Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    четные данные по определению центра изгиба. Эти данные автором полу-
чены на основании разработанного метода Тимошенко. Центр изгиба по
Тимошенко определяется как точка пересечения равнодействующих эле-
ментарных касательных напряжений при изгибе балки в главных плоско-
стях.
     Помимо статей Майара в период с 1921 по 1926 года в иностранной
технической литературе были напечатаны работы Циммермана, Зонтага,
Эгеншвилера и Вебера. Из них наиболее интересной является работа Вебе-
ра, в которой автор кроме метода определения центра изгиба дает обобще-
ние результатов Тимошенко по кручению двутавровой балки и метод оп-
ределения дополнительных нормальных напряжений при кручении для
двухполочных профилей (двутаврового с разными полками, швеллерового
и зетового). В этой же работе автор обратил внимание на связь между цен-
тром изгиба и центром кручения, т.е. точкой сечения, которая при круче-
нии не перемещается. Он доказал, что обе эти точки при кручении, сопро-
вождаемом изгибом полок профиля, совпадают. Вопросом нахождения
центра изгиба занимался также академик Б.Г. Галеркин.
     Во всех перечисленных работах центр изгиба определялся в зависи-
мости только от формы поперечного сечения. Упругие характеристики ма-
териала при этом не учитывались.
     Отклонение от закона плоских сечений при кручении тонкостенных
стержней, сопровождаемом изгибом отдельных элементов, играет сущест-
венную роль не только в вопросах прочности, но также и в вопросах ус-
тойчивости. Экспериментальные исследования, проделанные как россий-
скими, так и зарубежными авторами, показывают, что во многих случаях
экстремальными формами потери устойчивости, т.е. формами, дающими
наименьшее значение для критической силы, являются крутильные или (в
более общем случае) изгибо-крутильными.
     Так, например, опыты над дюралюминиевыми авиационными стерж-
нями, проделанные в ЦАГИ в 1934 году, показали, что стержни коробчато-
го сечения с открытым профилем, как правило, теряют упругую устойчи-
вость вследствие закручивания, причем потеря устойчивости происходит
при значениях сил, которые значительно меньше теоретических значений,
полученных по формулам Эйлера.



                                                                      31


     Вопросом устойчивости тонкостенных авиационных стержней зани-
мался немецкий инженер Вагнер; в 1934 году он совместно с Претчером
опубликовал теоретическую работу, в которой были даны формулы для
определения критических сил при потере устойчивости авиационных
стержней в форме закручивания. При выводе своих формул для дополни-
тельных нормальных напряжений от кручения Вагнер пользуется законом,
аналогичным закону секториальных площадей, выведенному В.З. Власо-
вым в 1936 году для профилей произвольного очертания (раздел 1.3 и [2]).
Следует отметить, что Вагнер при рассмотрении деформации кручения до-
пускает принципиальную ошибку, считая, что центр кручения при потере
устойчивости совпадает с центром изгиба. В действительности же центр
кручения, как правило, не совпадает с центром изгиба. Совпадение полу-
чается только в одном частном случае поперечного сечения стержня, а
именно когда центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. По этой
причине формула Вагнера применима только для стержней, имеющих в
сечении две оси симметрии.
     Из советских исследователей вопросом устойчивости авиационных
стержней занимался инженер Знаменский (в связи с экспериментальными
исследованиями ЦАГИ, опровергающими теорию продольного изгиба). В
1934 году им была напечатана статья, в которой на основе метода Ритца-
Тимошенко были даны приближенные формулы для определения критиче-
ской силы от продольного закручивания. Однако формулы Знаменского
имеют те же пределы применимости, как и формулы Вагнера, поскольку и
Знаменский при выводе своих формул исходит из предположения, что
центр кручения в момент потери устойчивости совпадает с центром изги-
ба.
     В 1936 году появилась работа Блейха, посвященная вопросу кручения
и устойчивости тонкостенных профилей. В этой статье, исходя по сущест-
ву из гипотезы о недеформируемости контура сечения и пользуясь энерге-
тическим методом, Блейх приходит, в конечном счете, к системе трех
дифференциальных уравнений, относящихся к случаю центрального сжа-
тия. Метод, изложенный в этой статье, по мнению других исследователей
[2] содержит ряд ошибок.
     Одна из основных ошибок заключается в том, что авторы, упуская из
виду несоблюдение при кручении закона плоских сечений, заменяют за-

32


данные в поперечном сечении нормальные напряжения равнодействующей
и принимают ее за сосредоточенную силу, приложенную в центре тяжести.
Вследствие такой замены в одном из уравнений, приведенных в статье
Блейха, а именно в уравнении, выражающем равновесие стержня при вра-
щении относительно продольной оси в последнем (диагональном) члене не
содержится продольной силы, что приводит к потере одного из трех кор-
ней соответствующего детерминантного уравнения и дает для двух других
корней неправильные результаты.
     Вторая основная ошибка заключается в том, что авторы применяют
свое решение также и к замкнутым профилям, которые являются по суще-
ству многосвязными контурами.
     И все-таки наибольший вклад в развитие теории тонкостенных стерж-
ней внес профессор, доктор технических наук, член-корреспондент Акаде-
мии наук СССР, лауреат Государственной премии, Василий Захарович
Власов (1906-1958), о работе которого будет рассказано в следующей гла-
ве.

         1.3. ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАСЧЕТА
              ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ В.З. ВЛАСОВА
     Техническая теория тонкостенных стержней открытого профиля по-
строена на следующих геометрических гипотезах:
    - стержень рассматривается как оболочка, обладающая в плоскости
    поперечного сечения жестким контуром;
    - деформации сдвига в срединной поверхности отсутствуют.
      1.3.1. Стесненное кручение тонкостенного стержня открытого
                                   профиля
    В задачах о кручении стержня круглого или кольцевого поперечного
сечения последние рассматриваются, как жесткие диски. Главным основа-
нием такой предпосылки служат лабораторные испытания.
    Аналогичные наблюдения и замеры деформаций показывают, что по-
перечные сечения некруглой формы в процессе закручивания стержня ис-
кривляются – депланируют. И таким образом, оснований для введения ги-
потезы плоских сечений нет.
    Депланация прямоугольного сечения показана на рис. 1.10, а. На этом
рисунке поверхность, которую представляет собой депланированное сече-

                                                                     33


ние, состоит из восьми треугольных областей, разделенных осями симмет-
рии прямоугольника и его диагоналями. Знаки депланаций в соседних об-
ластях различны: выпуклые области соседствуют с вогнутыми.
     Депланацию сечений тонкостенных стержней закрытого профиля ил-
люстрирует рис. 1.10, б, открытого – рис. 1.10, в. Прямолинейные участки
сечений остаются прямолинейными, но выходят из начальной плоскости.
Знаки продольных смещений углов различны: один наружу, соседний
внутрь.




           а)                          б)                         в)
 Рис. 1.10. Депланация сечений: а) – сплошного сечения; б) – закрытого тонко-
                  стенного профиля; в) – открытого профиля

    Если продольные перемещения точек происходят беспрепятственно
(свободная депланация), то нормальные напряжения в сечении не возни-
кают. В таком случае кручение называют свободным или чистым. Если же
депланация стеснена, то в поперечных сечениях наряду с касательными
возникают и нормальные напряжения, и кручение носит название стеснен-
ного (рис.1.11).
    Решение задачи о кручении стержня с сечением некруглой формы ос-
новано на более общих геометрических предпосылках и сводится к срав-
нительно сложным уравнениям теории упругости, которые будут рассмот-
рены в следующих разделах.
     Итак, под стесненным кручением понимается такое кручение, при
котором депланация сечений ограничена. К примеру, для защемленного
одним концом тонкостенного стержня (рис. 1.11) перемещения для всех


34


точек сечения в заделке равны нулю. По мере удаления от этого сечения
депланация и удельный угол закручивания возрастают.




                 Рис. 1.11. Стесненное кручение стержня
     Как было показано в разделе 1.2, в наибольшей степени вышеописан-
ное явление опасно для балок, имеющих несимметричный профиль отно-
сительно оси нагружения: несовпадение центра тяжести сечения с центром
изгиба (рис.1.4, а) вызывает изгибное кручение и депланацию поперечного
сечения.
    Задача о кручении стержня с математической точки зрения аналогична
другой задаче – деформации гибкой упругой мембраны под равномерным
давлением.
    Эта аналогия устанавливает, что, если в жесткой невесомой пластинке
вырезать отверстие, повторяющее сечение стержня, подверженного круче-
нию, затянуть это отверстие пленкой, нагрузить пленку давлением, то на-
правление касательного напряжения в рассматриваемой точке сечения
стержня совпадает с касательной к линии уровня (параллельной плоскости
пластины) изогнутой поверхности пленки в соответствующей точке.
    Величина касательного напряжения пропорциональна тангенсу угла
между линией наибольшего ската (касательной к пленке и перпендикуляр-
ной линии уровня) и плоскостью отверстия.
    Отмеченные положения мембранной аналогии позволяют:
    - установить направление потока касательных напряжений;
    - представить картину распределения напряжений;
    - выявить опасные точки.



                                                                     35


     Полученная таким образом информация предоставляет возможность в
отдельных случаях ввести необходимые предпосылки и решить задачу.
Часто пользуются готовыми решениями теории упругости. В итоге появля-
ется возможность вычисления напряжений и деформаций, проверки проч-
ности материала и жесткости стержня.
                      1.3.2. Секториальная площадь
    Для того чтобы изучить напряженно-деформированное состояние при
изгибном кручении, необходимо подробно знать геометрические свойства
сечений и, в частности, так называемые секториальные характеристики
тонкостенных профилей.
    Эти характеристики используются только для тонкостенных стержней
и определяются на основе понятия секториальной площади. Определение
этих характеристик приведено в следующей главе.
    Секториальная площадь представляет из себя удвоенную площадь,
описываемую радиус-вектором РА при движении точки А по контуру от
начала отсчета О до некоторого значения дуги s. Если радиус-вектор вра-
щается по часовой стрелке, приращение площади ds имеет знак плюс, про-
тив часовой стрелки – минус. Секториальная площадь является функцией
дуги s и зависит от начала отсчета s и положения полюса Р (рис. 1.12).

                                s
                              rds,                            (1.1)
                                0

где:
ω – секториальная площадь;
r – радиус-вектор;
s – дуга.
     При переносе полюса секториальная площадь меняется на величины,
линейно зависящие от координат x и y. Изменение начала отсчета дуги s
(точки О) меняет секториальную площадь во всех точках контура на по-
стоянную величину, поскольку меняется нижний предел интеграла.




36


              Рис. 1.12. Определение секториальной площади


       1.3.3. Геометрические характеристики поперечного сечения
    Итак, введение нового вида деформации (депланации) и разделение
крутильных деформаций для их определения предполагает введение новых
геометрических характеристик, базирующихся на секториальной площади.
Остановимся более подробно на них, но для начала дадим краткое опреде-
ление остальных геометрических характеристик, не зависящих от сектори-
альной площади и используемых при принятии гипотезы плоских сечений.

                        Моменты инерции
    Вычисление части геометрических характеристик (например, площа-
ди, моментов инерции, положения центра тяжести) представляет собой
вычисление моментов области (  ), которую покрывает сечение, то есть
вычисление величин вида
                    pq    y       х q dydх .
                                 p
                                                                     (1.2)
                            

    Например, при p  q  0 мы получаем площадь сечения А.
     Часто требуется вычисление моментов, нормализованных площадью
(А), то есть величин вида
                           pq   pq / A .                   (1.3)
    При этом величины  01 и 10 определяют центр тяжести сечения.


                                                                        37


     При p  q  2 представляют интерес центральные моменты
                      pq    y  10  p х   01  dydх .
                                                            q
                                                                                       (1.4)
                                

     Величины  20 ,  02 , 11 представляют собой соответственно централь-
ные моменты инерции относительно осей Z, Y и центробежный момент
инерции.

        Главные моменты инерции, угол наклона главных осей
      Главные моменты инерции вычисляются по формуле
                                I        Iх       Iy  Iх 
                                                   
                                                            2

                                                    2   I yх .
                                     y                          2
                     Iu                                                               (1.5)
                                        2                   
     Угол наклона главных осей инерции:
                                I         
                                          
                       arctg       yх
                                                                  (1.6)
                                I y  Iu 
                                             .
                                           
                                         

    В последней формуле для нахождения угла оси наибольшего момента
инерции в правую часть нужно подставлять I u , для нахождения угла на-
клона оси наименьшего момента инерции следует подставлять I .
                                          Радиусы инерции

                     Iy                       Iz                Iu          Iv
              iy             ; iх              ; iu             ; iv 
                                                                                      (1.7.1)
                      A                       A                 A           A .
                    Моменты сопротивления
Осевые моменты сопротивления
                Iu            Iu           Iv           I
      Wu            Wu          Wv          Wv  v                             (1.7.2)
               vmax ;        vmin ;       u max ;      u min                      ,

где umax , u min , vmax , vmin – соответственно максимальные и минимальные рас-
стояния от точек внешней границы сечения до осей U, V (по одну и другую
стороны).
Полярный момент сопротивления
                               Iy  Iх
                          W          .                           (1.8)
                                                     max


38


где  max – максимальное расстояние от точек сечения до центра масс.
    Величина I y  I х называется полярным моментом инерции.
                                Ядровые расстояния
                       Wu           Wu           Wv          Wv
              au          ; au        ; av       ; av       .    (1.9)
                        A             A             A            A
                        Жесткость кручения
    Рассмотрим в области  функцию  ( х, y) (функцию напряжений или
функцию Прандтля), которая удовлетворяет уравнению
                                       2  0                         (1.10)
и, кроме того,   0 на границе области  в том случае, когда  является
односвязной. В случае многосвязной области (при наличии отверстий)
предполагается, что   0 на внешней границе области  , а на каждой из
внутренних границ ( Li , i  1,...n) функция напряжений постоянна, причем
постоянные U i (i  1,...n) таковы, что выполнены соотношения
                                     
                                 n ds  2
                                Li
                                                    i   ,               (1.11)

где  i - площадь области, ограниченной контуром Li .
    Величина
                                                      n      
                       I d  2   х, у dх  dу  U i  i 
                                                                      (1.12)
                                                   i 1     
называется моментом инерции при кручении.




            Рис. 1.13. Поперечное сечение. Иллюстрация для определе-
            ний геометрических характеристик


                                                                             39


                   Площади сечения при сдвиге
    Предположим, что на рис. 1.13 изображено сечение, причем оси Х,Y
являются главными.
    Пусть
                                уt

                        Q( у )   nb(n)dn .                      (1.13)
                                у

     Сдвиговой площадью относительно оси Y называется величина
                                 2
                                Ix
                           yt
                              Q( у ) 2 .                          (1.14)
                            b( у) dy
                           yb

     Аналогично определяется сдвиговая площадь относительно оси Z.
               Пластические моменты сопротивления
     Обозначим через  область сечения. Пусть  2 - часть области  , ле-
жащая по одну сторону от главной оси U. Пластическим моментом сопро-
тивления сечения при изгибе относительно оси U называется величина

                        W pl,u  2  vd .                        (1.15)
                                     2

     Аналогично определяется пластический момент W pl,u относительно
главной оси V.
                             Центр изгиба
    Существует такая точка, относительно которой момент касательных
сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю. Эта точка называется
центром изгиба. Если момент касательных сил в сечении относительно
центра изгиба равен нулю, то и момент внешних сил относительно центра
изгиба должен быть равен нулю, иначе в брусе возникнут деформации,
свойственные не только поперечному изгибу, но и кручению. Поэтому
очевидно целесообразно при определении внутренних силовых факторов
приводить касательные силы в сечении не к центру тяжести, а к центру из-
гиба и под крутящим моментом понимать соответственно внутренний мо-
мент относительно центра изгиба. Секториально-линейные моменты отно-
сительно главных центральных осей и полюса, совпадающего с центром



40



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика