Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                            [a 2 , a3 ]      2π
                         b1 = 2π                       =    ( +i − j + k ) ;
                                      (a1 [a 2 , a3 ])    a
                                        [a3 , a1 ]       2π
                         b2 = 2π                       =    ( +i + j − k ) ;
                                      (a1 [a 2 , a3 ])    a
                                        [a1 , a 2 ]      2π
                         b3 = 2π                       =    (−i + j + k )
                                      (a1 [a 2 , a3 ])    a

Решетка, построенная на этих векторах, показана на рис.36. Она представляет собой
объемоцентрированную кубическую решетку – каждый узел этой решетки может быть
указан тремя числами m1, m2, m3, т.е. задан целочисленным вектором:

                                      Km=b1m1+b2m2+b3m3

       Таким образом, обратная решетка для гранецентрированной кубической решетки
есть объемоцентрированная кубическая. Можно показать, что справедливо и обратное
утверждение: обратная решетка объемоцентрированной кубической является
гранецентрированная. Первая зона Бриллюэна для ГЦК и ОЦК решетки, построенная
обычным путем (элементарная ячейка Вигнера-Зейца), показана также на рис.36.




3.6. ХОД ВЕТВЕЙ КОЛЕБАНИЙ В ЗОНЕ



   Характер решений в предельном случае бесконечно длинных волн, т.е. при k = 0
можно получить из рассмотрения дисперсионного уравнения:

                                 | Dαβ    ( )− ω δ
                                              k
                                              l, p
                                                           2
                                                                αβ   δ lp |= 0

                         Dαβ   ( ) = ∑Ф ( )expik(r
                               k
                               l, p
                                                          n−m
                                                     αβ l , p                m   − rn ) ,
                                          n


Ясно, что амплитуды Alα(k) получаемых решений вещественны (возможно с точностью
до постоянного комплексного множителя), когда коэффициенты Dαβ(k,l,p) однородной
системы уравнений для амплитуд вещественны. Но для k=0 и kai=π множитель
exp[ik(rm–rn)] в выражении для D равен ±1, и тогда D вещественно, и для предельных
длинных и предельно коротких волн амплитуды вещественны. Другой важный случай,
когда смещения вещественны соответствует ситуации, когда каждый атом решетки
является центром инверсии, т.е. когда каждой паре атомов nl и m′p′ может быть
сопоставлен атом m′′p′ такой, что rm′p′–rnl=-(rm′′p′–rnl). В этом случае энергия
взаимодействия этих атомов одинакова Ф(m′–n,l,p′)=Ф(m′′–n,l,p′), и в выражении для D
суммирование можно разбить на два полупространства:


             Dαβ   ( ) = ∑Ф ( )expi(k(r
                   k
                   l, p
                                         n−m\
                                     αβ l , p
                                                                         p\
                                                                              m\   − r l n )) +         ∑Ф(         n−m\ \
                                                                                                                    l, p     )expi(k(r   p\
                                                                                                                                              m\ \   − r l n )) ,
                             n−m\                                                                      n−m\ \

Dαβ   ( ) = ∑Ф ( )[expi(k(r
      k
      l, p
                             n−m \

                          αβ l , p
                                                     p   \
                                                             m\   − r l n )) + exp− i(k(rm\ − rnl ))] = ∑Фαβ
                                                                                          p                     \
                                                                                                                                          ( )cosk(r
                                                                                                                                              n−m\
                                                                                                                                              l, p                  m   − rn )
               n−m\                                                                                                             n−m\


    В этом случае амплитуды Alα вещественны и, следовательно, характеризуют
реальные отклонения атомов от положения равновесия.
    Строгое рассмотрение хода решений ωj(k) при k=0 представляет некоторые
трудности из-за неаналитичности решений при k=0. Однако, для некоторых ветвей ход
зависимостей можно легко понять, ограничившись рядом простых и наглядных
соображений. Положим в уравнении для амплитуд

                                                ∑ [ Dαβ ( ) − ω
                                                 β
                                                p,
                                                                       k
                                                                       l, p
                                                                                      2                   β
                                                                                          δ αβ δ l , p ]A p = 0 .


величину волнового вектора и частоту равной нулю: k=0 и ω=0. Тогда

                                                                  ∑ Dαβ ( )Aβ (0) = 0
                                                                   β
                                                                  p,
                                                                                   0
                                                                                   l, p
                                                                                             p



или

                                                                  ∑ Фαβ ( )Aβ (0) = 0
                                                                    β
                                                              n−m, p ,
                                                                                   n−m
                                                                                   l, p
                                                                                                 p




и имеется решение Apβ(0)=Aβ(0), для которого вещественные амплитуды одинаковы для
всех атомов с номером p, поскольку тогда выполняется



                                                             ∑ Aβ (0) ∑ Фαβ ( ) = 0
                                                             β                  n−m, p
                                                                                                     n−m
                                                                                                      l, p




Это является следствием свойств потенциальной энергии кристалла, поскольку сумма


                                                                        ∑ Фαβ ( ) = 0
                                                                       n−m, p
                                                                                          n−m
                                                                                          l, p




автоматически равна нулю из-за инвариантности потенциальной энергии кристалла
относительно произвольных смещений вдоль трех ортогональных осей x,y,z, т.е. для
α=x,у,z. Поэтому есть три ветви, для которых при k=0 частота ω=0. Эти три ветви
называются акустическими ветвями.
    Решения для остальных ветвей в принципе ясны из одномерного случая, но


осуществить решение для трехмерного случая не так просто. С другой стороны, именно
для трехмерного случая есть смысл делать расчеты, чтобы сопоставить их с
экспериментом. Вообще говоря, при решении подобных задач нельзя ограничиться
взаимодействием только с ближайшими соседями. Например, для ионных кристаллов
потенциал взаимодействия спадает с расстоянием очень медленно, как 1/r. В ряде
случаев важен учет деформации ионов при колебаниях. Это особенно важно учитывать
для гомополярных кристаллах, поскольку колебания атомов могут деформировать
электронную плотность на ковалентных связях. Тем не менее, с появлением доступной
мощной вычислительной техники в последние годы появилось много расчетных
программ для решения подобных задач. Необходимо отметить, что решение
дисперсионного уравнения нет необходимости проводить для всех различных значений
волнового вектора k в зоне Бриллюэна. Поскольку зона Бриллюэна обладает
симметрией прямой решетки и еще центром инверсии, можно найти так называемый
неприводимый элемент зоны, который при применении различных операций симметрии
позволяет получить всю зону. Для кубической решетки таким неприводимым
элементом зоны является 1/48 часть первой зоны Бриллюэна.
    Решение колебательной задачи в виде плоской волны Ulnα=Alαexp[i(ωt–krn)], где
частота ω может принимать N значений в 3s ветвях ωj(k), указывает, что каждый атом
совершает ряд движений с разными частотами. Как и в случае молекулы, можно найти
систему координат, в которой и кинетическая и потенциальная энергия системы
принимает квадратичную форму, а смещения частиц описываются нормальными
координатами. Оставляя вопрос о нахождении такого преобразования до следующего
параграфа, заметим, что совокупности смещений, образующие нормальные координаты,
должны преобразовываться по неприводимым представлениям каких-либо точечных
групп. Для k=0 (центр зоны Бриллюэна, точка Г), эта группа – фактор-группа кристалла,
изоморфная точечной группе симметрии кристалла. Для остальных точек зоны
Бриллюэна точечная группа, по неприводимым представлениям которой преобразуются
нормальные координаты с k≠0 определяется симметрией соответствующей точки зоны
Бриллюэна. Например, в кубической решетке точки Г обладает голоэдрической
симметрией решетки Браве m3m, точка X – симметрией 4/mmm, точка L – 3m и т.д.



  3.7.      Расчеты колебаний кристаллов
   Для сложных систем, какими являются кристаллы, расчеты их колебаний обычно
ограничиваются рамками адиабатического и гармонического приближений.
Существует, тем не менее, два принципиально разных подхода в таких расчетах. Эти
подходы отличаются различным описанием поля упругих сил, в котором происходит
движение точечных масс. Исторически сложившийся первый подход не предполагает
знания аналитического вида потенциальной функции системы V(r), но дает право
представить энергию системы квадратичной формой V(r)=1/2Σ(d2V/dridrj)orirj. Элементы
Фij этого раздожения, составляющую матрицу силовых постоянных, обыкновенно
рассматриваются как независимые подгоночные параметры теории. Кинетическая
энергия колеблющейся системы также может быть представлена квадратичной формой
типа T=1/2ΣMijrirj . Здесь Mij являются функциями масс частиц. Математический смысл


решения задачи о нормальных колебаниях системы состоит в преобразовании её
колебательного гамильтониана       H(q)=1/2Σ(Mijqiqj+Фijqiqj) к более простой
квадратичной форме путем перехода к новым нормальным координатам Qi

                             Qi=ΣLklQl    и Qi=ΣLklQl


Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для

                             которой выполнено:




                       ĽTL=E    и    ĽFL=diag(λ1,λ2, λ3N),

где Ľ – транспонированная матрица L, E – единичная, а diag – диагональная матрица.
Колебательный гамильтониан тогда имеет вид

                          H(Q)=1/2Σ(Ql2+λlQl2)=Σ H(Q).

Таким образом, колебательные движения системы распадаются на совокупность
независимых     гармонических  осцилляторов    с     частотами    ωl=1/2π√⎯λl.
Диагонализирующую потенциальную и кинетическую энергию матрицу L можно найти
путем решения уравнения


                           TLλ=FL        или   T–1FL=Lλ


Вообще говоря, нужно добавить, что сформулированное решение колебательной задачи
может быть применено к блоховским возбуждениям с любым определенным значением
волнового вектора k. Это позволяет проводить таким же путем расчеты колебаний
кристалла в определенных точках зоны Бриллюэна. Теоретическое вычисление величин
собственных частот системы по её известной геометрии и массам атомов при заданных
из тех или иных соображений элементов матрицы силовых констант Фij принято
называть решением прямой колебательной задачи. Обратной колебательной задачей
называют проблему определения силовых констант (матрицы F) при известных из
спектроскопических и структурных данных матрицы λ. В изложенном подходе
достигается полное разделение параметров, определяющих решение механической
задачи о частотах колебаний и задачи об интенсивностях линий поглощения
(электрооптическа задача). Интенсивность i-го нормального колебания в ИК спектре и


КР спектре в гармоническом приближении определяется величинами (∂µ/∂Q)o2 и
(∂α/∂Q)o2, где µ и α
Дипольный момент и поляризуемость системы, а производные взяты в точке
равновесия. Такое приближение часто называемое моделью жестких ионов, оказалось
не слишком успешным для большинства ионно-ковалентных кристаллов вследствие
неучета поляризуемости ионов. Начиная с 60-х годов расчеты развивались по пути
использования т.н. «оболочечной» модели, в которой каждый ион представлялся
положительно заряженным остовом, с которым упруго связана безинерционная
электрически отрицательно заряженная оболочка. Однако, даже такое усложнение
модели, приводящее к значительному увеличению её параметров, не обеспечило
хорошее соответствие расчетов с экспериментальными данными.
       Альтернативный подход к задаче о колебаниях кристаллических решеток,
развиваемый в последнее десятилетие группой А.Н.Лазарева с сотрудниками, основан
на явном аналитическом представлении потенциальной энергии системы.
Потенциальную функцию взаимодействия атомов в кристалле, как это обсуждалось в
главе 1, комбинируют, по крайней мере, из двух модельных функций: притяжения и
отталкивания.
Поскольку первые производные от аналитически аппроксимаций функций притяжения
и отталкивания не обращается в ноль в положении равновесия (в нуль обращается лишь
их производная сумма) важным этапом рассмотрения задачи является исследование
условий равновесия кристаллической решетки. В простейшем случае используется
функция типа

Vполн.=Vблизк.+Vдальнод,

               A            Zi Z je2
Vполн   =∑ n ±       ∑
         i ≠ j Rij   i≠ j     Rij

      Здесь первый член интерпретируется как короткодействующего отталкивания, а
второй член – как энергия электростатического взаимодействия между ионами.
Параметры Zi и Zj заряды ионов Rij – расстояние между ними, а постоянные A и n
параметры потенциала отталкивания. Условия равновесия кристалла требует отсутствия
суммарных сил на атомах в положении равновесия

                                       ⎛ ∂Vблизкод   ⎞ ⎛ ∂Vкулон   ⎞
                                       ⎜
                                       ⎜ ∂Q          ⎟ +⎜
                                                     ⎟ ⎜ ∂Q        ⎟ =0
                                                                   ⎟
                                       ⎝             ⎠0 ⎝          ⎠0

Кроме того, требуется выполнение условия устойчивости кристаллической решетки
относительно однородной механической деформации. При выполнении этих условий
вторые производные суммарного потенциала определяют силовые постоянные системы
Фij=(∂2V/∂Q2)0. Важно, что при таком подходе, когда с самого начала заданы
эффективные заряды на ионах, параметры механической задачи (задачи о нахождении
частот собственных колебаний) и электрооптической задачи (задачи об интенсивностях
линий поглощения) оказываютс неразделимыми. Такая концепция также устраняет
внутреннюю противоречивость выделения кулоновской части взаимодействия соседних


ионной с частично перекрывающимися волновыми функциями, что очень характерно
для большинства кристаллов с ионно-ковалентными решетками.
       Таким образом, альтернативный подход расчета колебаний кристалла позволяет
проводить совместное рассмотрение равновесного строения, собственных частот и
интенсивностей колебательного спектра и макроскопического вычисления упругих
констант кристалла с помощью единой совокупности параметров.
Пример расчета дисперсионных ветвей для кристалла кремния в различных
напрравлениях волнового вектора приведен на рис. 37a.




Рис.37a(41). Дисперсионные кривые для кристалла кремния, соответствующие направлениям [100] и
[111]. Поскольку в решетке кремния в элементарной ячейке находятся два атома Si, существует
акустическая и оптическая ветви. Они не являются трансляционно-эквивалентными (конгруэнтными),
однако имеют одинаковую массу, и поэтому частоты продольных LА и LO колебаний в акустических и
оптических ветвях на границе зоны Бриллюэна в точке X (100) вырождены, т.е. имеют почти одинаковую
частоту ωак=√β/m1 ≈ ωопт=√β/m2 (см. рис.29).


3.7 Функция распределения плотности частот.

    В ряде термодинамических задач важно знать функцию распределения плотности
частот g(ω). g(ω) – относительное число частот, заключенное в интервале частот от ω до
ω+dω. Относительное число частот – это число частот, отнесенное ко всему числу
частот кристалла 3N. Часто используют нормированную на единицу функцию
плотности частот:

                             ω max                 3 s ω max

                               ∫     g (ω )dω = ∑        ∫g     j   (ω )dω = 1
                               0                   j =1 ω min



gj(ω) - функция плотности частот в ветви j.

       Единственный путь получить функцию распределения плотности частот - это
решить вековое уравнение для всех точек зоны Бриллюэна, поскольку общих
соотношений для функции g(ω) не существует. Однако, для идеализированного случая
изотропной и непрерывной среды получить функцию распределения плотности частот
достаточно просто.
    Предположим, что в такой среде существует предельная частота ωmax. Вследствие
непрерывности среды и ее изотропности значение ωmax будет достигаться для
одинаковых волновых векторов в любом направлении. Поэтому зона Бриллюэна в этом
случае должна выглядеть сферой. Изочастотные поверхности в обратном пространстве
(пространстве волновых векторов) также будут изображаться сферой. Поэтому число
различных колебаний dN, заключеных между частотой ω и ω+dω будет
пропорционально объему шарового слоя dN=4πa2∼ω2dω, а плотность частот равна

                                                   dN
                                        g (ω ) ≡      ∝ Aω 2
                                                   dω

    Разумеется, модель можно усложнить и рассматривать распределение частот в
каждой ветви. Однако, для дискретной среды функция распределения плотности частот
не имеет такого гладкого вида. Для простоты можно рассматривать лишь одну ветвь.
Доля общего числа частот, лежащих в интервале от ω до ω+dω всегда будет
пропорциональна объему обратного пространства, определяющего этот интервал
частот:

                                      g (ω )dω ∝ A∫∫∫ (dk ) 3 ,
                                                          V


где интеграл берется по объему слоя, для которого ω< ωk < ω+dω. Введем вектор

                                                   dV x     dV y   dV
                        Vk = grad k ω (k ) = i          + j      +k z –
                                                    dx       dy     dz


градиент частоты в k-пространстве. Он имеет размерность скорости и представляет
собой групповую скорость пакета с волновым вектором k в среде, имеющей дисперсию.
Используя эту величину, можно преобразовать выражение для плотности частот
следующим образом. За элемент объема в k-пространстве возьмем цилиндр с
образующей вдоль направления gradkω(k) и основанием, перпендикулярным этому
направлению (т.е. на изочастотной поверхности ω(k)=const). Площадь основания
цилиндра – dSω, а высота dkN=dω/gradkω(k). Поэтому функция плотности частот может
быть представлена так:


                                                                                           dS ω
          g (ω )d ω = A ∫∫∫ ( dk ) 3 = A ∫∫ dS                 ω   dk       = A ∫∫                    dω
                                                                                       grad k ω ( k )
                                                                        N
                                  V                    S                           S




    Если в какой-либо точке gradkω(k)=0, то функция g(ω) имеет особенность. В
одномерном случае в этой точке (dω/dk)=0, и плотность частот стремится к ∞, хотя сама
ω(k) может и не обращаться в ∞ Такие точки обратного пространства носят название
критических точек функции плотности состояний. Если вблизи такой точки
дисперсионную зависимость ω(k) можно разложить в ряд Тейлора, то такие
критические точки называются аналитическими критическими точками. Вблизи такой
точки ko можно написать:

                                                                              ⎛ d 2ω ( k ) ⎞
ω (k ) = ω (k o ) + γ 1η12 + γ 2η 2 + γ 3η 32
                                  2
                                                ; γ i = (k i − k i 0 ); η i = ⎜
                                                                              ⎜ dk 2 ⎟     ⎟
                                                                              ⎝      i     ⎠ K io

         Рассматриваемое разложения не содержит линейных членов по ηi, поскольку
     gradkω(k)=0. В зависимости от числа I отрицательных знаков в совокупности
     коэффициентов γ1, γ2 и γ3 разложения (I – индекс критической точки или число
     Бетти) аналитические критические точки различаются следующим образом:

         1. I=3, точка P3 т.е.γi <0 для всех I=1,2,3. ω(k) имеет локальный максимум, т.к.
     любое значение ω(k) меньше, чем значение функции в рассматриваемой точке
     ω(ko). Поверхность постоянной частоты – эквипотенциальная поверхность ω(k)
     вблизи этой точки представляет собой эллипсоид с главными полуосями γ1, γ2, γ3.
     Объем обратного пространства, ограничиваемый такой поверхностью вблизи точки
     ω(ko) равен



                                                4 3 4 (ω o − ω 2 ) 3 2
                                                          2
                                                  πR ∝ π
                                                3     3 (γ 1γ 2γ 3 )1 2



     Поэтому           функция           плотности            частот           в       этом         месте   имеет


особенность типа
                                                                                1
                                                            (ω o − ω 2 )
                                                               2                    2
                                          g (ω ) ∝                          1
                                                             (γ 1γ 2γ 3 )       2



g(ω) в критической точке имеет конечное значение, однако dg(ω)/dω стремится к –∞,
когда частота стремится к частоте в особой точке ω→ω(ko) со стороны меньших частот.
2. Число Бетти I=0, точка P0, т.е. γi >0 для всех i=1,2,3. В этом случае дисперсионная
функция ω(k) вблизи критической точки имеет локальный максимум, функция
плотности частот имеет вид, аналогичный виду в минимуме, но dg(ω)/dω → +∞ при
ω→ωo со стороны высоких частот.
3. Если один из коэффициентов γ >0, а два других меньше нуля, на дисперсионной
зависимости в обратном пространстве возникает седловая точка, которая называется
седловой точкой P2 2-го рода. Вблизи нее функция плотности частот ведет себя
следующим образом:
                                                    1
                            g (ω ) ∝ (ω 2 − ω o )
                                              2         2
                                                                  для                   ω ≤ ωo

4. Если один из коэффициентов γi разложения ω(k) больше нуля, а остальные два –
меньше нуля, возникает седловая точка первого рода P1. Вид функции плотности
состояний в этом случае подобен седловой точке P2 второго рода для ω <ωc. Поведение
функции g(ω) вблизи этих аналитических критических точек дано в табл.12.




Рис.38. Особенности Ван-Хова функции плотности состояний. а) Типы критических аналитических точек
и особенности функции плотности состояний вблизи этих точек: P0 – min функции ω(k), P1 и P2 – точки


перегиба, P3 – max функции ω(k). б) Топологическое обоснование особенностей плотности частот.
Показаны кривые, соединяющие максимумы и минимумы периодической двумерной функции в обратном
пространстве. Точки 1 и 2 – точки перегиба. Минимумы, находящиеся на сплошных кривых,
соединяющих соседние максимумы, образуют геометрическое место точек, имеющих локальный
максимум (пунктирная кривая). Одна из таких точек будет точкой перегиба. В элементарной ячейке
обратного пространства в двумерном случае будет две таких точки. В трехмерной случае точки перегиба
могут быть двух типов, и в зоне Бриллюэна помимо максимума и минимума функции ω(k) имеется по три
точки перегиба каждого типа (теорема Ван-Хова).


                                                        Таблица 12.
        ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИИ g(ω), ОБУСЛОВЛЕННЫЕ РАЗЛИЧНЫМИ
                      КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ

                              Обозна-             поведение g(ω) вблизи ωc
              Тип точки        чение              ω<ωc                   ω>ωc


                                 Po                 0                 ∝ (ωc2-ω2)1/2
               Минимум




              Седловая           P1           ∝ (ωc2-ω2)1/2               const
                точка
             Седловая            P2               const               ∝ (ωc2-ω2)1/2
                точка
              Максимум           P3           ∝ (ωc2-ω2)1/2                 0



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика