Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    и на ее границе (k=π/a). В этом случае колебания цепочки представляют собой стоячую
волну.



Система дифференциальных уравнений, описывающая движение частиц, имеет
бесконечное число уравнений, имеющих для легкой и тяжелой частицы следующий
вид:

                             ••
                        m1 U 2 n = − β (U 2 n − U 2 n −1 ) − β (U 2 n − U 2 n +1 )
                              ••
                        m2 U 2 n +1 = − β (U 2 n +1 − U 2 n ) − β (U 2 n +1 − U 2 n + 2 )


Решение этой системы ищем в виде, удовлетворяющем теореме Блоха, т.е. в виде
периодической функции, определенной в элементарной ячейке, домноженной на
фазовый множитель expi(k,rn).

                         U 2 n = A1e i[ωt + k 2 na′]    U 2 n +1 = A2 e ipωt + k ( 2 n +1) a′]

где A1 и A2 – амплитуды смещений частиц массы m1 и m2, ω – частота колебаний, а k –
волновой вектор возбуждения.
    Подстановка этих решений в бесконечную систему дифференциальных уравнений
приводит eё к однородной системе из двух алгебраических уравнений относительно
неизвестных амплитуд колебаний А1 и А2. Чтобы система имела нетривиальное
(ненулевое) решение, необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю. Это дает связь
между частотой возбуждения ω и волновым вектором k, которая, как известно, носит
название дисперсионного соотношения:


                                     A1(m1ω2–2β)+A22βcoska′=0
                                     A12βcoska′+A2(m2ω2–2β)=0

                                                                     2 ka ′
                                ⎛ 1  1 ⎞               ⎛ 1  1 ⎞ 4 sin ( 2 )
                  ω   2
                      1, 2   = β⎜
                                ⎜m + m ⎟±
                                        ⎟              ⎜
                                                       ⎜m + m ⎟−
                                                               ⎟            .
                                ⎝ 1   2 ⎠              ⎝ 1   2 ⎠    m1 m2

   Поскольку 1–2sin2ka′=coska, дисперсионное соотношение можно записать так:

                           ⎛ β ⎞
                 ω 12, 2 = ⎜
                           ⎜ m m ⎟[(m1 + m2 ) ± m1 + m2 + 2m1 m2 cos ka ]
                                 ⎟
                                                 2    2

                           ⎝ 1 2⎠

   Если частота ω удовлетворяет дисперсионному уравнению, можно найти


соотношение амплитуд А1 и А2 соответствующих волновых возбуждений, а из
начальных условий можно найти и сам амплитуды. Поскольку дисперсионное условие
имеет два корня ω1, ω2 каждому значению волнового вектора k соответствует две
волны. В зависимости от k возбуждения цепочки имеют целый набор частот – ветвь
(рис.28).




Рис.28. Вид акустических (a) и оптических (б) колебаний двухатомной цепочки для
значений волновых векторов k=0 (1), k=π/a (2) и волнового вектора внутри зоны
Бриллюэна k=π/7a (3). Колебания с волновым вектором k=π/a на границе зоны
Бриллюэна представляют собой стоячие волны. В акустической ветви колеблются
тяжелые атомы, а легкие покоятся; в оптической ветви колеблются легкие атомы, а
тяжелые находятся в покое.

Таким образом, дисперсионная кривая имеет две ветви – акустическую (знак –) и
оптическую (знак +). Так как дисперсионная зависимость ω(k) периодична по k с
периодом 2π/a, нет необходимости рассматривать вс возможны значения k. Область
изменения волнового вектора k выбирается симметричной (–π/a, +π/a ), чтобы учесть
волны, бегущие в противоположных направлениях. Эта область носит название первой
зоны Бриллюэна.

Легко получить значения частот при k=0 и на границе зоны Бриллюэна (k=π/a):


                                         центр зоны Бриллюэна                граница зоны Бриллюэна
        Акустическая
           ветвь                                 ωa=0                              ωа=(2β/m1)1/2
         Oптическая
           ветвь                         ωо=(2β(1/m1+1/m2))1/2                     ωo=(2β/m2)1/2



    Внутри зоны ветви непрерывны. Ход ветвей вблизи центра зоны Бриллюэна при
k→0 можно получить, рассматривая разложение дисперсионой зависимости ω(k) в ряд
по k, и учитывая, что сoska ≈1–k2a2/2+...:

    1. Акустическая ветвь (знак –):

                                     ⎛    a2β      ⎞                    ω             β
                        ωa ≈ k 2⎜
                         2
                                ⎜                  ⎟ ;
                                                   ⎟            V =          =a
                                     ⎝ 2(m1 + m2 ) ⎠                     k        2(m1 + m2 )

    Скорость этой волны является скоростью звука, поскольку:

                              σ xx             β (U 2 n − U 2 n −1 )
                    c11           ε xx                             (U 2 n − U 2 n −1 ) (a / 2)        β
        V звука =         =            =                                                       =a             .
                    ρ            ρ                             (m1 + m2 ) a                       2(m1 + m2 )


    2. Оптическая ветвь (знак +):
    3.
       β ⎡                           ⎛    k 2 a 2 m1 m2                ⎞⎤   β     ⎡               a 2 m1 m2 2 ⎤
Vo2 =       ⎢ (m1 + m2 ) + (m1 + m2 )⎜1 −
                                     ⎜ 2(m + m ) 2                     ⎟⎥ ≅
                                                                       ⎟          ⎢ 2(m1 + m2 ) −          k ⎥
      m1 m2 ⎢
            ⎣                        ⎝        1      2                 ⎠⎥ m1 m2
                                                                         ⎦        ⎣               m1 + m2 ⎦

   Оптическая ветвь, таким образом, имеет максимум при k=0, а вблизи центра зоны
Бриллюэна имеет параболическую зависимость от волнового вектора.

    Ход ветвей на границе зоны Бриллюэна (k=π/a) также можно получить, разлагая
ω(k) в ряд в этой точке и учитывая, что :

                                 сoska ≅ сos(π–ε)=–сosε =–1+ε2/2+...

    1. Акустическая ветвь (знак –):

                β   ⎡                          ⎛ 1 m1 m2          ⎞⎤ 2 β 1   β
      ωa ≈
       2
                  ⋅ ⎢(m1 + m2 ) − (m1 − m2 ) ⋅ ⎜1 +
                                               ⎜ 2 (m − m )   ε 2 ⎟⎥ =
                                                                  ⎟     −         ε2
                                                                  ⎠⎥ m1 2 m1 − m2
                                                            2
             m1 m2 ⎢⎣                          ⎝     1   2          ⎦


Групповая скорость волны равна Vгр=(dω/dk)k=0=0 , т.е. это – стоячая волна.

2. Оптическая ветвь (знак + ):
            β ⎡                              ⎛ 1 m1 m 2      2⎞
                                                                ⎤ 2β 1       β
     ωo ≈
       2
                                             ⎜ 2 (m − m ) 2 ε ⎟⎥ = m + 2 (m − m ) ε .
                ⋅ ⎢(m1 + m2 ) + (m1 − m2 ) ⋅ ⎜1 +             ⎟
                                                                                   2

          m1 m2 ⎢ ⎣                          ⎝     1   2      ⎠⎥⎦   2      1   2

    Таким образом, частоты акустической и оптической ветви вблизи границы зоны
Бриллюэна меняются по параболическому закону, а групповая скорость волны на
границе зоны Бриллюэна равна нулю, т.е. это – стоячая волна.

    Если ограничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри
зоны гладки. Обе ветви идут не пересекая друг друга и имеет место область
запрещенных частот от значения (2β/m1)1/2 до (2β/m2)1/2.
    Характер движения частиц в ветвях можно получить, вернувшись к алгебраическим
уравнениям для амплитуд А1 и А2. Если А1/А2>0, то движения частиц происходит в фазе,
если А1/А2>0 – в противофазе. Используя второе уравнение для амплитуд для нулевого
волнового вектора, можно получить:


               A1   2 β − m 2ω 2   (m1 − m2 ) m m12 + m2 + 2m1 m2 cos ka
                                                        2

                  =              =                                       .
               A2 2 β cos(ka 2)                2m1 cos(ka 2)




В акустической ветви (знак плюс) это отношение равно +1:


                            (А1/А2)ak=(m1–m2+m1+m2)/2m1=+1 ,


т.е. частицы с массами m1 и m2 движущая в фазе.
В оптической ветви (знак минус) это отношение отрицательно:

                        (А1/А2)opt=(m1–m2–m1–m2)/2m1= –m2/m1,

т.е. частицы колеблются в противофазе, а амплитуды движений обратно
пропорциональны массам. Важно, что если на частицах 1 и 2 есть заряды, то такое
колебание сопровождается изменением дипольного момента элементарной ячейки и,
значит, оно может взаимодействовать со светом. Поэтому ветвь таких колебаний
называется оптической.
    В случае малых волновых векторов можно получить, что для акустической и
оптической ветвей справедливо

                                   (А1/А2)ak=1+k2ς;


                                        (А1/А2)opt= –(m2/m1)(1–k2ς ),

                                          где ς = (m1–m2)/8(m1+m2)

В акустических колебаниях отношение амплитуд возрастает, а в оптических –
уменьшается, но колебания тяжелых и легких частиц остаются в противофазе. Вблизи
границы зоны Бриллюэна при k=(π–ε)/a, coska≈ –1+ε2/2+…, и отношения амплитуд
имеет вид:

                                            ⎡             1 m1 m2 2 ⎤
                               (m1 − m2 ) − ⎢(m1 − m2 ) +          ε ⎥
              ⎛ A1   ⎞                      ⎣             2 m1 − m2 ⎦        m2
              ⎜
              ⎜A     ⎟
                     ⎟       =                                         =−             ε   ,
              ⎝ 2    ⎠ opt                        m1ε                     2(m1 − m2 )



       ⎛ A1   ⎞                      ⎡             1 m1 m 2 ⎤ 2(m1 − m2 ) 1 m2
       ⎜
       ⎜A     ⎟
              ⎟       = (m1 − m2 ) + ⎢(m1 − m2 ) +           ⎥=          +           ε .
       ⎝ 2    ⎠ akust                ⎣             2 m1 − m2 ⎦   m1ε       2 m1 − m2

      Поскольку в цепочке m1–m2>0, то в колебаниях оптической ветви движения
происходят в противофазе, причем при ε→0 (А1/А2)opt→0, т.е тяжелые частицы
покоятся, а легкие движутся. Длина волны при этом минимальна и равна λ=2a. В
акустической ветви при колебаниях на границе зоны частицы движутся в фазе. При
уменьшении ε отношение (А1/А2)ak возрастает и при ε→0 стремится к бесконечности.
Это означает, что легкие частицы покоятся, а тяжелые движутся. Вид этих колебаний
приведен на рис.28.


Рис.28. Вид акустических (a) и оптических (б) колебаний двухатомной цепочки для
значений волновых векторов k=0 (1), k=π/a (2) и волнового вектора внутри зоны
Бриллюэна k=π/7a (3). Колебания с волновым вектором k=π/a на границе зоны
Бриллюэна представляют собой стоячие волны. В акустической ветви колеблются
тяжелые атомы, а легкие покоятся; в оптической ветви колеблются легкие атомы, а
тяжелые находятся в покое.

    Для цепочки конечных размеров можно использовать циклические граничные
условия Борна–Кармана, устанавливающие идентичность атома n и n+N:


                  Un=Un+N; exp[i(ω⋅t+2nka′)]=exp[i(ω⋅t+(2n+N)ka′)]

                       exp[iNka′]=1; Nka′=2πp; p=0,1,2...N–1;

                        –π/a<k=p2π/Na<+π/a; –N/2<p<+N/2

    Таким образом, имеется N различных волновых векторов k, причем каждому
волновому вектору k соответствует два колебания с частотами ωak и ωopt, так что полное
число типов движений ограничено и равно 2N (N – для оптической ветви и N – для
акустической).
Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки показана на рис.29.


Как и в случае одноатомной цепочки можно рассмотреть функцию плотности частот в
ветвях g(ω)=dZ/dω, определяемую как число мод (типов колебаний) dZ, приходящихся
на единичный интервал частот dω. Ясно, что существует две области частот, где g(ω)
отлична от нуля. Эти области соответствуют акустической и оптической ветвям. Они
разделены запрещенной областью частот, где g(ω)=0. В граничных точках зоны
Бриллюэна функция плотности частот стремиться к бесконечности, что является
следствием приближения ближайших соседей. Полное число колебаний в цепочке
конечно и равно 2N, так что


                  ∞

                  ∫ g (ω )dω = ∫
                  0          akust
                                     g (ω )dω +   ∫ g (ω )dω = N + N = 2 N .
                                                  opt




    При рассмотрении реальной двухатомной цепочки необходимо учесть, что частицы
могут смещаться не только вдоль цепочки, но и поперек, т.е. каждая частица будет
иметь 3 степени свободы. Поэтому уравнений движения будет в 3 раза больше, и в 3
раза больше будет решений. Для каждого волнового вектора k будет существовать
шесть волн с различными частотами, т.е. дисперсионная кривая будет иметь шесть
ветвей. Три из них имеют частоты равные нулю при k→0 (трансляционные движения
частиц в фазе вдоль и поперек цепочки) и являются акустическими, остальные три –
оптические.


Рис.29.Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки. а) Ветвь
одноатомной цепочки с периодом a и одним атомом массы m в элементарной ячейке
(сплошная кривая) переходит в две ветви типа А (акустическая) и О (оптическая) в
случае неконгруэнтности (отсутствия трансляционной инвариантности) атомов (m1≈m2).
Поскольку элементарная ячейка в этом случае должна имеет удвоенный размер a′=2a,
частоты обоих ветвей на границе зоны почти равны ω=√β/m1 ≈ ω=√β/m2 . В этом случае
говорят, что зона Бриллюэна складывается в направлении kα. Трехмерный аналог этого
случая – кристаллы C, Si, Ge, в решетке которых 2 атома в элементарной ячейке, и в
которых в направлении (100) LA и LO ветви вырождены в точке X зоны Бриллюэна
(см. рис.41). б) Складывание зоны Бриллюэна в случае двухатомной линейной цепочки.
Появление сверхструктуры с периодами a′=2a, a′′=4a и т.д. приводит к последующему
уменьшению зоны Бриллээна и увеличению числа частот в центре зоны с k=0. в)
мягкие моды в линейной двухатомной цепочке: 1– равновесная конфигурация цепочки с
постоянной a и массами m1 и m2; 2 – оптическое колебание в этой цепочке с k=0. При
«замораживании» смещений число частиц в ячейке не изменяется; 3 и 4 – оптическое и
акустическое колебания двухатомной цепочки с волновым вектором k=π/a, т.е. на
границе зоны Бриллюэна. При «замораживании» этих колебаний (т.е. смещений) число


частиц в элементарной ячейке удваивается; 5 – замороженная конфигурация
акустической моды 4, приводящая к цепочке с элементарной ячейкой удвоенного
размера. Штриховкой показана неконгруэнтность атомов в новой ячейке . Смещения
частиц в этой конфигурации полностью подобны смещениям в случае 4, но
представляют теперь нормальное колебание с волновым вектором k=0. Случаи 4 и 5
иллюстрируют складывание зоны, показанной на рис.28б, и переход точки с k=π/a в
точку k=0 зоны Бриллюэна другой фазы.


    В общем случае при наличии s частиц в элементарной ячейке полное число
степеней свободы ячейки равно 3s. Полное число ветвей тогда будет 3s. Из них 3 ветви
акустические, остальные 3s–3 ветви – оптические (рис.30).




      Рис.30. Схематический вид дисперсионных зависимостей для кристалла с s
атомами в элементарной ячейке для различных направлений k распространения волны.


               3. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ




3.4. КОЛЕБАНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ


    В общем случае трехмерной модели будем рассматривать решетку с
элементарными трансляциями a1, a2, a3, в элементарной ячейке которой находятся S
атомов. Размер кристалла в направлении трансляций a1, a2, и a3 будет составлять
N=N1N2N3 трансляций, так что объем кристалла будет равен V=N(a1[a2,a3]). Положение
каждого атома в кристалле можно задать с помощью вектора rln


                                    rln=rn+rl;             rn= a1n1+a2n2+a3n3



    Вектор rn указывает на данную (n=n1,n2,n3) элементарную ячейку, а вектор rl на
конкретный атом l массы ml в этой ячейке. Смещение атома с номером n будем
обозначать величиной Ulnα, α=x,y,z. Полное число степеней свободы системы равно 3Ns.
Используя разложение потенциальной энергии кристалла по степеням смещений и
пренебрегая ангармоническими членами, легко написать уравнения движения.



                              1 ⎛ dV ⎞ l             1           ⎛   d 2V               ⎞ l p
               V = Vo +          ∑      ⎜ l ⎟ U nα +
                              1! n,l ,α ⎜ dUnα ⎟0
                                                          ∑      ⎜
                                                     2! nm,lp,αβ ⎜ dUnα dUm,β
                                                                     l    p
                                                                                        ⎟ U n,αU m,β + ...
                                                                                        ⎟
                                        ⎝      ⎠                 ⎝                      ⎠0



                                                                                           ⎛ d 2V          ⎞
         V − V0 =     ∑αβ     Фαβ   ( )U
                                    n−m
                                    l, p
                                           l
                                           nα
                                                  p
                                                U m, β ;       Фαβ ( ln,−m ) ≡
                                                                        p          ∑ ⎜ l p ⎜
                                                                                                           ⎟
                                                                                                           ⎟
                    nm,lp ,                                                      nm,lp ,αφ ⎝ dU nα dU mβ   ⎠o

                                                              dV
                                                 Fnl,α = −      l
                                                                      ,
                                                             dU n ,,α

можно написать уравнение движения для каждого из Ns атомов. Такая система



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика