Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Движение космических тел в компьютерных моделях. II Задача многих тел

Голосов: 1

Статья продолжает материалы из журнала № 3/4 за 2001 год. Автор представляет моделирующую компьютерную программу пакета "Движение космических тел", на примере задачи многих тел. Траектория движения тел строится путем численного интегрирования уравнений движения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Áóòèêîâ Å.È.




                                                       Áóòèêîâ Åâãåíèé Èâàíîâè÷


               ÄÂÈÆÅÍÈß ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÒÅË
                Â ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÕ ÌÎÄÅËßÕ
                   II. ÇÀÄÀ×À ÌÍÎÃÈÕ ÒÅË

     ÂÂÅÄÅÍÈÅ. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ                ðîâ êåïëåðîâîé îðáèòû, è ïîïûòàòüñÿ íàé-
      È ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß                   òè àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ýòèõ ìåä-
                                            ëåííûõ èçìåíåíèé.  çàäà÷àõ î ìåæïëà-
      Òî÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äèô-     íåòíûõ ïåðåëåòàõ ìîæíî ïðèìåíÿòü ïðè-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ çà-        áëèæåííûé àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ñîïðÿ-
ìå÷àòåëüíû òåì, ÷òî îïèñûâàåìûå òàêèìè      æåííûõ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé (ñì. íèæå).
ðåøåíèÿìè äâèæåíèÿ îêàçûâàþòñÿ âåñü-        Êîãäà æå âîçìóùåíèÿ íåëüçÿ ñ÷èòàòü ìà-
ìà ïðîñòûìè.  ÷àñòíîñòè, êëàññè÷åñêàÿ      ëûìè, êàê, íàïðèìåð, â îáùåì ñëó÷àå òàê
çàäà÷à Êåïëåðà 1 î äâèæåíèè òåëà ïîä äåé-   íàçûâàåìîé çàäà÷è òðåõ òåë, äàæå ïðè-
ñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû òÿãîòåíèÿ, îá-      áëèæåííûå ðåøåíèÿ ïîëó÷èòü íå óäàåòñÿ.
ðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ðàññòî-     Òîãäà îñòàåòñÿ ïîëàãàòüñÿ òîëüêî íà ÷èñ-
ÿíèÿ, èìååò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, êî-      ëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâè-
òîðîå îïèñûâàåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûå        æåíèÿ.
âîçìîæíûå äâèæåíèÿ ïî êîíè÷åñêèì ñå-              Ïîÿñíèì èäåþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ
÷åíèÿì. Ê ñîæàëåíèþ, òî÷íûå ðåøåíèÿ         ðàñ÷åòà äâèæåíèÿ. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî
ðåäêî âñòðå÷àþòñÿ â ôèçèêå. Ïðè íàëè-       íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè çàäàíû ïî-
÷èè âîçìóùàþùèõ âîçäåéñòâèé (òÿãîòåíèå
äðóãèõ ïëàíåò, îòëè÷èå ñèëû òÿãîòåíèÿ íå-
áåñíîãî òåëà îò ñòðîãîé ñôåðè÷åñêîé ñèì-
ìåòðèè, è ò.ï.) óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñòà-
íîâÿòñÿ íåèíòåãðèðóåìûìè. Ïðèñóùåå
êåïëåðîâûì äâèæåíèÿì «÷óäî» çàìêíóòûõ
îðáèò, ðàâíî êàê è çàìå÷àòåëüíàÿ èõ ïðî-
ñòîòà, áåññëåäíî èñ÷åçàþò. Ìàòåìàòè÷åñ-
êîå èññëåäîâàíèå âîçìóùåííûõ äâèæåíèé
íåèçìåðèìî óñëîæíÿåòñÿ.
      Êîãäà âîçìóùàþùèå âîçäåéñòâèÿ
ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ îñíîâíîé ñèëîé òÿ-
ãîòåíèÿ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåí-
íûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû.  íåêîòîðûõ
ñëó÷àÿõ äîïóñòèìî ïðèíÿòü êåïëåðîâî äâè-
                                            Íà îñíîâå çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ
æåíèå â êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ,      ìîæíî âû÷èñëèòü ãðàâèòàöèîííîå óñêîðåíèå,
ñ÷èòàÿ, ÷òî âîçìóùåíèÿ âûçûâàþò ñðàâ-       ñîîáùàåìîå äàííîìó òåëó êàæäûì íåáåñíûì
íèòåëüíî ìåäëåííûå èçìåíåíèÿ ïàðàìåò-       òåëîì â îòäåëüíîñòè...



4       © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.


                        Äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêèõ òåë â êîìïüþòåðíûõ ìîäåëÿõ.
                                                     II. Çàäà÷à ìíîãèõ òåë.

ëîæåíèå è ñêîðîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî         ìåòîä Ðóíãå – Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
êîñìè÷åñêîãî òåëà (ïëàíåòû, êîñìè÷åñêî-     òî÷íîñòè, ëèøåííûé íåäîñòàòêîâ, ïðèñó-
ãî àïïàðàòà), à òàêæå ðàñïîëîæåíèå âñåõ     ùèõ ïðîñòîìó ìåòîäó Ýéëåðà. Ìåòîä Ðóí-
íåáåñíûõ òåë, ñîîáùàþùèõ åìó óñêîðå-        ãå – Êóòòà èñïîëüçîâàí è â ïàêåòå ïðî-
íèå ñâîèìè ñèëàìè òÿãîòåíèÿ. Íà îñíîâå      ãðàìì «Äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêèõ òåë», ïðè-
çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ìîæíî âû-       ëàãàåìîì ê äàííîé ñòàòüå. 2 Íà ïðàêòèêå
÷èñëèòü ãðàâèòàöèîííîå óñêîðåíèå, ñîîá-     ïðîâåðèòü êà÷åñòâî èñïîëüçóåìîãî ÷èñëåí-
ùàåìîå äàííîìó òåëó êàæäûì íåáåñíûì         íîãî àëãîðèòìà ìîæíî, ïðèìåíÿÿ åãî ê
òåëîì â îòäåëüíîñòè, à çíà÷èò, è ïîëíîå     çàäà÷å Êåïëåðà, è ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò ñ
óñêîðåíèå êàê âåêòîðíóþ ñóììó ýòèõ óñ-      èçâåñòíûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì.
êîðåíèé. Çíàÿ âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå              Ïðè äîáàâëåíèè åùå îäíîãî òåëà ê
ñêîðîñòè òåëà, ìîæíî, ó÷èòûâàÿ âû÷èñ-       ñèñòåìå äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë çà-
ëåííîå óñêîðåíèå è ñ÷èòàÿ åãî ïîñòîÿí-      äà÷à â îáùåì ñëó÷àå ñòàíîâèòñÿ àíàëèòè-
íûì, ðàññ÷èòàòü ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü        ÷åñêè íåðàçðåøèìîé, â òî âðåìÿ êàê ïðè
òåëà ÷åðåç íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìå-      èñïîëüçîâàíèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ íèêà-
íè («øàã» èíòåãðèðîâàíèÿ). Äëÿ íàéäåí-      êèõ ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé íå âîç-
íîãî íîâîãî ïîëîæåíèÿ ìîæíî ñíîâà ðàñ-      íèêàåò, ëèøü íåñêîëüêî âîçðàñòàåò îáúåì
ñ÷èòàòü óñêîðåíèå òåëà, è çàòåì ïî òîé æå   íåîáõîäèìûõ âû÷èñëåíèé.
ñõåìå ðàññ÷èòàòü ñëåäóþùåå ïîëîæåíèå
òåëà è åãî ñêîðîñòü, è òàê äàëåå. Òàêèì         ÏÐÅÖÅÑÑÈß ÝÊÂÀÒÎÐÈÀËÜÍÎÉ
ïóòåì ìîæíî øàã çà øàãîì ïðîñëåäèòü âñå         ÎÐÁÈÒÛ ÑÏÓÒÍÈÊÀ ÏËÀÍÅÒÛ
äâèæåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî òåëà.
      Åäèíñòâåííîå ïðèáëèæåíèå, êîòîðîå           Íàøó ïëàíåòó ìîæíî ñ÷èòàòü ñôå-
ïðè ýòîì ïðèõîäèòñÿ äîïóñêàòü, çàêëþ÷à-     ðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ëèøü â ïåðâîì
åòñÿ â òîì, ÷òî â òå÷åíèå êàæäîãî íåáîëü-   ïðèáëèæåíèè. Îñíîâíîå îòêëîíåíèå âûç-
øîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè (øàãà ðàñ÷å-        âàíî «ñïëþñíóòîñòüþ» çåìíîãî øàðà, ó
òà) óñêîðåíèå òåëà ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííûì,    êîòîðîãî ïîëÿðíûé ðàäèóñ íà 21 êì êî-
òîãäà êàê íà ñàìîì äåëå îíî âñå âðåìÿ       ðî÷å ýêâàòîðèàëüíîãî. Ïîýòîìó ãðàâèòà-
èçìåíÿåòñÿ. Íî òî÷íîñòü ðàñ÷åòà ìîæíî       öèîííîå ïîëå Çåìëè íå èìååò ñòðîãîé
ïîâûñèòü, óìåíüøàÿ øàã èíòåãðèðîâàíèÿ.      ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè.  íåáåñíîé ìå-
Êîíå÷íî, çà ïîâûøåíèå òî÷íîñòè ïðèõî-       õàíèêå Çåìëþ èíîãäà ïðåäñòàâëÿþò â âèäå
äèòñÿ ïëàòèòü óâåëè÷åíèåì îáúåìà âû÷èñ-     øàðà ñ íàäåòûì íà íåãî ïî ýêâàòîðó ìàñ-
ëåíèé.                                      ñèâíûì îáðó÷åì, òî åñòü âìåñòî ïîëÿðíî-
      Ìû îïèñàëè çäåñü òàê íàçûâàåìûé       ãî ñæàòèÿ èñïîëüçóþò ýêâèâàëåíòíîå ïðåä-
àëãîðèòì Ýéëåðà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðî-
âàíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, èçâåñòíûé òàê-
æå êàê ìåòîä ëîìàíûõ. Ýòîò ìåòîä äàåò
ñðàâíèòåëüíî íåâûñîêóþ òî÷íîñòü è ïðè-
âîäèò ê íàêàïëèâàþùèìñÿ îøèáêàì. Ñó-
ùåñòâóåò ìíîæåñòâî óëó÷øåííûõ ìîäèôè-
êàöèé àëãîðèòìà Ýéëåðà. Íàïðèìåð, ìîæ-
íî ïðåäñêàçàòü äëÿ î÷åðåäíîãî øàãà íî-
âûå ïîëîæåíèÿ òåë (à çíà÷èò è íîâûå óñ-
êîðåíèÿ â êîíöå ýòîãî øàãà), à çàòåì ïî-
âòîðèòü ýòîò øàã åùå ðàç, âçÿâ äëÿ óñêî-
ðåíèÿ êàæäîãî èç òåë ñðåäíåå ìåæäó óñ-
êîðåíèåì â íà÷àëå äàííîãî øàãà è ïðåä-
ñêàçàííûì óñêîðåíèåì äëÿ êîíöà øàãà.          Â íåáåñíîé ìåõàíèêå Çåìëþ èíîãäà
Ïðè êîìïüþòåðíîì ìîäåëèðîâàíèè îáû÷-          ïðåäñòàâëÿþò â âèäå øàðà ñ íàäåòûì
íî èñïîëüçóþò íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíûé         íà íåãî ïî ýêâàòîðó ìàññèâíûì îáðó÷åì...



ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                      5


Áóòèêîâ Å.È.

ñòàâëåíèå îá ýêâàòîðèàëüíîì «âçäóòèè»         ñÿ íåèçìåííûì, òî åñòü ïëîñêîñòü îðáèòû
Çåìëè. Â âûðàæåíèè äëÿ ñèëû òÿãîòåíèÿ,        ìåäëåííî ïðåöåññèðóåò âîêðóã çåìíîé îñè.
äåéñòâóþùåé íà ñïóòíèê Çåìëè, áëàãîäà-              Ïðè äâèæåíèè â ýêâàòîðèàëüíîé
ðÿ ýêâàòîðèàëüíîìó «îáðó÷ó» ïðèñóòñòâóåò      ïëîñêîñòè ïëàíåòû çàäà÷à óïðîùàåòñÿ,
äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí ñ îñåâîé ñèììåòðè-        èáî äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ñïóò-
åé. Ïðè ó÷åòå òàêèõ èñêàæåíèé ïîëÿ òÿ-        íèêà «îáðó÷åì» íàïðàâëåíà ê öåíòðó, òî
ãîòåíèÿ äâèæåíèå ñïóòíèêà ïðîèñõîäèò          åñòü êàê è â ñëó÷àå ñôåðè÷åñêè ñèììåò-
óæå íå ïî êåïëåðîâó ýëëèïñó, à ïî âåñü-       ðè÷íîé ïëàíåòû çàâèñèò òîëüêî îò ðàñ-
ìà ñëîæíîé òðàåêòîðèè, â îáùåì ñëó-           ñòîÿíèÿ r äî öåíòðà ïëàíåòû. Íî ýòà çàâè-
÷àå íå çàìêíóòîé è íå ëåæàùåé â îäíîé         ñèìîñòü ñòàíîâèòñÿ áîëåå ñëîæíîé: ê ãëàâ-
ïëîñêîñòè. Ïîñëå ñîâåðøåíèÿ îäíîãî            íîìó ÷ëåíó, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîìó
îáîðîòà ñïóòíèê óæå íå ïîïàäàåò â ïðå-        êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ, äîáàâëÿåòñÿ íåáîëü-
æíþþ òî÷êó.                                   øîé ÷ëåí, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûé ÷åò-
      Äëÿ ñïóòíèêà, íàõîäÿùåãîñÿ íà           âåðòîé ñòåïåíè ðàññòîÿíèÿ r:
î÷åíü áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò Çåìëè, ôàê-
                                                            mM       R2
òè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ìàññû Çåìëè íå-               F = − G 2 (1 + b 2 ).
ñóùåñòâåííî. Äðóãèìè ñëîâàìè, íà î÷åíü                       r       r
áîëüøîì ðàññòîÿíèè ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåì-              Â ýòîé ôîðìóëå G - ãðàâèòàöèîííàÿ
ëè ìîæíî ñ÷èòàòü òàêèì, êàê åñëè áû âñÿ       ïîñòîÿííàÿ, m - ìàññà ñïóòíèêà, M - ìàñ-
ìàññà Çåìëè áûëà ñîñðåäîòî÷åíà â åå öåí-      ñà ïëàíåòû, R - åå ýêâàòîðèàëüíûé ðàäè-
òðå: ñèëà òÿãîòåíèÿ óáûâàåò îáðàòíî ïðî-      óñ. Çíà÷åíèå áåçðàçìåðíîé êîíñòàíòû b
ïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ. Èñ-         çàâèñèò îò ñòåïåíè «ñïëþñíóòîñòè» ïëà-
êàæåíèå öåíòðàëüíîãî ïîëÿ òÿãîòåíèÿ ïëà-      íåòû: îíî ðàâíî îòíîøåíèþ äîïîëíèòåëü-
íåòû, âûçâàííîå åå ñïëþñíóòîñòüþ âäîëü        íîãî ÷ëåíà ñèëû òÿãîòåíèÿ ê ãëàâíîìó
îñè, îïèñûâàåòñÿ ìàëûì äîïîëíèòåëüíûì         (íüþòîíîâñêîìó) ÷ëåíó íà ðàññòîÿíèè R
÷ëåíîì, óáûâàþùèì ãîðàçäî áûñòðåå –           îò öåíòðà ïëàíåòû.
îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷åòâåðòîé ñòå-               ñëó÷àå îñåâîãî ñæàòèÿ ïëàíåòû
ïåíè ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ïëàíåòû. Äî-        êîíñòàíòà b ïîëîæèòåëüíà (b > 0). Ó Çåì-
ïîëíèòåëüíàÿ ñèëà òÿãîòåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ      ëè «ñïëþñíóòîñòü» íåâåëèêà: çíà÷åíèå
íà ñïóòíèê ñî ñòîðîíû ìàññèâíîãî ýêâà-        áåçðàçìåðíîé ïîñòîÿííîé b ñîñòàâëÿåò
òîðèàëüíîãî «îáðó÷à», â îáùåì ñëó÷àå íå       âñåãî ëèøü 0,0016. Äëÿ ãèïîòåòè÷åñêîé
íàïðàâëåíà ê öåíòðó îáðó÷à. Ïîýòîìó ïîë-      ïëàíåòû, âûòÿíóòîé âäîëü îñè (ïîõîæåé
íàÿ ñèëà òÿãîòåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ òîëüêî     íà ìÿ÷ äëÿ ðåãáè), êîíñòàíòà b îòðèöà-
îñåâîé (à íå ñôåðè÷åñêîé) ñèììåòðèåé.         òåëüíà (b < 0).  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ìîæ-
      Êîãäà èñêàæåíèÿ ñôå-                                  íî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ïëà-
ðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ                                  íåòó â âèäå øàðà ñ äîïîë-
òÿãîòåíèÿ íåâåëèêè, óäîáíî                                  íèòåëüíûìè òî÷å÷íûìè ìàñ-
ñ÷èòàòü, ÷òî ñïóòíèê äâèæåò-                                ñàìè íà ïîëþñàõ – ñâîåãî
ñÿ ïî ýëëèïñó, íî ñàì ýòîò ýë-                              ðîäà ïîëÿðíûìè «øàïêà-
ëèïñ íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ.                                 ìè».  ïåðâîì ñëó÷àå äîïîë-
Òàêóþ êåïëåðîâó îðáèòó ñ ïî-                                íèòåëüíûé ÷ëåí óñèëèâàåò
ñòåïåííî èçìåíÿþùèìèñÿ ïà-                                  ïðèòÿæåíèå ýêâàòîðèàëüíîãî
ðàìåòðàìè Ëàãðàíæ íàçâàë                                    ñïóòíèêà ê ïëàíåòå íà ìàëûõ
îñêóëèðóþùåé. Èç-çà îòñóò-                                  ðàññòîÿíèÿõ, à âî âòîðîì -
ñòâèÿ ñôåðè÷åñêîé ñèììåò-                                   îñëàáëÿåò (ïî ñðàâíåíèþ ñî
                                ...ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü
ðèè ïëîñêîñòü îñêóëèðóþùåé                                  ñëó÷àåì ñôåðè÷åñêè ñèììåò-
                                ñåáå ïëàíåòó â âèäå øàðà
îðáèòû ïîñòåïåííî ïîâîðà- ñ äîïîëíèòåëüíûìè                 ðè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ,
÷èâàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå. Ïðè òî÷å÷íûìè ìàññàìè              êîãäà âñþ ìàññó ïëàíåòû
ýòîì óãîë ìåæäó îñüþ Çåìëè íà ïîëþñàõ - ñâîåãî ðîäà         ìîæíî ñ÷èòàòü ñîñðåäîòî-
è ïëîñêîñòüþ îðáèòû îñòàåò- ïîëÿðíûìè «øàïêàìè»...          ÷åííîé â åå öåíòðå).



6       © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.


                         Äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêèõ òåë â êîìïüþòåðíûõ ìîäåëÿõ.
                                                      II. Çàäà÷à ìíîãèõ òåë.

      Íàëè÷èå äîïîëíèòåëüíî-                             íî ñîîáùàåìîå ýòîé ñèëîé
ãî ÷ëåíà ó ñèëû òÿãîòåíèÿ, áû-                           ñïóòíèêó óñêîðåíèå áîëüøå,
ñòðåå (ïî ñðàâíåíèþ ñ îñíîâ-                             ÷åì íåîáõîäèìî äëÿ äâèæåíèÿ
íûì) óáûâàþùåãî ñ ðàññòîÿ-                               ïî êåïëåðîâó ýëëèïñó. Â ðåçóëü-
íèåì, îñîáåííî çàìåòíî ñêà-                              òàòå âáëèçè ïëàíåòû òðàåêòî-
çûâàåòñÿ íà ñèëüíî âûòÿíóòûõ                             ðèÿ èñêðèâëÿåòñÿ ñèëüíåå, ÷òî
îðáèòàõ ñïóòíèêîâ, âûçûâàÿ                               ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïîâîðîò
ïîñòåïåííûé ïîâîðîò áîëüøîé                              áîëüøîé îñè ýëëèïñà âîêðóã
îñè ýëëèïñà âîêðóã ôîêóñà ïðè                            öåíòðà ïëàíåòû. Òàêîé ïîâî-
íåèçìåííûõ ìàêñèìàëüíîì è                                ðîò, êàê ëåãêî âèäåòü, ïðîèñ-
ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèÿõ îò                               õîäèò â íàïðàâëåíèè îðáèòàëü-
öåíòðà ïëàíåòû. Òàêîé íåïðå-                             íîãî äâèæåíèÿ ñïóòíèêà. Ó
ðûâíûé ïîâîðîò îðáèòû îáû÷-                              Çåìëè ðåàëüíàÿ ñïëþñíóòîñòü
íî íàçûâàþò ïðåöåññèåé.                                  ìàëà, ïîýòîìó áîëüøàÿ îñü ýë-
      Êà÷åñòâåííîå îáúÿñíå-                              ëèïòè÷åñêîé îðáèòû çà îäèí
íèå ïðåöåññèè âûòÿíóòîé îð-                              îáîðîò ñïóòíèêà ïîâîðà÷èâà-
áèòû çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.                            åòñÿ íà î÷åíü ìàëûé óãîë, îä-
Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò                                íàêî ýòîò ýôôåêò íàêàïëèâàåò-
ïëàíåòû ïîëå òÿãîòåíèÿ ïî÷òè     ...ìíîãîëåïåñòêîâàÿ     ñÿ çà áîëüøîå ÷èñëî îáîðîòîâ
íå îòëè÷àåòñÿ îò êóëîíîâñêî-     òðàåêòîðèÿ âñþäó        ïî îðáèòå.
ãî, è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äâè-    ïëîòíî çàïîëíÿåò              Íàáëþäàåìàÿ â ìîäåëè-
æåíèå ñïóòíèêà ïðîèñõîäèò ïî     êîëüöåâóþ îáëàñòü...    ðóþùåì ýêñïåðèìåíòå ïðåöåñ-
êåïëåðîâó ýëëèïñó. Ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ        ñèÿ ýêâàòîðèàëüíîé îðáèòû â ïîëå òÿãî-
ê ïëàíåòå ðîëü äîïîëíèòåëüíîãî ÷ëåíà          òåíèÿ «ñïëþñíóòîé» ïëàíåòû èëëþñòðèðó-
ñèëû òÿãîòåíèÿ âîçðàñòàåò (îí ñèëüíåå çà-     åòñÿ íà ðèñóíêå 1. ×òîáû ýôôåêò áûë áî-
âèñèò îò ðàññòîÿíèÿ). Âáëèçè ïëàíåòû          ëåå çàìåòåí, ïðè ìîäåëèðîâàíèè ìîæíî
ñèëà òÿãîòåíèÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêî-       çàäàâàòü óòðèðîâàííî áîëüøèå çíà÷åíèÿ
ñòè áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå øàðîîáðàçíîé         (ïîðÿäêà åäèíèöû) áåçðàçìåðíîãî ïàðà-
ïëàíåòû òàêîé æå ìàññû, è ñîîòâåòñòâåí-       ìåòðà b, õàðàêòåðèçóþùåãî íåñôåðè÷íîñòü
                                              ïëàíåòû è âõîäÿùåãî â äîïîëíèòåëüíûé
                                              ÷ëåí ñèëû ïðèòÿæåíèÿ.
                                                    Íà ðèñóíêå 1 òîíêèìè ëèíèÿìè ïî-
                                              êàçàíû îñêóëèðóþùèå ýëëèïñû äëÿ òðåõ
                                              òî÷åê (S, A è B) òðàåêòîðèè. Åñëè áû äî-
                                              ïîëíèòåëüíûé ÷ëåí â âûðàæåíèè äëÿ ñèëû
                                              òÿãîòåíèÿ âíåçàïíî èñ÷åç, âñå ïàðàìåòðû
                                              îñêóëèðóþùåãî ýëëèïñà â äàëüíåéøåì
                                              îñòàâàëèñü áû íåèçìåííûìè, è äâèæåíèå
                                              ñïóòíèêà ïðîèñõîäèëî áû ïî ýëëèïñó, êà-
                                              ñàþùåìóñÿ äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè â
                                              ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå. Ýòîò ýëëèïñ äàåò
                                              ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå èñòèííîé òðà-
                                              åêòîðèè ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ íåêîòîðîé
                                              îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè.
                                                    Äåéñòâèòåëüíîå äâèæåíèå ñïóòíèêà
                                              õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ïåðèîäàìè: îäíèì
      Ðèñóíîê 1. Ïðåöåññèÿ îðáèòû ñïóò-       äëÿ ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ ìåæäó ìàêñè-
íèêà, êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â ýêâàòîðèàëü-       ìàëüíûì è ìèíèìàëüíûì óäàëåíèÿìè îò
íîé ïëîñêîñòè âîêðóã ïëàíåòû, «ñïëþñíó-       öåíòðà (äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ èçìåíåíèé ìî-
òîé» âäîëü îñè.                               äóëÿ ðàäèóñà-âåêòîðà), è äðóãèì – äëÿ ïîë-



ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                   7


Áóòèêîâ Å.È.

íîãî îáîðîòà ðàäèóñà-âåêòîðà.  îáùåì       öó íàøåãî åñòåñòâåííîãî ñïóòíèêà – Ëóíû,
ñëó÷àå ýòè ïåðèîäû íåñîèçìåðèìû, è ìíî-     êàê ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ïðåâîñõîäèò ñèëó
ãîëåïåñòêîâàÿ òðàåêòîðèÿ âñþäó ïëîòíî       ïðèòÿæåíèÿ ê Çåìëå. Â êàêîì æå ñìûñëå
çàïîëíÿåò êîëüöåâóþ îáëàñòü ìåæäó îê-       ìîæíî ãîâîðèòü îá îáðàùåíèè Ëóíû âîê-
ðóæíîñòÿìè, ïîêàçàííûìè øòðèõîâûìè          ðóã Çåìëè?
ëèíèÿìè íà ðèñóíêå 1. «×óäî» çàìêíóòûõ            Äåëî â òîì, ÷òî ïðè îïèñàíèè äâè-
êåïëåðîâûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèò îáóñëîâ-     æåíèÿ ñïóòíèêà ïëàíåòû ìû ðàññìàòðè-
ëåíî òî÷íûì ñîâïàäåíèåì ýòèõ äâóõ ïåðè-     âàåì åãî äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî ïëàíå-
îäîâ ïðè äâèæåíèè ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëü-   òû, à íå îòíîñèòåëüíî Ñîëíöà. À ñèñòåìà
íîé ñèëû òÿãîòåíèÿ, óáûâàþùåé îáðàòíî       îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñ ïëàíåòîé, íå ÿâëÿåò-
ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ.        ñÿ èíåðöèàëüíîé: îíà âìåñòå ñ ïëàíåòîé
       ñëó÷àå îñåâîãî «ðàñòÿæåíèÿ» ïëà-    ïîäâåðæåíà óñêîðåíèþ, íàïðàâëåííîìó ê
íåòû (èëè ïðè íàëè÷èè ïîëÿðíûõ «øà-         Ñîëíöó. Êîãäà ñïóòíèê íàõîäèòñÿ áëèçêî
ïîê») äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí ñèëû òÿãîòå-      ê ïëàíåòå, ñîëíå÷íîå ïðèòÿæåíèå ñîîá-
íèÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè îòðèöà-      ùàåò åìó ïî÷òè òàêîå æå óñêîðåíèå, êàê
òåëåí (b < 0), òàê êàê íà ìàëûõ ðàññòîÿ-    è ñàìîé ïëàíåòå. Ïîýòîìó âìåøàòåëüñòâî
íèÿõ îò ïëàíåòû ñèëà òÿãîòåíèÿ ìåíüøå,      Ñîëíöà â äâèæåíèå ñïóòíèêà îòíîñèòåëü-
÷åì ïðè ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì ðàñ-        íî ïëàíåòû îêàçûâàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíûì:
ïðåäåëåíèè ìàññ.  ñàìîì äåëå, ïðè ïðè-     â ãëàâíûõ ÷åðòàõ ýòî äâèæåíèå îïèñûâà-
áëèæåíèè ê ïëàíåòå ðàññòîÿíèå äî ïîëÿð-     åòñÿ çàêîíàìè Êåïëåðà. Òÿãîòåíèå ê Ñîë-
íûõ «øàïîê» óìåíüøàåòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì      íöó ïðîÿâëÿåòñÿ â âîçìóùàþùåì óñêîðå-
ðàññòîÿíèå äî åå öåíòðà.  ýòîì ñëó÷àå      íèè, êîòîðîå ðàâíî íå óñêîðåíèþ, ñîîá-
ïðè ïðèáëèæåíèè ê ïëàíåòå ñèëà òÿãîòå-      ùàåìîìó ñïóòíèêó Ñîëíöåì, à ðàçíîñòè
íèÿ ñîîáùàåò ñïóòíèêó ìåíüøåå óñêîðå-       óñêîðåíèé, ñîîáùàåìûõ Ñîëíöåì ñïóòíè-
íèå, ÷åì íåîáõîäèìî äëÿ äâèæåíèÿ ïî         êó è ïëàíåòå. Êåïëåðîâî äâèæåíèå ñïóò-
êåïëåðîâó ýëëèïñó, è ýòîò ýëëèïñ êàê áû     íèêà îòíîñèòåëüíî Çåìëè âîçìóùàåòñÿ íå
«ðàñïðÿìëÿåòñÿ» âáëèçè ïåðèãåÿ.  ðåçóëü-   ñàìèì ïî ñåáå ñîëíå÷íûì òÿãîòåíèåì, à
òàòå ïðåöåññèÿ îðáèòû ïðîèñõîäèò â íà-      ëèøü åãî íåîäíîðîäíîñòüþ. Â çåìíûõ äå-
ïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì îðáèòàëüíî-      ëàõ íåîäíîðîäíîñòü ïîëÿ òÿãîòåíèÿ Ñîë-
ìó äâèæåíèþ ñïóòíèêà.                       íöà îáíàðóæèâàåò ñåáÿ (âìåñòå ñ íåîäíî-
                                            ðîäíîñòüþ ïîëÿ òÿãîòåíèÿ Ëóíû) â ìîðñ-
         ÑÏÓÒÍÈÊ ÏËÀÍÅÒÛ,                   êèõ ïðèëèâàõ.
    ÎÁÐÀÙÀÞÙÅÉÑß ÂÎÊÐÓÃ ÇÂÅÇÄÛ                    Íà ïðîòÿæåíèè îêîëîçåìíîé îðáè-
                                            òû ñïóòíèêà íåîäíîðîäíîñòü ïîëÿ òÿãîòå-
      Äâèæåíèå ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà         íèÿ Ñîëíöà íåçíà÷èòåëüíà. Ïîýòîìó ïðè
ïî÷òè öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ñèëàìè èõ        ðàñ÷åòå äâèæåíèÿ ñïóòíèêà âáëèçè ïëàíå-
ïðèòÿæåíèÿ ê Ñîëíöó. Èç-çà òîãî, ÷òî ìàñ-   òû îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì â ïåðâîì ïðè-
ñû ïëàíåò ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé
Ñîëíöà, äåéñòâóþùèå ìåæäó ïëàíåòàìè
ñèëû òÿãîòåíèÿ ïðèâîäÿò ëèøü ê ñðàâíè-
òåëüíî íåáîëüøèì îòêëîíåíèÿì îò çàêî-
íîâ Êåïëåðà.  ñëó÷àå çâåçäû ñ åäèíñòâåí-
íîé ïëàíåòîé äâèæåíèå ïëàíåòû áûëî áû
â òî÷íîñòè êåïëåðîâûì.
      Íî ÷òî ìîæíî ñêàçàòü î äâèæåíèè
ñïóòíèêà ïëàíåòû? Â êàêîé ìåðå ýòî äâè-
æåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü êåïëåðîâûì? Âåäü
ïîìèìî ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ê ïëàíåòå íà           Â çåìíûõ äåëàõ íåîäíîðîäíîñòü ïîëÿ
ñïóòíèê äåéñòâóåò ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ê Ñîë-      òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà îáíàðóæèâàåò ñåáÿ ...
íöó. Íàïðèìåð, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ê Ñîëí-        â ìîðñêèõ ïðèëèâàõ.



8       © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.


                          Äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêèõ òåë â êîìïüþòåðíûõ ìîäåëÿõ.
                                                       II. Çàäà÷à ìíîãèõ òåë.

                                                    Ïðè ïðèáëèæåííîì àíàëèçå äâèæå-
                                              íèÿ ñïóòíèêà (êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ è
                                              âîîáùå òåëà ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû)
                                              ïîä äåéñòâèåì ñèë òÿãîòåíèÿ ïëàíåòû è
                                              Ñîëíöà (òî åñòü ïðè ïðèáëèæåííîì ðå-
                                              øåíèè îãðàíè÷åííîé çàäà÷è òðåõ òåë) ìîæ-
                                              íî èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìûé ìåòîä
                                              ñîïðÿæåííûõ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé. Èäåÿ åãî
                                              çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïîêà ñïóòíèê
                                              äâèæåòñÿ â îêðåñòíîñòè ïëàíåòû â ïðåäå-
                                              ëàõ ñôåðû åå äåéñòâèÿ, äâèæåíèå ðàññìàò-
                                              ðèâàåòñÿ êàê êåïëåðîâî ïëàíåòîöåíòðè-
                                              ÷åñêîå (â ÷àñòíîñòè, ãåîöåíòðè÷åñêîå),
                                              ïðîèñõîäÿùåå ïî ýëëèïñó, ïàðàáîëå èëè
Íà ãðàíèöå ñôåðû äåéñòâèÿ                     ãèïåðáîëå. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó
ïëàíåòîöåíòðè÷åñêàÿ è ãåëèîöåíòðè÷åñêàÿ       ñôåðû äåéñòâèÿ ñïóòíèê (êîñìè÷åñêèé
òðàåêòîðèè ñîïðÿãàþòñÿ (... «ñøèâàþòñÿ»)...   àïïàðàò) ïîïàäàåò âî âëàñòü Ñîëíöà, è åãî
áëèæåíèè ó÷èòûâàòü åãî ïðèòÿæåíèå òîëü-       äâèæåíèå åñòåñòâåííåå ðàññìàòðèâàòü êàê
êî ïëàíåòîé. Äëÿ ñïóòíèêà, ìàññà êîòî-        êåïëåðîâî ãåëèîöåíòðè÷åñêîå ñ ôîêóñîì
ðîãî ìíîãî ìåíüøå ìàññû ïëàíåòû, ýòî          â öåíòðå Ñîëíöà. Íà ãðàíèöå ñôåðû äåé-
áóäåò ïðîñòî êåïëåðîâî äâèæåíèå â öåíò-       ñòâèÿ ïëàíåòîöåíòðè÷åñêàÿ è ãåëèîöåíò-
ðàëüíîì ïîëå òÿãîòåíèÿ ïëàíåòû. Îðáèòà        ðè÷åñêàÿ òðàåêòîðèè ñîïðÿãàþòñÿ («ñêëå-
ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî ïëàíåòû ìîæåò           èâàþòñÿ», «ñøèâàþòñÿ») ïî îïðåäåëåííûì
áûòü ýëëèïñîì èëè îêðóæíîñòüþ, à ïðî-         ïðàâèëàì (ñ ïåðåñ÷åòîì ñêîðîñòè ïðè ïå-
ëåòíàÿ òðàåêòîðèÿ êîñìè÷åñêîãî àïïàðà-        ðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðó-
òà – ïàðàáîëîé èëè ãèïåðáîëîé. Ñëîæíàÿ        ãîé). Ïðèáëèæåííûé ìåòîä ñîïðÿæåííûõ
ïåòëåîáðàçíàÿ èëè âîëíîîáðàçíàÿ òðàåê-        êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé øèðîêî èñïîëüçóåò-
òîðèÿ ñïóòíèêà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàí-     ñÿ â ìåõàíèêå êîñìè÷åñêîãî ïîëåòà ïðè
íîé ñî çâåçäîé, îáúÿñíÿåòñÿ ñëîæåíèåì         ïðåäâàðèòåëüíîì ïðîåêòèðîâàíèè îðáèò
äâóõ äâèæåíèé: äâèæåíèÿ ïî áîëüøîé îê-        ìåæïëàíåòíûõ ïåðåëåòîâ.  ÷àñòíîñòè, åãî
ðóæíîñòè (èëè ýëëèïñó) âìåñòå ñ ïëàíå-        ïðèìåíÿþò ïðè îòáîðå âîçìîæíûõ òðàåê-
òîé âîêðóã çâåçäû è îáðàùåíèÿ âîêðóã          òîðèé â çàäà÷å äîñòèæåíèÿ Ëóíû.
ïëàíåòû ïî ìàëîé îêðóæíîñòè (èëè ìàëî-              Êîãäà îðáèòà ñïóòíèêà ëåæèò ãëó-
ìó ýëëèïñó).                                  áîêî âíóòðè ñôåðû äåéñòâèÿ ïëàíåòû, äâè-
      Áóäåì íàçûâàòü êåïëåðîâî äâèæåíèå
ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî ïëàíåòû íåâîçìó-
ùåííûì äâèæåíèåì. Äâèæåíèå ñïóòíèêîâ
ïî îðáèòàì, ïðîëåãàþùèì ñðàâíèòåëüíî
íåäàëåêî îò ïëàíåòû, ñ õîðîøåé òî÷íîñ-
òüþ ìîæíî ñ÷èòàòü íåâîçìóùåííûì, íî
ïðè çíà÷èòåëüíîì óäàëåíèè ñïóòíèêà îò
ïëàíåòû âîçìóùàþùåå âëèÿíèå íåîäíî-
ðîäíîñòè ïîëÿ ñîëíå÷íîãî òÿãîòåíèÿ ñòà-
íîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì. Äëÿ êàæäîé ïëà-
íåòû ìîæíî óêàçàòü îêðóæàþùóþ åå îá-
ëàñòü íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñïóòíè-
êîâ.  íåáåñíîé ìåõàíèêå è êîñìè÷åñ-
êîé äèíàìèêå òàêóþ îáëàñòü íàçûâàþò
ñôåðîé äåéñòâèÿ ïëàíåòû îòíîñèòåëüíî             ...îêàí÷èâàþùèõñÿ ïàäåíèåì ñïóòíèêà
Ñîëíöà.                                          íà ïëàíåòó èëè íà çâåçäó...



ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                    9


Áóòèêîâ Å.È.

æåíèå ñïóòíèêà óñòîé÷èâî, òî åñòü îí îá-
ðå÷åí âå÷íî îáðàùàòüñÿ âîêðóã ïëàíåòû.
 ñëó÷àå îðáèòû ñïóòíèêà, ïðèáëèæàþ-
ùåéñÿ ê ãðàíèöå ñôåðû äåéñòâèÿ ïëàíå-
òû, âîçìîæíû ðàçíîîáðàçíûå âàðèàíòû íå-
óñòîé÷èâûõ äâèæåíèé, îêàí÷èâàþùèõñÿ
ïàäåíèåì ñïóòíèêà íà ïëàíåòó èëè íà çâåç-
äó, ëèáî «âûáðàñûâàíèåì» ñïóòíèêà çà
ïðåäåëû ñèñòåìû. Âîçìîæíû òàêæå î÷åíü
èíòåðåñíûå äâèæåíèÿ, ñîïðîâîæäàþùèå-
ñÿ ïåðåõîäîì ñïóòíèêà îò îáðàùåíèÿ âîê-
ðóã ïëàíåòû ê îáðàùåíèþ âîêðóã çâåçäû       ...åñëè Çåìëÿ ïðèòÿãèâàåò Ëóíó, òî è Ëóíà
(êîãäà ñïóòíèê ïðåâðàùàåòñÿ â ñàìîñòîÿ-     â òàêîé æå ìåðå ïðèòÿãèâàåò Çåìëþ...
òåëüíóþ ïëàíåòó). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî
÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ òàêîé ïîòåðÿííûé      íîì ïðèìåðå, õàðàêòåðíà ÷ðåçâû÷àéíî
ïëàíåòîé ñïóòíèê ñíîâà îêàæåòñÿ çàõâà-      ñèëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê íà÷àëüíûì óñ-
÷åííûì ïëàíåòîé. Ïîäîáíàÿ «ïåðåïàñîâ-       ëîâèÿì: íè÷òîæíîå èçìåíåíèå íà÷àëüíîãî
êà» ñïóòíèêîì ìåæäó ïëàíåòîé è çâåçäîé      ñîñòîÿíèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàäèêàëüíûì
â ýòîì «êîñìè÷åñêîì áàñêåòáîëå» ìîæåò       èçìåíåíèÿì â äîëãîâðåìåííîì ïîâåäåíèè
ïîâòîðÿòüñÿ íåîäíîêðàòíî. Ðèñóíîê 2 äàåò    ñèñòåìû. Íåáåñíàÿ ìåõàíèêà äàåò íàì
ïðèìåð òàêîãî õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ         îäèí èç ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèìåðîâ õàî-
ñïóòíèêà íåêîòîðîé ïëàíåòû, îáðàùàþ-        òè÷åñêèõ äâèæåíèé â ôèçèêå. Ìîæíî äó-
ùåéñÿ âîêðóã çâåçäû ïî ýëëèïòè÷åñêîé        ìàòü, ÷òî îòñóòñòâèå àíàëèòè÷åñêèõ ðåøå-
îðáèòå ñ íåáîëüøèì ýêñöåíòðèñèòåòîì.        íèé â ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ îòðàæàåò íå
      Â ïàêåòå ïðîãðàìì «Äâèæåíèÿ êîñ-      ñòîëüêî áåññèëèå ìàòåìàòèêè, ñêîëüêî âîç-
ìè÷åñêèõ òåë» ìîæíî íàéòè ìíîãî ïîäîá-      ìîæíóþ ñëîæíîñòü äâèæåíèé â ñèñòåìàõ,
íûõ ïðèìåðîâ íåîáû÷àéíî ñëîæíîãî ïî-        îïèñûâàåìûõ íåëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè.
âåäåíèÿ ñèñòåì, ïîä÷èíÿþùèõñÿ ïðîñòûì
è ñòðîãèì ôèçè÷åñêèì çàêîíàì. Äëÿ íå-        ÄÂÎÉÍÀß ÇÂÅÇÄÀ – ÇÀÄÀ×À ÄÂÓÕ ÒÅË
ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
îïèñûâàþùèõ õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå ñïóò-            Äî ñèõ ïîð ìû ãîâîðèëè î äâèæå-
íèêà, êîòîðîå íàáëþäàåòñÿ â ïðèâåäåí-                     íèè òåëà ïîä äåéñòâèåì
                                                          öåíòðàëüíîé ñèëû òÿãîòå-
                                                          íèÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
                                                          ìàññà öåíòðàëüíîãî òåëà
                                                          çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò
                                                          ìàññó òåëà, îáðàùàþùåãî-
                                                          ñÿ ïî îðáèòå. Â ýòîì ñëó-
                                                          ÷àå ìàññèâíîå öåíòðàëüíîå
                                                          òåëî (Ñîëíöå â çàäà÷å î
                                                          äâèæåíèè ïëàíåò èëè Çåì-
                                                          ëþ â çàäà÷å î äâèæåíèè
                                                          ñïóòíèêîâ) ìîæíî ïðèáëè-
                                                          æåííî ñ÷èòàòü íåïîäâèæ-
      Ðèñóíîê 2. Òðàåêòîðèÿ ñïóòíèêà, ïîî÷åðåäíî îáðà- íûì, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê
ùàþùåãîñÿ âîêðóã ïëàíåòû è âîêðóã çâåçäû. Ñëåâà äâèæå- íàõîæäåíèþ äâèæåíèÿ ëåã-
íèå ïîêàçàíî â «ãåëèîöåíòðè÷åñêîé» (ñâÿçàííîé ñî çâåçäîé) êîãî òåëà â çàäàííîì ñòà-
ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñïðàâà – â «ãåîöåíòðè÷åñêîé» (ñâÿçàí- öèîíàðíîì ïîëå òÿãîòåíèÿ.
íîé ñ ïëàíåòîé) ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ñîâïàäàþùèå öèôðû              îáùåì ñëó÷àå, êîã-
ñîîòâåòñòâóþò îäíîâðåìåííûì ïîëîæåíèÿì íåáåñíûõ òåë. äà ìàññû âçàèìîäåéñòâóþ-



10      © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.


                           Äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêèõ òåë â êîìïüþòåðíûõ ìîäåëÿõ.
                                                        II. Çàäà÷à ìíîãèõ òåë.

                                             âðåìåíè êîìïîíåíòû äâîéíîé çâåçäû íà-
                                             õîäÿòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ êîíöàõ îò-
                                             ðåçêà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç öåíòð ìàññ, è
                                             äåëÿò ýòîò îòðåçîê â îòíîøåíèè, îáðàòíî
                                             ïðîïîðöèîíàëüíîì ñâîèì ìàññàì.
                                                   Òðàäèöèîííûé ïîäõîä ê çàäà÷å äâóõ
                                             òåë, îñíîâàííûé íà êîíöåïöèè ïðèâåäåí-
                                             íîé ìàññû, áóäó÷è âïîëíå êîððåêòíûì è
                                             äîñòàòî÷íî ïðîñòûì â ìàòåìàòè÷åñêîì
                                             îòíîøåíèè, ìîæåò òåì íå ìåíåå âûçûâàòü
                                             îïðåäåëåííûå ëîãè÷åñêèå òðóäíîñòè ó ó÷à-
                                             ùèõñÿ, òàê êàê ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü
                                             ñâÿçàííóþ ñ îäíèì èç òåë íåèíåðöèàëü-
   ...îäíî èç òåë äâèæåòñÿ âîêðóã äðóãîãî    íóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà êàê èíåðöèàëüíóþ.
   ïî ýëëèïñó...
                                             Îáúÿñíåíèå ýòîãî êàæóùåãîñÿ íåñîîòâåò-
ùèõ òåë ñîïîñòàâèìû, òàêîå ïðèáëèæå-         ñòâèÿ ìîæåò îêàçàòüñÿ äëÿ ó÷àùèõñÿ ñëèø-
íèå íåñïðàâåäëèâî, òàê êàê íè îäíî èç        êîì òîíêèì ìîìåíòîì ïðè ïåðâîíà÷àëü-
òåë íå áóäåò íåïîäâèæíûì â èíåðöèàëü-        íîì èçó÷åíèè ïðåäìåòà. Áîëåå òîãî, ïåðå-
íîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ãðàâèòàöèÿ – ýòî âçà-   õîä îò îäíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé â
èìîäåéñòâèå, è åñëè Çåìëÿ ïðèòÿãèâàåò        ýòîé çàäà÷å ìîæåò òàêæå ïîêàçàòüñÿ íå-
Ëóíó, òî è Ëóíà â òàêîé æå ìåðå ïðèòÿãè-     ïðîñòûì äåëîì. Âåäü â ñâîå âðåìÿ è Ãà-
âàåò Çåìëþ. Ïîýòîìó, ñòðîãî ãîâîðÿ, íå       ëèëåé, è Êîïåðíèê ñòîëêíóëèñü ñ íåìà-
ñëåäóåò ãîâîðèòü, ÷òî Ëóíà îáðàùàåòñÿ        ëûìè òðóäíîñòÿìè â ïîïûòêàõ äîíåñòè
âîêðóã Çåìëè – íà ñàìîì äåëå îáà òåëà        òàêèå èäåè äî ÷åëîâå÷åñòâà. Ïîýòîìó çäåñü
äâèæóòñÿ, îáðàùàÿñü âîêðóã îáùåãî öåí-       ìû ïðåäëîæèì íåñêîëüêî èíîé ïîäõîä ê
òðà ìàññ. Áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ñèëû âçàè-     çàäà÷å äâóõ òåë, ñâîáîäíûé îò âûøåóïî-
ìîäåéñòâèÿ ìåæäó òåëàìè ïîä÷èíÿþòñÿ          ìÿíóòûõ òðóäíîñòåé. Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä
òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà (òî åñòü ýòè         áóäåò èñïîëüçîâàí â ýòîé ñòàòüå è äëÿ
ñèëû ðàâíû ïî ìîäóëþ è ïðîòèâîïîëîæ-         îáúÿñíåíèÿ âîçìîæíûõ ïðîñòûõ äâèæåíèé
íî íàïðàâëåíû), çàäà÷ó äâóõ òåë ìîæíî        â ñèñòåìàõ ìíîãèõ òåë.
ìàòåìàòè÷åñêè ñâåñòè ê çàäà÷å î äâèæå-
íèè åäèíñòâåííîãî «âèðòóàëüíîãî» òåëà
ñ òàê íàçûâàåìîé ïðèâåäåííîé ìàññîé
m = m1m2/(m1 + m2), äâèæóùåãîñÿ ïîä äåé-
ñòâèåì ñòàöèîíàðíîé ñèëû, ðàâíîé ñèëå
âçàèìîäåéñòâèÿ «íàñòîÿùèõ» òåë. Â ðå-
çóëüòàòå óäàåòñÿ íàéòè äâèæåíèå îäíîãî
òåëà îòíîñèòåëüíîãî äðóãîãî. Êîãäà òåëà
âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì ñèëû òÿãî-
òåíèÿ, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàä-
ðàòó ðàññòîÿíèÿ, ýòî îòíîñèòåëüíîå äâè-
æåíèå ïðîèñõîäèò ïî êîíè÷åñêèì ñå÷å-
íèÿì â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíàìè Êåïëåðà.
Çíàÿ, êàê îäíî èç òåë äâèæåòñÿ âîêðóã
äðóãîãî ïî ýëëèïñó (ñêàæåì, äâîéíàÿ çâåç-
äà), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáà îíè äâèæóò-          Ðèñóíîê 3. Òðàåêòîðèè êîìïîíåíò
ñÿ ñèíõðîííî ïî ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîá-         äâîéíîé çâåçäû â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿ-
íûì ýëëèïñàì âîêðóã îáùåãî öåíòðà ìàññ       çàííîé ñ öåíòðîì ìàññ ñèñòåìû. Îäíî-
âñåé ñèñòåìû. Ïðèìåð òàêîãî äâèæåíèÿ         âðåìåííûå ïîëîæåíèÿ òåë îòìå÷åíû îäè-
ïîêàçàí íà ðèñóíêå 3. Â êàæäûé ìîìåíò        íàêîâûìè öèôðàìè.



ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                11


Áóòèêîâ Å.È.

       Áóäåì îòíîñèòü äâèæåíèå êàæäîãî
èç òåë (êàæäîé èç êîìïîíåíò äâîéíîé çâåç-
äû) ê èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, â
êîòîðîé öåíòð ìàññ âñåé ñèñòåìû ïîêî-
èòñÿ. Íàïðàâëåíèå ñèëû òÿãîòåíèÿ, ïðè-
ëîæåííîé ê êàæäîìó èç òåë ñî ñòîðîíû
äðóãîãî, âñåãäà ïðîõîäèò ÷åðåç íåïîäâèæ-
íûé öåíòð ìàññ ñèñòåìû. ×òîáû îáúÿñ-
íèòü, ïî÷åìó äâèæåíèÿ òåë ïðîèñõîäÿò ïî
êîíè÷åñêèì ñå÷åíèÿì è ïîä÷èíÿþòñÿ çà-
êîíàì Êåïëåðà, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
êàæäîå èç òåë ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
äâèæóùååñÿ íå ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿãî-                        Íàïðàâëåíèå ñèëû òÿãîòåíèÿ, ïðèëîæåííîé
òåíèÿ äðóãîãî äâèæóùåãîñÿ òåëà, à ïîä                         ê êàæäîìó èç òåë ñî ñòîðîíû äðóãîãî, âñåãäà
                                                              ïðîõîäèò ÷åðåç íåïîäâèæíûé öåíòð ìàññ
äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû òÿãîòåíèÿ,
                                                              ñèñòåìû...
ñîçäàâàåìîé íåêîòîðûì íåïîäâèæíûì
èñòî÷íèêîì, ðàñïîëîæåííûì â öåíòðå                            ëîãè÷íûå ñîîáðàæåíèÿ ïðèìåíèìû è êî
ìàññ ñèñòåìû. Ýòîò âîîáðàæàåìûé èñòî÷-                        âòîðîìó òåëó. Îñòàåòñÿ ëèøü ïîêàçàòü, ÷òî
íèê õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííîé ýôôåê-                       êåïëåðîâû äâèæåíèÿ îáîèõ òåë ïðîèñõî-
òèâíîé ìàññîé Mýôô. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü                      äÿò ñèíõðîííî ïî ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîá-
r1 è r2 îáîçíà÷àþò ðàññòîÿíèÿ òåë ñ ìàññà-                    íûì êîíè÷åñêèì ñå÷åíèÿì, ëèíåéíûå ðàç-
ìè m1 è m2 ñîîòâåòñòâåííî îò öåíòðà ìàññ                      ìåðû êîòîðûõ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû
ñèñòåìû. Òîãäà, î÷åâèäíî, m1r1 = m2r2, è,                     ìàññàì òåë. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå íå-
ñëåäîâàòåëüíî, r1 + r2 = (1 + m1/m2) r1.                      ìåäëåííî ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò âûðà-                         m1r1 + m2r2 = 0 ìåæäó ðàäèóñàìè-âåêòîðà-
çèòü ïðèëîæåííóþ ê ïåðâîìó òåëó ñî ñòî-                       ìè òåë îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ, êîòî-
ðîíû âòîðîãî ñèëó òÿãîòåíèÿ F1 òîëüêî                         ðîå ñâÿçûâàåò ïîëîæåíèÿ äâèæóùèõñÿ òåë
÷åðåç ðàññòîÿíèå r1 ïåðâîãî òåëà îò öåíò-                     â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè.
ðà ìàññ:                                                            Â êàêîé-ëèáî èíîé èíåðöèàëüíîé
                  m1m2                                        ñèñòåìå îòñ÷åòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé
       F1 = −G               =
               ( r1 + r2 ) 2                                  öåíòð ìàññ ñèñòåìû íàõîäèòñÿ â äâèæå-
                                                              íèè, òåëà îïèñûâàþò çàìûñëîâàòûå âîë-
                  m1m2                     m1M ýôô            íîîáðàçíûå èëè ïåòëåîáðàçíûå òðàåêòî-
     = −G    2                  2
                                    = −G          2
                                                       ,
            r1 (1 + m1 / m2 )                r1               ðèè. Ïðèìåð òàêîãî äâèæåíèÿ ïîêàçàí íà
                           3
                         m2
     ãäå M ýôô =                  .
                    ( m1 + m2 ) 2

      Òàêèì îáðàçîì, â èíåðöèàëü-
íîé ñèñòåìå îòñ÷åòà äâèæåíèå ïåð-
âîãî èç òåë áóäåò â òî÷íîñòè òà-
êèì, êàê åñëè áû íà íåãî äåéñòâî-
âàëà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíàÿ
êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ r1 îò öåíòðà
ìàññ ñèëà òÿãîòåíèÿ F1, ñîçäàâàå-
ìàÿ íåïîäâèæíûì èñòî÷íèêîì ñ                                Ðèñóíîê 4. Òðàåêòîðèè êîìïîíåíò äâîéíîé
ìàññîé Mýôô, à íå äðóãèì äâèæó-                       çâåçäû â ïðîèçâîëüíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îò-
ùèìñÿ òåëîì. Êàê ìû çíàåì, òà-                        ñ÷åòà. Îäíîâðåìåííûå ïîëîæåíèÿ òåë îòìå÷åíû
êîå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ñîîò-                       îäèíàêîâûìè öèôðàìè. Òîíêîé ïðÿìîé ëèíèåé ïîêà-
âåòñòâèè ñ çàêîíàìè Êåïëåðà. Àíà-                     çàíà òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ.



12      © ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.


                        Äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêèõ òåë â êîìïüþòåðíûõ ìîäåëÿõ.
                                                     II. Çàäà÷à ìíîãèõ òåë.

                                           ñëîæíàÿ âîëíîîáðàçíàÿ òðàåêòîðèÿ Ñèðè-
                                           óñà, èçìåðåííàÿ ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì
                                           çâåçäàì, ñâèäåòåëüñòâîâàëà î ïðèñóòñòâèè
                                           íåâèäèìîãî ñïóòíèêà, êîòîðûé âïîñëåä-
                                           ñòâèè óäàëîñü çàðåãèñòðèðîâàòü è îïòè-
                                           ÷åñêèìè ñðåäñòâàìè.
                                                  ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ äâîéíûõ çâåç-
                                           äàõ êîìïîíåíòû íàñòîëüêî áëèçêè, ÷òî
                                           îáû÷íî íå ïîääàþòñÿ ðàçäåëüíîìó íàáëþ-
                                           äåíèþ â îïòè÷åñêèé òåëåñêîï, íî èõ îò-
                                           íîñèòåëüíîå äâèæåíèå ìîæíî çàðåãèñòðè-
                                           ðîâàòü ïî ïåðèîäè÷åñêèì èçìåíåíèÿì â
                                           ñïåêòðå èçëó÷åíèÿ. Âàðèàöèè ñïåêòðà âû-
                                           çûâàþòñÿ äîïëåðîâñêèì ñäâèãîì ñïåêò-
                                           ðàëüíûõ ëèíèé. Ýòîò ñäâèã âîçíèêàåò òîã-
                                           äà, êîãäà â ïåðèîäè÷åñêîì îòíîñèòåëüíîì
Òàêèì ñïîñîáîì áûëè âïåðâûå îáíàðóæåíû     äâèæåíèè îòëè÷íû îò íóëÿ ïðîåêöèè ñêî-
áåëûå êàðëèêè...                           ðîñòåé êîìïîíåíò íà íàïðàâëåíèå ëó÷à,
ðèñóíêå 4. Êàæóùàÿñÿ ñëîæíîñòü òðàåê-      ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â ñòîðîíó Çåìëè. Â
òîðèé ïîðîæäàåòñÿ çäåñü ñëîæåíèåì ñðàâ-    ïîñëåäíèå ãîäû òàêèì ñïîñîáîì óäàëîñü
íèòåëüíî ïðîñòûõ ïåðèîäè÷åñêèõ êåïëå-      îáíàðóæèòü â íàøåé Ãàëàêòèêå ìíîæåñòâî
ðîâûõ äâèæåíèé êàæäîãî èç òåë îòíîñè-      çâåçä ñ îáðàùàþùèìèñÿ âîêðóã íèõ ìàñ-
òåëüíî öåíòðà ìàññ ñ ðàâíîìåðíûì ïðÿ-      ñèâíûìè ïëàíåòàìè.
ìîëèíåéíûì äâèæåíèåì ñèñòåìû êàê öå-
ëîãî.                                                   ÏËÀÍÅÒÀ
      Äâîéíàÿ çâåçäà íàçûâàåòñÿ âèçóàëü-        Â ÑÈÑÒÅÌÅ ÄÂÎÉÍÎÉ ÇÂÅÇÄÛ
íîé äâîéíîé, åñëè åå êîìïîíåíòû íàõî-
äÿòñÿ íà óãëîâîì ðàññòîÿíèè, äîñòàòî÷íîì         Íàøà Çåìëÿ âõîäèò â ïëàíåòíóþ ñè-
äëÿ èõ ðàçðåøåíèÿ (ðàçäåëüíîãî íàáëþ-      ñòåìó îäèíî÷íîé çâåçäû – Ñîëíöà, ïðè-
äåíèÿ) ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêîãî òåëåñêî-      ÷åì ïëàíåòû Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû íàõîäÿò-
ïà. Èçìåðÿÿ ïåðèîä îáðàùåíèÿ è ðàçìåð      ñÿ îäíà îò äðóãîé íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
îðáèòû îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ, ìîæíî      ðàññòîÿíèÿõ. Ìàññû ïëàíåò íàìíîãî ìåíü-
îïðåäåëèòü ñóììó ìàññ êîìïîíåíò. ×òî-
áû îïðåäåëèòü ìàññû îòäåëüíûõ êîìïî-
íåíò, íóæíî èçìåðèòü îðáèòû, îïèñûâàå-
ìûå èìè îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. Â íà-
ñòîÿùåå âðåìÿ èçâåñòíû òûñÿ÷è âèçóàëü-
íûõ äâîéíûõ ñ ïåðèîäàìè îáðàùåíèÿ îò
íåñêîëüêèõ ëåò äî ìíîãèõ òûñÿ÷ ëåò.
      Çâåçäó íàçûâàþò àñòðîìåòðè÷åñêîé
äâîéíîé, êîãäà ñâå÷åíèå îäíîé èç åå êîì-
ïîíåíò ñëèøêîì ñëàáîå äëÿ íàáëþäåíèÿ
â òåëåñêîï, à î åå ïðèñóòñòâèè ìîæíî ñó-
äèòü ïî ñëîæíîìó äâèæåíèþ âèäèìîé êîì-
ïîíåíòû íà ôîíå äàëåêèõ íåïîäâèæíûõ
çâåçä. Òàêèì ñïîñîáîì áûëè âïåðâûå îá-
íàðóæåíû áåëûå êàðëèêè – êîìïàêòíûå
çâåçäíûå îáúåêòû, âîçíèêàþùèå êàê êî-      Ìîæíî äóìàòü, ÷òî ðàçâèòèå öèâèëèçàöèè íà
íå÷íûé ïðîäóêò ýâîëþöèè çâåçä ñðàâíè-      ïëàíåòå, âõîäÿùåé â ñèñòåìó äâîéíîé çâåçäû,
òåëüíî íåáîëüøîé ìàññû.  ÷àñòíîñòè,       ïðîèñõîäèëî áû ìåäëåííåå, ÷åì íà Çåìëå...



ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ                                                                13



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика