Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Логико-философское введение в высшую математику: Учебное пособие

Голосов: 0

Учебное пособие, необходимое всем тем, для кого высшая математика призвана играть не только вычислительную, но и воспитательную роль. В то же время первая глава систематического курса математической логики и краткое введение в философию математики. Автор пособия - доктор физико-математических наук, профессор-консультант Южного научного центра НАН и МОН Украины.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    1


        А. А. ЗЫКОВ




 ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКОЕ

      ВВЕДЕНИЕ

В ВЫСШУЮ МАТЕМАТИКУ




         Одесса
      «Астропринт»
         2008

           2


ББК22.11вя73
   З-966
УДК 517.1:1(075.8)

       Учебное пособие, необходимое всем тем, для кого высшая математика
призвана играть не только вычислительную, но и воспитательную роль.
В то же время первая глава систематического курса математической
логики и краткое введение в философию математики.

Автор:
         Зыков Александр Александрович – доктор физико-математических
         наук, профессор-консультант Южного научного центра НАН и
         МОН Украины (Одесса, 65044, Удельный пер., 6).
                Одесса, 65104, ул. Ильфа и Петрова, 13А, кв. 12,
               тел.(38/0482)444-602; e-mail: zykov@okean.odessa.ua
Рецензенты:
А. И. Уемов – доктор философских наук, профессор факультета философии
              Одесского национального университета имени
              И. И. Мечникова.
В. М. Кругляк – кандидат философских наук, профессор кафедры
             механики Одесского института сухопутных войск.



Обложка Е. Г. Лобынцевой



Улучшенный тираж книги выпущен благодаря спонсорской поддержке депутата
Одесского горсовета Тарпана Руслана Серафимовича


1602010000—1 318-2003
ISBN 966-318-093-5

                                    © А.А.Зыков       1997. 1999. 2003. 2008




                                     3


                                        Сорок лет не бил баклуши
                                        Папа, любящий уют.
                                        Младшей дочери Июше
                                        Посвящаю этот труд.




                       СОДЕРЖАНИЕ


IТредисловие … …………………………………………………….. 4

§ 1. Абстракция и идеализация в науке. Предмет математики ….. 7

§ 2. Предыстория математической логики ……………………….. 22

§ 3. Высказывания и логические тождества .…………………….. 34

§ 4. Свойства, отношения и кванторы ……………………………. 48

§ 5. Логические тождества и реальный мир …………………....... 61
§ 6. Отношения эквивалентности и порядка ………………...... … 72
§ 7. Математическая индукция ……………………………………. 80
§ 8. Счетные и несчетные множества ………………………. …… 86

§ 9. Немного о диалектике …………………………………............ 95

§ 10, Философия помогает математике ………………………….. 106
Литература …………………………………………………….…….118




                               0


                                      Может, философия “со скукой "
                                        обернется истинной наукой?
                                     Может, математику покликав,
                                        станем жить по логике?
                                                           А.Зыков


                         ПРЕДИСЛОВИЕ

       Как в университетских курсах математического анализа,
 алгебры, геометрии, теории чисел, программирования и др., так и во
 втузовских курсах высшей математики необходимо владение (на
 неформальном уровне) элементами логики высказываний и
 предикатов – хотя бы уже для того, чтобы при доказательстве от
 противного теорем, содержащих термины “если... то", “для любого..."
 и “существует такой..., что", начинать с грамотной формулировки
 отрицания доказываемого утверждения. Но этот материал относится
 к введению в математическую логику и кроме педагогических
 институтов (где он включен в общий курс алгебры и теории чисел)
 почти нигде не предшествует другим математическим дисциплинам.
       К логическим отношениям, которые следует изучать в общем
виде (независимо от конкретного содержания) как можно раньше,
принадлежат бинарные отношения эквивалентности и порядка; в
математическом анализе они не менее важны, чем в алгебре. Однако
“межведомственный" характер этого материала нередко приводит к
дублированию его в разных курсах или к другой крайности – полному
выпадению, например, не только доказательства, но и четкой
формулировки весьма существенной (и не для одной математики!)
теоремы о разбиении множества на классы эквивалентности; то же
можно сказать и о принципе математической индукции. Мы также
считаем удобным выделить из курса анализа первоначальные сведения
о мощностях бесконечных множеств.
       Наконец, для правильного понимания сущности тех абстракций,
 на которых построена математика, правильного подхода к
 определению предмета современной математики систематическому
 ее изучению должно предшествовать пусть краткое, но достаточно
 четкое введение философского характера. Никакая “нехватка часов"
 (или “слабая подготовка абитуриентов"), никакая ссылка на
 плюрализм и т .п . не дают права игнорировать в математике такие
                                 1


мировоззренческие вопросы, которые допускают объективное
решение и помогают в выборе пути исследования, в освобождении
от "традиционных" ошибок, в правильной оценке значимости
результатов. Экономить же время лучше за счет сугубо специального
материала не первостепенной важности, который можно найти в
справочниках.
      На первоначальную ориентацию студентов в такого рода
вопросах требуется в самом начале первого семестра отвести около 6
лекций (например, на математических факультетах университетов –
за счет курса "введение в специальность", с возможным
заимствованием по одному занятию из курсов анализа, алгебры и
аналитической геометрии). Предлагаемая книга с лихвой охватывает
материал этих лекций. Она же может служить первой главой
систематического курса математической логики (где он предусмотрен
учебным планом или читается факультативно).
      В самой математической логике можно усмотреть три уровня:
      1) Низший уровень – "наивный". На нем систематизируются и
специальным образом записываются некоторые логические отноше-
ния действительного мира (в частности, логические тождества),
выявленные в процессе многовековой деятельности человека.
      2) Средний уровень – "содержательно-математический". Здесь
логические тождества доказываются общепризнанно строгими
математическими рассуждениями: в логике высказываний – с
помощью таблиц истинности, в логике предикатов – путем
интерпретации на теоретико-множественных моделях.
      3) Высший уровень – "формально-аксиоматический". Он связан
с аксиоматизацией как самих логических исчислений, так и
излагаемых на их основе других областей математики (геометрии,
арифметики, теории множеств и т.д.).
      Наша книга должна обеспечить необходимое знакомство с
низшим уровнем, так что после нее основной курс математической
логики, независимо от того, носит он чисто теоретический или
прикладной характер, можно сразу начинать с явного выделения трех
уровней и со строгого определения логической формулы, которое
нужно уже в самом начале среднего уровня. Книга может оказаться
полезной также учителям при выработке своих вариантов доступного
разъяснения простейших законов логики, сущности математических
понятий вектора, рационального и иррационального числа,
независимой переменной и др. В процессе изучения математики
мировоззренческие вопросы нередко возникают даже у малышей, и в
                                2


таких случаях надо суметь не просто отмолчаться, отшутиться или
отмахнуться ("вы еще малы об этом рассуждать"), но по возможности
дать ответ, правильный в принципе, понятный и образный по форме
изложения. Наконец, и для тех специалистов другого профиля,
образование которых существенно опирается на математику, книга не
только полезна, но, благодаря наличию ряда "нематематических"
примеров, делает излишними аналогичные "философские введения",
например, в физику или химию.



          Кишинев                               Одесса
            1981                                 1992




                               3


    §1. АБСТРАКЦИЯ И ИДЕАЛИЗАЦИЯ В НАУКЕ.
                  ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ


      При всем богатстве и разнообразии окружающего нас мира, мы
не находим в нем в чистом виде всего того, без чего нельзя
представить себе математическую науку. Не отыскать, например,
такого реального предмета, который совсем не имел бы
протяженности и в полном смысле являлся геометрической точкой.
Нет в природе линий и поверхностей, вовсе лишенных толщины. Нет
и самостоятельно существующих чисел: можно положить на стол два
куска мела или две книги, но не "просто два". С другой стороны,
результаты, получаемые путем умозрительных манипуляций над
этими     "вымышленными"       объектами,    поразительно    точно
подтверждаются на практике и играют исключительно важную роль
в сознательной деятельности человека. Ясно, что вопрос о предмете
математики не слишком прост: если она изучает реальные вещи и
явления материального мира, то для чего же заполнять страницы
бесчисленных книг и забивать головы учащихся несуществующими
точками, линиями, числами, а если именно такие понятия и
составляют предмет математики, то какое отношение может иметь
подобная наука к действительным предметам и явлениям, к
познающей и преобразующей деятельности людей?
      Правильно ответить на этот вопрос необходимо не только ради
удовлетворения вполне естественного любопытства: непонимание
взаимосвязи между наукой и действительностью ведет к серьезным
ошибкам. Не так уж трудно вообразить, будто математические
понятия, определения и теоремы первоначально возникают в голове
"из чистого мышления" и лишь затем "навязываются" внешнему миру
– а ведь такой неверный взгляд служит подспорьем тем горе-
философам, которые стремятся использовать любые трудности науки
для оправдания заведомо реакционных тезисов об отсутствии или, по
крайней мере, принципиальной непознаваемости объективных законов
развития природы и общества. Да и в самой математике неправильная
философская ориентация нередко оказывается причиной введения
неоправданных      определений     и     ненужных      усложнений,
затуманивающих суть дела, причиной непонимания и непризнания
действительно плодотворных идей, а иногда приводит даже к
фактическим ошибкам в конкретных результатах, где, казалось бы,
вовсе нет никакой философии.

                                4


      Ни учащемуся, ни вольному читателю мы не хотим навязывать
какую бы то ни было "единственно правильную" философию. Но если
то или иное положение диалектического материализма*), та или иная
цитата из трудов классиков марксизма оказываются полезными в
исследовании и осмысливании конкретного явления или научной
теории, мы считаем своим долгом это отметить. Объективность и
научная добросовестность (как и просто аккуратность и элементарная
порядочность) – общечеловеческие качества, необходимые каждому
исследователю независимо от философских воззрений и политической
конъюнктуры.
      Начнем с рассмотрения одного из древнейших и в то же время
самых важных понятий – о натуральном числе.
      Для уверенности в том, что во время выпаса овец ни одна из
них не пропала, совсем не обязательно помнить приметы каждой
овцы: достаточно, перебрав животных по пальцам до и после выпаса,
убедиться, что оба раза оказались загнутыми одни и те же пальцы.
Заключая с соседним племенем сделку об обмене овец на медвежьи
шкуры, можно устанавливать эквивалент не на самих этих объектах, а
на более удобных для счета – пальцах, суставах, палочках, бобах и т.п.
– ибо опыт предыдущих поколений, подкрепляемый своим
собственным, выработал у обеих сторон уверенность в том, что
окончательный результат не зависит от выбора этих вспомогательных
предметов. Изображения и словесные наименования совокупностей
тех вещей, на которых принято было вести счет, приобретали со
временем значение числовых знаков и имен числительных: например,
происхождение символов 2, 3, 4, 5, V и X можно объяснить так, как
показано на рисунке,




история русского "пять" связана со словами "пястье" и "пята", а
"восемнадцать" на языке папуасов дословно означает "с другой ноги
три". Изменяясь в сторону упрощения, цифровые знаки и имена
числительные постепенно утрачивали сходство с первоначальными и
в конце концов превратились в условные символы и слова (так, значок
"7" вряд ли похож на группу из семи предметов), а число стало
   *)
      Сейчас в научных кругах (а не среди митингующих экстремистов), как у
нас, так и за рубежом, эти положения мало кем оспариваются.
                                    5


абстрактным понятием, не связанным с каким-то одним видом
считаемых вещей и поэтому пригодным для арифметических действий
над совокупностями предметов произвольной природы: 2 + 3 = 5 не
оттого, что кто-то придумал числа и их сложение, а оттого, что
соотношение на самом деле имеет место и для овец, и для пальцев, и
вообще для любых предметов, сохраняющих в процессе счета свою
индивидуальность (например, облака для этого не годятся),
вследствие чего при записи и словесном выражении таких равенств
можно названия самих предметов отбросить как нечто
несущественное. "Для счета необходимы не только объекты счета, но
также уже и способность при рассмотрении этих объектов отвлекаться
от всех их свойств, кроме их числа, а такая способность – продукт
долгого, опирающегося на опыт, исторического развития"
(Ф.Энгельс).
      Вообще абстрактное (отвлеченное) понятие – это не
конкретный материальный предмет и не его копия; оно возникает
лишь в человеческом сознании, но не произвольно, а в результате
неполного      отражения        действительности,       отбрасывания
несущественных сторон явления. Надо особо подчеркнуть, что такая
неполнота связана не со случайным забвением или намеренным
игнорированием тех или иных моментов, а с освобождением,
стихийным или сознательным, именно от несущественных сторон и,
тем самым, с выделением главного в исследуемом явлении и общего в
ряде сходных явлений. Поэтому научная абстракция обогащает, а не
обедняет наши знания об окружающем мире и наши возможности
улучшать или хотя бы не портить его. Более того, без процесса
отвлечения немыслимы вообще никакое научное познание и разумная
практическая деятельность, ибо ни один предмет, ни одно явление
невозможно (да и не нужно) изучать с "абсолютной глубиной" и
"всеобъемлющей широтой".
      Как и понятие числа, абстрактными являются понятия точки,
линии, поверхности. Математическая точка характеризуется
способностью находиться в определенном месте пространства, и
ничем более. "Точка – это то, что не имеет частей, или то, часть чего –
ничто" (Евклид). Точкой считают тело, размеры которого по
отношению к рассматриваемым масштабам и к размерам других тел,
участвующих в конкретном явлении, столь малы, что ими можно
пренебречь, не исказив сути этого явления. Отмечая на карте курс
корабля в открытом море, штурман фактически считает корабль
точкой, но не может позволить себе такую роскошь при выборе
                                  6



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика