Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Изучение геометрических тел средствами компьютерной графики

Голосов: 1

Автор рассказывает об использовании программы KOEPPERGEOMETRIE. На примере работы с многогранниками продемонстрированы различные возможности программы, которыми, по мнению автора, должен обладать компьютерный инструмент для преподавания стереометрии.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
               Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè




Ãåéíö Øóìàí


          ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÒÅË
       ÑÐÅÄÑÒÂÀÌÈ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÉ ÃÐÀÔÈÊÈ

               ÂÂÅÄÅÍÈÅ                            Äàëåå ìû ïîêàæåì íà ïðèìåðå ðÿäà
                                             ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë, êàê ðåàëèçóþòñÿ óïî-
      Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæåí óäîâëåò-      ìÿíóòûå      âîçìîæíîñòè      ïðîãðàììû
âîðÿòü êîìïüþòåðíûé èíñòðóìåíò, èñïîëü-      KOÅRPERGEOMETRIE â ïðåïîäàâàíèè
çóåìûé â ïðåïîäàâàíèè ñòåðåîìåòðèè? Îí       ñòåðåîìåòðèè. Ðàáîòó ñ ïðîñòðàíñòâåííû-
äîëæåí:                                      ìè îáúåêòàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ äâóõ
      – îáåñïå÷èâàòü âîçìîæíîñòü îáðà-       òî÷åê çðåíèÿ – èíñòðóìåíòàëüíîé è òåî-
ùàòüñÿ ñ ãåîìåòðè÷åñêèì òåëîì òàê, êàê       ðåòè÷åñêîé. Ïåðâàÿ èç íèõ (âèçóàëèçàöèÿ,
áóäòî äåðæèøüåãî â ðóêå;                     ïðåäñòàâëåíèå, èçìåðåíèå, êîíñòðóèðîâà-
      – ïîçâîëÿòü íåïîñðåäñòâåííî èçìå-      íèå îáúåêòîâ) îáðàçóåò èíäóêòèâíûé áà-
íÿòü ðàçìåðû è ïîëîæåíèå òåëà;               çèñ äëÿ ïîñëåäóþùåãî îáîñíîâàíèÿ è äî-
      – ïðåäîñòàâëÿòü âûáîð ðàçíûõ ñïî-      êàçàòåëüñòâà íàáëþäàåìûõ ñâîéñòâ èëè
ñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ òåëà;                    âûâîäà ôîðìóë. Â òî æå âðåìÿ îíà ïîçâî-
      – ïîçâîëèòü ïåðåéòè îò ÷èñòî âèçó-     ëÿåò êîíêðåòèçèðîâàòü è äåëàòü íàãëÿäíû-
àëüíîãî âîñïðèÿòèÿ èçîáðàæåííîãî íà ýê-      ìè îáùèå òåîðåòè÷åñêèå ïîëîæåíèÿ. Èç-
ðàíå òåëà ê åãî «îñÿçàíèþ»;                  çà íåäîñòàòêà ìåñòà ìû îãðàíè÷èìñÿ ÷è-
      – èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå èíñòðó-    ñòî èíñòðóìåíòàëüíîé òî÷êîé çðåíèÿ. Ê
ìåíòà äëÿ èçìåðåíèÿ ñàìîãî òåëà è åãî        òîìó æå îäíà èç ïðåñëåäóåìûõ íàìè öå-
÷àñòåé;                                      ëåé – íàó÷èòü ó÷åíèêà è ó÷èòåëÿ ðàáîòàòü
      – èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå ñðåäñòâà   ñ êîìïüþòåðîì. Ìîæåò áûòü, ÷òåíèå äàí-
êîíñòðóèðîâàíèÿ íîâûõ òåë ïóòåì ðàçáè-       íîé ñòàòüè ïîáóäèò ÷èòàòåëÿ ïðèîáðåñòè
åíèÿ, ñîåäèíåíèÿ, âðàùåíèÿ, äåôîðìàöèè       ñîáñòâåííûé îïûò ðàáîòû â íîâîé ãðà-
èëè âïèñûâàíèÿ îäíèõ òåë â äðóãèå.           ôè÷åñêîé ñðåäå. Ïî íàøåìó ìíåíèþ, îâ-
      Ïðîãðàììà KOÅRPERGEOMETRIE             ëàäåíèå îñíîâíûìè ïðèíöèïàìè ðàáîòû
(Bauer è äð., 1999), ñîçäàííàÿ ïîä           â òàêîé áîãàòîé âîçìîæíîñòÿìè ñðåäå
Windows, â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè óäîâëåò-     ïîâûøàåò êîìïåòåíòíîñòü ó÷èòåëÿ.
âîðÿåò âûøåóêàçàííûì òðåáîâàíèÿì è
ïîýòîìó ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ                        ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÅËÀ
                                                  Â ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÉ ÃÐÀÔÈÊÅ
      – äëÿ ðàçâèòèÿ è òðåíèðîâêè ïðî-
ñòðàíñòâåííîãî âîîáðàæåíèÿ,                        Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.
      – ýêñïåðèìåíòèðîâàíèÿ è èçîáðåòà-            Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ âûáðàí 12-ãðàí-
òåëüñòâà (îòêðûòèå íîâûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ      íèê, ãðàíè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ êîíãðóýíò-
ôàêòîâ, ñîçäàíèå íîâûõ òåë è ò. ä.),         íûìè ðîìáàìè. Òàêîé ìíîãîóãîëüíèê ïðè-
      – ïîääåðæêè òâîð÷åñêîé äåÿòåëüíî-      âëåêàòåëåí ñ ýñòåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è
ñòè (íàïðèìåð, ðàáîòà ñ îòêðûòûìè çàäà-      ê òîìó æå ïðåäîñòàâëÿåò ðàçíîîáðàçíûå
÷àìè).                                       âîçìîæíîñòè äëÿ èññëåäîâàíèÿ.

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                             107


Ã. Øóìàí




     Ðèñóíîê 1                    Ðèñóíîê 2                      Ðèñóíîê 3


      Äàííàÿ òåìà îòíîñèòñÿ ê ïðîãðàììå          Âèçóàëèçàöèÿ.
ïî ãåîìåòðèè 9/10 êëàññà.                        Òåïåðü íóæíî ñäåëàòü ðîìáîäîäåêà-
      Ñðåäñòâà ïå÷àòè, ê ñîæàëåíèþ, ïëî-   ýäð «îñÿçàåìûì». Äëÿ ýòîãî åãî ðàçâåðò-
õî ïðèñïîñîáëåíû äëÿ àäåêâàòíîãî îòðà-     êà, ïîñòðîåííàÿ àâòîìàòè÷åñêè èëè âðó÷-
æåíèÿ âñåãî ïðîöåññà è ðåçóëüòàòîâ ðàáî-   íóþ, âûâîäèòñÿ íà ïå÷àòü, çàòåì âûðåçàåò-
òû ñ êîìïüþòåðíûì èíñòðóìåíòîì.            ñÿ è èç íåå ñêëàäûâàåòñÿ ðîìáîäîäåêà-
                                           ýäð. Ìîäåëü çàêðåïëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ñêîò-
      Ïîñòðîåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë.       ÷åì. Îäíà èç ãðàíåé ìîæåò ñëóæèòü
      Ìû èñõîäèì èç «äâîéíîé» ïèðàìè-      «îêîøêîì», ÷åðåç êîòîðîå ìîæíî çàãëÿ-
äû, ñîñòàâëåííîé èç äâóõ îäèíàêîâûõ ÷å-    íóòü âíóòðü ðîìáîäîäåêàýäðà.
òûðåõóãîëüíûõ ïèðàìèä, âûñîòû êîòîðûõ            Ñ ïîìîùüþ ìûøè ìîæíî ìåíÿòü ïî-
ðàâíû ïîëîâèíå ñòîðîíû îñíîâàíèÿ (ðè-      ëîæåíèå ðîìáîäîäåêàýäðà, ñòàâÿ åãî íà
ñóíîê 1). Ýòó ïèðàìèäó ìîæíî âûðåçàòü      âåðøèíû 3- è 4-ãðàííûõ óãëîâ, íà ðåáðà,
èç êóáèêà (ðèñóíîê 2) èëè ïîñòðîèòü â      íà ãðàíè (ðèñóíêè 6–9). Åãî ìîæíî ïî-
ñðåäå KOÅRPERGEOMETRIE.                    âåðíóòü òàê, ÷òî åãî ïðîåêöèÿ íà ýêðàí
      Íà ðèñóíêàõ 3, 4, 5 ïîêàçàíî, êàê    áóäåò âûãëÿäåòü, êàê êâàäðàò èëè ïðàâèëü-
èç òàêîé ïèðàìèäû ìîæíî âûðåçàòü òåëî,     íûé 6-óãîëüíèê. Íà ðèñóíêå 10 ïîêàçàíà
ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ðîìáû. Íà ðè-    ðàñêðàøåííàÿ ìîäåëü. Ðàñêðàñêà ïîìîãà-
ñóíêå 5 ïîêàçàíà òàêæå ðàçâåðòêà ãðàíåé,   åò ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè âðó÷íóþ. Íà
ñîñòîÿùàÿ èç 12-òè êîíãðóýíòíûõ ðîìáîâ     ðèñóíêå 11 èìèòèðîâàíî îñâåùåíèå ìî-
(Ïî÷åìó îíè êîíãðóýíòíû? ×åìó ðàâíî îò-    äåëè, à íà ðèñóíêå 12 èçîáðàæåíî òåëî â
íîøåíèå èõ äèàãîíàëåé?). Ýòîò 12-ãðàí-     ïåðñïåêòèâíîì èçîáðàæåíèè. Äàëüíåéøèå
íèê èìååò 24 ðåáðà è 14 âåðøèí.            âîçìîæíîñòè âèçóàëèçàöèè ïðîäåìîíñòðè-
      Ïîñòðîåííîå òåëî íàçûâàåòñÿ ðîì-     ðîâàíû íà ðèñóíêàõ 13–14, íà êîòîðûõ
áîäîäåêàýäð (Rhombic Dodecahedron – â      ïîêàçàíû ïðîåêöèè òåëà íà òðè âçàèìíî
àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå).                  ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè.




        Ðèñóíîê 4
                                                     Ðèñóíîê 5


108 ©    ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.


          Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè




    Ðèñóíîê 6            Ðèñóíîê 7             Ðèñóíîê 8           Ðèñóíîê 9

                    ÐÀÑ×ÅÒ È ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ

      Â äàííîì òåëå èìåþòñÿ 2- , 3- è 4-ãðàííûå óãëû. Ïëîñêèå
óãëû ïðè âåðøèíàõ 4-ãðàííûõ óãëî⠖ îñòðûå, èõ ìîæíî èçìåðèòü
íåïîñðåäñòâåííî. Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ – 70,5î (×åìó ðàâíî òî÷íîå
çíà÷åíèå?). Êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò îäèí 3-ãðàííûé óãîë ñ ÷å-
òûðüìÿ 4-ãðàííûìè óãëàìè. Ìíîæåñòâî âñåõ ðåáåð ñîñòîèò èç ÷å-
òûðåõ ïîäìíîæåñòâ, ïî 6 ïàðàëëåëüíûõ ðåáåð â êàæäîì. Èçìåðå-      Ðèñóíîê 10
íèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàíè ïåðåñåêàþòñÿ ïîä óãëîì 120î (ðèñóíîê
16, à îáîñíîâàíèå?). Ïðè äâèæåíèè ìûøè âäîëü òåëà âûñâå÷èâàþò-
ñÿ äëèíû ðåáåð è ïëîùàäè ãðàíåé. Ïðè äëèíå ðåáðà â 2 åäèíèöû
ïðîãðàììà KOÅRPERGEOMETRIE äàåò äëÿ îáúåìà òåëà è ïëîùà-
äè åãî ïîâåðõíîñòè çíà÷åíèÿ 24,4 è 45,0 ñîîòâåòñòâóþùèõ åäèíèö.
(Êàêîâû ôîðìóëû, âûðàæàþùèå çàâèñèìîñòü îáúåìà ðîìáîäîäå-
êàýäðà è ïëîùàäè åãî ïîâåðõíîñòè îò äëèíû ðåáðà?).

      ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÎÁÚÅÊÒÎÂ ÂÍÓÒÐÈ ÒÅËÀ È ÍÀ ÍÅÌ
                                                                  Ðèñóíîê 11
      Ïðîâåäåì ñíà÷àëà äèàãîíàëè âíóòðè òåëà. Èç âåðøèíû 4-
ãðàííîãî óãëà âûõîäÿò 5 äèàãîíàëåé, èç êîòîðûõ 4 ðàâíû äðóã
äðóãó (ðèñóíîê 17), à èç âåðøèíû 3-ãðàííîãî óãëà – 7 äèàãîíà-
ëåé, èç êîòîðûõ 3 ïàðû îäèíàêîâûõ (ðèñóíîê 18). Âñåãî 43 äèà-
ãîíàëè, èõ ìîæíî ðàçáèòü íà 4 ïîäãðóïïû, îáúåäèíÿÿ â îäíó ïîä-
ãðóïïó äèàãîíàëè îäèíàêîâîé äëèíû. Êàêèå èç äèàãîíàëåé ÿâëÿ-
þòñÿ îñÿìè ñèììåòðèè? Äèàãîíàëè, ñîåäèíÿþùèå äèàìåòðàëüíî
ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû, ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 19. Âîêðóã ðîìáî-
äîäåêàýäðà íåëüçÿ îïèñàòü ñôåðó, òàê êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó äèà-
ìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûìè 3-ãðàííûìè óãëàìè êîðî÷å, ÷åì          Ðèñóíîê 12




          Ðèñóíîê 13                  Ðèñóíîê 14

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                        109


Ã. Øóìàí




            Ðèñóíîê 15                                 Ðèñóíîê 16

                  ìåæäó òàêèìè æå 4-ãðàííûìè óãëàìè. Ïðîâåðèì, ìîæíî ëè âïè-
                  ñàòü â ðîìáîäîäåêàýäð ñôåðó. Äëÿ ýòîãî ñîåäèíèì ñåðåäèíû ïðî-
                  òèâîïîëîæíûõ ãðàíåé (ðèñóíîê 20), èçìåðèì äëèíû ýòèõ îòðåç-
                  êîâ è ïðîâåðèì, ïåðïåíäèêóëÿðíû ëè îíè ñîîòâåòñòâóþùèì ãðà-
                  íÿì (ðèñóíîê 21). Îêàçûâàåòñÿ, âïèñàííàÿ ñôåðà ñóùåñòâóåò, íî
                  ïîñòðîèòü åå ñðåäñòâàìè KOÅRPERGEOMETRIE íåâîçìîæíî.
                        Êàêèå ïëîñêîñòè è ñêîëüêî èõ ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç äèà-
                  ãîíàëè ðîìáîäîäåêàýäðà? Êàêèå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè
   Ðèñóíîê 17
                  ñèììåòðèè, òî åñòü äåëÿò òåëî íà çåðêàëüíî ñèììåòðè÷íûå ÷àñòè?
                  Ðèñóíîê 22 äàåò ïðèìåð îòñóòñòâèÿ çåðêàëüíîé ñèììåòðèè. Íà
                  ðèñóíêå 23 ïîâåðõíîñòü ðàçðåçàíà íà äâå ñèììåòðè÷íûå ÷àñòè.
                  Êàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ïîëó÷àþòñÿ ïðè ñå÷åíèè ïîâåðõíîñòè ïëîñ-
                  êîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç äèàãîíàëè?
                        Ðàññìîòðèì òåïåðü ñå÷åíèÿ ðîìáîäîäåêàýäðà. Íàïðèìåð, ñå-
                  ÷åíèå ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíû
                  (ðèñóíîê 24), ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, â ÷åì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïîâåð-
                  íóâ ìíîãîãðàííèê òàê, ÷òîáû ñå÷åíèå ñòàëî ïàðàëëåëüíî ýêðàíó.
  Ðèñóíîê 18      Åñëè ñåêóùóþ ïëîñêîñòü ïåðåíåñòè ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå òàê,
                  ÷òîáû îíà ïðîõîäèëà ÷åðåç ñåðåäèíû ðåáåð(ðèñóíîê 25), òî ñå÷å-
                  íèå ïðèíèìàåò ôîðìó ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Ïðîâîäÿ ñå-
                  ÷åíèå ÷åðåç òðè äðóãèå òî÷êè (ðèñóíîê 26), ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûé
                  òðåóãîëüíèê. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïðèâîäèò ê ïðàâèëüíîìó øå-
                  ñòèóãîëüíèêó (ðèñóíîê 27), à çàòåì ê îñåñèììåòðè÷íîìó ðàâíî-
                  ñòîðîííåìó äåâÿòèóãîëüíèêó (ðèñóíîê 28). Ñóùåñòâóåò ëè ñå÷å-
                  íèå ñ åùå áîëüøèì ÷èñëîì âåðøèí?

                                   ÂÏÈÑÛÂÀÍÈÅ È ÐÀÇÂÅÐÒÊÀ
   Ðèñóíîê 19
                      Êàêèå òåëà ìîæíî âïèñàòü â ðîìáîäîäåêàýäð? Íàïðèìåð,
                  ìîæíî âïèñàòü êóáèê (ðèñóíîê 29).




    Ðèñóíîê 20                                   Ðèñóíîê 21

110 ©   ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.

    Ðèñóíîê 18


       Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè




          Ðèñóíîê 22                         Ðèñóíîê 23




          Ðèñóíîê 24                         Ðèñóíîê 25




          Ðèñóíîê 26                         Ðèñóíîê 27




          Ðèñóíîê 28                            Ðèñóíîê 29

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                           111


Ã. Øóìàí




       Ðèñóíîê 30                                  Ðèñóíîê 31


      ×åìó ðàâíà äëèíà åãî ðåáðà? Ðèñó-    íî ðàñïîëîæèòü òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðè-
íîê 30 ïîêàçûâàåò, êàêèå ñå÷åíèÿ âûðå-     ñóíêå 34.) Êðîìå òîãî, ñþäà ìîãóò áûòü
çàþò êóáèê. Ñèììåòðè÷íîñòü êóáèêà îï-      âïèñàíû: ïðàâèëüíûé îêòàýäð (ðèñóíîê 35,
ðåäåëÿåò õàðàêòåð ñèììåòðèè ñå÷åíèé òàê    «îáîëî÷êà» è êàðêàñ), ïðàâèëüíûé òåòðà-
æå, êàê ñèììåòðèÿ äâîéíîé ïèðàìèäû         ýäð (ðèñóíîê 36), êóáîêòàýäð (ðèñóíîê 37).
ïîðîæäàåò ñâîéñòâà ñèììåòðèè ðîìáîäî-      Âïèñàâ îäèí ïðàâèëüíûé òåòðàýäð â äðó-
äåêàýäðà. Íàø äîäåêàýäð ìîæíî ïðåä-        ãîé, ïîëó÷èì «çâåçäíûé» ìíîãîãðàííèê, íà-
ñòàâëÿòü êàê ðåçóëüòàò ñîåäèíåíèÿ øåñ-     çûâàåìûé STELLA OCTANGULA (âîñüìè-
òè ÷åòûðåõóãîëüíûõ ïèðàìèä, âûñîòà êî-     óãîëüíàÿ çâåçäà), êîòîðûé íå ìîæåò áûòü
òîðûõ ðàâíà ïîëîâèíå âûñîòû êóáèêà.        ïîëó÷åí â KORPERGEOMETRIE, òàê êàê
Ýòî ìîæíî ïðåäñòàâèòü åùå è òàê: âåð-      ýòà ïðîãðàììà ïîääåðæèâàåò ñîçäàíèå ëèøü
øèíà ïèðàìèäû çåðêàëüíî îòðàæàåòñÿ îò-     âûïóêëûõ òåë. Äîïîëíèòåëüíî ìû ðàññìàò-
íîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ, è îòðà-      ðèâàåì ðàçëîæåíèå ðîìáîäîäåêàýäðà íà 4
æåííàÿ âåðøèíà ïîïàäàåò â öåíòð êóáè-      êîíãðóýíòíûõ ïàðàëëåëåïèïåäà ñ ðîìáà-
êà (ðèñóíîê 31).                           ìè â êà÷åñòâå ãðàíåé (ðèñóíîê 38), èç êî-
      Ðèñóíîê 32 ïîêàçûâàåò êàðêàñ êó-     òîðûõ îäèí ïîêàçàí íà ðèñóíîê 39. Íà-
áèêà è åãî ðàçáèåíèå íà ÷àñòè. Íà ðèñóí-   êîíåö, ñðåçàÿ âåðøèíû øåñòè ÷åòûðåõ-
êå 33 øåñòü ïèðàìèä ñîåäèíÿþòñÿ â îäèí     ãðàííûõ óãëîâ ïî ñåðåäèíàì ðåáåð, ïîëó-
êóáèê. Îáúåì äîäåêàýäðà ðàâåí óäâîåí-      ÷àåì òàê íàçûâàåìûé ðîìáîêóáîîêòàýäð
íîìó îáúåìó êóáèêà. (Ãîëîâîëîìêà: â êó-    (ðèñóíêè 40, 41, 42).
áèêå, ñîñòàâëåííîì èç 8 òàêèõ êóáèêîâ            Êàê çàâèñÿò äëèíû ðåáåð, âûñîòû,
äîëæíû ïîìåñòèòüñÿ 4 äîäåêàýäðà. Êàê ýòî   îáúåìû è ïëîùàäè ïîâåðõíîñòåé ýòèõ òåë
âûãëÿäèò? Ïîäñêàçêà: 3 äîäåêàýäðà íóæ-     îò äëèíû ðåáðà ðîìáîäîäåêàýäðà?




              Ðèñóíîê 32                                  Ðèñóíîê 33

112 ©    ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.


       Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè




              Ðèñóíîê 34                             Ðèñóíîê 37




              Ðèñóíîê 35                               Ðèñóíîê 38




              Ðèñóíîê 36                             Ðèñóíîê 40




              Ðèñóíîê 39                          Ðèñóíîê 41

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                               113


Ã. Øóìàí




                        Ðèñóíîê 42                          Ðèñóíîê 44

                                                   ÏÐÈÑÎÅÄÈÍÅÍÈÅ
                                                    È ÇÀÏÎËÍÅÍÈÅ

                                           Ïðèñîåäèíÿÿ ðîìáîäîäåêàýäðû äðóã ê äðó-
                                     ãó, ìîæíî çàïîëíèòü ïðîñòðàíñòâî áåç ïóñòîò.
                                     Äëÿ èëëþñòðàöèè ñîåäèíèì ïÿòü òàêèõ äîäåêà-
                                     ýäðîâ (ðèñóíêè 43 è 44). Âîïðîñ äëÿ ëþáèòåëåé:
                                     êàêèå ðàçëè÷íûå, òî åñòü íåêîíãðóýíòíûå ïðî-
                                     ñòðàíñòâåííûå ôîðìû ìîæíî ïîëó÷èòü, ñîåäè-
                                     íÿÿ ïîäõîäÿùèì îáðàçîì 3, 4, ... êîíãðóýíòíûõ
                                     ðîìáîäîäåêàýäðà?
                                           Ðåøåíèÿ ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 45 (ñì. òàêæå
                                     http://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld/
                                     chap18b.htm ). Êðèñòàëëû òàêîé ôîðìû âñòðå-
           Ðèñóíîê 43                ÷àþòñÿ â ïðèðîäå, íàïðèìåð, Rhodochrosit
                                     (Magnesiumcarbonat) èëè ãðàíàò.




                                Ðèñóíîê 45

114 ©   ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.


           Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè

     Ïåðñïåêòèâà.                                   Ïî êëþ÷åâîìó ñëîâó «dodecahedra»
     Ýêñêóðñèÿ â ìèð ðîìáîäîäåêàýäðà        ïðîãðàììà Fireball íàõîäèò 722 ñòðàíèöû (ñî-
ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà â äâóõ íàïðàâëå-      ñòîÿíèå íà èþëü 2001) è êàê ðàç ïåðâûå
íèÿõ. Ñóùåñòâóþò ëè åùå êàêèå-íèáóäü        äåñÿòü èç íèõ ïðèíàäëåæàò ñïåöèàëèñòó ïî
äâåíàäöàòèãðàííèêè, êðîìå ðîìáîäîäåêà-      ìíîãîãðàííèêàì Ãåîðãó Õàðòó (George W. Hart)
ýäðà è ïðàâèëüíîãî ïåíòàãîíäîäåêàýäðà?      (http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/
Êàêèå åùå òåëà, êðîìå ðîìáîïàðàëëåëå-       dodecahedra.html). Â íèõ ñîäåðæèòñÿ èíòåðå-
ïèïåäà, ìîæíî ñîòàâèòü èç êîíãðóýíòíûõ      ñóþùàÿ íàñ èíôîðìàöèÿ. Ìîæíî òàêæå âîñ-
ðîìáîâ? Äëÿ ÷àñòè÷íûõ îòâåòîâ íà ýòè        ïîëüçîâàòüñÿ ïîèñêîâîé ïðîãðàììîé ñàìîãî
âîïðîñû ìû èñïîëüçóåì Èíòåðíåò.             Õàðòà: http://www.georgehart.com/search.html).

     Ëèòåðàòóðà.
     1. Bauer, H., Freiberger, U., Kuhlewind, G. Schumann, H. (1999): KORPER-
GEOMETRIE (Software mit Manual). Berlin Cornelsen.
     2. Schumann, H.(2000): Computerunterstutztes Losen offener raumgeometrischer.
     3. Aufgaben. In: ZDM Zentralblatt für Didaktik der Mathematik Nr. 6.
     4. Schumann, H.(2001): Raumgeometrie, Unterricht mit Computerwerkzeugen. Berlin.
Cornelsen.




                                            Heinz Schumann,
                                            Prof. Dr. habil, Fakultat III,
                                            Mathematik/Informatik,
                                            Institur fur Bildungsinformatik
                                            University of Education (PH),
                                            Weingarten, Germany.
                                            Ïåðåâîä Ì.È. Þäîâèíà.

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                 115



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика