Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
          Математические основы метода были впервые сформулированы
Р.Курантом в 1943г., а термин ―конечный элемент‖ впервые был введен
Р.Клафом в 1960 г.
      Метод конечных элементов является одним из широко распростра-
ненных численных методов и в связи с его автоматизированной постанов-
кой еще и общедоступным.
      Расчет конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля
может выполняться с использованием конечных элементов двух типов:
      1. Оболочечные конечные элементы.
      Принцип действия метода конечных элементов применительно к
оболочечным схемам аналогичен принципу, описанному в разд.1.3. для
стержневых моделей: модель разбивается на узлы и конечные элементы,
при этом каждый узел имеет 6 степеней свободы. Вся нагрузка также сво-
дится к шести компонентам для каждого узла, соответствующим шести
степеням свободы; составляется матрица жесткости; разрешается глобаль-
ная система дифференциальных уравнений, результатом чего являются пе-
ремещения по 6 направлениям для каждого узла. После этого происходит
переход к напряжениям в каждой точке элемента-пластины (в стержневой
модели – к внутренним усилиям, в чем и состоит основное отличие прин-
ципа).
      Однако применение подобного рода конечных элементов требует,
во-первых, тщательного выбора сетки разбиения конструкции и сложности
построения модели. А во-вторых, при таком способе число узлов и элемен-
тов возрастает по сравнению со стержневой аппроксимацией на несколько
порядков, что является основными недостатками модели с такими конеч-
ными элементами. Поэтому имеет актуальность использование следующе-
го типа конечных элементов при моделировании.
      2. Тонкостенные конечные элементы
      Как было показано в главе 1.3., поперечное сечение тонкостенного
стержня, в отличие от обычного стержня, имеет не 6, а 7 степеней свободы,
характеризующихся соответственно не шестью, а семью степенями свобо-
ды. Соответственно теория МКЭ, изложенная в разделе 1.4., не может быть
применена к подобного вида стержням и стержневым системам. Иными
словами, двухузловой стержневой конечный элемент будет иметь не по 6
степеней свободы в каждом узле, а по 7. Соответственно в матрице жест-
кости появятся дополнительные компоненты, а в матрицах-столбцах узло-
вых перемещений и узловых нагрузок добавится по одному компоненту на
каждый узел: соответственно относительной депланации узла и узлового
бимомента.


                                                                       71


72
     Схема 1. Классификация методов научного исследования применительно к тонкостенным стержням


           3. Стержневые конечные элементы
     Несмотря на то, что в «классических» стержневых конечноэлемент-
ных моделях присутствует не 7, а всего лишь 6 степеней свободы в каждом
узле, что, казалось бы, является неприемлемым для расчета тонкостенных
стержней открытого профиля, использование обычных стержневых конеч-
ных элементов представляется возможным. Это достигается путем по-
строения так называемой бистержневой модели, о которой изложено в
разделе 1.5.4.
           1.5.2. Теоретические основы метода конечных элементов в
                              классической постановке
        Основные понятия и определения. Общая схема метода.
    В данной главе рассмотрим основные принципы метода конечных
элементов1 на примере случая МКЭ для стержневых систем, поперечное
сечение которых имеет три степени свободы, т.е. для плоской стержневой
задачи.
    В МКЭ стержневая система разбивается на отдельные части – конеч-
ные элементы, соединяющиеся между собой в узлах (рис.1.31).




                  Рис. 1.31. Разбиение системы на узлы и элементы
    Узлы могут быть жесткими и шарнирными. Совокупность соединен-
ных между собой и прикрепленных к основанию конечных элементов об-
разует расчетную схему метода, называемую конечно-элементной схемой
или конечно-элементной моделью или просто системой элементов.
Элементы и узлы конечно-элементной схемы нумеруются.
        ________________________________________________
    1
      – методологической основой изложения учебного материала данной главы стало
учебное пособие, выпущенное кафедрой «Строительная механика и теория упругости»
СПбГПУ как электронный учебник (Автор пособия – к.т.н., доц. М.С.Смирнов)


                                                                             73


    Внешняя нагрузка считается приложенной только в узлах конечно-
элементной схемы. В общем случае переход от заданной нагрузки к узло-
вой осуществляется следующим образом. На основании принципа супер-
позиций рассматриваемое состояние стержневой системы может быть
представлено как сумма двух состояний (рис.1.32).




        Рис. 1.32. Суперпозиция рассматриваемого состояния системы
     В первом состоянии (задача 1) вводятся связи, препятствующие всем
возможным смещениям узлов системы, аналогично тому, как образуется
основная система в методе перемещений. При этом, однако, продольными
деформациями стержней не пренебрегают. От действия заданных нагрузок
во введенных связях возникают реакции. Во втором состоянии (задача 2)
узлы конечно-элементной схемы не закреплены от смещений, но к ним
прикладываются усилия равные по модулю реакциям в связях, определен-
ным в первом состоянии, но противоположные им по направлению
(рис.1.32). Расчет системы в первом состоянии не представляет труда. В
частности, если конечно-элементная схема создается таким образом, чтобы
элементы представляли собой отдельные стержни (элементы 1, 2 и 3 на
рис.1.32), то для каждого из таких элементов имеется табличное решение,
позволяющее определить реакции в связях и построить эпюры внутренних
усилий по их длине. Для расчета же системы во втором состоянии, т.е. для
решения задачи 2, и применяется метод конечных элементов. Окончатель-
ное решение задачи будет представлять собой сумму решений этих двух
задач.


74


     В задаче 2 усилия, действующие на любой элемент, приложены ис-
ключительно в узлах. В этом случае перемещения узлов любого элемента,
взятого в отдельности (рис.1.33), однозначно определяют усилия и пере-
мещения в любой точке этого элемента. Как известно, для стержневых
систем решение такой задачи может быть найдено точно.




 Рис. 1.33. Отдельно взятый конечный элемент в деформированном состоянии
    Каждый, взятый отдельно от системы, конечный элемент должен быть
достаточно простым, чтобы имелась возможность легко определить пере-
мещения и усилия в любом сечении стержней элемента по заданным пере-
мещениям его узлов. Связь между перемещениями узлов элемента и уси-
лиями в них задается при помощи матрицы жесткости элемента. Коли-
чество перемещений узлов элемента, которые однозначно определяют со-
стояние данного элемента, называют числом степеней свободы элемента.




         Рис. 1.34. Основные виды стержневых конечных элементов
     На рис.1.34 первый элемент характеризуется четырьмя степенями
свободы, т.к. он содержит два шарнирных узла. При отсутствии нагрузки,
кроме приложенной в самих узлах, положение на плоскости любой точки
этого элемента определяется четырьмя параметрами - двумя вертикальны-
ми и двумя горизонтальными перемещениями узлов элемента. У второго
элемента на рис.1.34 – пять степеней свободы – к четырем линейным сме-
щениям добавляется поворот в одном из узлов. У третьего элемента -
шесть степеней свободы, которым соответствуют четыре линейных и два
угловых перемещения.


                                                                       75


     Аналогично, для всей конечно-элементной схемы вводятся матрица
жесткости системы или глобальная матрица жесткости, устанавли-
вающая связь между перемещениями узлов системы и усилиями в них, а
также число степеней свободы системы или глобальное число степеней
свободы – количество перемещений узлов системы, которые достаточно
знать, чтобы однозначно определить состояние всей системы.




                    Рис. 1.35. Пример расчетной схемы
     Например, в конечно-элементной схеме балки (рис.1.35) используется
один жесткий и три шарнирных узла. Следовательно, эта схема характери-
зуется 9 степенями свободы.
     Для всех элементов, из которых состоит конечно-элементная схема,
должны быть построены матрицы жесткости элементов. В программных
комплексах, реализующих алгоритм метода конечных элементов, хранятся
готовые матрицы жесткости для элементов различных типов.
     На практике, при расчете плоских стержневых систем используют го-
товые матрицы жесткости для элементов только трех типов: простых
стержней с двумя жесткими узлами, двумя шарнирными узлами, одним
жестким и одним шарнирным узлом (рис.1.34). В этом случае при разбивке
стержневой системы на элементы узлы вводятся в местах соединения и из-
ломов стержней, в опорах, шарнирах и на свободных концах консольных
стержней. В принципе узел может быть введен и в любых других точках,
например, в точках приложения сосредоточенных сил.
     Из построенных матриц жесткости элементов формируется матрица
жесткости системы. Для этого все матрицы жесткости элементов и матри-
ца жесткости системы должны быть сформированы в единой системе осей
координат, называемой глобальной системой осей координат. При рас-
чете плоских стержневых систем традиционно используется следующая
глобальная система осей координат (рис.1.38): ось1 направлена вправо, ось
2 – вверх, ось 3 – против часовой стрелки.
     Матрицы жесткости элементов могут формироваться и храниться в
памяти ЭВМ в своих, локальных системах осей координат, в общем слу-

76


чае отличных от глобальной системы осей координат. В данной ситуации
при помощи специальной процедуры эти матрицы должны быть пере-
строены для глобальной системы осей координат.
     Так как матрица жесткости системы устанавливает связь между уси-
лиями, приложенными к ее узлам и перемещениями ее узлов, то имея по-
строенную матрицу жесткости системы и зная внешнюю узловую нагруз-
ку, можно найти перемещения всех узлов конечно-элементной схемы. Для
этого требуется решить систему линейных алгебраических уравнений. По-
рядок этой системы равен числу ее степеней свободы.
     По известным перемещениям узлов системы для каждого элемента
при помощи имеющихся матриц жесткости элементов можно найти внут-
ренние усилия в элементах от действия нагрузки, приложенной в узлах
(задача 2). Окончательное решение задачи, как уже упоминалось, ищется
как сумма решений задачи 1 и задачи 2.
     Таким образом, метод конечных элементов в данном виде аналогичен
методу перемещений, так как сначала определяются перемещения узлов
системы, а затем по ним – деформации и усилия в стержнях. Возможна
реализация метода конечных элементов и в форме метода сил, однако она
имеет ряд существенных недостатков и поэтому представляет большей ча-
стью чисто научный, но не практический интерес.
     Итак, расчет стержневой системы методом конечных элементов в
форме метода перемещений состоит из следующих этапов:
           1) Создание конечно-элементной схемы (разбивка системы на
           элементы и их нумерация).
           2) Сведение заданной внешней нагрузки к узловой.
           3) Формирование матриц жесткости всех элементов системы в
           локальных системах координат и их преобразование в глобаль-
           ную систему координат.
           4) Формирование глобальной матрицы жесткости, системы
           уравнений метода конечных элементов и ее решение.
           5) Определение усилий в элементах от действия узловой нагруз-
           ки.
           6) Определение окончательных значений усилий в элементах
           путем сложения решений задач 1 и 2.
       Далее подробнее рассмотрим все эти этапы.

                                                                      77


Конечный элемент. Матрица жесткости конечного элемента
    Рассмотрим произвольный конечный элемент с числом степеней сво-
боды nст.
     Вектором узловых перемещений конечного элемента называется век-
тор, складывающийся из значений перемещений его узлов по направлению
всех его степеней свободы. Очевидно, размерность вектора узловых пере-
мещений равна числу степеней свободы элемента nст.




                 Рис. 1.36. Двухузловой конечный элемент
     Например, для двухузлового элемента, имеющего в конечно-
элементной схеме номер e, характеризующегося тремя степенями свободы
(рис.1.36), вектор узловых перемещений будет иметь следующий вид:
                                   u11 
                                   
                                   u 21 
                        U (e)     u12 
                                   .
                                   u 22 
                                   
                                   u32 
     Здесь введены следующие обозначения: u jk – перемещение узла k по
                 (e )
направлению j, U     – вектор узловых перемещений узла е. Понятно, что
если узел k шарнирный, то j может быть равно 1 или 2. Если же узел k же-
сткий, то j может быть равно 1, 2 или 3.
    Аналогично вводится вектор узловых усилий, действующих на эле-
мент. Его компонентами являются усилия, приложенные к элементу в уз-
лах и действующие по направлению всех его степеней свободы. Для при-
веденного на рис.1.36 элемента этот вектор будет иметь вид (рис.1.37):




78


                                 r11e ) 
                                    (
                                 (e) 
                                 r21 
                      R (e)     r12e ) 
                                    (
                                                                 (1.122)
                                 
                                 r22 )  .
                                    (e

                                 (e) 
                                 r32 




             Рис. 1.37. Усилия в двухузловом конечном элементе
                                  (e )
    Здесь вводятся обозначения: r jk – усилие, действующее на узел k
элемента е по направлению j, R (e ) – вектор узловых сил, действующих на
элемент е.
    Вектора R(e) и U(e) являются блочными, т.е. в них можно выделить бло-
     (e )
ки Ri и U i соответственно, содержащие усилия и перемещения, относя-
щиеся к i-ому узлу элемента. Если узел i – жесткий, то
                                u1i                            (1.123)
                                
                         U i   u 2i  ,
                               u 
                                3i 
если шарнирный, то
                               u                               (1.124)
                         U i   1i  .
                               u 
                                2i 
    Аналогично выглядят и блоки вектора R(e).
    Например, для рассматриваемого элемента (рис.1.36):


                                                                           79


           r11e ) 
              (
                                              u11 
                                                  
           r21 
              (e)
                                              u21 
                                                                  (1.125)
                 R1                           U1 
                       (e)

R (e)     (e)   (e)            U (e)             
           r12   R                        u12  U 
           (e)   2  ,                             2.
           r22                              u22 
           r (e)                            u 
           32                               32 
    Понятно, что при деформировании элемента в результате смещения
одного из его узлов по направлению одной из степеней свободы на узлы
элемента должны действовать внешние силы, препятствующие возвраще-
нию элемента в недеформируемое состояние. Подобная ситуация может
возникнуть, например, при неравномерных осадках в опорах статически
неопределимой стержневой системы (рис.1.38) – реакции, возникшие в
опорах, препятствуют возвращению конструкции в недеформированное
состояние. В рамках гипотезы линейного деформирования связь между пе-
ремещениями узлов элемента и силами, действующими при этом на него,
должна быть линейной. Например, с увеличением смещения  вдвое, все
усилия, действующие на узлы элемента также должны увеличиться вдвое.




             Рис. 1.38. Статически неопределимая стержневая система
        Основной характеристикой конечного элемента является матрица же-
                  (e )
сткости элемента K . Она связывает вектор узловых перемещений U (e ) и
                                                           (e )
вектор приложенных к элементу узловых усилий R       соотношением
(1.126), выражающим линейный характер связи между действующими на
узлы силами и узловыми перемещениями.
                    R (e)  K (e)  U ( e) ,             (1.126)




80



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика