Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
          Из формулы (1.182) следует, что
                                                               (1.184)
    Поэтому, как и в методе Ричардсона, получить конкретную величину
погрешности в методе Эйткена невозможно из-за наличия неопределенной
постоянной C.
                           Метод Шварцмана
     Проблема получения конкретной (без неопределенных постоянных)
величины погрешности приближенного решения тесно связана с пробле-
мой получения двусторонних оценок точного решения.
     Действительно, пусть в результате вычислений получены величины а
и b такие, что выполняются неравенства
                                                                (1.185)
     Если в качестве окончательного приближенного решения взять полу-
сумму
                                   An  Rn
                            ZТ                                      (1.186)
                                      2
    то очевидно, что максимальная величина погрешности будет равна
половине длины отрезка [а,b], т.е. будут выполняться неравенства

                                             ,                       (1.187)
где е – абсолютная погрешность.
     Знак равенства в (1.187) будет достигаться, если точное решение z T
совпадает с одной из границ отрезка [а,b], т.е. выполняется равенство z T = a
или zT = b
     С учетом изложенного становится понятным фундаментальное значе-
ние следующей теоремы [8].
     Теорема Шварцмана. Если последовательность
                                                 ,                  (1.188)
монотонно сходится к 2 k, то точное решение zT принадлежит отрезку, оп-
ределяемому величинами Rn и An (соответственно (1.177) и (1.183)),
т. е. справедливы неравенства
                                                 ,                   (1.189)
где
                                                                     (1.190)


                                                                          111


    Как показано выше, из (1.191) следует, что, если в качестве оконча-
тельного приближенного ответа взять
                                                                 (1.191)
      то справедлива следующая оценка погрешности:

                                                                 (1.192)

      Формулы (1.191), (1.192) и представляют сущность метода Шварцма-
на.
     Подчеркнем, что оценка погрешности (1.192) не содержит неопреде-
ленных постоянных, в отличие от оценок погрешности в методах Ричард-
сона и Эйткена.
     Существенное значение имеет тот факт, что метод Шварцмана не свя-
зан с конкретным численным методом, например, с методом конечных
элементов.
     Его можно применять и при выполнении расчетов другими числен-
ными методами, например, методом конечных разностей. Для применения
метода Шварцмана также не существенно, какая исходная задача решает-
ся. Это может быть не только краевая задача, но и задача Коши, задача вы-
числения определенного интеграла и другие.
     При практических вычислениях не всегда бывает удобно сгущать сет-
ку в целое число раз. В целях экономии вычислительной работы может по-
требоваться сгущать сетку в нецелое число раз, т.е. использовать вложен-
ные сетки, шаги которых связаны соотношением
                                       ,                          (1.193)
     где коэффициент сгущения λ – любое число (λ > 1).
     Еще более общий случай: рассматривать геометрически подобные
сетки, коэффициент сгущения которых λn может меняться от расчета к
расчету. Шаги таких сеток связаны соотношением
                                    ,                            (1.194)
     Оказывается, метод Шварцмана с незначительным усложнением мож-
но распространить и на эти случаи.
Не останавливаясь на подробных доказательствах, изложим алгоритм ме-
тода для наиболее общего случая геометрически подобных сеток.



112


     Предварительно обратим внимание на то, что для всех сгущаемых се-
ток точка области, где требуется уточнять решение по методу Шварцмана,
должна входить в число узловых точек.
     Итак, пусть исходная задача решена три раза каким-то методом на
сетках с шагами:
                                                                 (1.195)
     Пусть             – соответствующие приближенные решения в ка-
кой-то точке области, zT -неизвестное точное решение в этой точке. Опус-
кая малые слагаемые, запишем приближенные равенства, которые следуют
из разложения, представленного в [14]:
                                                                 (1.196)
                                                                 (1.197)
                                                                    (1.198)
    Исключая из формул (3.42) и (3.43) множитель        , получим
                                                                    (1.199)
     Формула (1.200) является обобщением формулы Ричардсона на слу-
чай геометрически подобных сеток.
                                                                    (1.200)
    Исключая из формул (1.196) - (1.198) zT и      имеем
                                                                    (1.201)
    На основе последней формулы введем понятие эффективного порядка
сходимости [27]. Эффективным порядком сходимости     будем называть
решение уравнения:

                                                                 (1.202)

    где использовано обозначение (1.181).
    Доказано, что справедливо свойство:
                                                                  (1.203)
     Используя определение (1.202), из формул (1.196) - (1.198) можно по-
лучить



                                                                        113


                                                               (1.204)
    Формула (1.205) является обобщением формулы Эйткена на случай
геометрически подобных сеток.


                                                               (1.205)
     В пособии [8] доказана теорема: если    монотонно сходится к k, то
формулы (1.200) и (1.205) дают двусторонние оценки точного решения:
                                                                (1.206)
    Отсюда получаем, что для приближенного решения (1.207) справед-
лива оценка погрешности (1.208):
                                   Tn  Bn
                            Sn                                 (1.207)
                                      2
                                                                (1.208)
    Таким образом, метод Шварцмана при использовании геометрически
подобных сеток дополнительно требует на каждом шаге решения нелиней-
ного уравнения (1.202). Как показывает практика, для его решения доста-
точно 3-5 итераций, например, по методу Ньютона. Отметим еще, что при
использовании вложенных сеток, когда n = = const, уравнение (1.202)
сводится к виду
                               = Dn                             (1.209)
    и его решение дается аналитической формулой
                                                               (1.210)
    В заключение главы изложим метод Шварцмана при необходимости
получения не абсолютной погрешности приближенного решения (1.208), а
относительной погрешности приближенного решения z n, которую выразим
следующей формулой:
                                                                (1.211)
      Введем обозначения:
                                                                (1.212)

                                                                (1.213)



114


                                     ,                           (1.214)
      В пособии [8] доказана теорема: если    монотонно сходится к k, то
формулы (1.214) дают двусторонние оценки относительной погрешности
σn (1.211):
                                                                (1.215)
      Приведем последнюю теорему для случая применения постоянного
коэффициента измельчения сетки       2. Необходимо вычислить величины
                                                                (1.216)
                                                                (1.217)
                                     ,                          (1.218)
     Следует отметить, что достоинством такого выбора сетки заключается
в том, не требуется решать сложное нелинейное уравнение
     В этом случае теорема Шварцмана утверждает, что
                                                                 (1.219)
где   – относительная погрешность (1.211).»1

          1.6. ТРЕБОВАНИЯ СОВРЕМЕННЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ
                    НОРМ, ПРАВИЛ И РЕКОМЕНДАЦИЙ
     В настоящее время в России наиболее известны четыре нормативно-
методических источника, казалось бы, регламентирующих методику рас-
чета стальных тонкостенных холодногнутых профилей или хотя бы даю-
щих общее представление о том, как их рассчитывать:
        - СНиП II-23-81* «Стальные конструкции»; а также Пособие, яв-
  ляющееся приложением этим СНиП;
        - Свод правил по проектированию и строительству «Общие прави-
  ла проектирования стальных конструкций», разработанный несколько
  лет назад и базирующийся на «старом» СНиП;
        - Рекомендации Э.Л. Айрумяна по проектированию, изготовле-
  нию и монтажу конструкций каркаса малоэтажных зданий и мансард из
  холодногнутых стальных оцинкованных профилей производства конст-
  рукций [1];
      ________________________________________________
      1
          – конец цитаты


                                                                     115


       - Еврокод 3 «Проектирование стальных конструкций», в котором
  непосредственно к тонкостенным холодногнутым профилям имеют от-
  ношение 4 части: часть 1-1, часть 1-3, часть 1-5 и часть 1-8.
       Остановимся поподробнее на каждом из них.
           1.6.1. Требования действующих строительных норм
     Как в действующем СНиП II-23-81* «Стальные конструкции», так и в
пособии к нему о депланации и бимоменте как дополнительном внутрен-
нем силовом факторе говорится очень мало. В СНиП II-23-81* «Стальные
конструкции» в качестве внутренних усилий выступают только продоль-
ная и поперечная силы, а также изгибающий и крутящий моменты.
     Все предлагаемые формулы в этой связи касаются лишь проверки на
устойчивость, а не на прочность. В частности, приводится сложная форму-
ла, описывающая изгибо-крутильную форму потери устойчивости.
     Но это устойчивость. А теория устойчивости и теория прочности уже
в изначальном своем подходе принципиально отличаются друг от друга. В
основе классической теории устойчивости лежит так называемый «эйле-
ров» подход, базирующийся на отыскании некой критической силы, ха-
рактеризующей переход элемента в некую новую форму равновесия (неус-
тойчивую), а вовсе не соответствующей максимально допустимым усили-
ям или напряжениям, взятым из прочностных характеристик материала.
     Иными словами, стержень может потерять устойчивость, не набрав и
половины свой прочности, и наоборот, будучи в упругой стадии работы,
может потерять устойчивость.
     В СНиП 2-23-81* «Стальные конструкции» сказано, что «в балках,
рассчитываемых в пределах упругих деформаций, необходимо проверять
прочность стенки при сложном напряженном состоянии путем определе-
ния обобщенного напряжения на основе энергетической теории прочно-
сти».
     В комментариях к соответствующей формуле

              x 2   x y   y 2  3 xy 2  1,15Ry c       (1.220)
                                                 ,
где описывается «природа» составляющих тензора напряжений, не упоми-
нается, что часть этих составляющих (как нормальную, так и касательную)


116


может быть обусловлена не только поперечной силой и изгибающим мо-
ментом, но еще и крутящим и изгибно-крутящим моментами, а также би-
моментом, что немаловажно.
     То есть, учитывать вышеизложенные факторы или не учитывать, ос-
тается на усмотрение инженера-проектировщика.
     В то же время в нескольких главах СНиПа много говорится о расчетах
на локальные нагрузки, на местную устойчивость стенок и полок, расста-
новке ребер жесткости и пр. Понятно, что постановка ребер жесткости, ес-
ли не исключит, то существенно уменьшит депланацию. Но мы рассматри-
ваем тот теоретический случай, когда ребра жесткости в конструкции не
предусматриваются.
     В новом Своде Правил (СП 53-102-2004, Общие правила проектиро-
вания стальных конструкций) также нет никаких рекомендаций по расчету
на прочность с учетом депланации.
 1.6.2. Расчет тонкостенных конструкций по методике Э.Л. Айрумяна
      В мировой строительной практике холодногнутые профили из оцин-
кованной стали широко применяются для несущих и ограждающих конст-
рукций зданий и сооружений различного назначения.
      Отечественными фирмами-производителями, осуществляющими
массовое производство холодногнутых профилей, разработана номенкла-
тура из нескольких типов таких профилей. Эти профили применяются для
выполнения каркасов малоэтажных зданий, мансард и навесов.
      Работа этих конструкций под нагрузкой имеет следующие особенно-
сти:
        - возможность потери местной устойчивости полок и стенок про-
  филей при продольном сжатии, если соотношение их ширины и толщи-
  ны превышает 60;
        - изгибаемые и сжатые профили несимметричного сечения рабо-
  тают с кручением;
        - сплошные профили обладают значительной теплопроводностью
  и могут быть «мостиками холода» в ограждающих конструкциях.
     В 2004 году под руководством заведующего лабораторией холодно-
формованных профилей и конструкций «ЦНИИПСК им. Мельникова» Э.Л.
Айрумяна были разработаны рекомендации по проектированию, изготов-


                                                                     117


лению и монтажу конструкций каркаса малоэтажных зданий и мансард из
холодногнутых стальных оцинкованных профилей производства конст-
рукций. Основные положения расчета приведем ниже.
               Расчет элементов на осевые силы и изгиб
    Расчет на прочность элементов из профилей на центральное растяже-
ние или сжатие N следует выполнять по формуле:
    при растяжении
                           
                               Ry c                         (1.221)
                           Fp
      при сжатии
                             
                                 Ry c                           (1.222)
                             Fc         ,
      где γс=0,75 – коэффициент условий работы;
      Fp – полная площадь сечения профиля;
      Fс – редуцированная площадь сечения профиля.
    Расчет на устойчивость элементов, подверженных центральному сжа-
тию силой N, следует выполнять по формуле:
                            
                                Ry c                            (1.223)
                           Fc
      Значения υ следует определять в зависимости от гибкости.
                                    lef
                                                                (1.224)
                                   rmin
по табл. 72 СНиП II-23-81, где lef – расчетная длина;
    Расчет на устойчивость балок двутаврового сечения из спаренных
профилей, изгибаемых в плоскости стенки, следует выполнять по формуле
                            
                                 0,8Ry                            (1.225)
                           ВWc
где Wc – следует определять для сжатого пояса, но не более чем для ши-
рины равной 40t.
       В – коэффициент, определяемый по прил. 7 СНиП II-23-81.



118


    Расчет на устойчивость балок швеллерного и С-образного сечения
следует выполнять как для балок двутаврового сечения в зависимости от
параметра α и коэффициента υ1, принимая моменты инерции сечения по
табл. 2-6.
                                        I t lef 2
                             1,54         ( )                          (1.226)
                                        Iy h
                                      Iy h 2 E
                         1  0,7       ( )                             (1.227)
                                      I x lef Ry

где   lef   и h – расчетная длина и высота сечения балки;
      bpi – расчетная ширина каждой грани сечения балки.
    Значения ψ принимаются по таблицам 77 и 78 СНиП II-23-81 в зави-
симости от характера нагрузки и параметра α.
    Значение коэффициента  В необходимо принимать

        при        υ1 ≤ 0,85        В = υ1
                                                                         (1.228)
      при      υ1 > 0,85            В = 0,68 + 0,21υ1, но не более 1,0.
     Устойчивость балок не требуется проверять при передаче нагрузки
через сплошной деревянный или металлический настил, непрерывно опи-
рающийся на сжатый пояс балки и надежно с ним связанный. Закрепление
сжатого пояса в горизонтальной плоскости должно быть рассчитано на
фактическую поперечную силу.
     Расчет на прочность элементов, изгибаемых в двух главных плоско-
стях, следует выполнять по формуле:
                         х    
                            y  y x  0,8Ry                   (1.229)
                         Ix    Iy
где х и у – координаты рассматриваемой точки сечения относительно глав-
ных осей;
Ix и Iy – моменты инерции профилей.
      Для стенок балок должны выполняться следующие условия:
                          х   х у   у  3 ху  0,9Ry
                           2              2      2
                                                                         (1.230)
                                  xy  0,8Rs                            (1.231)
где

                                                                              119


                                     QS
                             xy                              (1.232)
                                     I xt
     Расчет на прочность внецентренно – сжатых и сжато изгибаемых эле-
ментов выполнять не требуется при значении приведенного эксцентриси-
тета mef  20 .
      В прочих случаях расчет следует выполнять по формуле
                       x      
                            y  y x  0,75Ry                  (1.233)
                      Fc I x    Iy
    Расчет на устойчивость внецентренно-сжатых и сжато-изогнутых
элементов из профилей выполняется в плоскости действия момента по
формуле:
                         
                               Ry c
                      l  Fc
                                                           (1.234)

      где Fc – редуцированная площадь профиля.
      Коэффициент  l определяется как для сплошностенчатых стержней по
табл. 74 СНиП II-23-81 в зависимости от условной гибкости  и приве-
денного относительного эксцентриситета тef определяемого по формуле:
                            mef  m                           (1.235)
где
                    (1,9  0,1m)  0,02(6  m)               (1.236)
                                     eFc
                             m                                 (1.237)
                                     Wx
                                      Ry
                                                             (1.238)
                                      E
Здесь е – эксцентриситет.
        Проверка устойчивости стенок и полок изгибаемых и
                         сжатых элементов
    Стенки изгибаемых элементов для обеспечения их устойчивости сле-
дует укреплять поперечными ребрами, поставленными на всю высоту
стенки.




120



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика