü êîíòàêòû ñ
êîëëåãàìè ïî âûâîäó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïî íåáåñíîé ìåõàíèêå. Â Èíñòèòóòå ìåõàíèêè
ÌÃÓ ïî èíèöèàòèâå Â.À. Ñàìñîíîâà è Ì.Â. Ãðîøåâîé ñîáèðàëèñü ñåìèíàðû. Ê ýòîìó
âðåìåíè Ñâÿòîñëàâ Ñåðãååâè÷ ïîëíîñòüþ ïåðåøåë â ïðîãðàììèðîâàíèå, ïîä åãî ðóêîâîä-
ñòâîì áûë ñîçäàí îòå÷åñòâåííûé êîìïèëÿòîð Ëèñïà (ÿçûêà äëÿ çàäà÷ èñêóññòâåííîãî
èíòåëëåêòà è ÊîÀë), ïîÿâèëèñü ó÷åíèêè è â ýòîé îáëàñòè. Îí ïåðååõàë â Ëåíèíãðàä,
âîçãëàâèë Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé àñòðîíîìèè ÀÍ, ãäå âîêðóã Â.À. Áðóìáåðãà áûëà
ñèëüíàÿ ãðóïïà ïî ÊîÀë äëÿ çàäà÷ íåáåñíîé ìåõàíèêè.
      Ïîýòîìó, êîãäà â 1980 ãîäó íà øêîëå ïî ïàêåòàì ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì íà Áàéêàëå
ÿ âñòðåòèë Ñâÿòîñëàâà Ñåðãååâè÷à, ìíå áûëî è ïðèÿòíî è òðåâîæíî. Ìîÿ ëåêöèÿ ïî
ÊîÀë áûëà â ñàìîì êîíöå, à çíàíèÿ î ïàêåòàõ, ñïîñîáàõ èõ îïèñàíèÿ – ïî÷òè íóëåâûå.
Ïðèøëîñü óñåðäíî âïèòûâàòü ïðåìóäðîñòü î ÏÏÏ, ÷òîáû «ïîïàñòü â òîí». Íà îäíîì èç
äîêëàäîâ ÿ óñëûõàë î ñõåìå öèêëà âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà À.À.Ñàìàðñêîãî, ïî
íåìó è ïîñòðîèë ñâîé äîêëàä, ïðèâîäÿ ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ÊîÀë íà ýòàïàõ öèêëà. ×àñòü
íàðîäà óæå ðàçúåõàëàñü, òåì ïðèÿòíåå áûëî óâèäàòü Ñâÿòîñëàâà Ñåðãååâè÷à â ïåðâîì
ðÿäó. Îí âíèìàòåëüíî ñëóøàë, çàäàë âîïðîñû. Ïîçæå ÿ òåøèë ñåáÿ íàäåæäîé, ÷òî çàìå-

42        © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2003 ã.


                Êîìïüþòåðíàÿ àëãåáðà â ñîâðåìåííîì îáðàçîâàíèè ìåõàíèêà

÷àíèå î âàæíîñòè ÷èñëåííî-ñèìâîëüíîãî èíòåðôåéñà â ÊîÀë (âûïàäàâøåãî òîãäà ó ìíî-
ãèõ èç ïîëÿ çðåíèÿ) ìîãëî êàê-òî ñïîñîáñòâîâàòü ðàáîòàì â ÈÒÀ.
      Â 1981 ãîäó áûëà êîíôåðåíöèÿ «Ìåòîäû òðàíñëÿöèè» â Íîâîñèáèðñêå. À.Ï. Åðøîâ,
èíòåðåñîâàâøèéñÿ ÊîÀë, äàë íàì ìåñòî íà îäíîé èç ñåêöèé. Ê òîìó âðåìåíè íà íîâîì
ïîêîëåíèè ìàøèí (ÁÝÑÌ-6 è ïåðâûõ ÅÑ) ðàáîòû ïî ÊîÀë íà÷àëè íàáèðàòü ñèëó, ìíîãèå
ïðèêëàäíèêè è ïðîãðàììèñòû ñîçäàâàëè ñâîè ñèñòåìû. Ìû ðåøèëè ñîáðàòüñÿ â ãîñòèíè-
öå âå÷åðîì è îáñóäèòü ïëàíû êîîðäèíàöèè ðàáîò äëÿ ïðèçíàíèÿ ÊîÀë çà îñîáîå íàïðàâ-
ëåíèå. Ñâÿòîñëàâ Ñåðãååâè÷ ýíåðãè÷íî ïåðåâåë íàøå ñîáðàíèå èç õîëëà â ñâîé «ëþêñ»,
òàì áûëî ãîðàçäî óäîáíåå. Åãî âíèìàòåëüíàÿ ïîääåðæêà, àâòîðèòåòíûå ñîâåòû â îðãà-
íèçàöèîííûõ âîïðîñàõ áûëè î÷åíü ïîëåçíû.
      Åùå âàæíåå îíè áûëè ïðè îðãàíèçàöèè ïåðâîé Âñåñîþçíîé êîíôåðåíöèè ïî ÊîÀë â
Íèæíåì Íîâãîðîäå â 1984 ãîäó (â åå íàçâàíèå áûëî äîáàâëåíî ñëîâî «ìåõàíèêà», ïîñêîëü-
êó åþ ðóêîâîäèëè àêàäåìèêè-ìåõàíèêè – À.À. Ñàìàðñêèé è À.Þ.Èøëèíñêèé ñ Ä.Ì.Êëèìî-
âûì). Íå âñå âûñîêèå ÷ëåíû îðãêîìèòåòà îäèíàêîâî ñåðüåçíî îòíîñèëèñü ê ÊîÀë è ïîíè-
ìàëè åå ñïåöèôèêó. Êîìïåòåíòíîñòü è «äîáðîòíîñòü» Ñâÿòîñëàâà Ñåðãååâè÷à áûëè
äëÿ íàñ, «ðàáî÷èõ ëîøàäîê», î÷åíü âàæíû, ïðèáàâëÿëè óâåðåííîñòè. Êîíôåðåíöèÿ óäà-
ëàñü, îíà ïîêàçàëà, ÷òî ñäåëàíî çà 20 ëåò, íàìåòèëà ïóòè ðàáîòû. Ïîêàçàòåëüíî, ÷òî,
íàïðèìåð, âñå äîêëàäû ïî ïðèìåíåíèÿì ÊîÀë â òåîðèè óïðóãîñòè ïîïàëè â Ðåôåðàòèâ-
íûé æóðíàë ïî ìåõàíèêå.
      Íàêîíåö, âñòðå÷à â 2000 ãîäó íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ïî ïðèìåíåíèÿì
ÊîÀë (IMACS ÀCA-2000, 25-28 June, St. Petersburg) â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå, â çäàíèè Øóâà-
ëîâñêîãî äâîðöà íà Ôîíòàíêå. Ñðåäè áîëüøîãî ÷èñëà èíîñòðàíöåâ è ïîðåäåâøåé êîãîð-
òû êîëëåã-ñîîòå÷åñòâåííèêîâ òàê ïðèÿòíî áûëî óâèäàòü Ñâÿòîñëàâà Ñåðãååâè÷à. Îò
íåãî èñõîäèëî îñîáîå «èçëó÷åíèå» – óâåðåííîñòè, îñíîâàòåëüíîñòè, ñïîêîéíîé ñèëû.
Èíòåëëèãåíòíàÿ è âíåøíå ñêðîìíàÿ, âíóòðåííå ìîùíàÿ ëè÷íîñòü – ïåðâîîòêðûâàòåëÿ,
îäíîãî èç ëåãåíäàðíûõ «çóáðîâ» íàøåé íàóêè.
      Äàé åìó Áîã âñåãî ñàìîãî õîðîøåãî, áîäðîñòè è ñèë «íà ìíîãàÿ ëåòà».


      Èäåÿ ñèìâîëüíûõ, íå ÷èñëåííûõ ïðå-     íèþ âûñîêîòî÷íîé òåîðèè äâèæåíèÿ Ëóíû.
îáðàçîâàíèé ôîðìóë íà êîìïüþòåðå (êîì-       Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâè-
ïüþòåðíîé àëãåáðû – ÊîÀë) âîçíèêëà ïî-       æåíèÿ Ëóíû (ñ ó÷åòîì âîçäåéñòâèÿ íå òîëü-
÷òè îäíîâðåìåííî ñ ïîÿâëåíèåì êîìïüþòå-      êî Çåìëè è Ñîëíöà, íî è äðóãèõ ôàêòîðîâ)
ðî⠖ êàê îäíî èç íàïðàâëåíèé ïåðåäà÷è       ñòðîèëîñü â âèäå ðÿäî⠖ òðèãîíîìåòðè÷åñ-
èíòåëëåêòóàëüíîé äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà       êèõ, ñ àðãóìåíòàìè – ñî÷åòàíèåì íåñêîëü-
ìàøèíå, îáó÷åíèÿ êîìïüþòåðà ïî îáðàçöó
÷åëîâåêà.  ìàòåìàòèêå, ìåõàíèêå è ôèçè-
êå óæå òîãäà, 50–60 ëåò íàçàä, èìåëîñü íå-
ìàëî õîðîøî àëãîðèòìèçèðîâàííûõ è âåñü-
ìà ãðîìîçäêèõ äåéñòâèé, êîòîðûå ìîãëè áû
áûòü àâòîìàòèçèðîâàíû. Íàïðèìåð, ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé,
äåéñòâèÿ ñ ðÿäàìè (ïîëèíîìàìè, ñòåïåííû-
ìè, òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè è äðóãèìè), âçÿ-
òèå îïðåäåëåííûõ è íåîïðåäåëåííûõ èíòåã-
ðàëîâ è ò. ä.
      Ìíîãèå èç ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé óæå
ñòî ëåò íàçàä äîñòèãëè áîëüøîé ãðîìîçäêî-
ñòè. Òàê, ôðàíöóçñêèé àñòðîíîì Ø.Äåëîíý       Èäåÿ ñèìâîëüíûõ, íå ÷èñëåííûõ
â êîíöå XIX âåêà ïîñâÿòèë 20 ëåò ïîñòðîå-     ïðåîáðàçîâàíèé ôîðìóë íà êîìïüþòåðå...

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                    43


Åôèìîâ Ã.Á.

                                                     Îäíèì èç ïåðâûõ ÿðêèõ äîñòèæåíèé
                                               êîìïüþòåðíîé àëãåáðû áûëî ïîâòîðåíèå
                                               àíãëè÷àíèíîì Ä.Áàðòîíîì â 1966 ãîäó ðå-
                                               øåíèÿ Äåëîíý íà êîìïüþòåðå. Ðàñ÷åò çàíÿë
                                               îêîëî ÷àñà, ïðè÷åì áûëà îáíàðóæåíà îøèá-
                                               êà â âû÷èñëåíèÿõ Äåëîíý â ðÿäàõ ïðè 8-ì
                                               ïîðÿäêå ìàëîñòè. Òåì ñàìûì, ïî÷òè ïîëî-
                                               âèíà ïîëó÷åííûõ ðÿäîâ (ïî ðàçìåðó âûðà-
                                               æåíèé è ïî âðåìåíè èõ âû÷èñëåíèÿ) îêàçà-
                                               ëàñü íåâåðíîé.
                                                     Íå ìåíåå ïîëåçíûì è íåîáõîäèìûì
                                               îêàçàëîñü ïðèìåíåíèå êîìïüþòåðíîé àëãåá-
                                               ðû â èññëåäîâàíèè ñîâðåìåííûõ ñëîæíûõ
                                               ñèñòåì ìåõàíèêè, ìàøèí è ïðèáîðîâ. Ñþäà
                                               ìîæíî îòíåñòè ñïóòíèêè ñ èõ ñîëíå÷íûìè
Ìíîãèå èç ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé óæå ñòî ëåò
                                               áàòàðåÿìè è àíòåííàìè, ãèðîñêîïû, óïðàâ-
íàçàä äîñòèãëè áîëüøîé ãðîìîçäêîñòè.
                                               ëÿþùèå ïîëåòîì ñïóòíèêîâ, ðàêåò è ñàìî-
êèõ óãëîâûõ ïåðåìåííûõ (îò äâèæåíèÿ Çåì-       ëåòîâ, ðîáîòû è ìàíèïóëÿòîðû è ò. ä. Äëÿ
ëè, Ñîëíöà è ò. ï.) ñ êîýôôèöèåíòàìè â âèäå    âñåõ ýòèõ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç áîëüøîãî
ñòåïåííûõ ïîëèíîìîâ ïî ñòåïåíÿì ìàëûõ          ÷èñëà ñâÿçàííûõ, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñ-
âåëè÷èí, ýêñöåíòðèñèòåòîâ è íàêëîíåíèé         òåé, èìåþùèõ áîëüøîå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâî-
îðáèò âîçìóùàþùèõ òåë. Ïîñòðîåíèå ðå-          áîäû, ñàìî íàïèñàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ
øåíèÿ îðãàíèçóåòñÿ èòåðàöèîííî, ïóòåì          äëÿ íèõ (äëÿ ïîñëåäóþùåãî àíàëèçà è ìîäå-
ïîäñòàíîâêè óæå ïîëó÷åííûõ ðÿäîâ (óäîâ-        ëèðîâàíèÿ íà êîìïüþòåðå) ïðåäñòàâëÿåò íå-
ëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèÿì äî k-é ñòåïåíè ìà-      ïðîñòóþ è âåñüìà ãðîìîçäêóþ çàäà÷ó.
ëîãî ïàðàìåòðà) â ïðàâûå ÷àñòè äèôôåðåí-             Êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â
öèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ Ëóíû è ïî-         ôîðìå Ëàãðàíæà âûâîäÿòñÿ ñëåäóþùèì îá-
ëó÷åíèÿ óòî÷íåííûõ ðåøåíèé – ðÿäîâ, óäîâ-      ðàçîì. Ôîðìèðóþòñÿ âûðàæåíèÿ ïîòåíöè-
ëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèÿì âïëîòü äî ÷ëåíîâ        àëüíîé U è êèíåòè÷åñêîé T ýíåðãèè ìåõà-
                                               íè÷åñêîé ñèñòåìû â òàê íàçûâàåìûõ îáîá-
k + 1-ãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Òàêîé ïîäõîä ê ïî-
                                               ùåííûõ ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ è ñîîò-
ñòðîåíèþ ðåøåíèé â íåáåñíîé ìåõàíèêå –
                                               âåòñòâóþùèõ ñêîðîñòÿõ. Óðàâíåíèÿ äâèæå-
êëàññè÷åñêèé, ïðèìåíÿâøèéñÿ îñíîâàòå-
                                               íèÿ â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ïîëó÷àþòñÿ äèô-
ëÿìè ñîâðåìåííîé àñòðîíîìèè åùå â
                                               ôåðåíöèðîâàíèåì T è U ñïåðâà ïî êîîðäè-
XVIII âåêå. Äåëîíý âû÷èñëèë ðÿäû äî 10-é
                                               íàòàì è ñêîðîñòÿì, à ïîòîì ïðîèçâîäíàÿ ïî
ñòåïåíè ìàëîãî ïàðàìåòðà è îïóáëèêîâàë
                                               ñêîðîñòè äèôôåðåíöèðóåòñÿ ïî âðåìåíè.
èõ â 1860–67 ãîäàõ â äâóõ òîìàõ, âêëþ÷àþ-
                                               Åñëè â ñèñòåìå ÊîÀë èìåþòñÿ ïðîãðàììû
ùèõ è âñå ïðîìåæóòî÷íûå ðåçóëüòàòû.
                                               ôîðìèðîâàíèÿ ôóíêöèé T è U, äèôôåðåí-
                                               öèðîâàíèÿ ÷àñòíîãî è ïîëíîãî ïî âðåìåíè
                                               (ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè êîîðäèíàò îò âðåìå-
                                               íè), ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ óðàâíåíèé äâè-
                                               æåíèÿ íåòðóäíî. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà äèô-
                                               ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðåäàåòñÿ â ïðî-
                                               ãðàììó åå ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ
                                               ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè äâèæåíèÿ. Êðîìå
                                               èçâåñòíûõ êëàññè÷åñêèõ ôîðì óðàâíåíèé
                                               äâèæåíèÿ (Íüþòîíà, Ëàãðàíæà, Ýéëåðà), ñó-
                                               ùåñòâóþò è äðóãèå, áîëåå óäîáíûå ïðè èñ-
Èì ïðèõîäèëîñü íà åùå íåñîâåðøåííûõ,           ïîëüçîâàíèè íà êîìïüþòåðå, îñîáåííî ïðè
ìàëîìîùíûõ êîìïüþòåðàõ ñâîèìè ñèëàìè           áîëüøîì ÷èñëå ñòåïåíåé ñâîáîäû ìåõàíè-
ðåøàòü è çàäà÷ó ðàçðàáîòêè ñèñòåì ÊîÀë...      ÷åñêîé ñèñòåìû.

44         © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2003 ã.


                Êîìïüþòåðíàÿ àëãåáðà â ñîâðåìåííîì îáðàçîâàíèè ìåõàíèêà

      Ìåõàíèêè áûëè ñðåäè ïåðâûõ ðàáîò-
íèêîâ ñèìâîëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íà êîì-
ïüþòåðå (èëè âû÷èñëåíèé ÑÀÂ), êàê òîãäà
íàçûâàëè ÊîÀë. Èì ïðèõîäèëîñü íà åùå
íåñîâåðøåííûõ, ìàëîìîùíûõ êîìïüþòåðàõ
ñâîèìè ñèëàìè ðåøàòü è çàäà÷ó ðàçðàáîòêè
ñèñòåì ÊîÀë è àâòîìàòèçàöèè ñ åå ïîìî-
ùüþ âûâîäà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìåõàíè-
÷åñêèõ ñèñòåì âìåñòå ñ ïðîãðàììèðîâàíè-
åì èõ ïðàâûõ ÷àñòåé äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ
äèíàìèêè äâèæåíèÿ. Ñèñòåìû ÊîÀë ñîçäà-
âàëèñü ìåõàíèêàìè, èíæåíåðàìè – íà ôîð-
òðàíå, àëãîëå, PL, íà àâòîêîäå íà ìàøèíàõ
ÁÝÑÌ-6, ÅÑ, ÑÌ, íà ÿçûêå ÀÍÀËÈÒÈÊ,
àïïàðàòíî ðåàëèçîâàííîì â ìàøèíå ÌÈÐ-2.
Ïðîãðàììû è ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìû          Ðàçìåð ïîëó÷àþùèõñÿ âûðàæåíèé ðàñòåò ïî
áûëè ïðèñïîñîáëåíû äëÿ ðåøåíèÿ îïðåäå-       ýêñïîíåíòå ñ ðîñòîì ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû
ëåííîãî êëàññà çàäà÷, äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ       ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
ñèñòåì ÷àñòíîãî âèäà – îäíà ñèñòåìà ïðå-
èìóùåñòâåííî äëÿ ãèðîñêîïîâ, äðóãàÿ äëÿ     íîñòè ñèñòåìû ÊîÀë, ïàìÿòü êîìïüþòåðà è
ñòàíêîâ, òðåòüÿ äëÿ ñïóòíèêîâ èëè ìàøèí.    ïîëó÷èòü óäîáíûå ïðîãðàììû äëÿ ìîäåëè-
Òàêèì ñïîñîáîì óäàâàëîñü ïîäîáðàòü íàè-     ðîâàíèÿ, íóæíî ïðèñïîñàáëèâàòüñÿ ê îñî-
áîëåå óäîáíûé âèä óðàâíåíèé è êîîðäèíàò,    áåííîñòÿì ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû – âûáè-
ó÷åñòü ñïåöèôèêó ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû,      ðàòü ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, âèä
äîáèòüñÿ ýêîíîìèè ïàìÿòè è âðåìåíè ðà-      óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ïðîâîäèòü ïðåîáðàçî-
áîòû, ÷òî áûëî ÷àñòî ðåøàþùèì äëÿ ìà-       âàíèÿ ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé, ÷òîáû ñ÷åò
øèí ñ î÷åíü ñêðîìíûì îáúåìîì ïàìÿòè è       ïî íèì ïðè äàëüíåéøåì ÷èñëåííîì ìîäå-
áûñòðîäåéñòâèåì. Áûë ðàçðàáîòàí ðÿä îðè-    ëèðîâàíèè ïðîèñõîäèë íå ñëèøêîì ìåäëåí-
ãèíàëüíûõ ñèñòåì ÊîÀë ñïåöèàëüíî äëÿ        íî. Ñèñòåìû ÊîÀë òîæå îêàçûâàþòñÿ íåî-
çàäà÷ ìåõàíèêè, à òàêæå ìåõàíè÷åñêèå ïà-    äèíàêîâî ïðèñïîñîáëåííûìè ê ðåøåíèþ
êåòû ïðîãðàìì â ñèñòåìàõ ÊîÀë: ÀÍÀËÈ-       ýòèõ çàäà÷.
ÒÈÊ, Ðåäüþñ, ÀÂÒÎÀÍÀËÈÒÈÊ è äðóãèõ.               Îäíèì ñëîâîì, åñëè ïåðåä ìåõàíèêîì
       íàñòîÿùåå âðåìÿ ñèñòåìû ÊîÀë        âñòàåò çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ ñëîæíîé ìåõà-
îáùåäîñòóïíû, øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíû –       íè÷åñêîé ñèñòåìû ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè
íàïðèìåð, ïàêåòû ÊîÀë â ñèñòåìàõ Maple,
MACSYMA, MATHEMATICA, Reduce è
äðóãèõ. Èìè ïîëüçóþòñÿ èíæåíåðû, ñòóäåí-
òû (íàïðèìåð, äëÿ âûïîëíåíèÿ äîìàøíèõ
çàäàíèé ïî àíàëèçó èëè äëÿ èõ ïðîâåðêè).
Îäíàêî ðåøàòü ñ èõ ïîìîùüþ ìåõàíè÷åñ-
êèå çàäà÷è, â ÷àñòíîñòè, âûâîäèòü óðàâíå-
íèÿ äâèæåíèÿ äëÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ ñè-
ñòåì, êàê ïðàâèëî, íå òàê ïðîñòî. Ðàçìåð
ïîëó÷àþùèõñÿ âûðàæåíèé ðàñòåò ïî ýêñ-
ïîíåíòå ñ ðîñòîì ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ðàáîòàòü «â ëîá» ïî
ó÷åáíèêó ìåõàíèêè â ñòàíäàðòíûõ ïàêåòàõ
ÊîÀë óäàåòñÿ ëèøü äëÿ ìîäåëüíûõ, ó÷åá-       Íåðåäêî ñïåöèàëèñòû ... ñîçäàþò ÷èñëåííóþ
íûõ çàäà÷, êîòîðûå íå òàê óæ òðóäíî ñäå-     ïðîãðàììó, êîòîðàÿ êàê áû èìèòèðóåò
ëàòü è âðó÷íóþ. ×òîáû óëîæèòüñÿ â âîçìîæ-    ðàáîòó ñèñòåìû ÊîÀë.

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                 45


Åôèìîâ Ã.Á.

ñâîáîäû, îí âûíóæäåí âíèêàòü â ñïåöèôè-     Ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû-ïàêåòû
êó ñèñòåìû ÊîÀë è ñàìîé ìåõàíè÷åñêîé        äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷.
ñèñòåìû, ñïîñîá åå îïèñàíèÿ â êîîðäèíà-           Ìåõàíèê âî âðåìÿ îáó÷åíèÿ íå çíàåò,
òàõ, âûáèðàòü âèä óðàâíåíèé äâèæåíèÿ è      ãäå â ñâîåé áóäóùåé ðàáîòå ïðèäåòñÿ îáðà-
ìåòîä ïîñëåäóþùåãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðî-     òèòüñÿ ê ñðåäñòâàì ÊîÀë. Ýòî ìîæåò áûòü
âàíèÿ. Êðîìå àâòîìàòèçèðîâàííîé ïîäãîòîâ-   ðàáîòà ñ èíòåãðàëàìè è ò. ï. Íî ìîæåò âñòðå-
êè äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè-     òèòüñÿ è àâòîìàòèçàöèÿ âûâîäà óðàâíåíèé
êè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, èìåþòñÿ è äðó-     äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ âûÿñíåíèÿ ñîá-
ãèå îáëàñòè ïðèëîæåíèÿ ÊîÀë. Ñóùåñòâó-      ñòâåííûõ êîëåáàíèé êîëåñíîé òåëåæêè ýëåê-
åò öåëûé ðÿä àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ èçó-     òðîâîçà. Åñëè îíè ïîïàäóò â ðåçîíàíñ ñ êî-
÷åíèÿ äèíàìèêè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû –       ëåáàíèÿìè ïðè åãî äâèæåíèè, ãðîìàäíàÿ
ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ê ðàç-    ìàøèíà íà áîëüøîé ñêîðîñòè íà÷íåò ïîä-
ëè÷íûì ñïåöèàëüíûì âèäàì, èõ óïðîùåíèÿ,     ïðûãèâàòü, à êîëåñà ïðîáóêñîâûâàòü. Òóò
èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïî åãî   íåäàëåêî è äî àâàðèè. Íåîáõîäèìî òàê ïî-
óðàâíåíèÿì. ÊîÀë îêàçûâàåòñÿ î÷åíü óäîá-    äîáðàòü êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû òåëåæ-
íîé âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ, åñëè âîçìîæíîñ-   êè, ÷òîáû èñêëþ÷èòü âîçíèêíîâåíèå ðåçî-
òè ñèñòåìû ÊîÀë ïîçâîëÿþò ïðîâîäèòü íóæ-    íàíñà â çàäàííîì äèàïàçîíå ñêîðîñòåé äâè-
íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êàê ïðàâèëî, ïðèõî-     æåíèÿ. Ïðèõîäèòñÿ ñîñòàâëÿòü óðàâíåíèÿ
äèòñÿ ó÷èòûâàòü ñïåöèôèêó çàäà÷è, êàê-òî    äâèæåíèÿ òåëåæêè, èñêàòü ÷àñòîòû åå ñîá-
«âûêðó÷èâàòüñÿ».                            ñòâåííûõ êîëåáàíèé – ïðè÷åì â ôîðìóëü-
      Íåðåäêî ñïåöèàëèñòû, ãëóáîêî âíèê-    íîì âèäå, ó÷èòûâàþùåì çàâèñèìîñòü îò êîí-
íóâ â îñîáåííîñòè ñâîåãî êëàññà çàäà÷ è     ñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ. Çàòåì íàõîäÿò
ìåòîä èõ ðåøåíèÿ, ñîçäàþò ÷èñëåííóþ ïðî-    òàêèå îáëàñòè çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ,
ãðàììó, êîòîðàÿ êàê áû èìèòèðóåò ðàáîòó     ïðè êîòîðûõ ðåçîíàíñ íå âîçíèêàåò. Ðàñ÷åò
ñèñòåìû ÊîÀë. Òî åñòü, èñïîëüçóÿ òå æå ïî   ïðè ïîìîùè ÊîÀë è åå ìåòîäîâ ãîðàçäî
ñóùåñòâó èäåè, ðåàëèçóåò àëãîðèòì ïîñëå-    óäîáíåå ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïðè
äîâàòåëüíîãî ïðîõîæäåíèÿ âñåõ ýòàïîâ ïî-    êîòîðîì ïðèõîäèòñÿ ïåðåáèðàòü ìíîæåñòâî
ëó÷åíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ è èõ ïðîãðàì-    çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ è âñåâîçìîæíûõ èõ
                                            êîìáèíàöèé. Ïîäîáíûé àíàëèç áûâàåò íó-
ìèðîâàíèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ, íî íå â âèäå
                                            æåí ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñàìûõ ðàçíûõ
ôîðìóë, à â êàêîì òî ñâîåì ñïåöèàëüíîì
                                            ìàøèí – îò áîëüøèõ, òðàíñïîðòíûõ, äî
âèäå, «ìîäåëèðóþùåì» ýòè ôîðìóëû. Òà-
                                            ñèñòåìû ïåðåìîòêè ìàãíèòíîé ëåíòû â ìàã-
êèå ïðîãðàììû èìåþò ìåíåå îáùèé õàðàê-
                                            íèòîôîíå.
òåð, íî ÷àñòî áîëåå ýôôåêòèâíû â ðàáîòå.
                                                  ßñíî, ÷òî äëÿ âûÿñíåíèÿ, ÷åì èç ñó-
                                            ùåñòâóþùèõ ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ óäîáíåå
                                            âñåãî âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ñâîåé çàäà÷è èëè
                                            ïî êàêîìó ïóòè èäòè â ñâîèõ èññëåäîâàíè-
                                            ÿõ, ñëåäóåò îçíàêîìèòüñÿ ñî ñïåêòðîì ñó-
                                            ùåñòâóþùèõ ñèñòåì ÊîÀë è ïîäõîäîâ, êàê
                                            â èõ òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè, òàê è â îñîáåí-
                                            íîñòÿõ ïðèìåíåíèÿ. Ïåðâîíà÷àëüíîå îçíà-
                                            êîìëåíèå ñ âîçìîæíîñòÿìè è îñîáåííîñòÿ-
                                            ìè ïðèìåíåíèÿ ÊîÀë â çàäà÷àõ ìåõàíèêè
                                            äîëæíî äàâàòüñÿ âî âðåìÿ îáó÷åíèÿ.
                                                  Îáðàçîâàíèå ñòóäåíòîâ ìåòîäàì ÊîÀë
                                            ìîæåò ïðîèñõîäèòü òðåìÿ ñïîñîáàìè:
                                                  – îáó÷åíèå ðàáîòå íà ñîâðåìåííûõ
                                            ñèñòåìàõ ÊîÀë,
                                                  – ïðèâëå÷åíèå èõ ê ñîçäàíèþ íîâûõ
     ...îáó÷åíèå ðàáîòå íà ñîâðåìåííûõ      ïðîãðàììíûõ ñèñòåì ÊîÀë èëè ðåàëèçàöèè
     ñèñòåìàõ ÊîÀë...                       ìàòåìàòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ,

46         © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2003 ã.


                  Êîìïüþòåðíàÿ àëãåáðà â ñîâðåìåííîì îáðàçîâàíèè ìåõàíèêà

      – ó÷àñòèå â ðåøåíèå ìåõàíè÷åñêèõ
çàäà÷ ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà ÊîÀë.
      Ïî ïåðâîìó íàïðàâëåíèþ çàìåòèì, ÷òî
ñîâðåìåííûå ñòóäåíòû ÷àñòî îñâàèâàþò ñè-
ñòåìû ïàêåòîâ ÊîÀë ðàíüøå ìíîãèõ ñòàð-
øèõ òîâàðèùåé, ïðåïîäàâàòåëåé. Òåì íå
ìåíåå, äëÿ ìåõàíèêîâ èñïîëüçîâàíèå ÊîÀë,
êàê óæå ãîâîðèëîñü, èìååò ñïåöèôèêó. Íå-
îáõîäèìî çíàêîìèòü èõ ñ òåì, ÷åì ëåãêî
ïîëüçîâàòüñÿ â èçâåñòíûõ ïàêåòàõ ÊîÀë, à
ãäå íàïðÿìóþ ïîëüçîâàòüñÿ çàòðóäíèòåëüíî,
è â ÷åì ñîñòîÿò òðóäíîñòè è ïîäâîõè.
      Â Ïåðìñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåð-
ñèòåòå, áëàãîäàðÿ óñèëèÿì åãî ðåêòîðà è
çàâåäóþùåãî êàôåäðîé òåîðåòè÷åñêîé ìå-
õàíèêè Â.Â. Ìàëàíèíà, åãî êîëëåã À.Á. Áÿ÷-
êîâà, È.Å. Ïîëîçêîâà è äðóãèõ, óæå áîëüøå
15 ëåò çíàêîìñòâî ñ ÊîÀë âõîäèò â îáÿçà-
òåëüíóþ ÷àñòü îáó÷åíèÿ íà ìåõàíèêî-ìàòå-
ìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå. Îáó÷åíèå ÊîÀë è          ...ïðèâëå÷åíèå èõ ê ñîçäàíèþ íîâûõ
ðàáîòà íà åå ñèñòåìàõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ         ïðîãðàììíûõ ñèñòåì ÊîÀë èëè ðåàëèçàöèè
                                                ìàòåìàòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ...
ðàçâèâàåòñÿ øèðîêî – ïåðñîíàëüíûå êîì-
ïüþòåðû è ïàêåòû äëÿ íèõ ñîçäàþò òóò íà-
äåæíóþ áàçó, øèðîêî äîñòóïíóþ. Ïðèìåðû         ñêèõ èíñòðóìåíòîâ â ðàìêàõ ýòèõ ñèñòåì è
íåäàâíåãî âðåìåíè. Íà êîíôåðåíöèè â Ìèí-       ïàêåòîâ äëÿ èõ óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ). Ïðè-
ñêå â 1997 ãîäó (Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåí-       ìåð â îáëàñòè ìàòåìàòèêè – èíòåíñèâíàÿ
öèÿ «Êîìïüþòåðíàÿ àëãåáðà. Íàóêà è îáðà-       ðàáîòà ïî ìåòîäó áàçèñà Ãðåáíåðà (ïðåîá-
çîâàíèå», äåêàáðü, Ìèíñê) ñåêöèÿ îáðàçî-       ðàçîâàíèÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
âàíèÿ áûëà îäíîé èç ñàìûõ àêòèâíûõ è           íåíèé ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó) íà ìåõ-ìàòå
ìíîãî÷èñëåííûõ, âêëþ÷àÿ ïåäàãîãîâ èç ðÿ-       ÌÃÓ ïîä ðóêîâîäñòâîì Å.Â. Ïàíêðàòüåâà è
äîâûõ ïðîâèíöèàëüíûõ ÂÓÇîâ Áåëîðóññèè,         ïî ôèçèêå â Äóáíå â ÎÈßÈ è ó÷åáíûõ
Óêðàèíû è Ðîññèè. Òàêæå ìíîãî÷èñëåííîé         ôàêóëüòåòàõ ïðè íåì ïîä ðóêîâîäñòâîì
è àêòèâíîé áûëà ñåêöèÿ îáðàçîâàíèÿ íà
êîíôåðåíöèè IMFCS ACA-98 â Ïðàãå â 1998
ãîäó (International IMACS Conference on
Applications of Computer Algebra, 9–11 Aug.,
1998, Prage), â êîòîðîé ó÷àñòâîâàëè ïðåïî-
äàâàòåëè íå òîëüêî ÂÓÇîâ, íî è êîëëåäæåé.
      Ó÷àñòèå ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ â
ðàçðàáîòêå ñèñòåì ÊîÀë è ðåàëèçàöèè àë-
ãîðèòìîâ ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè – ýôôåê-
òèâíûé ñïîñîá èõ îáó÷åíèÿ è ïðèâëå÷åíèÿ
ê íàó÷íûì èññëåäîâàíèÿì. Òóò â ðàâíîé
ñòåïåíè àêòèâíû è ïðîãðàììèñòû, è ìàòå-
ìàòèêè, è ìåõàíèêè. Òàêèì îáðàçîì ñòó-
äåíòû ïðèâëåêàëèñü ê ñîçäàíèþ ìíîãèõ
îòå÷åñòâåííûõ ñèñòåì ÊîÀë. Ñåé÷àñ ðàáî-
òà èäåò, êàê ïðàâèëî, â ðàìêàõ èçâåñòíûõ
ñèñòåì ÊîÀë, öåíòð òÿæåñòè ïåðåíåñåí íà          ...ó÷àñòèå â ðåøåíèå ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷ ñ
ðåàëèçàöèþ àëãîðèòìîâ (èëè ïðîãðàììèñò-          ïîìîùüþ àïïàðàòà ÊîÀë.

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                     47


Åôèìîâ Ã.Á.

Â.Ï. Ãåðäòà, Â.À. Ðîñòîâöåâà, Ð.Í. Ôåäîðî-   ëåå ïîëóòîðà äåñÿòêà àêòèâíûõ êîëëåêòè-
âîé (êîíôåðåíöèÿ – Computer Algebra and      âîâ, ðàáîòàâøèõ â ýòîé îáëàñòè. Èç ñóùå-
its Application to Physics. CAAP-2001, 28–   ñòâóþùèõ êîëëåêòèâîâ íàì ëó÷øå èçâåñò-
30 June, Dubna). Â Èðêóòñêå â øêîëå ïðîô.    íû ðàáîòû êîëëåã èç Íèæíåãî Íîâãîðîäà,
Â.Ä. Èðòåãîâà ðàçâèâàþò ïàêåòû ïî ìåõà-      Ìîñêâû, Ïåðìè è Èðêóòñêà. Íàïðèìåð,
íèêå ñëîæíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì è èñ-       Ò.Í. Òèòîðåíêî ïîä ðóêîâîäñòâîì Â.Ä. Èð-
ñëåäîâàíèþ èõ ñâîéñòâ.                       òåãîâà íåäàâíî áûë ñîçäàí êîìïüþòåðíûé
      Ñïåöèàëüíî ìåõàíè÷åñêèå ïðèëîæå-       çàäà÷íèê ïî ìåòîäàì ÊîÀë â ìåõàíèêå,
íèÿ ÊîÀë âêëþ÷àþò, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ðà-     ïðîäîëæàþùèé ïðåäûäóùèå ðàáîòû â ýòîé
áîòó ïî âûâîäó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìåõà-      îáëàñòè Ì.À. Íîâèêîâà è Ì.Â. Ïî÷òàðåí-
íè÷åñêèõ ñèñòåì, àâòîìàòèçàöèþ ïðîãðàì-      êî. Ìíîãèå èññëåäîâàòåëè-ìåõàíèêè â íà-
ìèðîâàíèÿ ïðè èõ ìîäåëèðîâàíèè. Ñèì-         ñòîÿùåå âðåìÿ èñïîëüçóþò ïàêåòû ÊîÀë,
âîëüíûé àíàëèç äâèæåíèÿ ìîæåò âêëþ÷àòü:      òàê ñêàçàòü, â ðàáî÷åì ïîðÿäêå, íå îáîáùàÿ
âûâîä óðàâíåíèé ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû â        è íå ôèêñèðóÿ ñâîé îïûò èñïîëüçîâàíèÿ
çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè, ïîëó÷åíèå óðàâíåíèé     ÊîÀë, íå óïîìèíàÿ îá ýòîì. Òåì íå ìåíåå,
â âàðèàöèÿõ ïðè ðåøåíèè êðàåâûõ çàäà÷ è      íàïðàâëåííîå, ñèñòåìàòèçèðîâàííîå ïðåïî-
â çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ, íîðìà-      äàâàíèå ðàáîòû ñ ÊîÀë â ìåõàíèêå íåîáõî-
ëèçàöèþ, îñðåäíåíèå, àíàëèç óñòîé÷èâîñòè     äèìî õîòÿ áû â ìèíèìàëüíîì îáúåìå. Çäåñü
äâèæåíèÿ, ïîèñê ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé        íàêîïëåí íóæíûé îïûò, çàñëóæèâàþùèé
è ìíîãîå äðóãîå. Â ñâîå âðåìÿ èìåëîñü áî-    ðàñïðîñòðàíåíèÿ è ïîääåðæêè.

     Ëèòåðàòóðà.
      1. Ì.Â. Ãðîøåâà, Ã.Á. Åôèìîâ. Î ñèñòåìàõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé íà ÝÂÌ.
Ïàêåòû ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì. Àíàëèòè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ì., Íàóêà. 1988, ñ. 5–30.
      2. Ä.Ì. Êëèìîâ, Â.Ì. Ðóäåíêî. Ìåòîäû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû â çàäà÷àõ ìåõàíèêè.
Ì.: Íàóêà. 1989.
      3. Ìåòîäû êîìïüþòåðíîãî êîíñòðóèðîâàíèÿ ìîäåëåé ìåõàíèêè ñèñòåìû òâåðäûõ
òåë. Ìàòåðèàëû âñåñîþçíîãî ðàáî÷åãî ñåìèíàðà. Ïðåïðèíò ¹ 16 Ëåíèíãðàäñêîãî ôèëèàëà
Èíñòèòóòà ìàøèíîâåäåíèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ. Ë., 1989.
      4. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Âûâîä è àíàëèç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íà ÝÂÌ. Ïîä ðåä.
Â.Ã. Âåðåòåííèêîâà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà. 1990.




                                             Åôèìîâ Ãåîðãèé Áîðèñîâè÷,
                                             êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê,
                                             ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê
                                             Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîé
                                             ìàòåìàòèêè èì. Ì.Â. Êåëäûøà ÐÀÍ,
                                             ñïåöèàëèñò ïî ìåõàíèêå
                                             êîñìè÷åñêîãî ïîëåòà,
                                             êîìïüþòåðíîé àëãåáðå.
48         © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2003 ã.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика