Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Часть 1

Голосов: 8

Пособие по математике для поступающих в вузы предназначено выпускникам общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев и т.р.) для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ и обучению в ВУЗе. Оно может быть использовано на подготовительных курсах, факультативных занятиях в школах, а также для самостоятельных занятий учащихся. Пособие составлено на основании программы по математике для средней школы. Его принципиальное отличие от большинства существующих пособий для подготовки к ЕГЭ состоит в том, что оно содержит теоретические основы арифметики, алгебры, геометрии и элементов математического анализа. По каждому из разделов приведены решения задач, часть из которых предлагались на ЕГЭ. Кроме того, пособие можно использовать как сборник задач. Все задачи для самостоятельного решения снабжены ответами. Пособие подготовлено на кафедре высшей математики МИИГАиК; электронная версия размещена на сайте кафедры <a href="http://miigaik-math.narod.ru" target="_blank">http://miigaik-math.narod.ru</a>.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
       Министерство науки и образования Российской
                   Федерации
Московский Государственный Университет Геодезии и
                  Картографии




  Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман




       ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ
          ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ




                   ЧАСТЬ 1




                   МОСКВА

                      2008


   УДК 517
   Учебное пособие "Пособие по математике для поступающих в ВУЗы".
   М.: Изд.МИИГАиК, 2008, 144 стр.


   "Пособие по математике для поступающих в ВУЗы"предназначено выпускникам обще-
образовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев и т.р.) для подготовки к успешной
сдаче ЕГЭ и обучению в ВУЗе. Оно может быть использовано на подготовительных кур-
сах, факультативных занятиях в школах, а также для самостоятельных занятий учащихся.
   Пособие составлено на основании программы по математике для средней школы. Его
принципиальное отличие от большинства существующих пособий для подготовки к ЕГЭ
состоит в том, что оно содержит теоретические основы арифметики, алгебры, геометрии и
элементов математического анализа. По каждому из разделов приведены решения задач,
часть из которых предлагались на ЕГЭ. Кроме того, пособие можно использовать как
сборник задач. Все задачи для самостоятельного решения снабжены ответами.




Рецензенты:
профессор кафедры высшей математики МИИГАиК И.А. Лисеев
доцент кафедры высшей математики МГУПП А.О. Тимохина




                      Московский государственный университет
                              геодезии и картографии
                                        2008


Оглавление

1 Действительные числа                                                                                                      5
  1.1 Элементы теории множеств и математической логики                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
  1.2 Множество натуральных чисел . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
  1.3 Множество рациональных чисел . . . . . . . . . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
  1.4 Действия с действительными числами . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15
  1.5 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   23
  1.6 Ответы к задачам для самостоятельного решения . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   28

2 Алгебраические выражения                                                                                                 29
  2.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
  2.2 Многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   30
      2.2.1 Формулы сокращенного умножения . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   30
      2.2.2 Многочлены от одной переменной . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   30
      2.2.3 Квадратный трехчлен . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   34
      2.2.4 Разложение многочлена на множители . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   36
  2.3 Алгебраические дроби . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   38
  2.4 Иррациональные выражения . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   41
  2.5 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   46
  2.6 Ответы к задачам для самостоятельного решения .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   50

3 Алгебраические уравнения, неравенства и системы                                                                          51
  3.1 Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   51
      3.1.1 Уравнения с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   51
      3.1.2 Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       .   .   .   .   .   .   .   51
      3.1.3 Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       .   .   .   .   .   .   .   52
      3.1.4 Рациональные уравнения высших степеней . . . . . . . .                             .   .   .   .   .   .   .   54
      3.1.5 Задачи на составление уравнений . . . . . . . . . . . . . .                        .   .   .   .   .   .   .   57
  3.2 Системы рациональных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   59
      3.2.1 Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными                               .   .   .   .   .   .   .   59
      3.2.2 Нелинейные системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   60
      3.2.3 Системы n уравнений с n неизвестными (n > 2) . . . . . .                           .   .   .   .   .   .   .   62
      3.2.4 Задачи на составление систем уравнений . . . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   63
  3.3 Рациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   64
  3.4 Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля . . .                             .   .   .   .   .   .   .   68
  3.5 Иррациональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   74
      3.5.1 Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   74
      3.5.2 Иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . .                         .   .   .   .   .   .   .   79
  3.6 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . .                        .   .   .   .   .   .   .   82
  3.7 Ответы к задачам для самостоятельного решения . . . . . . . . .                          .   .   .   .   .   .   .   93


                                            3


4 Числовые последовательности                                                                                               95
  4.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    95
  4.2 Арифметическая прогрессия . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    96
  4.3 Геометрическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   102
  4.4 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   110
  4.5 Ответы к задачам для самостоятельного решения .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   114

5 Функции и графики                                                                       115
  5.1 Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
      5.1.1 Определение функции и способы ее задания . . . . . . . . . . . . . . . 115
      5.1.2 График функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
  5.2 Общие свойства функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
      5.2.1 Четные и нечетные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
      5.2.2 Убывание и возрастание функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
      5.2.3 Периодические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
      5.2.4 Наибольшее и наименьшее значения функции. Ограниченные функции125
      5.2.5 Исследование функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
  5.3 Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
      5.3.1 Взаимно однозначное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
      5.3.2 Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
      5.3.3 График обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
  5.4 Основные элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
      5.4.1 Степенная функция y = xα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
      5.4.2 Показательная и логарифмическая функции . . . . . . . . . . . . . . . 129
      5.4.3 Тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
      5.4.4 Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
  5.5 Суперпозиции функций и их графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
      5.5.1 Сложная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
      5.5.2 Основные приемы построения графика сложной функции . . . . . . . 139
  5.6 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
  5.7 Ответы к задачам для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 144




                                             4


Глава 1

Действительные числа

1.1    Элементы теории множеств и математической логи-
       ки
  Понятие множества является одним из основных в математике. Это неопределяемое по-
нятие, его можно лишь описать или пояснить на примерах. Можно сказать так : множество
– это совокупность предметов (объектов) определенной природы. Например, множество
точек на плоскости, множество треугольников с равной площадью и т.д.
   Объекты множества называются его элементами. Множество принято обозначать за-
главными латинскими буквами, а элементы – строчными буквами.
   Если элемент x принадлежит множеству A, то этот факт записывается так : x ∈ A.
Знак ∈ называется знаком принадлежности. Если элемент x не содержится в множестве
A, то этот факт записывается так : x ∈ A.
                                        /
   В математике для числовых множеств приняты следующие обозначения :
   N – множество натуральных чисел;
   Z – множество целых чисел;
   Q – множество рациональных чисел;
   R – множество действительных чисел.
   Множество, не имеющее элементов, называется пустым множеством и обозначается
символом Ш.
   В некоторых случаях множество можно задать перечислением элементов. Например,
запись A = {0; 1; 2; 3} означает, что множество A состоит только из элементов 0; 1; 2; 3.
   Не все множества можно задать перечислением элементов. Это,например, множества,
содержащие бесконечное число элементов. В подобных случаях задают множество с по-
мощью характеристического свойства его элементов. Например, A = {x, 1 < x < 2}
означает, что элементами множества A являются все числа больше 1 и меньше 2.
   Если два множества A и B состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что A и
B совпадают, или A = B.
   Множество A называется подмножеством B, если каждый элемент множества A при-
надлежит множеству B. В этом случае пишут A ⊂ B. Знак ⊂ называется знаком включе-
ния.
   Например, пусть A – множество всех четных чисел, а Z – множество целых чисел.
Тогда A ⊂ Z. Или A – множество всех ромбов, а B – множество всех параллелограммов.
Тогда A ⊂ B.
   Над множествами можно производить различные операции.
   Пусть даны два множества A и B. Их пересечением называется множество C, состоя-
щее из тех и только тех элементов, которые одновременно входят и в A, и в B.


   Пересечение множеств A и B обозначают символом A ∩ B или

                         A ∩ B = C = {x,   x ∈ A и x ∈ B}.                     (1.1.1)
На рис. 5.1.1 дана геометрическая иллюстрация пересечения множеств (множество A ∩ B
заштриховано).




            Рис. 1.1.1. Пересечение двух множеств A и B заштриховано.

   Пример 1.1.1.
   a). Пусть A = {1; 3; 5; 7; 9}, B = {2; 4; 6; 8; 10}. Тогда A ∩ B = Ш;
   б). Пусть A – множество всех ромбов, B – множество всех прямоугольников. Тогда A∩B
– множество всех прямоугольников с равными сторонами, т.е. множество всех квадратов;
   в). Пусть A – множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, а B – множество
натуральных чисел, делящихся на 5. Тогда A ∩ B – множество натуральных чисел, деля-
щихся на 15.
   Заметим, что можно говорить о пересечении трех, четырех или любого конечного числа
множеств.
   Например, три пересекающихся множества изображены на рис. 1.1.2 (A ∩ B ∩ C за-
штриховано).




           Рис. 1.1.2. Пересечение трех множеств A, B и C заштриховано.


                                           6


   Пусть даны два множества A и B. Их объединением называется множество C, состоя-
щее из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из
данных множеств.
   Объединение множеств A и B обозначают A ∪ B. Таким образом, можно записать

                          A ∪ B = {x, x ∈ A или x ∈ B}.                          (1.1.2)

На рис. 1.1.3 дана геометрическая иллюстрация объединения множеств (множество A ∪ B
заштриховано).




            Рис. 1.1.3. Объединение двух множеств A и B заштриховано.

   Заметим, что, если A и B имеют общие элементы, то в множество A∪B такие элементы
входят только один раз.

   Пример 1.1.2.
   а). A = {1; 3; 5; 7} и B = {2; 4; 6; 8}. Тогда A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.
   б). A – множество четных натуральных чисел, B – множество нечетных натуральных
чисел. Тогда A ∪ B = N – множество натуральных чисел.
   В математических предложениях (формулировках определений, аксиом, теорем и т.д.)
часто повторяются отдельные слова и целые выражения. Поэтому при их записи полезно
использовать символику математической логики.
   Пусть даны два высказывания α и β. Если из истинности α следует истинность β, то
пишут α =⇒ β. Знак =⇒ называется знаком следования. В этом случае говорят, что β
есть необходимое условие для α, а α есть достаточное условие для β.

   Пример 1.1.3.
   а). Высказывание α – число x делится на 4; высказывание β – число x является четным.
Тогда α =⇒ β, т.к., если x делится на 4, то оно обязательно четно;
   б). Высказывание α – четырехугольник является ромбом; высказывание β – четырех-
угольник является параллелограммом. Тогда α =⇒ β.
   Пусть даны два высказывания α и β. Если α =⇒ β и β =⇒ α, то говорят, что выска-
зывания α и β равносильны и пишут α ⇐⇒ β.
   Во многих случаях вместо термина "равносильность"используют термин "необходи-
мость и достаточность".



                                          7


   Пример 1.1.4.Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо
и достаточно, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам. Здесь высказы-
вание α – четырехугольник x является параллелограммом, высказывание β – диагонали
четырехугольника x в точке пересечения делятся пополам; имеем α =⇒ β и β =⇒ α, т.е.
α ⇐⇒ β.
   Знак ⇐⇒ называется знаком логической равносильности.
   В записи математических высказываний вместо слова "существует"или "найдется"исполь-
зуют символ ∃, так называемый квантор существования, а вместо слов "любой", "каж-
дый", "всякий" – символ ∀ – квантор всеобщности.
   Например, запись ∀ x ∈ X означает : "для любого числа x из множества X"; а запись
∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y читается так : "для любого числа x из множества X найдется число y из
множества Y ".


1.2     Множество натуральных чисел
  Понятие натурального числа возникло из потребности счета предметов. Натуральные
числа можно сравнивать между собой, при этом ясно, какое из двух больше. Натураль-
ные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел или
множество N :
                             N = {1, 2; 3; 4; . . . ; n; . . . ; }.
Это бесконечное множество, оно имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего
элемента.
   Если к множеству N добавить новое число – число нуль (0), то получим расширенный
ряд натуральных чисел. Заметим, что нуль не является натуральным числом.
   Для записи натурального числа используется десятичная система счисления. В этой
системе вводится десять знаков, называемых цифрами : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0. В этой
системе счисления число десять обозначается символом 10, а каждое натуральное число
p представляется в виде :

                   p = an · 10n + an−1 · 10n−1 + . . . + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 ,        (1.2.1)

где n – число из расширенного ряда чисел, an – одно из чисел 1, 2, . . . , 9, a0 , a1 , . . . , –
одно из чисел 0, 1, 2, . . . , 9.
   Для записи числа p, представленного в виде (1.2.1), используется принцип позицион-
ного значения цифр. Например, цифра 3 может иметь значения : три единицы, если она
занимает первое место справа, три десятка, если занимает второе место справа и т.д.
   На основе этого принципа запись числа p будет такая :

                                      p = an an−1 . . . a2 a1 a0                          (1.2.2)

   Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является нату-
ральное число. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя.
   Если число m делится на число n нацело (n < m, n, m ∈ N ), то m называется
кратным числа n, а n – делителем числа m.
   Если m кратно n, то существует число k ∈ N такое, что m = nk. Например,
множество чисел, кратных числу 5, записывается в виде {5n, n ∈ N }.
   Если натуральное число m не делится нацело на натуральное число n, то рассматри-
вают деление с остатком.
   Вообще, для ∀m, n ∈ N (m > n) имеет место формула деления

                                           m = nk + r                                     (1.2.3)


                                                  8


Здесь m, n, k, r – натуральные числа, 0 < r < n. При делении нацело r = 0.
   Вопрос о делении натурального числа m на натуральное число n нацело решается с
помощью признаков делимости. Приведем некоторые из них.
   Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма
делится на это число.
   Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится
нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.
   Признак делимости на 2. Для того,чтобы число n = ak ak−1 . . . a1 a0 делилось на 2,
необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра a0 делилась на 2.
   Заметим, что натуральные числа, делящиеся на 2, называются четными.
   Запись четных чисел имеет вид

                                     n = 2k, k ∈ N.

    Все остальные натуральные числа называются нечетными и записываются в виде

                                   m = 2k − 1, k ∈ N

.
   Признак делимости на 5. Для того, чтобы число n = ak ak−1 . . . a1 a0 делилось на 5,
необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра a0 была либо 0, либо 5.
   Признак делимости на 3 (на 9). Для того, чтобы число n = ak ak−1 . . . a1 a0 делилось
на 3 (на 9), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).
   Признак делимости на 4 (на 25). Для того, чтобы число n = ak ak−1 . . . a1 a0 делилось
на 4 (на 25), необходимо и достаточно, чтобы число a1 a0 делилось на 4 (на 25), либо
a1 = a0 = 0.
   Множество натуральных чисел состоит из единицы, простых и составных чисел. На-
туральное число, большее единицы, называется простым, если оно не имеет делителей,
кроме единицы и самого себя. Натуральное число, большее единицы, называется состав-
ным, если оно имеет хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого себя.
   Для любого натурального числа существует единственное его разложение на простые
множители.
   Если натуральные числа m1 и m2 делятся на одно и то же натуральное число n, то чис-
ло n называется общим делителем. Наибольшее из общих делителей m1 и m2 называется
наибольшим общим делителем m1 и m2 (НОД (m1 , m2 ) ).
   Если НОД (m1 , m2 ) = 1, то числа m1 и m2 называются взаимно простыми.
   Наименьшим общим кратным натуральных чисел m1 и m2 называется наименьшее
натуральное число, которое делится и на m1 , и на m2 (НОК (m1 , m2 ) ).
   Заметим, что НОК (m1 , m2 ) делится без остатка на НОД (m1 , m2 ).
   Для отыскания НОД (m1 , m2 ) необходимо выполнить следующие операции.
   1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
   2. Найти произведение тех простых множителей, которые входят в разложение каждого
числа.
   Отыскание НОК (m1 , m2 ) отличается только тем, что составляется произведение про-
стых множителей, входящих в разложение хотя бы одного числа.

   Пример 1.2.1. Частное от деления наименьшего общего кратного чисел 72 и 128 на
их наибольший общий делитель равно

    1) 168 2) 92 3) 84 4) 144



                                           9


    Решение. Напомним, что для отыскания наименьшего общего кратного (НОК) и наи-
большего общего делителя (НОД) необходимо выполнить следующие операции.
    1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители : 72 = 23 · 32 и 128 = 27 .
    2. Найти произведение простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного
из чисел. Это число и будет НОК. Заметим, что, если какой-то множитель входит в эти
разложения в разных степенях, то в НОК он входит в наибольшей из степеней. Таким
образом, HOK(72, 128) = 27 · 32 .
    3. Найти произведение простых множителей, входящих в каждое из данных чисел. Это
число и будет НОД. Заметим, что, если множитель входит в эти разложения в разных
степенях, то в НОД он входит в наименьшей из степеней. Таким образом, НОД(72, 128) =
                    27 · 32
23 . НОК : НОД =            = 24 · 32 = 144.
                      23
    Ответ. 4.

   Пример 1.2.2. Найдите НОД (3780, 7056).

   Решение. Имеем
                                                   7056   2
                                   3780   2
                                                   3528   2
                                   1890   2
                                                   1764   2
                                    945   3
                                                    882   2
                                    315   3
                                                    441   3
                                    105   3
                                                    147   3
                                     35   5
                                                     49   7
                                      7   7
                                                      7   7
                                      1
                                                      1
   Следовательно, 3780 = 22 ·33 ·5·7, 7056 = 24 ·32 ·72 . Тогда НОД (3780, 7056) = 22 ·32 ·7 =
252.

   Ответ. 252.

   Пример 1.2.3. Сумма остатков от деления числа 126450747 на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 равна

   1) 21 2) 37 3) 35 4) 15

    Решение. Так как в заданном примере число оканчивается цифрой 7, а наибольшее
из чисел, меньших заданного и оканчивающихся четной цифрой, должно быть, очевидно,
число 126450746, то остаток от деления заданного числа на 2 равен 1. Из тех же сообра-
жений, остаток от деления заданного числа на 5 равен 2. Из признаков делимости на 4 и
на 25 следует, что ближайшими к заданному числу и меньшими его, делящимися соответ-
ственно на 4 и на 25 должны быть числа 126450744 и 126450725. Таким образом, остаток
от деления на 4 равен 3, а остаток от деления на 25 равен 47–25=22. Так как сумма цифр
заданного числа равна 36, то из признаков делимости на 3 и на 9 следует, что это число
на 3 и на 9 делится без остатка. Число, меньшее заданного и делящееся без остатка на
10, должно заканчиваться числом 40, а потому остаток от деления на 10 равен 7. Таким
образом, сумма остатков равна : 1 + 2 + 3 + 22 + 7 = 35.
    Ответ. 3.

   Пример 1.2.4. Укажите наибольшие из чисел 34x5y, которые делятся на 36 (x, y –
цифры.)


                                              10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика