Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
          Расстояние между поперечными ребрами не должно превышать 3hef,
где hef – расстояние между краями выкружек стенки профиля.
      Расчет на устойчивость стенок изгибаемых элементов двутаврового
сечения из спаренных швеллеров, укрепленных поперечными ребрами же-
сткости, при отсутствии местного напряжения и условной гибкости
  6 следует выполнять по формуле:

                                2  2
                           (        )  ( )  0,8 ,                               (1.239)
                                сr       cr
где
                                             30 Ry
                                  сr                                            (1.240)
                                              2
                                        hef     Ry
                                                           (1.241)
                                t  F
    Расчет на устойчивость стенок изгибаемых элементов (кроме перфо-
рированных профилей), не укрепленных поперечными ребрами, под мест-
ной нагрузкой или на опорах, следует выполнять по формуле:
                                              r              b              h
              Pn  Ct 2 R y sin  (1  C r      )  (1  C b   )  (1  C h   )     (1.242)
                                              t              t              t
где Рn – критическая нагрузка потери местной устойчивости стенки про-
      филя без перфорации;
     C – коэффициент по табл. 1.2;
     Cr – коэффициент, зависящий от радиуса изгиба r ≤ 12;
     Cb– коэффициент, зависящий от ширины опоры «в» при b ≥ 19мм.;
     Сh – коэффициент, зависящий от гибкости стенки, равной h / t ≤ 200;
     α– угол между стенкой и плоскостью опоры, 45º ≤ α ≤ 90º.
     Коэффициент надежности для определения силы Рn принимается рав-
ным 0,8.
                                                           Таблица 1.2
  Условия Условия приложения нагруз-                           Примеча-
                                          С    Сr Cb Cn
 на опорах        ки на профиль                                   ние
  Профиль Нагрузка (реак-
                              Крайняя
 закреплен ция) на одну                   4 0,14 0,35 0,02       r/t≤9
                               опора
  на опоре полку профиля

                                                                                       121


                                 Средняя
                                                     13 0,23 0,14 0,01     r/t≤5
                                  опора
                                 Крайняя
            Нагрузка (реак-                          7,5 0,08 0,12 0,048 r / t ≤ 12
                                  опора
              ция) на две
                                 Средняя
            полки профиля                            20   0,1 0,08 0,031 r / t ≤ 12
                                  опора
                                 Крайняя
            Нагрузка или                             4    0,14 0,35 0,02   r/t≤5
                                  опора
           реакция на одну
Профиль                          Средняя
           полку профиля                             13 0,23 0,14 0,01
не закреп-                        опора
  лен на                         Крайняя
                                                     13 0,32 0,05 0,04     r/t≤3
  опоре      То же на две         опора
           полки профиля         Средняя
                                                     24 0,52 0,15 0,001
                                  опора

     Если изгибаемый элемент состоит из двух и более профилей, критиче-
ская нагрузка смятия его стенки на опорах определяется как n·Pn, где n –
 количество профилей.
     Расчетную ширину сжатых полок bef при проверке устойчивости сле-
дует принимать равной расстоянию от края выкружки стенки до края пол-
ки или выкружки окаймляющего ребра при условии, что
                               р  0,673                                   (1.243)
где
                                     bef      max
                        р  1,052                                           (1.244)
                                      t      Ek1
       max – максимальное напряжение в полке;
    k1 – коэффициент, зависящий от граничных условий на продольных
краях полки;
    k1=4 – для полок с окаймляющим ребром, высотой не менее 0,3bef.
      При  р  0,673 расчетную ширину сжатых полок и стенок следует оп-
ределять с учетом местной потери устойчивости по формуле:
                              bef 1  bef                                   (1.245)
где ρ – редукционный коэффициент равный


122


                       ρ=1 при  p  0,673
                                                                (1.246)

                               0,22
                          1
                               p                               (1.247)
                                    при  p  0,673
                           р

      1.7. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ
                         ПРОФИЛЕЙ
     До сих пор мы рассматривали вопрос несущей способности стальных
тонкостенных стержневых элементов лишь с точки зрения напряженно-
деформированного состояния, предполагая, что рассматриваемые элемен-
ты находятся в состоянии равновесия.
     Однако аналитическими и экспериментальными исследованиями,
проводимыми на протяжении XX и начала XXI веков, неоднократно уста-
навливалось для различных моделей, что конструкция, не достигнув своего
предела прочности, может изменить характер деформации (например,
сжимаемый стержень при достижении сжимающей силы определенного
значения, может выйти из какой-либо плоскости и начать изгибаться в
плоскости, ей перпендикулярной, рис. 1.55а).
     Такой переход из одного вида деформации в другой в строительной
механике называется потерей устойчивости.
     Данный вопрос в пособии изложен достаточно коротко.
     В параграфах 1.7.1…1.7.3 рассмотрим лишь основные понятия и
предпосылки теории устойчивости тонкостенных стержней, необходимые
для осознания процесса потери их общей устойчивости (по В.З. Власову), а
в параграфах 1.7.4…1.7.5. – основные понятия теории местной устойчиво-
сти, потеря которой, как показывает практика, является наиболее вероят-
ной в изгибаемых и сжатых тонкостенных профилях.
    1.7.1. Понятие устойчивости равновесия упругой системы. Крити-
                                 ческая сила
    Термин "устойчивость" используется практически во всех областях
естествознания. Устойчивость
    - движения планет, космических кораблей, ракет и самолетов;
    - электронных оболочек атома;

                                                                     123


    - ламинарного течения жидкости;
    - высокотемпературной плазмы;
    - биологической клетки;
    - системы автоматического регулирования и энергетических систем.
Этот далеко не полный перечень показывает, как широк диапазон приме-
нения понятия устойчивости.
    В строительной механике тонкостенных конструкций рассматривает-
ся устойчивость тех процессов и состояний, которые изучаются в этой
дисциплине, – устойчивость деформированных состояний и равновесия.
     Реальные объекты и их расчетные схемы отличаются друг от друга. В
природе не существует идеально упругих тел, абсолютно прямых стерж-
ней, статических состояний. Введение этих понятий обусловлено желани-
ем доступными средствами установить связи между наиболее существен-
ными характеристиками внешнего воздействия и параметрами состояния
системы. А так как в реальных условиях всегда есть причины, побуждаю-
щие к отклонениям от рассматриваемых гипотетических состояний, возни-
кает вопрос о реакции конструкции на малые возмущения внешнего воз-
действия. Задачи подобного рода рассматриваются в теориях устойчивости
     В развитии теорий устойчивости упругих систем со времен Эйлера,
основоположника теории устойчивости, достигнуты значительные успехи.
Было изучено большое количество форм потери устойчивости различных
конструкций как стержневых (колонны, фермы, арки, рамы), так и сплош-
ных (пластинки и оболочки).
     Особенно обстоятельно было обследовано явление потери устойчиво-
сти обычных (не тонкостенных) стержней. Напомним, в чем оно заключа-
ется. Будем сжимать центрально приложенной силой Р стержень прямой
осью (рис 1.55). Если сила Р невелика (меньше некоторого значения), то
стержень будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. Это оз-
начает, что если мы отклоним стержень из состояния равновесия (т.е. изо-
гнем его, приложив к нему, например, поперечную нагрузку) и затем уда-
лим причину, вызвавшую отклонение, то стержень вернется в первона-
чальное положение, т.е. опять станет стержнем с прямой осью (рис. 1.55, а)
     Если сила Р превысит некоторое значение Ркр, называемое критиче-
ской силой, то форма равновесия стержня с прямой осью станет неустой-
чивой. Это означает, что если мы теперь отклоним стержень от состояния

124


равновесия (т.е. изогнем его), то после удаления причины, вызвавшей из-
гиб, он в первоначальное положение не возвратится, а останется в изогну-
том состоянии, которое при этом значении силы становится устойчивым
(рис. 1.55, б).




                                      а)




                                       б)
 Рис. 1.55. Отклонение от форм равновесия: а) – устойчивой, б) – неустойчивой
     Если сила Р будет точно равна критическому значению Ркр, то стер-
жень, строго говоря, будет находиться в состоянии безразличного равнове-
сия: обе формы равновесия – с прямой и изогнутой осью – становятся оди-
наково возможными. Говорят, что при Р = Ркр происходит разветвление
(бифуркация) форм равновесия.
     Можно сказать, что критической силой Ркр называется сила, при кото-
рой происходит смена устойчивых форм равновесия. При Р < Ркр устойчи-
вой является форма равновесия стержня с прямой осью. При Р > Ркр, на-
оборот, первая форма равновесия становится неустойчивой, а вторая (изо-

                                                                           125


гнутая) устойчивой. При Р = Ркр, как уже отмечалось, обе формы равно-
возможны и стержень становится в состоянии безразличного равновесия.

     Таким образом, мы рассмотрели «физическую» интерпретацию поня-
тия критической силы Ркр.
     Ниже проиллюстрируем «математическую» интерпретацию, для этого
рассмотрим классический пример шарнирно опертого стержня под воздей-
ствием продольной силы Р (рис.1.55в).




                    в)                                     г)
Рис. 1.55. Отклонение от форм равновесия при воздействии продольной силы: в)
              – сосредоточенной, г) – равномерно распределенной
     Обозначим через v(z) функцию горизонтальных перемещений относи-
тельно продольной оси z.
     Запишем выражение для изгибающего момента в текущем сечении z
для верхней отсеченной части:
                        М ( z)   P  v( z)
    С другой стороны, из курса сопротивления материалов известна фор-
мула:



126


                                     d 2v
                       M ( z )  EI y 2
                                     dz
    Приравняв эти 2 выражения изгибающих моментов, получим диффе-
ренциальное уравнение изогнутой оси стержня:
                        d 2v
                    EI y 2  P  v( z )  0
                        dz
                              P
    Введем обозначение  
                           2
                                    , тогда вышезаписанное уравнение
                             EI y
примет вид однородного линейного дифференциального уравнения:
                       d 2v
                          2
                              2  v( z )  0
                       dz
    В математике определено, что такое уравнение имеет решение вида:
                   v( z)  А cos z  B sin z
    Убедиться в правильности этого решения можно путем непосредст-
венной подстановки в исходное уравнение.
    Данное решение имеет 2 неопределенных постоянных А и В, для оп-
ределения которых необходимо задать граничные условия на концах
стержня:
    1. Отсутствие перемещений в начале стержня v(0)  0
       Положив z  0 , получим
                   v(0)  А cos 0  B sin 0  0
       Отсюда А=0
    2. Отсутствие перемещений в начале стержня v(0)  0
       Положив z  0 , получим
                        v(0)  B sin l  0
     Константа В, представляющая собой наибольший прогиб стержня, не
может быть равна нулю, так как при В=0 возможна только прямолинейная
форма равновесия, а мы ищем условие, при котором возможна и криволи-
нейная форма равновесия. Поэтому должно быть sinαl=0. Отсюда следует,
что криволинейные формы равновесия стержня могут существовать, если
αl принимает значения π,2π,.nπ. Величина αl не может быть равна нулю,
так как это решение соответствует случаю




                                                                   127


                                    Р
                          l           l0
                                   EI y
    Минимальное значение критической силы Ркр, при которой возможен
переход равновесия от устойчивого к неустойчивому, будет при l   , т.е.
                                    2 EI y
                           Ркр                             (1.248)
                                  l2
     Математически будет верна и формула, соответствующая решению
при l  n , являющаяся более общей:
                                   n 2 2 EI y
                          Ркр 
                                    l2
    Однако физически такое решение на практике невозможно, ввиду того
что стержень, достигнув загружения первой критической силой (1.248),
уже потеряет устойчивость и нагрузка не сможет достигнуть других кри-
тических значений.
    Выведенная формула (1.248) была впервые получена в 1744г. рос-
сийским механиком Леонардом Эйлером (1703-1783), большую часть жиз-
ни проработавши м в Петербургской Академии наук, и носит его имя –
формула Эйлера.
    Позднее, уже в начале XX века А.Н. Динником (1876-1950, с 1926г.
академик Академии наук УССР и с 1946г. действительный член Академии
наук СССР) была предложена формула для критической равномерно рас-
пределенной нагрузки (рис.1.55г):
                                 18,6 EI y
                          q кр 
                                    l3

    Далее в теории устойчивости вводится понятие расчетной длины.
    Для этого окончательно перепишем уравнение перемещений.
                                      n
                       v( z )  B sin    z,
                                       l
графиком которой является синусоида (одна полуволна которой показана
пунктиром (при значении n=1) на рис. 1.55в), а параметр В остается по-
прежнему неопределенной постоянной.




128


    Формула (1.248), как следует из ее вывода, справедлива не только для
стержня с шарнирно закрепленными концами, но и для любого стержня,
который изогнется при выпучивании по целому числу полуволн.
    Можно доказать, что в зависимости от граничных условий сохранится
характер продольного изгиба (см. рис 1.55д,е,ж,з), а критическая сила оп-
ределится видоизмененной формулой
                                       2 EI y
                              Ркр 
                                        l02
     где – l0 – так называемая «свободная» длина стержня, отличающаяся
от геометрической длины величиной µ, именуемой коэффициентом рас-
четной длины:
                           l0    l




        д)                         е)                     ж)               з)
    Рис. 1.55. Отклонение от форм равновесия при воздействии продольной силы: д) –
    на стержень, жестко заделанный с двух концов, е) – на консольный стержень, ж) на
    стержень, жестко заделанный с одной стороны и шарнирно опертый с другой, з) на
    шарнирно опертый стержень, имеющий промежуточную опору




                                                                                129


      Итак, коэффициент расчетной длины  - это величина, обратная ко-
личеству полуволн синусоид продольного изгиба, укладывающихся в пре-
делах геометрической длины стержня.
     На рис. 1.55д,е,ж,з проиллюстрированы свободные длины и коэффи-
циенты расчетной длины для наиболее часто встречающихся в строитель-
ной механике простейших стержневых расчетных схем.
     Изображенная картина потери устойчивости является идеализирован-
ной схемой, основанной на основании линейной теории упругости. Для ее
осуществления необходим ряд условий: стержень должен быть строго
призматическим с идеально прямой осью, материал стержня должен быть
однородным и точно следовать линейным законам теории упругости, сила
должна быть приложена точно в центре тяжести и направлена строго по
оси стержня. Эти условия в действительности никогда не встречаются.
     Тем не менее, практическое значение вышеизложенной схемы потери
устойчивости весьма велико, так как она является довольно точным описа-
нием картины явления, происходящего в действительности. Различия меж-
ду теоретической схемой потери устойчивости и наблюдаемой на практике
картиной не так уж велики. Они состоят в том, что в действительности
стержень начинается изгибаться сразу же при любом малом значении на-
грузки. Но поперечные прогибы стержня вначале с возрастанием нагрузки
растут медленно. По мере приближения силы Р к критическому значению,
эти прогибы растут быстрее и быстрее и при Р = Ркр они достигают очень
больших значений, таких, что возникающие за их счет изгибающие момен-
ты очень часто приводят к разрушению стержня. Поэтому в практических
руководствах и др. критическую силу определяют как силу, разрушаю-
щую стержень.
     С этой точки зрения практическое значение вышеизложенной схемы
потери устойчивости заключается в том, что составленные на ее основе
расчетные формулы для критических сил и коэффициентов продольного
изгиба υ дают вполне удовлетворительное представление о величине той
нагрузки, которую может выдержать стержень. Однако эту схему необхо-
димо рассматривать как первое приближение к действительности. Даль-
нейшее развитие теории устойчивости идет за счет снятия ограничений и
учета возможно большего количества факторов, влияющих на устойчи-


130



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика