Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        Матрица жесткости элемента играет роль, аналогичную коэффициен-
ту жесткости пружины К, связывающего приложенное к ней усилие R, и
вызванное этим усилием перемещение U соотношением (рис.1.39).
                       R  K U .                          (1.127)




       Рис. 1.39. Пружинная интерпретация метода конечных элементов
                       (e )                    (e )
    Поскольку векторы U и R                           имеют размерность n ст , число строк и
                          (e )
столбцов в матрице K             тоже должно быть равным n ст :

                                  K                U
                          (e)                 (e)              (e)
                  R                                                  .            (1.128)
                 nст 1            nст nст           nст 1
                           (e )
      Введем обозначение kijmk – усилие, действующее на узел m элемен-
та e по направлению i, от единичного перемещения узла k этого же элемен-
та е по направлению j при условии, что перемещения по направлению всех
                                                             ( 5)
остальных степеней свободы в элементе равны нулю. Например, k1312 –
усилие, действующее на узел 1 элемента 5 по направлению 1 при единич-
                                                                                       ( 3)
ном перемещении узла 2 этого же элемента 5 по направлению 3, а k1111 –
усилие, действующее на узел 1 элемента 3 по направлению 1 от единично-
го смещения этого же узла по этому же направлению. Последнее значение,
                       (e )
как и любое значение kiijj в соответствии с теоремой Клапейрона всегда

положительно, аналогично коэффициентам rii в уравнениях классического
метода перемещений.
    Важно четко помнить порядок индексов, стоящих при k. Верхний ин-
декс – это номер элемента. Первые два нижних индекса – направления,
причем первый из них – номер направления определяемого усилия, а вто-
рой – номер направления, в котором произошло единичное перемещение.


                                                                                              81


Вторые два нижних индекса – номера узлов элемента, причем первый из
них – номер узла, в котором определяется усилие, второй - в котором зада-
но единичное перемещение.
     Для рассматриваемого элемента (рис.1.36) матрица жесткости элемен-
та имеет следующий вид:
                   k1111
                      (е)
                             k1211 k1112 k1212 k1312 
                               (е)     (е)   (е)    (е)
                   (е)        (е)    (е)    (е)    (е)
                                                         
                   k 2111   k 2211 k 2112 k 2212 k 2312 
        K (е)     k1121
                      (е)
                             k1221 k11221 k1222 k1322 
                               (е)    (е)    (е)    (е)
                                                                  (1.129)
                                                        .
                   k 2121
                      (е)
                             k 2221 k 2122 k 2222 k 2322 
                               (е)    (е)    (е)    (е)

                   (е)        (е)    (е)    (е)    (е) 
                   k 3121   k 3221 k 3122 k 3222 k 3322 
     Легко увидеть, что каждый столбец этой матрицы состоит из усилий,
действующих на узлы элемента при единичном смещении по направлению
какой-либо из его степеней свободы при условии, что перемещения по на-
правлению остальных степеней свободы равны нулю.
     Например, первый столбец представляет собой усилия, действующие
на узлы элемента при единичном смещении узла 1 (4-ый индекс при коэф-
фициентах) по направлению 1 (2-ой индекс при коэффициентах) при усло-
вии, что перемещения по направлению остальных степеней свободы равны
нулю. Второй столбец представляет собой усилия, действующие на узлы
элемента при единичном смещении узла 1 (4-ый индекс при коэффициен-
тах) по направлению 2 (2-ой индекс при коэффициентах) при условии, что
перемещения по направлению остальных степеней свободы равны нулю. И
так далее.
     Т.е. компоненты первого столбца матрицы жесткости на самом деле
оказались равными компонентам вектора усилий, действующих на узлы
элемента при заданном смещении.
     Придавая соответствующий вид вектору узловых перемещений, мож-
но выполнить аналогичное доказательство для любого другого столбца
матрицы жесткости элемента.
     Для рассматриваемого элемента (рис.1.36) запишем матричное равен-
ство (1.126) в развернутом виде:




82


        r11е )   k1111
           (         (е)
                                  k1211 k1112 k1212 k1312   u11 
                                   (е)   (е)   (е)   (е)
                                                         
        r21 )   k2111
           (е        (е)           (е)   (е)   (е)   (е)
                                  k2211 k2112 k2212 k2312   u21 
        r (е)   (е)
        12    k1121           k1221 k1122 k1222 k1322    u12 
                                   (е)   (е)   (е)   (е)
                                                                                                      (1.130)
     ,  (е) 
         r22       k2121
                     (е)
                                  k2221 k2122 k2222 k2322   u22 
                                   (е)   (е)   (е)   (е)

        (е)   (е)
       r                         (е)   (е)   (е)   (е)          
        32   k3121             k3221 k3122 k3222 k3322   u31 
       или:
r11е )
   (
            u11  k1111  u 21  k1211  u12  k1112  u 22  k1212  u32  k1312
                    (е)            (е)           (е)            (е)           (е)

 (е)
r21        u11  k 2111  u 21  k 2211  u12  k 2112  u 22  k 2212  u32  k 2312
                     (е)             (е)            (е)             (е)            (е)

 (е)
r12        u11  k1121  u 21  k1221  u12  k1122  u 22  k1222  u32  k1322
                    (е)            (е)           (е)            (е)           (е)
                                                                                                         (1.131)
 (е)
r22        u11  k(е)
                    1221    u 21  k   (е)
                                        2221    u12  k   (е)
                                                           2122    u 22  k   (е)
                                                                               2222    u32  k   (е)
                                                                                                  2322
r ( е )    u11  k 3121  u 21  k 3221  u12  k 3122  u 22  k 3222  u32  k 3322
                     (е)             (е)            (е)             (е)            (е)
 32

    Физический смысл любого из уравнений данной системы очевиден.
    Если узел k элемента е получает по направлению j единичное переме-
щение, то усилие, действующее при этом на узел m по направлению i рав-
     (e )
но kijmk .

       Если же это перемещение будет равно не единице, а u jk , то в соответ-
ствии с линейным законом связи между усилиями и перемещениями, рас-
сматриваемое усилие увеличится также в u jk раз и составит u jk  kijmk .
                                                                    (e )



    Формирование и решение системы уравнений МКЭ. Определение
                   внутренних усилий в элементах
     Обозначим Pim – внешнее усилие, приложенное к узлу m и действую-
щее по направлению i. Введем для каждого из n узлов конечно-элементной
схемы вектор внешних узловых усилий, приложенных к узлу m. Если узел
m – жесткий, то
                                               P1m 
                                                    
                                         Pm   P2 m  ,                                                 (1.132)
                                              P 
                                               3m 
       если шарнирный, то


                                                                                                             83


                            P 
                       Pm   1m  .
                            P 
                                                                  (1.133)
                             2m 




               Рис. 1.40. Пример конечноэлементной сетки
      Рассмотрим равновесие любого свободного узла (т.е. такого узла, на
перемещения которого не наложены связи) конечно-элементной сетки.
Пусть это будет узел под номером 2 конечно-элементной сетки, изобра-
женной на рис.1.40. Будем считать пока, что все узлы этой сетки свободны,
т.е. на узлы не наложено связей. Об учете связей речь пойдет далее.




            Рис. 1.41. Усилия в узлах конечноэлементной модели




84


                               P 
                                12 
                          P2   P22  .                          (1.134)
                               P 
                                3
     На узел действует внешняя узловая нагрузка, характеризующаяся век-
тором Р (1.134), передаваемая на элементы, которые соединяются в этом
узле. Пусть это будут три элемента под номерами 1, 2 и 3 (рис.1.40). Уси-
лия, передаваемые на элемент е в узле 2, в соответствии с введенным ранее
                              ( 2)
обозначением образуют вектор R2 Соответственно, со стороны элементов
на узел передаются равные, но противоположно направленные усилия. Т.е.
со стороны элемента е на узел действует система усилий, образующих век-
тор  R2 . Узел элемента должен находиться в равновесии под действием
       (e)


внешних усилий и усилий, приложенных к узлу со стороны элементов.
Следовательно, можно записать:
                      P2  R21)  R22)  R23)  0 .
                            (      (      (
                                                                  (1.135)
     Следует помнить, что данное равенство – матричное равенство и со-
ответствует системе равенств, каждое из которых представляет собой
уравнение равновесия усилий, действующих на узел по одному из направ-
лений. Так как узел 2 – жесткий, это равенство принимает следующий вид
(рис.1.41):
                 P  r12 )  r122)  r123)  0
                   12
                         (1     (       (

                
                 P22  r22  r22  r22  0 .
                          (1)    ( 2)    ( 3)
                                                                  (1.136)
                
                 P32  r32)  r322)  r32 )  0
                          (1     (       (3


    В дальнейшем, для упрощения выкладок будем пользоваться матрич-
ной формой записи, не раскладывая равенства покомпонентно.
    В соответствии с (1.126) для элемента 1 справедливо соотношение
                         R (1)  K (1) U (1) .                  (1.137)
    или
                     R1(1)   K11)
                                  (1
                                        K12)   U1 
                                          (1
                                           .
                                        K 22)  U 2 
                     R (1)   K (1)     (1                      (1.138)
                     2   21                  
    Из него вектор усилий, действующих на узел 2 со стороны элемента 1,
окажется равным


                                                                       85


                                 R21)  K 21)U1  K 22)U 2 .
                                  (       (1        (1
                                                                                     (1.139)
      Аналогично, для элемента 2 будем иметь:
                                    R ( 2)  K ( 2) U ( 2) ,                        (1.140)
      или
                               R22)   K 22)
                                 (          (2
                                                   K32)  U 2 
                                                    (2
                                                      .                      (1.141)
                               R( 2)   K ( 2)
                               3   23           K33)   U 3 
                                                    (2
                                                          
    Из него вектор усилий, действующих на узел 2 со стороны элемента 2,
окажется равным:
                               R22)  K 22)U 2  K 32)U 3 .
                                (       (2         (2
                                                                                     (1.142)
      Аналогично, для элемента 3 будем иметь:
                                    R (3)  K (3) U (3) .                           (1.143)
или
                             R23)   K 22)
                                (          (3
                                                   K 42)  U 2 
                                                     (3
                                                       .
                                                   K 44)  U 4 
                             R ( 3)   K ( 3)      (3                              (1.144)
                             4   24                     
    Из него вектор усилий, действующих на узел 2 со стороны элемента 3,
окажется равным:
                               R23)  K 22)U 2  K 42)U 4 .
                                (       (3         (3
                                                                                     (1.145)
      Подставив полученные выражения в (8), получим:
      P2  K21)U1  K22)U 2  K22)U 2  K32)U3  K22)U 2  K42)U 2  0 ,
            (1       (1        (2        (2       (3        (3
                                                                                     (1.146)
откуда:
      P2  K 21)U1  ( K 22)  K 22)  K 22) )U 2  K 32)U 3  K 42)U 2  0 .
             (1          (1      (2      (3           (2         (3
                                                                                     (1.147)
     Отсюда видно, что в уравнение равновесия для узла входят компонен-
ты матриц жесткости только тех элементов, которые примыкают к этому
узлу. Кроме того, в это уравнение входят перемещения только тех узлов,
которые принадлежат элементам, примыкающим к рассматриваемому уз-
лу.
     Повторив аналогичные операции для всех узлов конечно-элементной
схемы, изображенной на рис.1.40, получим:
             P  K11)U1  K12)U 2  0
               1
                    (1          (1

            
             P2  K 21 U1  ( K 22  K 22  K 22 )U 2  K 23 U 3  K 24 U 2  0
                     (1)          (1)   ( 2)   ( 3)        ( 2)       ( 3)

                                                                                .   (1.148)
             P3  K33 U 3  K32 U 2  0
                     ( 2)        ( 2)

             P  K (3)U  K (3)U  0
             4      42   2      44   4




86


    Запишем эту систему в матричной форме:
           P   K11)
                     (1
                                 K12)
                                   (1
                                                  0       0   U1 
             (1)
             1
                                                                 
           P2   K 21   K11)  K11 )  K11 )
                           (1     (2      (3
                                                 K 23)
                                                   (2
                                                         K 24)   U1 
                                                           (3

          P   0              K32)
                                   (2
                                                 K33)
                                                   (2
                                                                
                                                          0  U 3 
                                                                        .   (1.149)
           3                                                  
          P   0               K 42)
                                   (3
                                                         K 24)  U 4 
                                                           (3
           4                                   0              
    Введем вектор перемещений узлов конечно-элементной сетки U, ком-
понентами которого являются перемещения по направлению всех степеней
свободы системы. Очевидно, этот вектор состоит из блоков - векторов пе-
ремещений U i всех n узлов системы:

                                    U1
                                      
                                    U2
                                U    .                         (1.150)
                                      
                                      
                                   U n
                                      
     Аналогично, введем вектор внешних узловых усилий P, действующих
на конечно-элементную схему. Этот вектор также будет состоять из блоков
- векторов усилий Рi, действующих на каждый узел системы:
                                 P
                                  1
                                  P2 
                             P   .                             (1.151)
                                    
                                  
                                  Pn 
                                  
     Тогда полученная выше система уравнений (1.149) может быть запи-
сана в виде:
                              KU=P.                              (1.152)
     Зависимость (1.152) устанавливает связь между перемещениями узлов
конечно-элементной сетки и приложенными к ним узловыми воздействия-
ми. Зависимость (1.152) аналогична зависимости (1.126), но она построена
не для отдельного элемента, а для всей конечно-элементной схемы. Мат-
рица К, как и матрица жесткости элемента, связывает перемещения узлов и
приложенные к ним воздействия, но не для одного элемента, а сразу для
всей системы. Поэтому ее называют матрицей жесткости конечно-
элементной схемы или глобальной матрицей жесткости.



                                                                                 87


    Глобальная матрица жесткости - квадратная матрица, размером рав-
ным числу степеней свободы системы, имеющая, как видно из (1.149)
блочную структуру.
     Из (1.149) легко заключить, что блок K ij глобальной матрицы жестко-
                             (e )
сти формируется из блоков K ij матриц жесткости элементов е, входящих
в конечно-элементную схему, причем представляет собой сумму блоков
Kij ) для тех элементов конечно-элементной схемы, в состав которых вхо-
  (e


дит узел i:
                          K ij   K ij ) ,
                                      (e
                                                                  (1.153)

где запись eE i и означает, что элемент е должен принадлежать множест-
ву элементов, в состав которых входит узел i.
     В системе (1.152) вектор внешних сил Р задается, глобальная матрица
жесткости К, как мы только что выяснили, формируется из матриц жестко-
сти элементов, входящих в конечно-элементную сетку. Неизвестными в
этой системе являются перемещения узлов сетки, составляющие компо-
ненты вектора U.
     Таким образом, после построения вектора внешних нагрузок и фор-
мирования глобальной матрицы жесткости конечно-элементной схемы пе-
ремещения ее узлов определяются посредством решения системы линей-
ных алгебраических уравнений МКЭ (1.152).
     Легко показать, что в силу симметрии матриц жесткости элементов и
в соответствии с (1.153) глобальная матрица жесткости также будет сим-
метричной.




               Рис. 1.42. Наложенные ограничения на систему
     Если на перемещения какого-либо из узлов конечно-элементной схе-
мы наложены ограничения (рис.1.42), то уравнения равновесия для этого
узла теряют смысл. Действительно, все приложенные к этому узлу силы,
как внешняя нагрузка, так и усилия, действующие со стороны стержней,
будут восприниматься опорными связями. Зато, заранее известны переме-

88


щения по направлениям закрепленных степеней свободы такого узла. По-
этому, в системе уравнений (1.152) для тех степеней свободы, на которые
наложены ограничения, соответствующие уравнения равновесия заменя-
ются уравнениями, в которых перемещениям присваиваются заданные
значения.
    1.5.3. Метод конечных элементов с использованием тонкостенных
                             конечных элементов
     Большой вклад в развитие теории тонкостенных конечных элементов
внес Туснин А.Р. [13].
     В этой главе (1.5.3) рассмотрим основные положения его теории ко-
нечноэлементного моделирования стальных тонкостенных стержней от-
крытого профиля.
     «Наиболее рационально для расчета сложных пространственных кон-
струкций из тонкостенных стержней открытого профиля использовать
стержневые тонкостенные конечные элементы, учитывающих не только
чистое, но и стесненное кручение при совпадении и несовпадении центров
тяжести и изгиба, наличии или отсутствии эксцентриситетов в узлах, что
делает актуальным разработку таких конечных элементов.
     При использовании метода конечных элементов (МКЭ) конструкция
из тонкостенных стержней открытого профиля делится на отдельные пря-
молинейные тонкостенные конечные элементы (далее ТКЭ), соединяемые
друг с другом в узлах. Кроме учитываемых, при расчете обычных стерж-
невых систем, степеней свободы в каждом узле: трех линейных и трех уг-
ловых, для конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля
учитывается седьмая степень свободы узла – депланации сечения. Таким
образом, ТКЭ с узлами в начале и конце имеет 14 степеней свободы.
     Расчет конструкции сводится к определению неизвестных перемеще-
ний узлов, по которым затем определяются усилия в элементах. Для опре-
деления перемещений необходимо решить систему линейных алгебраиче-
ских уравнений:
                                   R0U = P,                     (1.154)
где R0 - матрица жесткости конструкции в общей системе координат с уче-
том граничных условий; U – вектор перемещений узлов конструкции; Р –
 вектор нагрузки с учетом граничных условий.


                                                                     89


     Матрица жесткости конструкции R0 формируется из матриц жестко-
сти отдельных стержней.

      Конечный элемент тонкостенного стержня открытого профиля с
     двумя осями симметрии при отсутствии эксцентриситетов в узлах

     Тонкостенные стержни открытого профиля с двумя осями симметрии
(сварные и прокатные двутавры) широко используются в пространствен-
ных стержневых конструкциях.
     Для задач в линейной постановке можно рассматривать перемещения,
связанные с изгибом и сжатием стержня отдельно от перемещений вызы-
вающих кручение и депланацию. Таким образом, задача по разработке
матрицы жесткости тонкостенного конечного элемента сводится к комби-
нации известной матрицы жесткости, учитывающей линейные перемеще-
ния и углы поворота относительно осей Y1, Z1, с матрицей жесткости, учи-
тывающей угол поворота относительно оси Х1 и депланацию сечения.
     Разработка матрицы жесткости тонкостенного конечного элемента
основана на теории Власова В.З. [2], описанной в разделе 1.3 настоящего
пособия, и имеющей хорошее экспериментальное и теоретическое под-
тверждение.
     Для получения компонентов матрицы жесткости тонкостенного
стержня открытого профиля, обусловленных кручением и депланацией,
рассмотрим стержень с концами, закрепленными от закручивания и депла-
нации (рис.1.43).




 Рис. 1.43 Стержень с концами, закрепленными от закручивания и депланации

    Матрица жесткости включает в себя реакции в связях при их возмож-
ных единичных перемещениях, в качестве которых, в данном случае, рас-
сматриваются угол поворота относительно продольной оси и депланация

90



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика