Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        Остановимся на вычислительных формулах для этих касательных на-
пряжений.
    Проинтегрировав второе уравнение (1.35), получаем еще три силовых
фактора: Qх – поперечная сила в направлении х; Q у – поперечная сила в
направлении у; M  – секториальный крутящий момент:
                                           dM y
                    Qx   ЕI x ///               ,              (1.45)
                                        dz
                                       dM x
                    Qу   ЕI у ///       ,                      (1.46)
                                        dz
                                   dВ
                    M    ЕI   /// 
                                       ,                          (1.47)
                                    dz
    Примечательно, что представленные выше силовые факторы, связаны
дифференциальными зависимостями с силовыми факторами нормальных
напряжений (соответственно формулы (1.37-1.39)) при переменной z.
    Однако секториальный крутящий момент, отвечающий за «симмет-
ричные» касательные напряжения, является лишь одной из крутящей си-
ловой составляющей. Второй крутящей составляющей является крутящий
момент (третье уравнение 1.35)
                          М к  GId / .                           (1.48)
    Таким образом, общий крутящий момент будет складываться из кру-
тящего момента и секториального крутящего момента:
                      М о. к .  М к  М  .                      (1.49)
    И если физический смысл обеих составляющих формулы (1.49) не-
достаточно ясен, то смысл общего крутящего момента вполне очевиден:
это момент, образованный поперечной нагрузкой, приложенной к балке с
эксцентриситетом. Математически это выглядит так:
                                       dM о.к .
                        q( z )  e             .                 (1.50)
                                        dz
    Таким образом, как видно из формул (1.36-1.39;1.45, 1.46 и 1.49), на-
пряженно-деформированное состояние тонкостенного стержня открытого
профиля характеризуется семью внутренними силовыми факторами, кото-
рым соответствует 7 видов деформаций, представленных в табл. 1.1.


                                                                       51


                                                    Таблица 1.1
     Силовые факторы и виды деформаций при стесненном кручении

         №          Силовой фактор                              Вид деформации
         1     продольная сила N                            растяжение/сжатие
         2     поперечная сила Q х                          сдвиг по оси х
         3     поперечная сила Q у                          сдвиг по оси у
         4     изгибающий момент М х                        изгиб по оси х
         5     изгибающий момент М у                        изгиб по оси у
         6     крутящий момент М о.к.                       кручение
         7     бимомент B                                  депланация
    Вернемся к касательным напряжениям. Касательные напряжения  в
поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из на-
пряжений простого кручения           к , из касательных напряжений поперечного
изгиба в обоих направлениях (  изг( y ) и  изг( z ) ) и вторичных касательных

напряжений стесненного кручения   .
                         к   изг( x )   изг( y )    .                  (1.51)
     Характерно, что последние три составляющие  в общем случае сим-
метрично и равномерно распределены по толщине профиля (рис. 1.24) и
соответствуют второй формуле в системе (1.35), а первая составляющая,
являющаяся чистого кручения - кососимметрично (рис. 1.25) и соответст-
вует третьей формуле (1.35). Остановимся поподробнее на каждой из этих
составляющих.
     Касательные напряжения от крутящего момента Мк: вычисляются по
известной из сопротивления материалов формуле:
                                М 
                           к  к .                             (1.52)
                                 Id
    Касательные напряжения от перерезывающих сил определяются по
формуле, предложенной Д.И. Журавским:
                                               Qx S y
                                 изг( x )             .                        (1.53)
                                                I y




52


                                         Qy S x
                           изг( y )             .
                                          I x
где S х и S у статические моменты относительно осей х и у.
    Секториальные касательные напряжения от изгибно-крутящего мо-
мента:
                                   M  S
                                       .                               (1.54)
                                    I
где S  - секториальный статический момент, определяемый по формуле
(1.23).
     Отметим, что все составляющие касательного напряжения (кроме
«кососимметричной» составляющей              к ) содержат в знаменателе толщину
полки  , являющейся, по сути, коэффициентом пропорциональности, ко-
торая берется из формулы, выражающей зависимость между касательным
напряжением и сдвигающей силой
                              T   .                                     (1.55)
    При этом для касательных напряжений, так же как и для нормальных,
справедлива оговорка, что знаки слагаемых в уравнении могут быть как
положительными, так и отрицательными, в зависимости от физического их
смысла, характеризующегося эпюрами внутренних силовых факторов.
          1.3.8. Стержень под действием поперечной нагрузки, не
           проходящей через центр изгиба при различных граничных
                                    условиях
     Рассмотрим тонкостенный стержень с открытым профилем попереч-
ного сечения, имеющий на концах определенные закрепления. Выберем
начало координаты z на левой опоре (рис. 1.26, а).
     Пусть на стержень в точке z=t действует сосредоточенная поперечная
сила Р, отстоящая от центра изгиба на расстоянии е. В этом случае стер-
жень будет находиться в условиях сложного сопротивления при изгибе и
кручении. Нагрузка Р, будучи перенесена параллельно самой себе в центр
изгиба (рис. 1.26, а), вызовет в стержне напряжения, определяемые по
обычной элементарной теории изгиба. Сосредоточенный же внешний кру-
тящий момент Lt = Ре, относящий силу Р на заданное расстояние е от цен-
тра изгиба (рис. 1.26, в), вызовет в стержне дополнительные секториальные

                                                                               53


 напряжения σω и τω. Опуская расчет стержня на нагрузку, показанную на
 рис. 1.26б, и вызывающую изгиб стержня по закону плоских сечений, мы
 рассмотрим здесь расчет стержня на действие сосредоточенного крутящего
 момента Lt = Pe.




  Рис. 1.26. Стержень под действием поперечной нагрузки, не проходящей через
                                  центр изгиба
     Мы будем этот момент считать положительным, если, смотря по на-
 правлению отрицательной оси Оz (по рис. 1.26, в от опоры В к опоре А), мы
 видим, что он вращает стержень по часовой стрелке. Так как в точке z = t
 из всех четырех факторов θt, θ’t, Bt и Lt приложен только один сосредото-
 ченный фактор Lt= Ре, остальные же факторы как, внешние воздействия" в
 рассматриваемом случае нагрузки отсутствуют, то из формул (1.30) можно
 получить следующее:
         1                1                     L      1           1             1               
   0   0 / sh(kz)       Bo (ch(kz)  1)  0 ( z  sh(kz))      Pe  z  t  sh(k ( z  t )) ,   (1.56)
         k               GI d                  GI d    k          GI d           k               

                                                L0 1  ch(kz)        Pe1  ch(k ( z  t )) ,
                           1                1                       1
  /   0 / ch(kz)  k        B0 sh(kz)                                                               (1.57)
                          GI d             GI d                    GI d
             1                             1           1
        B   GI d  0 sh(kz)  B0 ch(kz)  L0 sh(kz)  Pe sh(k ( z  t )) ,
                      /
                                                                                                        (1.58)
             k                             k           k
                                    L  L0  P .                                                        (1.59)



 54


      По этим формулам величины θ,  , В и L вычисляются только для се-
                                     /


чений, расположенных справа от точки z = t, в которой приложен крутя-
щий момент.
      Здесь не следует забывать о том, что секториальная EI  и сдвиговая
GI d жесткости связаны между собой через изгибно-крутильную характери-
стику по формуле (1.32) и поэтому здесь и далее формулы для вычисления
θ,  , В могут быть записаны в различных вариантах, т.е варианты записи
     /


этих величин (1.56…1.58) не являются единственными
     Для сечений же, расположенных левее точки z = t, в формулах (1.56 -
 1.59) следует удержать члены с одними только начальными параметрами
 0 ,  0 / , В0 и L0.
     Граничные условия отражают кинематические ограничения, на-
кладываемые связями, и усилия на краю стержня. В реальных конст-
рукциях кинематические и силовые взаимодействия элементов настолько
многообразны, что охватить все случаи практически невозможно. Поэто-
му, переходя к определению начальных параметров, рассмотрим несколько
частных случаев граничных условий.
       Стержень, имеющий на концах шарнирные закрепления
    Под шарнирным закреплением стержня (рис. 1.27) мы условимся по-
нимать такое закрепление, при котором опорное сечение не имеет угла за-
кручивания (сечение закреплено от поворота относительно оси Оz) и сво-
бодно может депланировать из своей плоскости (по сечению отсутствуют
секториальные продольные силы).




            Рис. 1.27. Стержень, имеющий на концах шарнирные закрепления
      Граничные условия в этом случае будут:

                                                                           55


                           при z  0, 1)  0; 2) B  0;
                                                                     .                      (1.60)
                           при z  l , 3)  0; 4) B  0 
     Из первых двух условий непосредственно получаем
     Формулы (1.56-1.59) при этих условиях принимают вид:
         1                 1         1          1           1                
        0 / sh(kz)        L0  z  sh(kz)     Pe z  t  sh(k ( z  t ))  ,          (1.61)
         k                GI d       k        GI d          k                

                                      L0 1  ch(kz)       Pe1  ch(k ( z  t )) ,
                                  1                      1
           /   0 / ch(kz)                                                                (1.62)
                                 GI d                   GI d
                     1                1           1
                B   GI d 0 sh(kz)  L0 sh(kz)  Pe sh(k ( z  t )) ,
                             /
                                                                                             (1.63)
                     k                k           k
                                          L  L0  Pe .             (1.64)
    Полагая в выражениях (1.61 - 1.64) для θ и В координату z = l и имея в
виду, что согласно третьему и четвертому условиям (1.60) угол за-
кручивания θ и бимомент В на другом конце стержня при шарнирном уст-
ройстве опоры также равны нулю, получим:
     1 /            L  1            Pe                        1               
        0 sh(kl)  0  l  sh (kl)                   l  t  k sh(k (l  t ))  0   ,    (1.65)
     k             GI d  k          GI d                                      
           1                     1                 1
          GId sh (kl) 0  L0 sh (kl)  Pe sh(k (l  t ))  0 .
                             /
                                                                                              (1.66)
           k                     k                 k
     Решая уравнения (1.65) и (1.66), найдем:

          0 /  
                         1
                                 (l  t ) sh (kl)  l sh (k (l  t ))Pe ,                   (1.67)
                   lGI d sh (kl)
                             l t
                                  Pe L0  
                                         .                        (1.68)
                               l
    Подставляя теперь данные для θ’0 и L0 в формулы (1.61-1.64) и имея в
виду, что аналитические выражения для изгибно-крутильных факторов на
каждом участке будут различные, окончательно получим:
   для участка 0 ≤ z ≤ t :
                         Pe  l sh(kz)  sh(k (l  t ))             
                                                      kz(l  t ) ,                      (1.69)
                      kl  GI d     sh (kl)                        
                        Pe                                (l  t ) sh (kl) 
             /                 ch(kz)  sh(k (l  t )) 
                   GI d sh (kl)                                             ,              (1.70)
                                                                  l        




56


                            Pe 1
                    B               sh(kz) sh(k (l  t )) ,                    (1.71)
                            k sh (kl)
                                         l t
                                L0          Pe .                               (1.72)
                                           l
    для участка t≤z≤l
                     Pe  l  sh(kt)  sh(k (l  z ))             
                                                     kz(l  t ) ,
                  kl  GI d 
                                                                                 (1.73)
                                  sh (kl)                        
                    Pe                                   (l  t ) sh (kl) 
         /                   sh(kt)  ch(k (l  z ))                    ,
               GI d sh (kl) 
                                                                                 (1.74)
                                                                 l        
                            Pe 1
                    B               sh(kt) sh(k (l  z )) ,                    (1.75)
                            k sh (kl)
                                  t
                             L0  Pe .                              (1.76)
                                  l
     Формулы (1.69-1.76) носят общий характер и позволяют определить
кинематические и статические факторы θ, θ', В и L для любого сечения при
любом положении сосредоточенной силы Р в пролете. Фиксируя в этих
формулах сечение t и давая различные значения. Переменной z, мы можем
по формулам (1.66) и (1.67) построить для θ, θ', B и L. эпюры от внешнего
сосредоточенного крутящего момента Ре, приложенного в определенном
сечении z = t. В частности легко подстроить для θ, θ’, В и L эпюры от мо-
мента, приложенного в середине пролета. Для этого нужно в формулах
(1.69-1.72) считать t = l/2
     Если в формулах (1.69-1.76) абсциссу z считать постоянной, и абсцис-
су t – переменной, принимающей в интервале 0 ≤ t ≤ l всевозможные значе-
ния, то при этих предположениях формулы (1.69-1.76) выражают собой
уравнения линий влияния для перемещений θ и θ' и сил В и L сечения
z = const от сосредоточенного крутящего момента Ре, передвигающегося
по длине стержня.
     Зная секториальные статические факторы В и L, легко затем опре-
делить дополнительные нормальные и касательные напряжения от кру-
чения. Эти напряжения вычисляются по формулам (1.44) и (1.51)
     Если поперечная нагрузка по длине стержня меняется по величине и
положению, но остается постоянной по своему направлению, то интенсив-
ность внешнего крутящего момента в этом случае выражается формулой


                                                                                      57


                                  m  q(t )e(t ) ,                         (1.77)
где q(t) – интенсивность нагрузки,
e(t) – расстояние в сечении г от центра изгиба до этой нагрузки.
      Считая поперечную нагрузку q(t) действующей на всей длине стерж-
ня, т. е. сплошной, из формул (1.69 - 1.76) получим:
                              z                l
               ( z )    ( z, t )m(t )dt    ( z, t )m(t )dt ,         (1.78)
                              0                z

                      z                         l
            ' ( z )    ' ( z, t )m(t )dt    ' ( z, t )m(t )dt ) ,    (1.79)
                      0                         z
                          z                        l
             B( z )   B( z, t )m(t )dt   B( z, t )m(t )dt ,             (1.80)
                          0                        z
                          z                     l
             L( z )   L( z, t )m(t )dt   L( z, t )m(t )dt .             (1.81)
                          0                     z

     Здесь через θ(z, t), θ' (z, t), В (z, t) и L (z, t) обозначены функции
влияния, определяемые формулами (1.69-1.76) в зависимости от того, на
каком участке (по отношению к сечению z = const) расположена нагруз-
ка m(t)=q(t)е(t), влияние которой учитывается. Функции влияния, стоя-
щие в первых слагаемых выражений (69), определяются формулами (1.69-
1.72); для функций влияния во вторых слагаемых служат формулы (1.73-
1.76). Считая в формулах (1.78-1.81) т величиной постоянной, что имеет
место (например, в случае е = const и q = const), и, выполняя интегриро-
вание, получим формулы для значений θ, θ', В и L, получающихся в про-
извольном сечении под влиянием равномерно распределенного внешнего
крутящего момента.
     Эти формулы имеют следующий вид:
                                              l         
                          k 2           ch(k (  z )) 
                    m                          2
               2        z (l  z )                1 ,               (1.82)
                 k  GI d  2                   kl       
                                            ch
                          
                                                2       
                                                         
                                               l       
                                          sh(k (  z )) 
                         m  l                  2
                  '       k (  z )                 ,                (1.83)
                        kGId  2                 kl     
                                             ch
                             
                                                 2     
                                                        


58


                                               l       
                                         ch (k (  z )) 
                                 m             2
                            B   2 1                  ,                            (1.84)
                                 k              kl     
                                             ch
                                    
                                                 2     
                                                        
                                            l
                                    L   m(  z ) .                                   (1.85)
                                            2
              Стержень, концы которого жестко заделаны
    Рассмотрим теперь стержень, опорные сечения которого закреплены
от перемещений, как в плоскости этого сечения, так и из плоскости. Это
значит, что опорные сечения не только не имеют углов закручивания, но
также не могут перемещаться из своей плоскости. Граничные условия в
этом случае будут:
                 при z  0, 1)  0; 2) '  0;
                                                 .             (1.86)
                  при z  l , 3)  0; 4) '  0 




         Рис. 1.28. Стержень под действие поперечной нагрузки, не проходящей
                                   через центр изгиба
         Первые два условия дают θ0=0; θ /0=0.
      Остальные параметры Во и L0 определяются последними двумя усло-
виями (1.86), относящимися к другому концу стержня. Раскрывая эти ус-
ловия при помощи общих выражений для θ и θ /, на основании дифферен-
циальных уравнений равновесия (1.30), и принимая во внимание, что θ0=0
; θ /0=0 , получим:
     1                       1      1              1           1              
        (ch (kl)  1) B0      L0  l  sh (kl)     Lt l  t  sh(k (l  t ))  0 ,   (1.87)
    GI d                    GI d  k              GI d          k              

    
        1 1
               sh (kl) B0 
                             1
                                 1  sh (kl)L0  1 1  ch(k (l  t ))Lt  0 .          (1.88)
        k GI d              GI d                  GI d
         Из этих уравнений находим:




                                                                                            59


                          1         1            1
     t  (l  t )ch (kl)  sh(kt)  sh (kl)  sh(k (l  t ))  l ch(k (l  t ))
B0                       k         k             k                             Lt , (1.89)
                             2ch (kl)  kl  sh (kl)  2


                 1  sh (kl)  k (l  t )  ch (kl)  ch (kt)  ch(k (l  t ))
          L0                                                                  Lt .           (1.90)
                                  2ch (kl)  kl  sh (kl)  2
     Формулы (1.30) при условиях (1.86) принимают следующий вид:
на участке 0≤z≤t :
                    1                       1           1
                     B0 (ch (kz)  1)       L0 ( z  sh (kz)) , (1.91)
                   GI d                    GI d         k
                                 1                 1
                      '  k        B0 sh (kz)       L0 (1  ch (kz)) ,                   (1.92)
                                GI d              GI d
                                                1
                                B  B0ch (kz)      L0 sh (kz) ,                            (1.93)
                                                k
                                           L  L0 ;                                         (1.94)
на участке t≤z≤l:
         1                       1           1            1               1
          B0 (ch (kz)  1)       L0 ( z  sh (kz))       Lt ( z  t  sh (k (l  t ))) , (1.95)
        GI d                    GI d         k           GI d             k

       '  k
                  1
                      B0 sh (kz) 
                                    1
                                        L0 (1  ch (kz)) 
                                                            1
                                                                1  ch (k (l  t ))Lt ,   (1.96)
                 GI d              GI d                    GI d
                                        1             1
                    B  B0ch (kz)        L0 sh (kz)  Lt sh (k ( z  t )) ,                (1.97)
                                        k             k
                                         L  L0  Lt .                                      (1.98)
    Здесь В0 и L0 – начальные параметры, зависящие при заданных разме-
рах стержня только от положения крутящего момента по длине стержня.
Эти параметры вычисляются по формулам (1.89;1.90).
    Рассматривая выражения (1.91-1.98) как функции влияния, мы можем
аналогично предыдущему случаю определить изгибно-крутильные факто-
ры от любой сплошной нагрузки.
    При равномерно распределенной крутящей нагрузке m = qе = const,
действующей на всей длине стержня, формулы для перемещений θ и θ' и
усилий В и L принимают следующий вид:



60



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика