Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
            Рис.18. Среднеквадратичные тепловые амплитуды (u2)1/2 атомов галлия и азота в кристалле GaN.



Таким образом, приближение малых колебаний действительно может быть
использовано, однако оно может оказаться неверным при температурах вблизи точки
плавления кристалла.



3.1. Линейная моноатомная цепочка


    В общем случае потенциальная энергия моноатомной цепочки (см. рис.19) зависит
от смещений Un каждого атома и при малых колебаниях около положения равновесия
может быть представлена следующим рядом:

                  1 3 N ⎛ dV    ⎞     1 3 N ⎛ d 2V          ⎞                     1
V (U n ) = Vo +     ∑⎜
                  1! n ⎜ dU n
                                ⎟ Un + ∑⎜
                                ⎟     2! n ,m ⎜ dU n dU m
                                                            ⎟ U nU m + анг.члены ≈ ∑ Ф(n − m)U nU m .
                                                            ⎟                     2 n
                        ⎝       ⎠o            ⎝             ⎠o

    Упрощая задачу, рассматривают гармоническое приближение и взаимодействие
только ближайших соседей. Поэтому сила fn, действующая на атом n равна:


                                          dV     1 ⎛ d 2V            ⎞
                                  fn = −      = − ∑⎜                 ⎟ ⋅U m .
                                         dU n    2 т ⎜ dU n dU m
                                                     ⎝
                                                                     ⎟
                                                                     ⎠o


    Если принять во внимание взаимодействие только с ближайшими атомами, это
выражение ещё более упрощается. Для цепочки, показанной на рис.19, сила,
действующая на атом с номером n, складывается из силы, действующей со стороны
предыдущего атома с номером n–1 и со стороны последующего атома n+1. Если
упругая постоянная между атомами определяется величиной β, то в этом приближении
можно написать:

                                f n = − β (U n − U n −1 ) − β (U n − U n +1 )




Рис.19. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная
зависимость ω(k) для линейной моноатомной цепочки. Тангенс угла наклона дисперсионной зависимости
равен скорости звука в цепочке, поскольку при k≈ 0 ω ≈√4β /m⋅ka/2 и Vзв=ω /k=a√ β /m, что полностью
совпадает со значением скорости звука при феноменологическом описании механических колебаний в
непрерывной среде: Vзв=√ С11 /ρ, где С11={β (Un–Un–1)}/{(Un–Un–1)/a}, а ρ=m/a, так что Vзв=a√β /m; в)
физический смысл волнового вектора k. Если найти ближайший к атому n атом n+m, имеющий то же
смещение, что и атом n, т.е. потребовать выполнения Un=Un+m, то ясен физический смысл волнового
вектора k: эта величина по модулю равна 2π ⁄ λ, где λ=am – длина волны возбуждения.


Система уравнений, описывающая движение N частиц цепочки, состоит из N
дифференциальных уравнений вида
                                               ••
                                           m U n = β (2U n − U n −1 − U n +1 )


                    Постановка решения в виде функции Блоха




                                         U n = Ae iωt ⋅ e i ( kan ) = A ⋅ e i (ωt + kan )


сводит систему дифференциальных уравнений к одному (!) алгебраическому
уравнению, характеризующему связь между частотой ω и волновым числом k=(2π/λ)
для возможных собственных возбуждений системы:


                                                                    [
                        − ω 2 mAo e i (ωt + kan ) = β Ao e iωt e i ( n −1) ak + e i ( n +1) ak − 2e ikan   ]


                                                                                                               4β
                         (
         − ω 2 m = β e ika / 2 − e −ika / 2 ;   )         ω 2 m = β 4 sin 2
                                                                                 ka
                                                                                  2
                                                                                    ;         ω=±
                                                                                                               m
                                                                                                                  sin
                                                                                                                      ka
                                                                                                                       2


Дисперсионная зависимость ω(k) периодична, таким образом достаточно рассмотреть
область периодичности волнового вектора k, которая выбирается симметричной от –
(π/a)<k<+(π/a) и носит название первой зоны Бриллюэна. Колебания, отличающиеся по
волновому вектору k на целочисленную величину (2π/a), физически характеризуют
одно и то же движение частиц. Легко видеть, что ближайшая частица, имеющая такое
же отклонение Un+m, как и заданная Un для колебания с волновым вектором k
расположена на расстоянии ma=λ:


                                                                                                               2π 2π
         Ao e i (ωt + kan ) = U n = U n + m = Ao e i (ωt + ka ( n + m )) ;     e ikam ≡ 1 ;         k=           =
                                                                                                               am λ


Волны с частотами ω>ωmax будут распространяться через цепочку с затуханием,
поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/2)>1,
т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину k+iα :


                                4β        ka
                            ω2 =    sin 2    ≥1     при     ω 2 ≥ ω max
                                                                     2

                                 m         2
                         ~
                         ka       k + iα         ka aα            ka aα
                     sin    = sin         a = sin ch     + i ⋅ cos sh
                          2          2            2    2           2    2


 Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна.
Следовательно, cos(ka/2)=0 и k=π/2, т.е. соседние частицы при таком движении
колеблются в противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом α
волны (рис.20 а):

                                                                      π
                                      ~                         i (ωt + an )
                    U n = Ao e i (ωt + k an ) = Ao e −αan ⋅ e          a
                                                                               = Ao e −αan ⋅ e i (ωt +πn ) .




Рис.20. Колебания моноатомной цепочки: а) мода колебания с волновым вектором k≈0; б) мода колебания
на границе зоны Бриллюэна с k=π /a; в) вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с
частотами ω2>ω2max=4β/m⋅sin2ka/2. Если частота внешнего воздействия ω>ωmax , это означает, что
волновой      вектор      k      является           комплексным                      числом            κ=k+iχ,   так   что


sin(κa/2)=sin[(k+iχ)a/2]=sin(ka/2)⋅ch(χa/2)+i⋅cos(ka/2)⋅sh(χa/2); поскольку sin(κa/2),
определяет физическую частоту и должен быть действительным числом, мнимая часть
этого выражения равна нулю, что может иметь место только когда значение ka/2=π/2.
Таким образом, соседние частицы колеблются в противофазе. Поэтому смещение
частиц в цепочке должно иметь вид: un=A⋅exp[i(ω⋅t+an/πa)]⋅exp(–χan). Это показано на
рисунке. г) моды колебаний цепочки с конечным числом атомов N, расположенные по
порядку увеличения частоты колебаний.
  Вид колебаний для различных волновых векторов показан на рис.20. Для малых
волновых векторов k≈0 (λ→∞) движение частиц происходит в фазе с частотами,
пропорциональными величине k (ka<<1):


                     4β     ka         4 β ka        β                                 β
               ω=       sin    ≈          ⋅   = k ⋅a   = kV ;                 V =a
                     m       2          m 2          m                                 m



где V=a(β/m)1/2– скорость звуковых волн в линейной цепочке, состоящей из масс m.
Действительно, Vзвука=(C11/ρ)1/2, где C11 – упругая постоянная

                            σ xx   β (U n − U n−1 )                                m
                    C11 =        =                   = βa ;        a          ρ=
                            ε xx (U n − U n −1 ) / a                               a


                                                aβ     β
                                    V звука =       =a   .
                                                m/a    m


 Таким образом, при малых k ω=kVзвука. Фазовая скорость Vф=ω/k и групповая скорость
Vгр=dω/dk в этом случае равны. Для коротких волн на границе зоны Бриллюэна k=π/a;
λ=2a соседние частицы колеблются в противофазе и образуют стоячую волну с
частотой ω=ωmax=(4π/M)1/2. Перенос энергии при этом отсутствует, а групповая
скорость равна нулю

                                    dω        a      ka
                            Vгр =      = ω max ⋅ cos          k =π / a
                                                                         =0
                                    dk        2       2



 При рассмотрении цепочки конечных размеров (N частиц) необходимо использовать
граничные условия. Среди них можно рассматривать условия закрепленных или
свободных концов, или циклические граничные условия (условия Борна-Кармана),
когда цепочка представляется замкнутой:


                U n = U n+ N ;   Ao e i (ωt + akn ) = Ao e i[ωt + ka ( n + N )] ;    e ikaN ≡ 1
                            kaN = 2π p ;                       p = 0,1,....N − 1 ;
                              2π                                 N             N
                     −π ≤ k =    p ≤π    ;                     − ≤ p≤_
                       a      aN      a                           2            2


    Таким образом, в цепочке из N атомов волновой вектор k может принимать N
разных значений, которым соответствуют различные решения Un(ω, k) и различный тип
движения частиц (моды колебаний). Поскольку число частиц N в реальных объектах
чрезвычайно велико, можно считать, что волновой вектор k и соответствующие
значения частот от 0 до ωmax квазинепрерывны.
    Важным вопросом является вопрос о числе dZ различных частот (колебаний, мод),
приходящихся на единичный интервал частот dω. Эта величина g(ω) носит название
функции плотности частот (функции плотности состояний).

                            1
         dZ        ⎛ 4β ⎞ 2   ka                  2π                           2π
g (ω ) =    ;   ω =⎜    ⎟ sin    ;        k=         p;              dk =         dp
         dω        ⎝ m ⎠       2                  aN                           aN

                 1                         1
         1 ⎛ 4β ⎞ 2  ka     a ⎛ 4β ⎞ 2  ka 2π
     dω = ⎜     ⎟ cos ⋅ dk = ⎜     ⎟ cos ⋅    ⋅ dp
         2⎝ m ⎠       2     2⎝ m ⎠       2 aN



Поэтому плотность частот для одноатомной одномерной цепочки выглядит следующим
образом:


                            dZ 2dp                     1                            2N
                 g (ω ) =     =    =                                     =
                            dω dω           β     ⎛ ka ⎞ π                   π ω max − ω 2
                                                                                 2
                                             ⋅ cos⎜ ⎟ ⋅
                                           m      ⎝ 2⎠ N

   Для линейной цепочки при учете взаимодействия только ближайших соседей
функция плотности частот g(ω) имеет особенность при ω→ωmax.




3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)


   Дисперсионное соотношение, связывающее частоту ω и волновой вектор k
нормальной моды колебания одномерной моноатомной цепочки,

                                 ω = 4 β m ⋅ sin
                                                 ka
                                                  2

представляет собой важное соотношение, встречающееся в ряде физических задач.
Сразу отметим, что волны, удовлетворяющие линейной связи между частотой и
волновым вектором, т.е. удовлетворяющие соотношению ω/k=const, называются
недиспергирующими волнами. Среда, в которой распространяются такие волны,
называются также недиспергирующей. Если отношениe ω/k зависит от длины волны (а
значит и oт частоты), волны называются диспергирующими. В этом случае график
функции ω=ω(k) нелинеен.


1.   ИДЕАЛЬНАЯ СТРУНА. В частном случае идеальной упругой струны уравнение
      колебаний таково
                                     ••          d 2U
                                  ρ ⋅ U = −C11
                                                 dx 2

где C11– упругая постоянная. Дисперсионная зависимость в этом случае имеет вид
ω=k(C11/ρ)1/2, так что волны для нормальных мод однородной упругой струны –
недисперсионны. Это означает, что последовательные моды идеальной струны (т.е.
моды с длинами волн λ=2l/1, 2l/2, 2l/3, 2l/4... и т.д.) создают гармоническую
последовательность частот: ω1, ω2=2ω1, ω3=3ω1 и т.д.
       Для реальной струны (например гитары или рояля) дисперсионное соотношение,
вообще говоря, нелинейно и может быть приближенно описано формулой
ω2=(C11/ρ)k2+υk4 , где υ – некоторая положительная константа, показывающая, что
струна при возбуждении коротковолновых мод более жестка, чем при возбуждении
длинноволновых. Поэтому частоты колебаний мод с длинами волн λ=2l/1, 2l/2.. и т.д. не
будут удовлетворять гармонической последовательности ω1, ω2 =2ω1, ω3 =3ω1..., а будут
выше обертонов идеальной струны (т.е. будут диезными).
    Можно рассмотреть струну с закрепленными на ней N грузами массой m,
расположенных через равные интервалы a. Очевидно, что такая система представляет
собой рассмотренный ране случай одномерной моноатомной цепочки, так что
дисперсионная зависимость для этой системы имеет вид (см рис.19):



                                 ω = 4 β m ⋅ sin .
                                                ka
                                                 2



2.   ДВУХПРОВОДНАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ. Другим примером системы с


      аналогичной дисперсионной зависимостью является цепочка из связанных
      контуров (емкостей C и индуктивностей L) (рис.21).




        Рис.21. Двухпроводная электрическая линия: а) эквивалентная электрическая схема; б)
уравнение токов в каждом из контуров; система этих N дифференциальных уравнений для N контуров для
полностью идентична системе уравнений, описывающих одноатомную цепочку, и проводит к
дисперсионной зависимости ω(k), в) дисперсионная зависимость ω(k), показывающая, что такая
электрическая линия является фильтром низких частот с максимальной частотой пропускания
ω2max=4C–1/L.


Легко показать, что из уравнений Кирхгоффа следует

                                    d 2I
                                L        = C −1 [− 2 I n + I n −1 + I n +1 ] .
                                    dt 2

    Это система уравнений полностью аналогична системе механической линейной
цепочки с массами m. Дисперсионное соотношение поэтому имеет такой же вид, как и у
одномерной одноатомной цепочки, если произвести замену величины β/m на C–1/L:



                                                  4С −1       ka
                                         ω=             ⋅ sin
                                                   L           2


3. СВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИ. Наглядным примером из механики является также
систем связанных математических маятников (рис.22).


Рис.22. Модель связанных маятников: а) схематический вид цепочки маятников; б) дисперсионная
зависимость ω(k) для системы связанных маятников: область возможных частот от ω2min=g/l до
ω2max=g/l+4β/m– область синусоидальных волн; в), г) – области затухания: в) область высоких частот
ω>ωmax – экспоненциально-затухающие волны при колебаниях соседних маятников в противофазе; г) –
область ниже низкочастотного порога – экспоненциально-затухающие волны; д) – график амплитуд
колебаний маятников для области частот ниже низкочастотного порога – колебания соседних маятников
происходят в фазе (см. рис. а)).


 На каждый маятник длины l действует возвращающие силы двух типов: "внешняя"
сила, создаваемая силой тяжести, не зависит от относительного смещения соседних
маятников; другая сила, возникающая из-за того, что маятники связаны пружинами,
зависит только от их взаимного расположения. Если бы не существовало силы тяжести,
то такая система была бы подобна одноатомной линейной цепочке, так что
дисперсионное соотношение имело бы вид ω=(4β/m)1/2 sin(ka/2).
При введение же силы тяжести g, к возвращающей силе нужно добавить величину g/l.
При этом можно показать, что мода колебания (т.е. тип движения) сохранится, а
частота изменится до величины


                              g 4β          ka                                  ka
                       ω2 =     +   ⋅ sin 2    ;       ω 2 = ω o2 + ω12 sin 2
                              l   m         2                                    2



В предельном случае непрерывной системы (ka<<1) имеем


                              ω 2 == ω o + vo k 2 ;
                                       2    2
                                                             vo = ω12 a 2 4
                                                              2




Этот закон дисперсии описывает дисперсию электромагнитных волн в волноводах и в
иносфере Земли.



4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Распространение
электромагнитных волн в ионосфере Земли. В вакууме электромагнитные волны
дисперсии не имеют, поскольку ω=ck, где c скорость света. В ионосфере, где высока
концентрация заряженных частиц – ионов и электронов, существует собственная
частота колебаний плазмы – это частота самой низкой моды колебаний свободных
электронов. Плазменную частоту ωp легко получить из уравнения движения –
флюктуации концентрации электронов N быстро компенсируются из-за появления
электрического поля E в результате перераспределения зарядов в среде: E=4πσ=4πNex.
Здесь е – заряд, а x – смещение электрона. Уравнение движения электронов в этом поле
приводит к следующему результату:

                  ••                      ••
                m x + eE = 0 ;          m x + 4π Ne 2 x = 0 ;       ω 2 = 4π Ne 2 / m
                                                                      p




    Для дневного времени типичное значение ωp=10–30MHz, что соответствует
плотности электронов N≈106–107см–3. Поскольку в общем случае для
электромагнитного поля ω/k=c/ε1/2, то для среды с одним резонансом на частоте ωо:

                                c2k 2               4πNe 2     1
                                        = ε = 1+           ⋅ 2
                                 ω2                   m     ωo − ω 2

Свободный электрон имеет как бы "нулевую" резонансную частоту ωo=0. Поэтому

                                          c2k 2              ωp
                                                              2

                                                  = ε = 1−
                                          ω2                 ω2

или



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика