Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    изгиба, равны нулю. Положение центра изгиба определяется на основании
секториальной площади.
    Координаты центра изгиба (в главных центральных осях) определя-
ются по формулам
                         1
                     x    ( y, x) ydydx ;                    (1.16)
                         Ix 
                             1
                        y        ( y, x) xdydx ,
                             Iy 
                                                                 (1.17)

где  ( х, y) – функция кручения Сен-Венана. Эта функция является гар-
монической в области  (  0) и на границе удовлетворяет условию
                     
                         у  cosnх   х  cosnу             (1.18)
                     n
и, кроме того,
                               
                              n ds  0 .                       (1.19)


                   Секториальные характеристики
    В связи с появлением седьмой степени свободы возникают следую-
щие геометрические характеристики стержня:
секториальный статический момент инерции

                       S      dF
                               F
                                           [см4] ,               (1.20)

секториально-линейные моменты площади

                      Uх      ydF
                              F
                                           [см5] ,               (1.21)


                     Uу       xdF
                              F
                                             [см5] ,             (1.22)

секториальный момент инерции

                         I     2 dF [см6] ,                  (1.23)
                               F

где  ( y, z ) – секториальная площадь.


                                                                     41


    Ввиду того, что секториальная площадь не является постоянной ха-
рактеристикой поперечного сечения, характеристики (1.20 - 1.23) также не
будут являться постоянными по сечению, и для вычисления напряжений и
деформаций необходимо использовать их текущее значение в рассматри-
ваемой точке.
            1.3.4. Секториальные координаты и секториальные
               геометрические характеристики в швеллере
    Пусть b и δ1 – соответственно ширина и толщина полок, а h и δ – ши-
рина и толщине стенки швеллера (рис.1.14). Центр изгиба для швеллера
лежит на оси симметрии Ох. Расстояние до этого центра от стенки опреде-
ляется по формуле (1.16).




 Рис.1.14. Поперечное сечение швеллера            Рис. 1.15. Эпюра ординат
      На рис. 1.16 приведена эпюра секториальных площадей ωв с полюсом
в точке В пересечения стенки с осью симметрии, на рис. 1.15 дана эпюра
ординат у. Интегрируя эпюру ωВ с эпюрой у и учитывая толщину полки δ1,
получим:
                                     h 2 b 2 1
                         B y dF   4 .                               (1.24)

    Момент инерции Iх вычисляется как интеграл из квадрата эпюры ор-
динат у, помноженного на дифференциал площади сечения dF . Имеем:




42


                                h3 h 2b1
                         Ix             .                            (1.25)
                                12     2
Подставляя выражения (1.24) и (1.25) в формулу (1.16) получим:
                                    b 2 1
                          x  
                                       h .                      (1.26)
                               2b 1 
                                        3
    Эпюра главных секториальных площадей ω представлена на рис 1.17.
Началом отсчета площадей служит точка В, лежащая на оси симметрии.
Секториальные площади для точек стенки, лежащих ниже оси Ох, будут
иметь положительные значения, поскольку эти площади описываются
движением радиус-вектора АМ по часовой стрелке. Секториальиые площа-
ди для стенки по мере удаления от начальной точки возрастают. В точке
примыкания полок к стенке эти площади достигают наибольших значений,
что указывает на то, что при кручении в углах швеллера будут возникать
наибольшие (дополнительные) напряжения.




Рис.1.16. Эпюра секто-    Рис. 1.17. Эпюра главных   Рис. 1.18. Эпюра сектори-
 риальных координат       секториальных координат     альных статических мо-
                                                               ментов
     Секториальная площадь для полок по мере удаления от стенки убыва-
ет и в точке С, находящейся от стенки на расстоянии, равном расстоянию
до центра изгиба от стенки, принимает нулевое значение. Относительно
оси симметрии ОА эпюра секториальных площадей имеет антисимметрич-
ный вид.



                                                                            43


    Секториальный момент инерции Jω вычисляется как интеграл из квад-
рата эпюры ω, помноженного на dF. Пользуясь приемами строительной
механики, получим:

                     I 
                         1
                           b  3 x 1b 2 h 2   x2 I x .     (1.27)
                         6
     Ix - момент инерции относительно оси Ох определяется по формуле:
                                 h3 h 2b1
                            Ix            .                          (1.28)
                                 12     2
     На рис. 1.18 приведена эпюра секториальных статических моментов
Sω, характеризующих распределение по сечению сдвигающих усилий Т=τδ
от кручения.
     Эти моменты на каждом прямолинейном участке контура меняются
по закону квадратной параболы и принимают максимальные (по абсолют-
ной величине) значения в тех точках, где секториальные площади ω равны
нулю.
     1.3.5. Система дифференциальных уравнений равновесия стержня
     Пусть    ( z, s) и    ( z, s) соответственно нормальные и касатель-
ные напряжения, действующие в точке M ( z, s) поперечного сечения стерж-
ня; H  H (z) – крутящий момент, приходящийся на все поперечное сечение
z  const и получающийся только от разности касательных напряжений в
крайних точках стенки.




                Рис. 1.19. Равновесие элементарной пластинки
    В [2] выводится следующая система дифференциальных уравнений
равновесия стержня:




44


           ЕF //  q z  Т К  Т L  0
          
           ЕI  IV  q  p z xds Т / x  Т / x  0
               y         x    z
                              
                                            L    L K    К

          
                                p z                               (1.29)
           ЕI x  q y   z yds Т L y L  Т K y К  0
                   IV                          /     /


                             

                                         p z
           ЕI   GI d   m   z ds Т L  L  Т K  К  0
                    IV         //                     /    /

                                       

     Свободные члены уравнения системы (1.29) определяются внешней
поверхностной нагрузкой, дающей в общем случае компоненты по всем
трем взаимно перпендикулярным направлениям, и сдвигающими усилия-
ми, действующими вдоль продольных краев стержня. Эти свободные чле-
ны представляют собой заданные функции p z  p z ( z, s) – проекции интен-
сивности внешней нагрузки на ось z; эта проекция в общем случае зависит
от двух переменных z и s. Т K  Т K (z) и Т L  Т L (z) – сдвигающие усилия,
приложенные по продольным краям стержня.
    Если продольные края стержня свободны от сдвигающих сил и по-
верхностная нагрузка для произвольной точки (z,s) выражается вектором в
плоскости Оху, то ТК=ТL=0, qz=0 и система уравнений принимает следую-
щий вид (1.30):
                   ЕF //  0
                  
                   ЕI y  q x  0
                           IV

                                                                    (1.30)
                   ЕI x  q y  0
                           IV

                  
                   ЕI   GI d   m( z )  b ( z )  0
                            IV      //          /


где qх и qу – интенсивности погонных поперечных нагрузок; m(z ) – интен-
сивность внешнего крутящего момента от поперечных нагрузок qх и qу от-
носительно центра изгиба; b(z ) – интенсивность внешних распределенных
бимоментов.
    Первым из уравнений системы (1.30) определяются продольные пере-
мещения  (z ) от продольной сжимающей или растягивающей силы, при-
ложенной по концам стержня и распределенной по сечению равномерно.
Второе и третье уравнения относятся к поперечному изгибу стержня. Эти-
ми уравнениями и граничными условиями определяются прогибы  (z ) и
 (z ) линии центров изгиба в главных плоскостях стержня.



                                                                          45


     Последнее из уравнений (1.30) вместе с граничными условиями по-
зволяют определить углы закручивания  (z ) .
     Четвертое уравнение системы (1.30) можно представить в виде:
                                          m( z )  b I ( z )
                        IV  k 2 II                       ,               (1.31)
                                               EI 
где k – изгибно-крутильная характеристика стержня, обозначенная как
                                          GI d
                                 k                                          (1.32)
                                          EI 
И являющаяся, по сути, характеристическим числом четвертого уравнения
дифференциального равновесия системы (1.30).
    Решение уравнения (1.31) имеет вид:
                            a  f 0 ( z)  f ( z) ,                          (1.33)
где f 0 ( z ) – общий интеграл однородного дифференциального уравнения,
соответствующего (1.31), равный
                  f 0 ( z)  Ashkz1  Bchkz  Cz  D ;                       (1.34)
f (z ) – частный интеграл уравнения (1.31), зависящий от характера загру-
жения стержня.
    Произвольные постоянные интегрирования А, В, С, D зависят от гра-
ничных условий. Решения уравнения (1.31) с использованием метода на-
чальных параметров получены Власовым В.З. [2]. Определены значения
реакций в связях на угол закручивания и депланацию для стержня с кон-
цами, закрепленными от закручивания и депланации при заданных еди-
ничных углах закручивания и депланации по концам стержня.
    Подробнее о граничных условиях описано в главе 1.3.8.
          1.3.6. Общий случай нагружения тонкостенного стержня.
                      Бимомент. Нормальные напряжения
     Определив функции  (z ) ,  (z ) ,  (z ) и  (z ) из системы уравнений (1.30)
мы можем найти нормальные и касательные напряжения, а также крутя-
щие моменты, возникающие в поперечном сечении стержня. Для этих на-
пряжений и моментов в случае ТК=ТL=0, qz=0 мы имеем следующие выра-
жения:




46


               Е ( /   // х   // у   // )
             
                          S y ( s)        S (s)         S ( s)
               Е (                /// x       ///  )
                       ///
                                                                  (1.35)
                                                        
             М к  GI d /
             
Где х и у – координаты точки поперечного сечения относительно главных
осей, а функция ω взята в соответствии с главной эпюрой секториальной
площади.
     При поперечном изгибе тонкостенного стержня в его сечении преоб-
ладающими остаются нормальные напряжения σ, ими в основном опреде-
ляется прочность стержня. Нормальные напряжения в сечении умножаем
это выражение последовательно на dF, xdF, ydF, wdF и интегрируем по
площади поперечного сечения. При этом учитываем, что оси x и y – глав-
ные, а эпюра ω – эпюра главной секториальной площади. Получаем
                           N = EF  / ,                         (1.36)
                               My=EIy  // ,                      (1.37)
                               Mx=-EIx  // ,                   (1.38)
                          Bω=-EIw  .      //
                                                                (1.39)
     В формуле 1.39 через Вω обозначена новая силовая характеристика,
определяемая выражением и называемая бимоментом. Размерность бимо-
мента: единица силы, умноженная на квадрат единицы длины. Таким обра-
зом, единицы измерения бимомента могут быть кгс см2, тс м2 и др. В от-
личие от уже известных внутренних силовых факторов бимомент является
самоуравновешенным фактором и из условий равновесия отсеченной части
стержня быть определен не может.




                Рис. 1.20. Иллюстрация действия бимомента
    Бимомент характеризует изменения, вносимые в линейные зоны рас-
пределения напряжений депланации сечения и, по сути, является парой
моментов, направленных в противоположные стороны (рис. 1.20) или че-


                                                                      47


тырьмя силами, что проиллюстрировано на рис. 1.21, где в качестве при-
мера внецентренно сжимающая сила статически представлена как супер-
позиция четырех силовых факторов: продольной нагрузки N , изгибающих
моментов М х и М e и бимомента B :
                      N  P,                                    (1.40)
                          Pb
                     Мe     ,                                  (1.41)
                           2
                          Pb
                     Мe     ,                                  (1.42)
                           2
                            Pbh
                     B        .                               (1.43)
                             4




      Рис. 1.21. Иллюстрация статического разложения внецентренно
                           сжимающей силы
    Иными словами, внецентренное сжатие заменяется на совокупность
четырех видов деформаций: центральное сжатие, изгибы в одной и другой
плоскости и депланацию.
    Как видно из первого уравнения 1.35 и формул 1.40-1.43, трехчленная
формула нормальных напряжений, справедливая при принятии гипотезы
плоских сечений, при учете депланации и добавлении четвертого слагае-
мого приобретет следующий вид:
                           P M      M y B
                        х               .                    (1.44)
                           F Wx W y W


48


    Первые три слагаемых в правой части формулы (1.44) соответствуют
обычной теории сложного сопротивления, базирующейся на гипотезе пло-
ских сечений. Последний член этой формулы определяет величину допол-
нительных секториальных напряжений   :
                                        B
                                        ,                         (1.44)
                                        W
которые возникают вследствие переменной по длине депланации сечения.
Напряжения   распределяются в сечении по закону секториальной коор-
динаты ω (см. рис.1.22 и 1.23), образуют самоуравновешенную систему
внутренних усилий, приводящуюся к двум равным противоположно на-
правленным парам.




 Рис.1.22. Эпюра секториальных      Рис. 1.23. Эпюра распределения состав-
      координат в швеллера           ляющей нормальных напряжений от
                                             бимоментов швеллере

    При этом следует сделать оговорку, что знаки слагаемых в уравнении
могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от
физического их смысла, характеризующегося эпюрами внутренних сило-
вых факторов.
     Предпосылки о касательных напряжениях: в любой точке попереч-
ного сечения касательные напряжения параллельны касательной к про-

                                                                             49


фильной линии (рис. 1.22), по толщине стенки касательные напряжения
линейно переменны (рис. 1.23).
                    1.3.7. Касательные напряжения в сечении




     Рис.1.22. Распределение касательных     Рис.1.23. Кососимметричные каса-
      напряжений по толщине профиля                 тельные напряжения

     При этих допущениях они разлагаются на два вида напряжений: сим-
метрично распределенные по толщине стенки и кососимметричные (рис.
1.24 и 1.25)




Рис.1.24. Кососимметричные касатель-       Рис.1.25. Симметричные касательные
           ные напряжения                              напряжения



50



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика