Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: Учебное пособие

Голосов: 5

В пособии приводятся теоретические основы моделирования и расчета на прочность и устойчивость подобных конструкций, являющихся на сегодняшний день инновационными и, соответственно, испытывающие проблемы и пробелы в теоретической фундаментальной базе, в частности - необходимости использования Еврокода-3. Главная особенность пособия - наличие конкретных примеров по расчету рассматриваемого типа конструкций. Учебное пособие рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладная механика". Также пособие может быть использовано: для подготовки студентов, обучающихся по магистерским программам "Теория и практика организационно-технологических решений", "Организация и управление инвестиционно-строительными проектами", "Автоматизированное проектирование зданий и сооружений", "Инженерные системы зданий и сооружений" направления "Строительство"; аспирантами, молодыми преподавателями и специалистами, изучающими, либо стремящимися расширить свои знания в области стальных конструкций и строительной механики.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        Дополнительные элементы и элементы матрицы жесткости, отличаю-
щиеся от элементов матрицы жесткости, представленной на рис. 1.45. (вы-
полнены в матрице рис. 1.51 полужирными символами) равны:




                                                                 (1.162)




    Схема расчета стержневых моделей с помощью тонкостенных
                       конечных элементов

     Для расчета пространственных стержневых конструкций разработан
вычислительный комплекс СТК (далее ВК СТК), в котором применены
представленные выше тонкостенные конечные элементы (ТКЭ), методики
построения матрицы жесткости конструкции и определения усилий в эле-
ментах. На рис.1.52 представлена блок-схема вычислительного комплекса.
     Для расчета конструкции с использованием ВК СТК необходимо со-
ставить расчетную схему из стержней, объединенных в узлах. На расчет-
ной схеме каждый узел и стержень имеет свой номер. Положение узлов в
пространстве определяется их координатами. Положение стержней опре-
деляется номерами начала и конца стержней, а также ориентацией местной
(связанной со стержнем) системы координат. В опорных узлах накладыва-
ются связи в соответствии с условиями закрепления рассчитываемой кон-
струкции. Нагрузка прикладывается к узлам в виде сосредоточенных сил,
моментов, бимоментов.




                                                                     101


                 Рис. 1.52. Блок-схема вычислительного комплекса
    Ввод исходных данных производится в табличном виде, предусмотре-
на возможность применения повторителей для сокращения вводимой ин-
формации. Используется редактор стальных сечений, позволяющий просто
задавать геометрические характеристики для ряда сечений. Расчетная схе-
ма представляется на экране в графическом виде, показывается нумерация
узлов и элементов, действующие нагрузки. Предусмотрена возможность
проверки несущей способности стальных стержней в соответствии с тре-
бованиями нормативных документов.
    Погрешность применения ТКЭ в большинстве случаев составляет до
6-8%, максимальное отличие до 11%[13].»1


             1.5.4. Бистержневая модель тонкостенных конструкций
    В книге А.В. Перельмутера и А.И. Сливкера [9] приводится описание
так называемой бистержневой модели. Далее приведем небольшую вы-
держку из данного издания.
      ________________________________________________
      1
          – конец цитаты



102


    «Дело в том, что подавляющее большинство расчетных программных
комплексов, основанных на методе конечных элементов, позволяют учи-
тывать до 6 степеней свободы в узлах дискретной системы, отвечающих
линейным перемещениям и поворотам этих узлов как жестких тел. В то же
время, теория тонкостенных стержней открытого профиля требует введе-
ния седьмой степени свободы в примыкающих к тонкостенным стержням
узлах. Эта седьмая степень свободы отвечает депланационной составляю-
щей узлового перемещения.
    Нашей целью здесь является демонстрация специального приема, по-
зволяющего обойти эти затруднения, не выходя за рамки требований стан-
дартного расчетного программною комплекса, основанного на методе ко-
нечных элементов и позволяющего вводить в каждый из узлов расчетной
схемы не более 6 степеней свободы. Как будет показано далее, этот прием
основан на построении специальной модели, которую мы назовем «бис-
тержневой моделью тонкостенного стержня».
    При построении бистержневой модели тонкостенного стержня, опе-
рирующей шестью степенями свободы в узлах, удобно исходить из энерге-
тических соображений. С этой целью приведем выражение для потенци-
альной энергии деформации Е, накапливаемой в тонкостенном стержне
при его закручивании. Имеем


                                                     
                      1
                 1
              E   EI  ( x ' ' ) 2  GI x ( x ' ) 2 dx ,   (1.163)
                 20
где l – длина стержня.
     В качестве предлагаемой бистержневой модели рассмотрим механиче-
скую систему, состоящую из двух стержней одинаковой длины l, которые
назовем основным и фиктивным стержнями.
     Оба эти стержня рассматриваются в классической постановке, то есть
в рамках теории Бернулли-Эйлера для стержней сплошного сечения, и по-
этому не требуют введения в расчетную схему каких-либо дополнитель-
ных степеней свободы.




                                                                     103


                  Рис. 1.53. Основной и фиктивный стержни
     Пусть (X,Y,Z) – местная система координат основного стержня, а (X f.
YF. ZF) – фиктивного стержня. Оси X и ХF – продольные оси, а пары осей
(Y. Z) и (Yf, Zf) – главные центральные оси инерции сечений основного и
фиктивного стержней (рис. 1.53).
     Заметим, что в практических расчетах удобно выбирать ось X F, иду-
щей параллельно оси X.
     Здесь и далее дополнительным нижним индексом F помечаются вели-
чины, относящиеся к фиктивному стержню, тогда как аналогичные вели-
чины, относящиеся к основному стержню, никакой дополнительной по-
меткой не оснащаются.
     Между перемещениями поперечных сечений стержней (основного и
фиктивного) устанавливаем связь, обеспечивающую равенство углов по-
воротов сечений этих двух стержней относительно осей X и Х F, то есть
                             x   xF                           (1.164)
     Кроме того, на перемещения фиктивного стержня накладываем внеш-
ние связи, препятствующие смещениям точек его продольной оси в осевом
направлении (вдоль оси ХF) и в направлении одной из главных осей инер-
ции. Для определенности будем считать, что эта последняя связь препятст-
вует перемещениям по направлению оси YF. Линейные перемещения фик-
тивного стержня вдоль другой главной оси свяжем с углом закручивания
 xF   соотношением



104


                          F  r xF ,                                (1.165)

где через  F обозначено перемещение центра тяжести сечения фиктивного
стержня в направлении оси ZF , r — некоторая константа, которой мы мо-
жем распорядиться по своему усмотрению.
     Легко заметить, что на механическом уровне наложенные на фиктив-
ный стержень внешние связи интерпретируются как подкрепление фик-
тивного стержня частоколом абсолютно жестких рычагов (рис. 1.54), на-
правленных вдоль оси YF и имеющих длину r. Нижние концы рычагов за-
креплены от всех линейных перемещений и поворотов вокруг оси ZF. На
рис. 1.54 закрепление от поворотов вокруг оси ZF не показано, чтобы не за-
темнять схему.




       Рис. 1.54. Механизм связи угла поворота и линейного смещения
     Из геометрических соображений (рис. 1.54), вытекающих из условия
абсолютной жесткости рычагов, немедленно следует равенство (1.156).
     Таким образом, при закручивании основного стержня фиктивный
стержень, благодаря установленным связям (1.109) и (1.110), получает по-
перечные перемещения wF в направлении оси ZF, вызывающие изгиб этого
стержня относительно оси YF.
     Энергия деформации Е в построенной бистержневой модели является
суммой энергий, накапливаемых порознь в основном и фиктивном стерж-
нях. Если основной стержень наделить крутильной жесткостью GI, кру-


                                                                           105


тильную жесткость фиктивного стержня положить равной нулю, а жест-
кость фиктивного стержня при изгибе относительно Оси YF обозначить
EIYF , то энергия деформации Е запишется в виде

                                                        
                         1
                    1
                 E   EI yF (F ' ' ) 2  GI x ( x ' ) 2 dx ,     (1.166)
                    20
что полностью совпадает с (1.163). Если учесть соотношения (1.164) и
(1.165), а изгибную жесткость фиктивного стержня определить соотноше-
нием
                                 EI yF  EI  / r 2 .               (1.167)
    Таким образом, построенная бистержневая модель энергетически эк-
вивалентна исходному тонкостенному стержню.
    Покажем теперь, что внутренние силы в фиктивном стержне можно
интерпретировать как обобщенные усилия в исходном тонкостенном
стержне, возникающие при стесненном кручении.
    Действительно, для фиктивного стержня изгибающий момент относи-
тельно оси YF может быть записан в виде
                             M yF   EI yF F ' ' .                (1.168)
откуда с учетом все тех же зависимостей (1.164), (1.165), (1.167), получаем
                                   B  r M yF .                    (1.169)
а изгибно-крутящий момент Мω, в свою очередь, получается дифференци-
рованием бимомента В. Отсюда находим, что
                                  QzF  M ' yF .                   (1.170)
       Далее, поперечная сила QzF является производной от момента M yF, то
есть
                                  M   r QzF .                     (1.171)
    Итак, бимомент В и момент стесненного кручения Мω с точностью до
множителя r совпадают соответственно с изгибающим моментом MyF, и
поперечной силой QzF , возникающими в фиктивном стержне. В практиче-
ских расчетах удобно положить r = 1 в принятой системе единиц измере-
ния длин.



106


     Естественно, что при построении дискретной схемы бистержневой
модели мы не сможем обеспечить выполнение условий связи (1.164) не-
прерывно вдоль всей оси Х от нуля до l. Однако, разбив основной стер-
жень по длине на некоторое количество (скажем, n) участков, устанавлива-
ем тем самым на нем n + 1 узел, включая начальный и конечный узлы.
Пусть это будут узлы M1, M2,..., М(n+1). Разбивая теперь фиктивный стер-
жень на точно такие же участки, образуем на нем соответствующие узлы
F1, F2,..., F(n+1). Теперь непрерывные условия связи (1.164) можно прибли-
женно заменить дискретными связями, заданными на конечном множестве
точек с координатами x1,x2,…,хn+1, а именно в n+1 узлах основного и
фиктивного стержней бистержневой модели. Соответственно и абсолютно
жесткие рычаги в системе с дискретными связями сохраняются только в
образованных узловых точках.
     Может возникнуть вопрос, а куда же в бистержневой системе подева-
лась седьмая степень свободы узлов тонкостенного стержня? Седьмая сте-
пень свободы, связанная с депланацией Ө', не исчезла бесследно, она лишь
внешне изменилась, превратившись Өyf. Действительно, для бистержневой
модели имеем
                 ' x   ' xF   ' F / r   yF / r .          (1.172)
     Однако, если Ө'х, нельзя напрямую связать с перемещениями узлов
как жестких тел, то величина Ө уF естественным образом интерпретируется
как повороты узлов фиктивного стержня относительно оси У f. Именно это
обстоятельство и позволяет выполнять расчет тонкостенного стержня, ос-
таваясь в рамках ограничений стандартного программного обеспечения,
оперирующего конечными элементами с твердотельными уздами.
     Если воспользоваться программой SCAD, то для задания связей вида
                         x ( xi )   xF ( xi ) .                (1.173)
гарантирующих равенство углов поворота соответствующих узлов основ-
ного и фиктивного стержней, имеется заложенный в эту программу специ-
альный инструмент «объединение перемещений», реализованный в графи-
ческой среде этой системы.
    Кстати говоря, для введения в расчетную схему абсолютно жестких
рычагов, присоединенных к узлам фиктивного стержня, удобно, восполь-


                                                                       107


зоваться такой возможностью расчетной программы, как задание эксцен-
триситетов в прикреплении стержня к узлам (бесконечно жестких вставок).
В этом случае узлы фиктивного стержня F, будут располагаться не вдоль
центроидной линии (линии центров тяжести поперечных сечений) фиктив-
ного стержня, а вдоль линии, соединяющей нижние концы рычагов.
     Если в используемой программе заложена возможность задания сме-
щения оси центров сдвига относительно центроидной оси стержня, то
можно в исходной информации к задаче опустить задание эксцентрисите-
тов, описывающих рычаги, и заменить их заданием величины eyF = r, где
eyF – смещение оси центров сдвига фиктивного стержня относительно его
центроидной оси.»1


           1.5.5. Экстраполяционные методы оценки точности метода
                                конечных элементов
     Метод конечных элементов, являясь одним из численных методов, в
общем случае способен выдавать лишь приближенные результаты. И точ-
ность этих результатов зачастую зависит от геометрии и количества ко-
нечных элементов при заданном их типе. И в связи с этим очень важно
правильно разбить расчетную модель на конечные элементы, для чего оп-
ределить наиболее оптимальный шаг разбиения, от которого будет зави-
сеть конечный результат.
     В этой главе рассмотрим методы оценки точности метода конечных
элементов. Все эти методы сами по своей сути являются экстраполяцион-
ными, и для их реализации требуется анализ модели при нескольких шагах
разбиения, связанных между собой определенными математическими за-
висимостями. Стоит отметить, что область их применения охватывает не
только метод конечных элементов, но и любой численный метод решения
математических задач.
     Для подробного изучения данного вопроса лучше воспользоваться
учебным пособиев В.В. Лалина и Г.С. Колосовой [8], в котором экстрапо-
ляционным методам посвящен целый раздел.
     Ниже приведем краткую, но емкую, выдержку из данного пособия с
комментариями авторов для общего понимания материала.
      ________________________________________________
      1
          – конец цитаты

108


                         «Метод Ричардсона
    Итак, в каждой задаче, решаемой с помощью МКЭ можно выделить 2
типа решений: приближенное решение, непосредственно получаемое в ре-
зультате расчета U ( x i ) и точное решение задачи U ( xi ) .

    В вычислительной математике эти два решения связаны следующей
зависимостью:
                         U ( xi )  U ( xi )  Ch k ,           (1.174)
где С – определенная константа для каждой конкретной задачи; h – шаг
разбиения модели на конечные элементы (максимальный размер конечно-
го элемента); k – порядок точности численного метода, в нашем случае –
метода конечных элементов, значение которого является натуральным
числом.
     Для применения метода Ричардсона необходимо знать величину по-
рядка точности метода k и провести решение задачи на двух сетках: с ша-
гами hn, и hn+1 = hn/2. И при двух последовательных измерениях n+1 и
n+2 получаются два значения искомой величины, равные соответственно
zn+1 и zn+1.
     В [8] доказывается, что
                                              1

                  z n2  z  ( z n1  z ) 2  O(hn ) ,
                                              k      m          (1.175)

     Откуда
                          z  Rn  O(hn ) ,
                                       m
                                                                (1.176)
где введено обозначение

                                 z n2  z n1                 (1.177)
                        Rn  z n2            .
                                    2 1
                                      k


    Последняя формула и есть формула Ричардсона. Формула (1.176) по-
казывает, что порядок точности величины Rn равен т, что выше (m>k),
чем порядок точности исходного метода. Из нее видно, что величина ,
будет, вообще говоря, ближе к точному решению zT, чем каждая из вели-
чин zn+1 и zn+2, входящих в формулу (1.177).


                                                                     109


      Аналогично формуле (1.174) следует
                            z  Rn  c hn .
                                         m
                                                                   (1.178)
    Наличие в последней формуле неопределенной постоянной с, по-
прежнему, не позволяет и в методе Ричардсона получить конкретную ве-
личину погрешности.
                                  Метод Эйткена
    Для применения метода Эйткена нет необходимости знать теоретиче-
скую величину порядка точности метода k, но, в отличие от метода Ри-
чардсона, необходимо провести решение задачи на трех последовательных
сетках с шагами hn , hn 1  hn / 2, hn  2  hn  2 / 2 .
      В [14] также доказывается, что точное решение также равно:
                          z n z n2  z 2 n1
                   z                          O(hn ) .
                                                    m
                                                                   (1.179)
                        z n 2  z n  2 z n1
      Легко проверить тождество:
                   z n z n2  z 2 n1          z z
                                        z n2  n2 n1 .         (1.180)
                 z n2  z n  2 z n1            Dn  1
где Dn определено формулой (1.181).
                    Dn  ( zn1  zn ) /( zn2  z n1 ) .         (1.181)
      Окончательно формулу (1.179) можно записать в виде
                            z  An  O(hn ) .
                                         m
                                                                   (1.182)
      Здесь введено обозначение:
                                        z n2  z n1
                        An  z n2                   .            (1.183)
                                           Dn  1
    Последняя формула и называется формулой Эйткена.
    Формула (1.182) показывает, что порядок точности величины Аn ра-
вен т, что выше, чем порядок точности исходного метода. Следовательно,
как и в методе Ричардсона, величина Аn будет, вообще говоря, ближе к
точному решению zT, чем каждая из величин zn, zn+1, zn+2, входящих в
формулу (1.183).
    Отметим, что формулы Ричардсона (1.177) и Эйткена (1.183) отлича-
ются лишь одним слагаемым в знаменателе. И в связи с этим доказано, что
обе формулы будут давать близкие результаты.

110



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика